Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Chương III, Chủ đề 12: Một số bất đẳng thức trong các đề thi học sinh giỏi và tuyển sinh ĐH-THPT Quốc gia và lớp 10 chuyên toán (Phần 1) (Có đáp án)

 Chủ đề 12
 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC TRONG CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÀ TUYỂN SINH ĐH-
 THPT QUỐC GIA VÀ LỚP 10 CHUYÊN TOÁN
 Trong các kì thi học sinh giỏi môn Toán THCS, THPT và các kì thi tuyển sinh lớp 10 chuyên, nội 
dung về bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất xuất hiện một cách đều đặn trong các đề thì với các bài 
toán ngày càng khó hơn. Trong chủ đề này, chúng tôi đã tuyển chọn và giới thiệu một số bài toán về bất đẳng 
thức và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất được trích trong các đề thi học sinh giỏi môn toán cấp tỉnh và các đề thi 
chuyên toán các năm gần đây. 
 1 1 1 
Bài 1. a) Cho các số dương a, b, c tùy ý. Chứng minh rằng: a b c 9
 a b c 
 b) Cho các số dương a, b, c thoả mãn a b c 3. Chứng ming rằng: 
 1 2009
 670
 a2 b2 c2 ab bc ca
 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Hải Phòng năm 2009 - 2010
 Lời giải
 1 1 1 1
a) Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số dương a b c 3 abc; 3
 a b c 3 abc
 1 1 1 
 Suy ra a b c 9
 a b c 
Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 
 2
 a b c 
b) Ta có ab bc ca a2 b2 c2 ab bc ca 3
 3
 2007
 Suy ra 669
 ab bc ca
Áp dụng bất đẳng thức trong câu a, ta có 
 1 1 1 
 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 9
 2 2 2 
 a b c ab bc ca ab bc ca 
 1 1 9
 Suy ra 1
 2 2 2 2
 a b c ab bc ca a b c 
 1 2009
Do đó ta được 670.
 a2 b2 c2 ab bc ca
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1. 
 1
Bài 2. Với số tự nhiên n 3. Chúng minh rằng S .
 n 2
 1 1 1
 Với Sn ... 
 3 1 2 5 2 3 2n 1 n n 1 
 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Bình Định năm 2009-2010
 Lời giải
Với n 3 , ta có 1 n 1 n n 1 n
 2n 1 n n 1 2n 1 4n2 4n 1
 n 1 n n + 1 - n 1 1 1 
 4n2 4n 2 n 1. n 2 n n 1 
Do đó ta được 
 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 Sn 1 ... 1 
 2 2 2 3 n n 1 2 n 1 2
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
 m 1
Bài 3. Chứng minh rằng 2 , với mọi số nguyên m, n.
 n n2 3 2 
 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Bình năm 2009-2010
 Lời giải
 m m
 Vì m, n là các số nguyên nên là số hữu tỉ và 2 là số vô tỉ nên 2 0 . 
 n n
Ta xét hai trường hợp sau
 m
+ Trường hợp 1: Với 2 , khi đó ta được 
 n
 m2 2n2 m2 2n2 1 hay m 2n2 1
Từ đó suy ra 
 m 2n2 1 1
 2 2 2 2
 n n n2
 1
 2 2
 2 1 1
 n 
 1 1 n2 3 2
 2 2 n2 2 2 
 n2 2 
 n 
 m
+ Trường hợp 2: Với 2 , khi đó ta được 
 n
 m2 2n2 m2 2n2 1 hay m 2n2 1
Từ đó suy ra 
 1
 2 2 
 m m 2n2 1 1 2
 2 2 2 2 2 n
 n n n n2 1
 2 2 
 n2
 1 1
 1 n2 3 2
 n2 2 2 
 2 
 n 
Vậy bài toán được chứng minh.
Bài 4. Cho ba số thực a, b, c đôi một phân biệt. Chứng minh rằng: a2 b2 c2
 2
 2 2 2
 b c c a a b 
 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Vĩnh Phúcnăm 2009-2010
 Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 
 2
 a b c ab bc ca 
 2 2 
 b c c a a b b c c a c a a b a b b c 
Mà ta lại có 
 ab bc ca
 b c c a c a a b a b b c 
 ab a b bc b c ca c a a b b c c a 
 1
 a b b c c a a b b c c a 
 2
 a b c 
Do đó bất đẳng thức trên trở thành 0 .
 b c c a a b 
Bất đẳng thức cuối cùng là một bất đẳng thức đúng. Vậy bài toán được chứng minh. 
Bài 5. Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn a b c 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 
thức: 
 ab bc ca
 P a2 b2 c2 
 a2b b2c c2a
 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Nghệ An năm 2009-2010
 Lời giải
 Dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại a b c 1 và giá trị nhỏ nhất của P là 4. Ta quy bài 
toán về chứng minh bất đẳng thức
 ab bc ca
 a2 b2 c2 4
 a2b b2c c2a
Thật vậy, kết hợp với giả thiết ta có
 3 a2 b2 c2 a b c a2 b2 c2 
 a3 b3 c3 a2b b2c c2a ab2 bc2 ca2
Áp dụng bất đăngr thức Cauchy ta có 
 a3 ab2 2a2b;b3 bc2 2b2c; c3 ca2 2c2a
Suy ra 3 a2 b2 c2 3 a2b b2c c2a 0
 ab bc ca ab bc ca
Do đó ta được a2 b2 c2 a2 b2 c2 
 a2b b2c c2a a2 b2 c2
Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 
 ab bc ca
 a2 b2 c2 4
 a2 b2 c2
 9 a2 b2 c2 
 Hay a2 b2 c2 4
 2 a2 b2 c2 
 Đặt t a2 b2 c2 . 
 Từ giả thiết a b c 3 a2 b2 c2 3 , do đó ta được t 3 Bất đẳng thức trên trở thành 
 9 t
 t 4 2t 2 9 t 8t t 3 2t 3 0
 2t 
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng do t 3. Vậy bài toán được chứng minh xong.
Bài 6. Cho biểu thức P a2 b2 c2 d2 ac bd , trong đó ad bc 1. 
 Chứng minh rằng: P 3
 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Thanh Hóa năm 2009-2010
 Lời giải
Cách 1: Ta có 
 2 2
 ac bd ad bc a2c2 2abcd b2d2 a2d2 2abcd b2c2
 a2 c2 d2 b2 d2 c2 a2 b2 c2 d2 
 2
Vì ad bc 1 nên 1 ac bd a2 b2 c2 d2 (1)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 
 P a2 b2 c2 d2 ac bd 2 a2 b2 c2 d2 ac bd
 2 2 2
Suy ta P 2 1 ac bd ac bd . Rõ ràng P 0 vì 2 1 ac bd ac bd
Đặt x ac bd , khi đó ta được 
P 2 1 x2 x P2 4 1 x2 4x 1 x2 x2 1 x2 4x 1 x2 4x2 3
 2
Hay P2 1 x2 2x 3 3. Do đó ta được P 3 . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. 
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
 ad bc 1
 2a 3d c
 2b 3c d
Cách 2: Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành 
 a2 b2 c2 d2 ac bd 3 ad bc 
Hay a2 b2 c2 d2 ac bd a 3d c b 3c d 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 
 2
 3d c 3d2 2 3cd c2
 a 3d c a2 a2 
 4 4
 2
 3c d 3d2 2 3cd c2
 b 3c d b2 b2 
 4 4
Cộng theo về hai bất đẳng thức trên ta được 
 a2 b2 c2 d2 ac bd a 3d c b 3c d 
Bài toán được chứng minh xong.
Bài 7. Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có ba góc nhọn. Chứng minh rằng với mọi số thực x, 
y, z ta luôn có: x2 y2 z2 2x2 2y2 2z2
 a2 b2 c2 a2 b2 c2
 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Thanh Hóa năm 2009-2010
 Lời giải
Cách 1: Vì a2 b2 c2 0 nên ta có 
 x2 y2 z2 
 a2 b2 c2 
 2 2 2 
 a b c 
 b2 c2 a2 a2 c2 b2 a2 b2 c2 
 x2 2 y2 2 z2 2 
 2 2 2 
 a b c 
 b2 c2 a2 a2 c2 b2 a2 b2 c2 
 2x2 2y2 2z2 x2 y2 z2
 2 2 2 
 a b c 
Giả sử a b c, khi đó c2 a2 0; c2 b2 0. Với c là cạnh lớn nhất và các góc đều nhọn nên 
c2 a2 b2 . Do đó ta có 
 b2 c2 a2 0; a2 c2 b2 0; a2 b2 c2 0
Suy ra 
 b2 c2 a2 a2 c2 b2 a2 b2 c2 
 2x2 2y2 2z2 x2 y2 z2
 2 2 2 
 a b c 
 2x2 2y2 2z2
 x2 y2 z2 
Hay a2 b2 c2 2x2 2y2 2z2
 2 2 2 
 a b c 
 x2 y2 z2 2x2 2y2 2z2
Hay . Bài toán được chứng minh xong
 a2 b2 c2 a2 b2 c2
Cách 2: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 
 x2 2x2 y2 2y2 z2 2z2
 0
 a2 a2 b2 c2 b2 a2 b2 c2 c2 a2 b2 c2
 x2 b2 c2 a2 y2 a2 c2 b2 z2 a2 b2 c2 
 0
 a2 a2 b2 c2 b2 a2 b2 c2 c2 a2 b2 c2 
Do a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác nhọn nên 
 a2 b2 c2; b2 c2 a2; c2 a2 b2
Nên ta được b2 c2 a2 0; a2 c2 b2 0; a2 b2 c2 0
Do vậy bất đẳng thức trên luôn đúng. Bài toán được chứng minh xong.
Bài 8. a) Cho k là số nguyên dương bất kì. Chứng minh bất đẳng thức sau: 
 1 1 1 
 2 
 k 1 k k k 1 
 1 1 1 1 88
 b) Chứng minh rằng:  
 2 3 2 4 3 2010 2009 45
 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Thái Bình năm 2009-2010
 Lời giải
a) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 1 2 k 1 2 k 2
 2k 1 2 k k 1 0 k 1 k 0
 k 1 k k. k 1
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng với mọi k nguyên dương. 
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
b) Áp dụng kết quả câu a ta có
 1 1 1 1
 VT  
 2 1 3 2 4 3 2010 2009
 1 1 1 1 1 1 
 2 2  2 
 1 2 2 3 2009 2010 
 1 1 88
 2 1 2 1 VP
 2010 45 45
Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. 
Bài 9. Với a, b, c là những số thực dương. Chứng minh rằng:
 a2 b2 c2 a b c
 3a2 8b2 14ab 3b2 8c2 14bc 3c2 8a2 14ca 5
 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán ĐHKHTN Hà Nội năm 2009-2010
 Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được
 2
 3a2 8b2 14ab 3a2 8b2 12ab 2ab 4a2 9b2 12ab 2a 3b 
 a2 a2 a2
Suy ra 
 2
 3a2 8b2 14ab 2a 3b 2a 3b
Áp dụng tương tự ta thu được 
 a2 b2 c2
 3a2 8b2 14ab 3b2 8c2 14bc 3c2 8a2 14ca
 a2 b2 c2
 2a 3b 2b 3c 2c 3a
Mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được
 2
 a2 b2 c2 a b c a b c
 2a 3b 2b 3c 2c 3a 5 a b c 5
Do đó ta được 
 a2 b2 c2 a b c
 3a2 8b2 14ab 3b2 8c2 14bc 3c2 8a2 14ca 5
Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c
Bài 10. Giả sử x, y, z là những số thực thoả mãn điều kiện 0 x, y, z 2 và x y z 3. Tìm giá 
trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức:
 M x 4 y4 z4 12 1 x 1 y 1 z 
 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán ĐHKHTN Hà Nội năm 2009-2010
 Lời giải
 Đặt a x 1; b y 1; c z 1, ta được 1 a; b; c 1 và a b c 0. Biểu thức M 
được viết lại thành 
 M a4 b4 c4 4 a3 b3 c3 6 a2 b2 c2 4 a b c 3 12abc Để ý là khi a b c 0 thì a3 b3 c3 3abc 0 nên biểu thức trên thử thành
 M a4 b4 c4 6 a2 b2 c2 3
 Theo một đánh giá quen thuộc thì 
 a4 b4 c4 abc a b c 0
 1 2
 a2 b2 c2 a b c 0
 3 
 Do đó suy ra M 3 hay giá trị nhỏ nhất của M là 3.
 Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 0 hay x y z 1.
 Mặt khác do 1 a; b; c 1 nên ta có a ; b ; c 1. Từ đó ta có 
 a4 a2 a ; b4 b2 b ; c4 c2 c
 Suy ra M a4 b4 c4 6 a2 b2 c2 3 7 a b c 3
 Mà ta lại có a b c 0 nên trong ba số a, b, c có một hoặc hai số âm, tức là luôn tồn tại hai số 
cùng dấu. Không mất tính tổng quát ta giả sử hai số đó là b và c. Khi đó ta được
 b c b c a
Đến đây ta có M 14 a 3 17 hay giá trị lớn nhất của M là 17. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 
a 1; b 1;c 0 và các hoán vị hay x 2; y 0; z 1 và các hoán vị
Bài 11. a) Cho 3 số thực a, b, c bất kì. Chứng minh rằng: 
 2 2 2
 a b b c c a 
 a2 b2 c2 ab bc ca 
 26 6 2009
 1 2 8
 b) Cho a 0; b 0. Chứng minh rằng 
 a b 2a b
 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán TP Hồ Chí Minh năm 2009-2010
 Lời giải
a) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 
 2 2 2 2 2 2
 a b b c c a a b b c c a 
 2 2 2 26 6 2009
 2 2 2
 12 a b b c 2007 c a 
 Hay 0
 13 3 2
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng.
Vậy bài toán được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c.
b) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 
 1 2 8
 a b 2a b
Đặt c b, do b 0 nên ta được c 0, khi đó bất đẳng thức trên được viết lại thành
 1 2 8
 a c 2a c
Theo một đánh giá quen thuộc ta được 
 1 2 2 2 2.4 8
 a c 2a c 2a c 2a c
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 2a b .
 a 2b 1
Bài 12. Cho a, b là các số dương thỏa mãn 1. Chứng minh ab2 .
 1 a 1 b 8 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Quảng Bình năm 2015-2016
 Lời giải
 a 2b a b x y
Từ giả thiết 1. Đặt x ; y Suy ra a ; b .
 1 a 1 b 1 a 1 b 1 x 1 y
Khi đó ta được x 2y 1 và bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành
 xy2 1
 2
 1 x 1 y 8
 Từ giả thiết ta suy ra 1 x 2y; 1 y x y nên lại viết bất đẳng thức cần chứng minh thành 
 2
 xy 1 2
 4xy x y
 2 
 2y x y 8
 Đánh giá cuối cùng là một bất đẳng thức đúng. Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức 
xẩy ra khi và chỉ khi a b .
Bài 13. Cho x, y, z là các số thực dương sao cho xyz x y z 2. Chứng minh rằng: 
 1 1 1 3
 xy yz zx 2
 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Phú Thọ năm 2009-2010
 Lời giải
 1 1 1
Giả thiết của bài toán được viết lại thành 1. 
 x 1 y 1 z 1
 1 1 1
Đặt a ; b ; c . Khi đó ta được a b c 1. Từ đó suy ra 
 x 1 y 1 z 1
 1 a b c 1 b c a 1 c a b
 x ; y ; z 
 a a b b c a
Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành 
 ab bc ca 3
 b c c a c a a b a b b c 2
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 
 ab 1 b a 
 b c c a 2 b c c a 
 bc 1 c b 
 c a a b 2 c a a b 
 ca 1 a c 
 a b b c 2 a b b c 
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 
 ab bc ca 3
 b c c a c a a b a b b c 2
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 2
Bài 14. Cho các số thực không âm a, b, c sao cho ab bc ca 3. Chứng minh rằng: 
 1 1 1
 1
 a2 2 b2 2 c2 2
 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Phú Thọ năm 2009-2010 Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 
 a2 b2 c2
 1
 a2 2 b2 2 c2 2
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 
 2 2
 a2 b2 c2 a b c a b c 
 1
 a2 2 b2 2 c2 2 a2 b2 c2 6 a2 b2 c2 2 ab bc ca 
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1.
Bài 15. Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x 2y 3z 18. Chứng minh rằng: 
 2y 3z 5 3z x 5 x 2y 5 51
 1 x 1 2y 1 3z 7
 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên toán Đại học Vinh, 2009 – 2010 
 Lời giải
 Đặt a x; b 2y; c 3x , khi đó giả thiết trở thành a b c 18 và bất đẳng thức được viết 
lại thành 
 b c 5 c a 5 a b 5 51
 1 a 1 b 1 c 7
Bất đẳng thức trên tương đương với 
 b c 5 c a 5 a b 5 51
 1 1 1 3
 1 a 1 b 1 c 7
 1 1 1 72
Hay a b c 6 
 1 a 1 b 1 c 7
Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được
 1 1 1 3
 1 a 1 b 1 c 7
Thật vậy theo bất đẳng thức Cauchy ta có 
 1 1 1 9 9 3
 1 a 1 b 1 c 3 a b c 21 7
Vậy bài toán được chứng minh. 
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 6 hay x 6; y 3; z 2.
Bài 16. Giả sử x, y, z là các số thực dương thoả mãn điều kiện x y z 1. 
 xy z 2x2 2y2
 Chứng minh rằng: 1 
 1 xy
 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán ĐH KHTN Hà Nội năm 2010-2011
 Lời giải
Ta sẽ quy bài toán về việc chứng minh bất đẳng thức cùng bậc là
 xy z x y z 2x2 2y2
 1
 x y z xy
 x z y z 2x2 2y2 x y z xy
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2x2 2y2 x y
Do đó ta chỉ cần chứng minh z x z y z xy
Bất đẳng thức trên tương đương với 2
 z2 xy z x y z2 xy 2z xy z x y 0
 1
Bài toán được chứng minh hoàn toàn. Đẳng thức xảy ra khi x y ; z 0.
 2
Bài 17. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a b c ab bc ca 6. Chứng minh rằng: 
 a3 b3 c3
 a2 b2 c2 3
 b c a
 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán ĐHNN Hà Nội năm 2010-2011
 Lời giải
 a3 b3 c3
Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức a2 b2 c2
 b c a
Thật vậy, theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 
 2
 2 2 2
 a3 b3 c3 a b c 
 b c a ab bc ac
Theo một đánh giá quen thuộc ta có a2 b2 c2 ab bc ca
 2
Do đó ta được a2 b2 c2 a2 b2 c2 ab bc ca 
 2
 a2 b2 c2 
Nên ta có a2 b2 c2
 ab bc ac
 a3 b3 c3
Do đó ta suy ra a2 b2 c2
 b c a
+ Chứng minh a2 b2 c2 3. 
Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
 a2 b2 2ab; b2 c2 2bc; c2 a2 2ca; a2 1 2a;b2 1 2b;c2 1 2c
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 
 3 a2 b2 c2 3 2 ab bc ca a b c 12
Hay a2 b2 c2 3
 a3 b3 c3
Kết hợp hai kết quả trên ta được a2 b2 c2 3
 b c a
Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1.
Bài 18. Cho các số dương a, b, c thoả mãn a b c abc. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
 a b c
 S 
 bc 1 a2 ca 1 b2 ab 1 c2 
 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Phú Thọ năm 2010-2011
 Lời giải
Cách 1: Kết hợp với giả thiết ta có 
 bc 1 a2 bc a2bc bc a a b c a b a c 
Hoàn toàn tương tự ta được
 ca 1 b2 a b b c ; ba 1 c2 a c b c ;
Nên