Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Chương III, Chủ đề 12: Một số bất đẳng thức trong các đề thi học sinh giỏi và tuyển sinh ĐH-THPT Quốc gia và lớp 10 chuyên toán (Phần 2) (Có đáp án)

 Bài 102. Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn M in a b; b c; c a 0 và 
 a2 b2 c2 2 ab bc ca .
 ab bc ca 1
Chứng minh rằng: 
 a2 b2 b2 c2 c2 a2 2
 Phân tích và lời giải
 Trước hết ta phân tích các giả thiết của bài toán, từ M in a b; b c; c a 0 ta suy ra được 
trong các tổng trên không có tổng nào bằng không và từ giả thiết thứ hai ta thu được trong các biến a, b, c 
chỉ có có thể có một biến bằng 0. Do đó ta dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại a b; c 0 và các hoán vị 
của nó. Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy không thể đánh giá trực tiếp tử hoặc mẫu của các biểu thức. 
 2 2
 ab ab a b 
Do đó ta hướng đến biến đổi các biểu thức trước. Chú ý đến phép biến đổi . 
 a2 b2 a2 b2
Để đảm bảo dấu đẳng thức xẩy ra ta nhân với 2 . Khi đó bất đẳng thức được viết lại thành
 2ab a2 b2 2bc b2 c2 2ca c2 a2 
 1
 a2 b2 b2 c2 c2 a2
Đến đây áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 
 2 2
 2ab a b 2ab.2ab 2ab
 a2 b2 a2 b2 a2 b2
Áp dụng tương tự ta được 
 2 2 2 2
 2bc b c 2bc 2ca c a 2ca
 ; 
 b2 c2 b2 c2 c2 a2 c2 a2
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 
 2 2 2 2 2 2
 2ab a b 2bc b c 2ca c a 2ab 2bc 2ca
 a2 b2 b2 c2 c2 a2 a2 b2 b2 c2 c2 a2
Khi đó phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 
 2ab 2bc 2ca
 1
 a2 b2 b2 c2 c2 a2
 2 2 2
 2ab 2bc 2ca a b b c c a 
 Để ý là 3 
 a2 b2 b2 c2 c2 a2 a2 b2 b2 c2 c2 a2
Lúc này áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 
 2 2 2 2
 a b b c c a 2a 2b 2c 
 a2 b2 b2 c2 c2 a2 2 a2 b2 c2 
 2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 8 ab bc ca 
 4
 2 a2 b2 c2 2 ab bc ca 
 2ab 2bc 2ca
Do đó ta có 1
 a2 b2 b2 c2 c2 a2
Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b; c 0 và các hoán vị.
Bài 103. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 1. Chứng minh rằng: ab bc ca 1
 a b 2c b c 2a c a 2b 2
 Phân tích và lời giải
 Quan sát bất đẳng thức trên ta thấy được một số ý tưởng tiếp cận như sử dụng các bất đẳng thức 
Cauchy, Bunhiacopxki để khử các căn bậc hai, đổi biến để đơn giản hóa giả thiết, 
Cách 1: Trước hết với ý tưởng khử các căn bậc hai, ta chú ý đến đánh giá bằng bất đẳng thức 
Bunhiacopxki như sau 
 2
 4 a b 2c 1 1 2 a b 2c a b 2 c 
Khi đó kết hợp với bất đẳng thức Cauchy ta được
 ab 2 ab 2 ab 1 ab ab 
 a b 2c 4 a b 2c a b 2 c 2 a c b c 
Áp dụng tương tự ta có
 bc 1 bc bc ca 1 ca ca 
 ; 
 b c 2a 2 a b a c c a 2b 2 a b b c 
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 
 ab bc ca 1 1
 a b c 
 a b 2c b c 2a c a 2b 2 2
 1
Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c .
 9
Cách 2: Đặt x a; y b; z c . Từ giả thiết ta suy ra x y z 1.
Khi đó bất đẳng thức được viết lại thành 
 xy yz zx 1
 x2 y2 2z2 y2 z2 2x2 z2 x2 2y2 2
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 
 2
 4 x2 y2 2z2 1 1 2 x2 y2 2z2 x y 2z 
Do đó ta có 
 xy 2xy 2xy 1 xy xy 
 x2 y2 2z2 4 x2 y2 2z2 x y 2z 2 x z y z 
Áp dụng tương tự ta được 
 yz 1 yz yz zx 1 zx zx 
 ; 
 y2 z2 2x2 2 x y x z z2 x2 2y2 2 x y y z 
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 
 xy yz zx x y z 1
 x2 y2 2z2 y2 z2 2x2 z2 x2 2y2 2 2
Bất đẳng thức được chứng minh xong.
 1 1 1
Bài 104. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 1. Chứng minh rằng:
 a b c b c c a a b
 2
 a2 b2 c2
 Phân tích và lời giải
 1 1 1
 Từ giả thiết của bài toán thì suy nghĩ rất tự nhiên là đổi biến x ; y ; z , khi đó giả 
 a b c
thiết trở thành x y z 1 và bất đẳng thức được viết lại là 
 x2 y z y2 z x z2 x y 
 2
 yz zx xy
 Quan sát bất đẳng thức trên ta có các cách xử lý như sau
Cách 1: Chú ý đến dụng bất đẳng thức Cauchy ta được các đánh giá 
 2 2 2
 x y y z z x 
 xy ; yz ; zx 
 4 4 4
Khi đó ta được bất đẳng thức sau
 2 2 2
 x y z y z x z x y 4x2 4y2 4z2
 yz zx xy y z z x x y 
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cộng mẫu ta có 
 2
 4x2 4y2 4z2 4 x y z 
 2 x y z 2
 y z z x x y 2 x y z 
Vậy bài toán được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 3.
Cách 2: Biến đổi bất đẳng thức thành 
 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1
 x y z 
 y z z x x y 2
Theo một đánh giá quen thuộc ta có 
 2 2
 2 1 1 x 1 1 4x
 x y z 
 y z y z y z y z
 2 2
 2 1 1 y 1 1 4y
 y z x 
 z x z x z x z x
 2 2
 2 1 1 z 1 1 4z
 z x y 
 x y x y x y x y
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được
 2 2 2
 2 1 1 2 1 1 2 1 1 4x 4y 4z
 x y z 
 y z z x x y y z z x x y
Đến đây đánh giả tương tự như cách 1 hoặc có thể áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki như sau đây 
 4x2 4y2 4z2 4x2 4y2 4z2 
 2 x y y z z x 
 y z z x x y y z z x x y 
 2
 x y z 2
 2 y z z x x y 2 x y z 2
 y z z x x y 
Vậy bài toán được chứng minh xong.
Bài 105. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 2 2 2 2
 2a 2b 2c 9 a b c 
 1 1 1 
 b c a ab bc ca
 Phân tích và lời giải
 Để ý đến các đại lượng vế trái của bất đẳng thức ta nhận thấy các ý tưởng tiếp cận bài toán như 
khai triển rồi đánh giá bằng bất đẳng thức Cauchy hoặc sử dụng đánh giá quen thuộc 
 2
3 x2 y2 z2 x y z . Ta đi phân tích các ý tưởng đó theo các cách sau
Cách 1: Triển khai vế trái ta được 
 2 2 2
 2a 2b 2c a b c a2 b2 c2 
 1 1 1 3 4 4 
 2 2 2 
 b c a b c a b c a 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 
 a2 b2 c2 a b c 
 1 1 1 2 
 2 2 2 
 b c a b c a 
 2
 a2 b2 c2 a b c a b c 
 3 3 
 2 2 2 
 b c a b c a b c a 
Từ đó ta được 
 a b c a2 b2 c2 a b c 
 3 4 4 9 
 2 2 2 
 b c a b c a b c a 
Để ý là theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được
 2
 a b c a2 b2 c2 a b c 
 b c a ab bc ca ab bc ca
 2 2 2 2
 2a 2b 2c 9 a b c 
Suy ra 1 1 1 
 b c a ab bc ca
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c
 2
Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức 3 x2 y2 z2 x y z ta được
 2 2 2 2
 2a 2b 2c 1 a b c 
 1 1 1 3 2 
 b c a 3 b c a 
 2 2
 1 a b c 9 a b c 
Ta cần chứng minh được 3 2 
 3 b c a ab bc ca
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 
 2
 a b c a b c 
 b c a ab bc ca
Như vậy phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được
 2
 a b c a b c 
 3 2 27 
 b c a b c a 
 a b c
Thật vậy, đặt t t 3. Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
 b c a 2
 3 2t 27t t 3 4t 3 0
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng do t 3.
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
Bài 106. Cho a, b, c, d là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 
 a3 b3 c3 a b c
 a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ac a2 3
 Phân tích và lời giải
 Quan sát bất đẳng thức thì suy nghĩ đấu tiên đó là sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng 
phân thức. Do đó ta thử tiếp cận bài toán với bất đẳng thức xem như thế nào? 
Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 
 a3 b3 c3
 a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ac a2
 2 2
 a2 b2 c2 a2 b2 c2 
 a3 b3 c3 a2b ab2 b2c bc2 a2c ca2 a b c a2 b2 c2 
 a2 b2 c2 a b c
Ta cần chứng minh 
 a b c 3
 2
Hay 3 a2 b2 c2 a b c 
Bất đẳng thức cuối cùng là một đánh giá quen thuộc.
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c.
 Ngoài ra để ý đến mối liên hệ giữa tử và mẫu ta chú ý đến hằng đẳng thức bậc ba quen thuộc 
a3 b3 a b a2 ab b2 . Do đó ta có phép biến đổi 
 a3 b3 a3 b3
 a b
 a2 ab b2 a2 ab b2 a2 ab b2
Hoàn toàn tương tự ta có 
 2a3 2b3 2c3
 a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ac a2
 a3 b3 b3 c3 c3 a3
 a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ac a2
 a b a2 ab b2 
Để ý là a3 b3 a b a2 ab b2 
 3
 a3 b3 a b
Khi này ta được , đến đây bài toán xem như được chứng minh và ta trình bày lại 
 a2 ab b2 3
lời giải như sau
Cách 2: Ta có 
 a3 b3 a3 b3
 a b
 a2 ab b2 a2 ab b2 a2 ab b2
Áp dụng tương tự ta được 
 b3 c3 c3 a3
 b c; c a
 b2 bc c2 b2 bc c2 c2 ac a2 c2 ac a2
Công theo vế các đẳng thức trên ta được a3 b3 c3 
 2 2 2 2 2 2 
 a ab b b bc c c ac a 
 b3 c3 a3 
 0
 2 2 2 2 2 2 
 a ab b b bc c c ac a 
Hay
 a3 b3 c3
 a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ac a2
 b3 c3 a3
 a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ac a2
Do đó ta được 
 2a3 2b3 2c3
 a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ac a2
 a3 b3 b3 c3 c3 a3
 a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ac a2
Để ý ta thấy 
 a b a2 ab b2 
 a3 b3 a b a2 ab b2 
 3
 a3 b3 a b
Do đó ta được 
 a2 ab b2 3
Áp dụng tương tự ta được 
 a3 b3 b3 c3 c3 a3 2 a b c 
 a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ac a2 3
 2a3 2b3 2c3 2 a b c 
Suy ra 
 a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ac a2 3
 a3 b3 c3 a b c
 Hay 
 a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ac a2 3
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c
Cách 3: Ngoài hai lời giải trên ta có thể tham khảo thêm lời giải bằng phương pháp biến đổi tương đương 
như sau 
Vì a, b là các số thực dương nên ta có 
 3
 2 3a
 a b a b 0 3a3 2a b a2 ab b2 2a b
 a2 ab b2
Áp dụng tương tự ta được 
 3b3 3c3
 2b c; 2c a
 b2 bc c2 c2 ac a2
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được
 a3 b3 c3 a b c
 a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ac a2 3
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c.
 1 1 1
Bài 107. Cho tam giác có ba cạnh a, b, c thỏa mãn 2. Chứng minh rằng: 
 a2 1 b2 1 c2 1
 3
 a b c a b c b c a c a b 
 4
 Phân tích và lời giải Khi tiếp cận bài toán này có lẽ ấn tượng đầu tiên là giả thiết của bài toán là một đẳng thức phức 
tạp. Tuy nhiên khi nhìn bất đẳng thức cần chứng minh ta thấy tích các đại lượng 
a b c; b c a; c a b thì thấy tự tin hơn tí vì ít nhiều liên tưởng đến một số đánh giá quen 
thuộc. Để có các bước đi hợp lí ta đi đánh giá lại giả thiết trước. 
 1 1 1 a2 b2 c2
 Từ giả thiết 2, ta được 1 
 a2 1 b2 1 c2 1 a2 1 b2 1 c2 1
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia copxki ta được 
 2
 a2 b2 c2 a b c 
 1 
 a2 1 b2 1 c2 1 a2 b2 c2 3
 2 3
 Suy ra a2 b2 c2 3 a b c hay ab bc ca .
 2
 Quan sát tích các đại lượng dưới dấu căn ta liên tưởng đến một bất đẳng thức khá là hay gặp 
 a b c b c a c a b abc . Như vậy ta thu được bất đẳng thức 
 a b c a b c b c a c a b a b c abc 
 2
 ab bc ca 
 Đến đây ta chú ý đến đánh giá abc a b c 
 3
Khi đó ta được
 2
 ab bc ca 3
 a b c a b c b c a c a b 
 3 4
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c.
Bài 108. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 3. Chứng mỉnh rằng:
 3 a2 b2 c2 4abc 13
 Phân tích và lời giải
 Trước hết ta đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại a b c 1. Quan sát bất đẳng thức ta thấy 
xuất hiện đại lượng a2 b2 c2 liên hệ với giả thiết của bài toán bằng một hằng đẳng thức quen thuộc 
 2
 a b c a2 b2 c2 2 ab bc ca . Như vậy khi đó ta trong bất đẳng thức sẽ có đại lượng 
ab bc ca và abc. Hai đại lượng này làm ta liên tưởng đến phép sắp thứ tự để giảm biến, hoặc sử 
dụng bất đẳng thức phụ quen thuộc, hoặc sử dụng nguyên lí Dirichlet. Từ sự phân tích đó ta có các lời 
giải sau 
Cách 1: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 
 2
 3 a b c 6 ab bc ca 4abc 13
Hay 3 ab bc ca 2abc 7
Không mất tính tổng quát ta giả sử a b c , do đó ta được a 1.
Khi đó ta có 
 3 ab bc ca 2abc 3a b c bc 3 2a 
 2
 b c 3 2a 
 3a b c 
 4
 2
 3 a 3 2a 27 3a2 2a3
 3a 3 a 
 4 4
 27 3a2 2a3
Ta cần chứng minh 7
 4 2
Hay 2a3 3a2 1 0 a 1 2a 1 0
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng.
Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1.
Cách 2: Ta có 
 a b c b c a c a b 3 2c 3 2b 3 2a 
 27 18 a b c 12 ab bc ca 8abc 12 ab bc ca 27 8abc
Mặt khác ta dễ dàng chứng minh được 
 abc a b c b c a c a b 
Do đó ta được abc 12 ab bc ca 27 7abc
 4 ab bc ca 
Hay abc 3
 3
 16 ab bc ca 
Do đó ta có 3 a2 b2 c2 4abc 3 a2 b2 c2 12
 3
 16 ab bc ca 
Ta cần chứng minh 3 a2 b2 c2 12 13
 3
Hay 9 a2 b2 c2 16 ab bc ca 75
Thật vậy, áp dụng một đánh giá quen thuộc ta có 
 9 a2 b2 c2 16 ab bc ca 
 a2 b2 c2 8 a2 b2 c2 2 ab bc ca 
 2
 a b c 2
 8 a b c 3 72 75
 3 
Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1.
Cách 3: Trong ba số dương bất kì a, b, c luôn tồn tại hai số cùng phía so với 1. 
Không mất tính tổng quát ta giả sử hai số đó là a và b. khi đó ta có 
 c 1 a 1 b 0 abc c a b c
Ta có 
 2
 a b 
 3 a2 b2 c2 4abc 3 c2 4c a b 4c
 2 
 2 2
 3 c c 1 26
 3 c2 4c 3 c 4c 13
 2 2
Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1.
Bài 109. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca 2abc. Chứng minh rằng: 
 1 1 1 1
 2 2 2
 a 2a 1 b 2b 1 c 2c 1 2
 Phân tích và lời giải
 Bất đẳng thức trên đã được chứng minh bằng kỹ thuật đổi biến trong bất đẳng thức Cauchy. Ở đây 
ta thực hiện đổi biến và áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki xem có thể chứng minh được không. 1 1 1
 Từ giả thiết ab bc ca 2abc suy ra 2. 
 a b c
 1 1 1
Đặt x ; y ; z , khi đó ta có x y z 2.
 a b c
 x 3 y3 z3 1
Bất đẳng thức được viết lại là 
 2 2 2
 2 x 2 y 2 z 2
 x 3 y3 z3 1
 Hay 
 2 2 2
 y z z x x y 2
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 
 2
 2 2 2
 x 3 y3 z3 x y z 
 2 2 2 2 2 2
 y z z x x y x y z y z x z x y 
 2
 x2 y2 z2 
 x2y y2x x2z z2x y2z z2y 6xyz
Ta cần chứng minh 
 2
 2 2 2
 x y z 1
 x2y y2x x2z z2x y2z z2y 6xyz 2
 2
Hay 2 x2 y2 z2 x2y y2x x2z z2x y2z z2y 6xyz
Thật vậy, theo một đánh giá quen thuộc ta có 
 2
 2 2 2
 2 2 x y z x y z 
 2 x2 y2 z2 2 x2 y2 z2 x2 y2 z2 
 3
Mà ta lại có 
 x y z x2 y2 z2 x 3 y3 z3 x2y y2x x2z z2x y2z z2y
Suy ra ta có 
 2
 2 x y z x2 y2 z2 4 x 3 y3 z3 x2y y2x x2z z2x y2z z2y 
 3 3
Ta cần chỉ ra được
 4 x 3 y3 z3 x2y y2x x2z z2x y2z z2y 
 3 x2y y2x x2z z2x y2z z2y 6xyz 
Hay 4 x 3 y3 z3 x2y y2x x2z z2x y2z z2y 18xyz
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 
 4 x 3 y3 z3 12xyz; x2y y2x x2z 3xyz; z2x y2z z2y 3xyz
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 
 4 x 3 y3 z3 x2y y2x x2z z2x y2z z2y 18xyz
 3
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c .
 2
Bài 110. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 1. Chứng minh rằng: 5 3
 a2 abc b2 abc c2 abc 9 abc 
 3
Phân tích: Chú ý đến phép biến đổi a2 abc a2 a b c abc a a b a c , do đó ta có 
 a a b a c a a 1 
đánh giá a2 abc a a b a c .
 2 2
 Lời giải
Ta có a2 abc a2 a b c abc a a b a c 
Do đó ta được 
 a a b a c a a 1 
 a2 abc a a b a c 
 2 2
Chứng minh tương tự ta được 
 b b 1 c c 1 
 b2 abc ; c2 abc 
 2 2
Do đó ta được
 a a 1 b b 1 c c 1 
 a2 abc b2 abc c2 abc 
 2 2 2
Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có 
 a a 1 a 1 b c a b c 1 
 abc a a a
 2 2 2 2 
Chứng minh tương tự ta được
 b b 1 c c 1 
 abc b; abc c
 2 2
Như vậy ta có 
 a2 abc b2 abc c2 abc 9 abc a b c 6 abc
Mà ta có 
 3
 a b c 2
 a b c 3 a b c 3; 6 abc 6 
 3 3
Nên ta suy ra 
 2 5 5 3
 a2 abc b2 abc c2 abc 9 abc 3 .
 3 3 3
 1
Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c .
 3
Bài 111. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng:
 a b c
 1
 a b3 c3 b c3 a3 c a3 b3
Phân tích: Để đồng bậc mẫu ta chú ý đến đánh giá theo bất đẳng thức Bunhiacopxki
 2
 a b3 c3 a3 b c a2 b2 c2 
 Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 
 2
 a b3 c3 a3 b c a2 b2 c2