Các dạng bài tập thi HSG Toán Lớp 9 - Dạng 5: Hệ phương trình

 CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9
 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
V. Dạng 5: Hệ phương trình
1. Hệ phương trình bậc nhất
A. Bài toán
 ax y b
Bài 1: Cho hệ phương trình: 
 x by a
 Tìm a và b biết hệ phương trình đã cho có nghiệm x; y 2;3 .
 m 1 x y 2
Bài 2: Cho hệ phương trình: ( m là tham số)
 mx y m 1
 1) Giải hệ phương trình khi m 2
 2) Chứng minh rằng với mọi m, hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất x; y thỏa mãn 
 2x y 3
 x 2y 2m 1
Bài 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hệ phương trình có nghiệm 
 4x 2y 5m 1
 nguyên
 x y 3m 2
Bài 4: Cho hệ phương trình: ( m là tham số). Tìm m để hệ đã cho có nghiệm 
 3x 2y 11 m
 x; y thỏa mãn x2 y2 đạt giá trị lớn nhất.
 3xy 4(x y)
Bài 5: Giải hệ phương trình: 5yz 6(y z)
 7zx 8(z x)
 ì
 ï x + (m- 1)y = 2
Bài 6: Cho hệ phương trình EMBED Equation.DSMT4 í 
 ï
 îï (m + 1)x - y = m + 1
 Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x, y) thỏa mãn x + 5y = 0.
 mx 2y 2
Bài 7: Cho hệ phương trình: (với m là tham số).
 2x my 5
 a) Giải hệ phương trình trên khi m 10.
 b) Tìm m để hệ phương trình đã cho có nghiệm x; y thỏa mãn hệ thức: 
 2015m2 14m 8056
 x y 2014 
 m2 4
 12 7
 19
 x 1 y 3
Bài 8: Giải hệ phương trình: 
 2x 6 3y 14
 18
 x 1 y 3 Bài 9: An khởi hành từ Sài Gòn đi Biên Hòa.Sau đó 5 phút, Bình và Cường khởi hành từ Biên Hòa 
về Sài Gòn.Trên đường đi, An gặp Cường ở địa điểm C rồi gặp bình ở địa điểm D .Tính vận tốc 
của mỗi người, biết rằng quãng đường Sài Gòn –Biên Hòa dài 39 km CD 6 km ; Vận tốc của An 
 3
bằng 1,5lần vận tốc của Bình và bằng vận tốc của Cường
 4
Bài 10: Quãng đường từ A đến B gồm đoạn lên dốc AC , đoạn nằm ngang CD , đoạn xuống dốc 
 DB, tổng cộng dài 30km . Một người đi từ A đến B rồi đi từ B về A hết tất cả 4 giờ 25 phút.
Tính quãng đường nằm ngang, biết rằng vận tốc lên dốc (cả đi lẫn về) là 10km / h ; vận tốc xuống 
dốc (cả đi lẫn về) là 20km / h ; vận tốc trên đoạn đường nằm ngang 15km / h .
Bài 11: An khởi hành từ Sài Gòn đi Biên Hòa .Sau đó 5 phút , Bình và Cường khởi hành từ Biên 
Hòa về Sài Gòn .Trên đường đi , An gặp Cường ở địa điểm C rồi gặp bình ở địa điểm D .Tính vận 
tốc của mỗi người , biết rằng quãng đường Sài Gòn –Biên Hòa dài 39 km CD 6 km ; Vận tốc của 
 3
An bằng 1,5lần vận tốc của Bình và bằng vận tốc của Cường 
 4
 12 7
 19
 x 1 y 3
Bài 12: Giải hệ phương trình: 
 2x 6 3y 14
 18
 x 1 y 3
Bài 13: 
Điểm số trung bình của một vận động viên bắn súng sau 100 lần bắn là 8,35 điểm. Kết quả cụ thể 
được ghi trong bằng sau, trong đó có ba ô bị mờ ở chữ số hàng đơn vị không đọc được (tại vị trí 
đánh dấu *).
 Điểm số của mỗi lần bắn 10 9 8 7 6 5
 Số lần bắn 2* 40 1* 1* 9 7
Em hãy tìm lại các chữ số hàng đơn vị trong ba ô đó.
Bài 14: An khởi hành từ Sài Gòn đi Biên Hòa .Sau đó 5 phút , Bình và Cường khởi hành từ Biên 
Hòa về Sài Gòn .Trên đường đi , An gặp Cường ở địa điểm C rồi gặp bình ở địa điểm D .Tính vận 
tốc của mỗi người , biết rằng quãng đường Sài Gòn –Biên Hòa dài 39 km CD 6 km ; Vận tốc của 
 3
An bằng 1,5lần vận tốc của Bình và bằng vận tốc của Cường 
 4
 ( m 1)x y 2
Bài 15: Cho hệ phương trình ( m là tham số và x, y là ẩn số)
 x 2y 2
 Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm ( x, y ) trong đó x, y là 
 các số nguyên.
 3 5
 6
 x y x y
Bài 16: Giải hệ phương trình 
 3 4
 3
 x y x y
B. Lời giải
 ax y b
Bài 1: Cho hệ phương trình: 
 x by a
 Tìm a và b biết hệ phương trình đã cho có nghiệm x; y 2;3 . Lời giải
 Vì hệ phương trình đã cho có nghiệm x; y 2;3 
 Nên ta có: 
 2a 3 b 2a b 3 6a 3b 9 7a 7 a 1
 2 3b a a 3b 2 a 3b 2 2a b 3 b 1
 Vậy a 1 ; b 1
 m 1 x y 2
Bài 2: Cho hệ phương trình: ( m là tham số)
 mx y m 1
 1) Giải hệ phương trình khi m 2
 2) Chứng minh rằng với mọi m, hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất x; y thỏa mãn 
 2x y 3
 Lời giải
 1) Với m 2 , ta có hệ phương trình:
 2 1 x y 2 x y 2 x 1 x 1
 2x y 2 1 2x y 3 x y 2 y 1
 Vậy nghiệm của hệ phương trình cho là: 1;1 
 m 1 x y 2 y 2 m 1 x y 2 m 1 x
 2) 
 mx y m 1 mx 2 m 1 x m 1 mx 2 mx x m 1
 2
 y 2 m 1 x y 2 m 1 x m 1
 2
 x m 1 x m 1 y m 2m 1
 Hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi m
 Ta có: 2x y 3 2 m 1 m2 2m 1 3 m2 4m 4 m 2 2 0
 2x y 3
 ĐPCM
 x 2y 2m 1
Bài 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hệ phương trình có nghiệm 
 4x 2y 5m 1
 nguyên
 Lời giải
 x 2 y 1
 m 
 x 2 y 2m 1 2
 4x 2 y 5m 1 4x 2 y 1
 m 
 5
 x 2 y 1 3x 2 y 1
 2 5
 5(x 2 y 1) 2(4 x 2 y 1) 3x 6y 7 0
 Giả sử hệ phương trình đã cho có nghiệm nguyên x0 ; y0 thì
 3x0 6y0 7 0 6y0 7 3x0 3 73 (vô lí)
 Vậy hệ phương trình không có nghiệm nguyên với mọi m
 x y 3m 2
Bài 4: Cho hệ phương trình: ( m là tham số). Tìm m để hệ đã cho có nghiệm 
 3x 2y 11 m
 x; y thỏa mãn x2 y2 đạt giá trị lớn nhất.
 Lời giải
 x y 3m 2 2x 2 y 6m 4 5x 5m 15 x m 3
 3x 2 y 11 m 3x 2 y 11 m x y 3m 2 y 2m 1
 2
 2 2 2 2 2 49 5 49
 x y m 3 2m 1 3m 10m 8 3 m 
 3 3 3
 5
 Dấu “ = “ xảy ra khi m 
 3
 49 5
 Vậy Max x2 y2 m 
 3 3
 3xy 4(x y)
Bài 5: Giải hệ phương trình: 5yz 6(y z)
 7zx 8(z x)
 Lời giải
Nhận xét: x = y = z = 0 là 1 nghiệm của hệ
 Nếu x 0 thì y và z 0, khi đó chia các vế của từng phương trình cho xy; yz; zx, ta được:
 3 1 1 3 1 1
 4 x y 4 x y
 3xy 4(x y) 
 5 1 1
 5 1 1 
 5yz 6(y z) 6 y z
 6 y z 
 7zx 8(z x) 7 1 1
 7 1 1 
 8 z x
 8 z x 59 1 1 1
 48 x y z
 19 1 48
 x 
 48 x 19
 17 1 48
 y 
 48 y 17
 23 1 48
 z 
 48 z 23 ì
 ï x + (m- 1)y = 2
Bài 6: Cho hệ phương trình EMBED Equation.DSMT4 í 
 ï
 îï (m + 1)x - y = m + 1
 Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x, y) thỏa mãn x + 5y = 0.
 Lời giải
ì ïì y = m + 1 x - m + 1
ï x + (m- 1)y = 2 ï ( ) ( )
í Û íï
ï ï + - é + - + ù= +
îï (m + 1)x - y = m + 1 îï x (m 1)ë(m 1)x (m 1)û m 1
 ïì y = (m + 1)x - (m + 1)
 Û íï
 ï 2 2
 îï m x = m + 1 (*)
Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất Þ m EMBED 
Equation.DSMT4 ¹ 0
 æm2 + 1 m + 1ö
Với m khác 0 hpt có nghiệm duy nhất (x, y) = ç ; ÷
 èç m2 m2 ø÷
 Để x + 5y = 0 thì m2 + 1 + 5(m + 1) = 0 EMBED Equation.DSMT4 Þ m = –2, m = –3
 mx 2y 2
Bài 7: Cho hệ phương trình: (với m là tham số).
 2x my 5
 a) Giải hệ phương trình trên khi m 10.
 b) Tìm m để hệ phương trình đã cho có nghiệm x; y thỏa mãn hệ thức: 
 2015m2 14m 8056
 x y 2014 
 m2 4
 Lời giải
a) (0,5 điểm) Giải hệ phương trình trên khi m 10 .
 10x 2y 2 5x y 1
Thay m 10 ta được hệ: 
 2x 10y 5 2x 10y 5
 50x-10y=10 52x=15
 2x 10y 5 2x 10y 5
 15 15
 x x 
 52 52
 5 2x 23
 y y 
 10 52
 15
 x 
 52
Kết luận: với m 10 thì hệ có nghiệm duy nhất: 
 23
 y 
 52
b) (1,0 điểm) Tìm m để hệ phương trình đã cho có nghiệm x; y thỏa mãn hệ thức: 
 2015m2 14m 8056
 x y 2014 
 m2 4
Dùng phương pháp thế, ta có:
 mx 2
 mx 2y 2 mx 2 y 
 y 2
 2 
 2x my 5 mx 2
 2x my 5 2x m 5
 2 2m 10
 mx 2 x 
 y m2 4
 2 ,m R
 5m 4
 m2 4 x=2m+10 y 
 m2 4
 2m 10
 x 
Nên hệ luôn có nghiệm duy nhất: m2 4
 ,m R
 5m 4
 y 
 m2 4
 2015m2 14m 8056
Thay vào hệ thức: x y 2014 
 m2 4
 2014m2 7m 8050 2015m2 14m 8056
Ta được: 
 m2 4 m2 4
 2014m2 7m 8050 2015m2 14m 8056
 2 m 1
 m 7m 6 0 m 1 m 6 0 . 
 m 6
Kết luận: để hệ phương trình đã cho có nghiệm x; y thỏa mãn hệ thức: 
 2015m2 14m 8056 m 1
 x y 2014 thì 
 2 
 m 4 m 6
 12 7
 19
 x 1 y 3
Bài 8: Giải hệ phương trình: 
 2x 6 3y 14
 18
 x 1 y 3
 Lời giải
 8 5
Điều kiện: x 1; y 3, biến đổi phương trình thứ hai thành: 13
 x 1 y 3
 1 1 12X 7Y 19 X 1
Đặt X ;Y ta có hệ phương trình 
 x 1 y 3 8X 5Y 13 Y 1
 1
 1
 x 1 x 2
Vậy hệ có 1 nghiệm 2; 2 
 1 y 2
 1 
 y 3
Bài 9: An khởi hành từ Sài Gòn đi Biên Hòa.Sau đó 5 phút, Bình và Cường khởi hành từ Biên Hòa 
về Sài Gòn.Trên đường đi, An gặp Cường ở địa điểm C rồi gặp bình ở địa điểm D .Tính vận tốc 
của mỗi người, biết rằng quãng đường Sài Gòn –Biên Hòa dài 39 km CD 6 km ; Vận tốc của An 
 3
bằng 1,5lần vận tốc của Bình và bằng vận tốc của Cường
 4
 Lời giải
Gọi x, y, z là vận tốc của An, Bình, Cường
 2 4
Suy ra y x và z x
 3 3
Gọi S là quãng đường mà An đi được cho tới khi gặp cường.Kết hợp với CD 6 km suy ra quãng 
đường mà An đã đi được cho tới khi gặp Bình là 39 S 6 33 S Theo đề bài ta có hệ phương 
trình S 39 S 1
 x 4 12
 x
 3
 Giải hệ này cho ta x 48 vậy vận tốc của An là 48km / h vận tốc của Bình là 
 S 6 33 S 1
 2
 x x 12
 3
 32km / h vận tốc của Cường là 64km / h
Bài 10: Quãng đường từ A đến B gồm đoạn lên dốc AC , đoạn nằm ngang CD , đoạn xuống dốc 
 DB, tổng cộng dài 30km . Một người đi từ A đến B rồi đi từ B về A hết tất cả 4 giờ 25 phút.
Tính quãng đường nằm ngang, biết rằng vận tốc lên dốc (cả đi lẫn về) là 10km / h ; vận tốc xuống 
dốc (cả đi lẫn về) là 20km / h ; vận tốc trên đoạn đường nằm ngang 15km / h .
 Lời giải
 C s2 D
 s3
 s1
 A B
 AB=30 km
Gọi AC s1;CD s2 ; BD s3s1 0;s2 0;s3 0
Ta có: s1 s2 s3 30 km .
Gọi vận tốc lên, vận tốc ngang, xuống lần lượt là v1;v2 ;v3 .
 53
Thời gian đi và về là: 4h 25 h .
 12
 s s s s s s 53
Theo đề bài, ta có phương trinh: 1 2 3 1 2 3 
 v1 v2 v3 v3 v2 v1 12
 1 1 1 1 2s2 53
 s1 s3 
 v1 v3 v1 v3 v2 12
 1 1 1 1 2s2 53
 s1 s3 
 10 20 20 10 15 12
 1 1 2s2 53
 s1 s3 
 10 20 15 12
 3 2s 53
 30 s 2 
 20 2 15 12
 s2 5 km 
Vậy quãng đường ngang CD là 5 km .
Bài 11: An khởi hành từ Sài Gòn đi Biên Hòa .Sau đó 5 phút , Bình và Cường khởi hành từ Biên 
Hòa về Sài Gòn .Trên đường đi , An gặp Cường ở địa điểm C rồi gặp bình ở địa điểm D .Tính vận 
tốc của mỗi người , biết rằng quãng đường Sài Gòn –Biên Hòa dài 39 km CD 6 km ; Vận tốc của 
 3
An bằng 1,5lần vận tốc của Bình và bằng vận tốc của Cường 
 4 Lời giải 
Gọi x, y, z là vận tốc của An , Bình , Cường 
 2 4
Suy ra y x và z x
 3 3
Gọi S là quãng đường mà An đi được cho tới khi gặp cường .Kết hợp với CD 6 km suy ra quãng 
đường mà An đã đi được cho tới khi gặp Bình là 39 S 6 33 S Theo đề bài ta có hệ phương 
trình 
 S 39 S 1
 x 4 12
 x
 3
 Giải hệ này cho ta x 48 vậy vận tốc của An là 48km / h vận tốc của Bình 
 S 6 33 S 1
 2
 x x 12
 3
là 32km / h vận tốc của Cường là 64km / h
 12 7
 19
 x 1 y 3
Bài 12: Giải hệ phương trình: 
 2x 6 3y 14
 18
 x 1 y 3
 Lời giải 
 8 5
 Điều kiện: x 1; y 3, biến đổi phương trình thứ hai thành: 13
 x 1 y 3
 1 1 12X 7Y 19 X 1
 Đặt X ;Y ta có hệ phương trình 
 x 1 y 3 8X 5Y 13 Y 1
 1
 1
 x 1 x 2
 Vậy hệ có 1 nghiệm 2; 2 
 1 y 2
 1 
 y 3
Bài 13: 
Điểm số trung bình của một vận động viên bắn súng sau 100 lần bắn là 8,35 điểm. Kết quả cụ thể 
được ghi trong bằng sau, trong đó có ba ô bị mờ ở chữ số hàng đơn vị không đọc được (tại vị trí 
đánh dấu *).
 Điểm số của mỗi lần bắn 10 9 8 7 6 5
 Số lần bắn 2* 40 1* 1* 9 7
Em hãy tìm lại các chữ số hàng đơn vị trong ba ô đó.
 Lời giải
Tổng các số tại các ô bị mờ số là 100 40 9 7 44
Tổng số điểm trong 100 lần bắn là 8,35.100 835
Tổng số điểm tại các vị trí ô không bị mất số là 9.40 6.9 5.3 449
Suy ra tổng số điểm bắn được tại vị trí các ô bị mất là 835 449 386 , đây là số chẵn
Suy ra tại ô 7 điểm số lần bắn chỉ có thể là số chẵn, vì vậy chỉ có 3 khả năng là 10, 12, 14.
Gọi x, y lần lượt là số lần bắn được 10 điểm và 8 điểm
Điều kiện: x, y N;20 x 30;10 x 20
Trường hợp 1: Ô 7 điểm nhận giá trị 10, khi đó theo đề bài ta có hệ phương trình.
 x y 34 x y 34 x 22
 thỏa điều kiện
 449 10x 8y 70 835 10x 8y 316 y 12 Trường hợp 2: Ô 7 điểm nhận giá trị 12, khi đó theo đề bài ta có hệ phương trình
 x y 32 x y 32 x 23
 loại
 449 10x 8y 84 835 10x 8y 316 y 9
Trường hợp 3: Ô 7 điểm nhận giá trị 14, khi đó x = 20 và y = 10 suy ra
Tổng số điểm bắn được là:
 20.10 9.40 8.10 7.14 6.9 5.7 827 không phù hợp 
Vậy chữ số hàng đơn vị tại các ô 10 điểm, 8 điểm, 7 điểm lần lượt là 2, 2, 0
Bài 14: An khởi hành từ Sài Gòn đi Biên Hòa .Sau đó 5 phút , Bình và Cường khởi hành từ Biên 
Hòa về Sài Gòn .Trên đường đi , An gặp Cường ở địa điểm C rồi gặp bình ở địa điểm D .Tính vận 
tốc của mỗi người , biết rằng quãng đường Sài Gòn –Biên Hòa dài 39 km CD 6 km ; Vận tốc của 
 3
An bằng 1,5lần vận tốc của Bình và bằng vận tốc của Cường 
 4
 Lời giải 
Gọi x, y, z là vận tốc của An , Bình , Cường 
 2 4
Suy ra y x và z x
 3 3
Gọi S là quãng đường mà An đi được cho tới khi gặp cường .Kết hợp với CD 6 km suy ra quãng 
đường mà An đã đi được cho tới khi gặp Bình là 39 S 6 33 S Theo đề bài ta có hệ phương 
trình 
 S 39 S 1
 x 4 12
 x
 3
 Giải hệ này cho ta x 48 vậy vận tốc của An là 48km / h vận tốc của Bình 
 S 6 33 S 1
 2
 x x 12
 3
là 32km / h vận tốc của Cường là 64km / h
 ( m 1)x y 2
Bài 15: Cho hệ phương trình ( m là tham số và x, y là ẩn số)
 x 2y 2
 Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm ( x, y ) trong đó x, y 
 là các số nguyên.
 Lời giải
 Từ phương trình thứ hai ta có: x 2 2y thế vào phương trình thứ nhất được:
 ( m 1)( 2 2y ) y 2
 ( 2m 3 )y 2m 4 (3)
 Hệ có nghiệm x, y là các số nguyên ( 3 ) có nghiệm y là số nguyên.
 2m 4 1
 Với m ¢ 2m 3 0 ( 3 ) có nghiệm y 1 
 2m 3 2m 3
 2m 3 1 m 2
 y ¢ . Vậy có 2 giá trị m thoả mãn là 1; 2.
 2m 3 1 m 1
 3 5
 6
 x y x y
Bài 16: Giải hệ phương trình 
 3 4
 3
 x y x y Lời giải
Điều kiện x 0; x y 
 1 1
Đặt a ;b 
 x y x y
 1
 3a 5b 6 a x y 3 x 4
Hệ trở thành 3 (thỏa điều kiện)
 3a 4b 3 x y 1 y 1
 b 1 
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là (x;y) = (4;1).
2. Hệ phương trình bậc hai hai ẩn:
2.1. Hệ đối xứng
A. Bài toán
 x y 4
Bài 1: Giải hệ phương trình 3 3 2 2
 x y 4x 4 y 12
 x2 y2 3 xy
Bài 2: Giải hệ phương trình: 
 4 4
 x y 2
 x2 y 2 2x 2 y x 2 y 2 
 2 2
Bài 3: Giải hệ PT: x y 
 1
 y 2 x 2 
 x3 2x y
Bài 4: Giải hệ phương trình: 
 3
 y 2y x
 x3 2x y
Bài 5: Giải hệ phương trình: 
 3
 y 2y x
 2
 x x 1 2y 1 (1)
Bài 6: Giải hệ phương trình .
 2
 y y 1 2x 1 (2)
 2x+y = x2
Bài 7: Giải hệ phương trình: 
 2
 2y+x = y
 x2 y2 x y 18
Bài 8: Giải hệ phương trình sau: 
 2 2 2 2
 x y x y xy xy 72
 3
 x 2x y
Bài 9: Giải hệ phương trình .
 3
 y 2y x
 2x+y = x2
Bài 10: Giải hệ phương trình: 
 2
 2y+x = y