Các dạng bài tập thi HSG Toán Lớp 9 - Dạng 6: Bất đẳng thức, cực trị đại số

 CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9
 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
Dạng 6: Bất đẳng thức, cực trị đại số
A. Bài toỏn (giữ nguyờn màu)
 1 1 1
Bài 1: Cho a,b,c là cỏc số thực dương thoả món điều kiện 2 . Chứng minh rằng: 
 a b c
 1 1 1 2
 .
 5a2 2ab 2b2 5b2 2bc 2c2 5c2 2ca 2a2 3
Bài 2: Cho x , y , z , t là cỏc số thực dương. Chứng minh rằng: 
 x y z t
 2 .
 y z z t t x x y
Bài 3: Cho a, b, c > 0 thỏa món a + b + c 3. Chứng minh rằng
 1 362
 121.
 a2 b2 c2 ab bc ca
Bài 4: Cho x, y, z là 3 số thực dương thỏa món x x z y y z 0 . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của 
 x3 y3 x2 y2 4
biểu thức P .
 x2 z2 y2 z2 x y
Bài 5: 
a) Cho a, b, c là cỏc số thực bất kỳ và x, y, z là cỏc số thực dương. Chứng minh:
 a2 b2 c2 (a b c)2
 x y z x y z
 a3 8 b3 8 c3 8
b)Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P = , với a, b, c là cỏc số 
 a3 (b c) b3 (c a) c3 (a b)
thực dương thỏa món abc = 1.
 x 6 x 9 x 6 x 9
Bài 6: Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A , với x 9 .
 81 18
 1
 x2 x
Bài 7: Cho cỏc số thực dương a,b,c thỏa món abc a b c 2. Tỡm giỏ trị lớn nhất của 
 1 1 1
biểu thức P .
 a2 b2 b2 c2 c2 a2
Bài 8:Cho cỏc số dương a, b, c thỏa món a b c 4 . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:
 a a b b c c
 P .
 a 3 b b 3 c c 3 a
Bài 9: Cho ba số dương x, y, z thỏa món xyz 2. Chứng minh
 x 2y 4z 1
 .
 2x2 y2 5 6y2 z2 6 3z2 4x2 16 2 Bài 10:
 Cho cỏc thực khụng õm a, b, c thỏa món a + b + c = 3.
 Tỡm minS = (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) 
Bài 11: Giả sử ba số thực a,b,c thỏa món điều kiện a 0 ,b 3a2 , a b c abc . Chứng 
 1 2 3
 minh rằng: a .
 3
Bài 12: Cho cỏc số thực a,b,c thỏa món a4 b4 b4 c4 c4 a4 8 . Chứng minh rằng
 a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ca a2 1 .
Bài 13: Cho cỏc số dương x , y , z thỏa món: x2 y2 y2 z2 z2 x2 2014 . Tỡm giỏ trị 
 x2 y2 z2
 nhỏ nhất của biểu thức T .
 y z z x x y
Bài 14: Với x , y là cỏc số thực thay đổi thỏa món 1 y 2 và xy 2 2 y . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất 
 x2 4
 của biểu thức: M 
 y2 1
Bài 15: Cho x , y , z là cỏc số thực dương thỏa món xy yz xz 1 . Chứng minh rằng:
 3
 1 1 1 2 x y z 
 2 2 2 2 2 2 
 1 x 1 y 1 z 3 1 x 1 y 1 z 
Bài 16: Với x, y là cỏc số thực dương thay đổi thỏa món điều kiện 4x2 4y2 17xy 5x 5y 1.
 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P 17x2 17y2 16xy .
Bài 17: Cho a , b , c là ba số thực thỏa điều kiện a b c 10 . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của 
 M a2 b2 c2 .
 xyz x y z x2 y2 z2 
Bài 18: Cho ba số thực x , y , z . Tỡm giỏ trị lớn nhất biểu thức S .
 x2 y2 z2 xy yz zx 
Bài 19: Cho ba số thực dương x , y , z thỏa món: x y z 3. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:
 x y z
 S 
 1 y2 1 z2 1 x2
 2 1
Bài 20: Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của hàm số: y với 0 x 1.
 1 x x
 1 1 1
Bài 21: Cho a , b , c là cỏc số dương thỏa món điều kiện 3. Chứng minh rằng:
 a b c
 a b c 1
 ab bc ca 3
 1 b2 1 c2 1 a2 2
Bài 22: Cho ba số dương x , y , z thỏa món điều kiện x y z 1. Chứng minh rằng
 350 386
 2015
 xy yz zx x2 y2 z2 2 3 4 2014 2015
Bài 23: Chứng minh rằng: 1 .... 4
 2 22 23 22013 22014
Bài 24: Cho x , y là hai số dương thay đổi. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:
 x y 2 x y 2
 S 
 x2 y2 xy
Bài 25: Cho a , b là cỏc số dương thỏa món điều kiện (a b)3 4ab 12. Chứng minh bất đẳng 
 1 1
 thức: 2015ab 2016.
 1 a 1 b
 1 1 1
Bài 26: Cho 3 số thực dương x , y , z thỏa món: 1. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu 
 x2 y2 z2
 y2 z2 z2 x2 x2 y2
 thức: P 
 x y2 z2 y z2 x2 z x2 y2 
 a b 4a
Bài 27: Cho a,b,c là cỏc số thực dương, chứng minh rằng .
 b c a c
Bài 28: Cho cỏc số thực dương a , b , c thỏa món ab bc ca 1. Chứng minh rằng: 
 a b2 1 b c2 1 c a2 1 2 . Dấu “=” xảy ra khi nào?
Bài 29: Cho ba số a,b,c 1 thỏa món 32abc 18(a b c) 27. Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức 
 a2 1 b2 1 c2 1
 P 
 a b c
 x2 y2 z2
Bài 30: Tỡm GTNN của A biết x, y, z > 0 , xy yz zx 1 .
 x y y z z x
 1 1 1 
Bài 31: a) Cho ba số dương a, b, c . Chứng minh rằng a b c 9
 a b c 
 b) Cho 3 số dương x, y, z thỏa điều kiện x y z 1. Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức 
 x y z
 P 
 x 1 y 1 z 1
Bài 32: So sỏnh 2 số: 2011 2010 và 2010 2009
Bài 33: Chứng minh bất đẳng thức: ab c a c c b c (với a > c, b > c, c > 0)
Bài 34: Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh rằng: 
 a b c
 2
 b c c a a b
Bài 35: Cho x, y, z là ba số dương thỏa món x y z 3. Chứng minh rằng:
 x y z
 1
 x 3x yz y 3y zx z 3z xy
 x;y R
 x y 2 2
Bài 36: Cho x; y thỏa món 1 . Chứng minh rằng: .
 0 x;y 1 y 1 x 3
 2
Bài 37: a) Cho bốn số thực bất kỡ a,b,c,d . Chứng minh: ab cd a2 c2 b2 d 2 
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ? b) Với giỏ trị nào của gúc nhọn thỡ biểu thức P 3sin 3 cos cú giỏ trị lớn nhất? 
Cho biết giỏ trị lớn nhất đú.
Bài 38: Cho cỏc số thực dương x, y, z thỏa món xy + yz + zx = 2xyz. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu 
 x y z
thức: P 
 z(z x) x(x y) y(y z)
 1 1 1
Bài 39: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Chứng minh rằng a5 + b5 + c5 + 6 .
 a b c
Bài 40: Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giỏc cú ba gúc nhọn. Chứng minh rằng với mọi số 
 x2 y2 z2 2x2 2y2 2z2
thực x, y, z ta luụn cú: 
 a 2 b2 c2 a 2 b2 c2
Bài 41: Cho biểu thức B = x 2 4 x .Tỡm giỏ trị lớn nhất của B và giỏ trị x tương ứng.
Bài 42: Cho x, y là 2 số dương thỏa món x + y = 1, tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức 
P = (1 - 1 )(1 - 1 ) .
 x2 y2
Bài 43: Cho ba số thực a, b, c > 0 thoả món a + b + c = 2013.
 a b c
 Chứng minh + + 1.
 a + 2013a + bc b + 2013b + ca c + 2013c + ab
 Dấu đẳng thức sảy ra khi nào?
Bài 44: Cho a, b, c là cỏc số thực dương thỏa món EMBED Equation.DSMT4 
 2ab 6bc 2ac 7abc . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức 
 EMBED 
 4ab 9ac 4bc
 C .
Equation.DSMT4 a 2b a 4c b c
Bài 45: Cho cỏc số thực dương x,y,z thỏa món x+y+z=3
Chứng minh rằng 
 EMBED Equation.DSMT4 
 2x2 y2 z2 2y2 x2 z2 2z2 y2 x2
 4xyz
 4 yz 4 xz 4 yx
Bài 46: Cho x, y là cỏc số thực dương thoả món x + y = 1. 
 1 1
 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức B 3 3 
 EMBED Equation.DSMT4 x y xy
.
Bài 47: Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 EMBED Equation.DSMT4 
 x y xy
 M .
 y x x2 y2
 5
Vậy giỏ trị nhỏ nhất của M bằng khi và chỉ khi x y .
 EMBED Equation.DSMT4 2 x;y R
Bài 48:Cho x; y thỏa món 1 . Chứng minh 
 0 x;y 
 EMBED Equation.DSMT4 2
 x y 2 2
rằng: .
 EMBED Equation.DSMT4 1 y 1 x 3
 2 2
Bài 49:Cho x, y là 2 số thực thoả món: x + 2y + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0.
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất và giỏ trị lớn nhất của biểu thức: A = x + y + 1.
Bài 50: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 
 a b c a b c
 EMBED Equation.DSMT4 
 a b b c c a b c c a a b
 4x+3
Bài 51:Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: A 
 x2 1
Bài 52:Cho a, b, c > 0 thỏa món a + b + c = 3. Chứng minh rằng: EMBED Equation.DSMT4 
 a 1 b 1 c 1
 3 
 b2 1 c2 1 a2 1
 2016x2 2x 2016
Bài 53: Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức: Q 
 x2 1
 a b c
Bài 54: Cho cỏc số dương a, b, c. Chứng minh rằng : 1 2 
 a b b c c a
 3 4 x
Bài 55: Tỡm GTNN của biểu thức: A 
 x 1
Bài 56: Cho x, y, z là cỏc số khụng õm và x + y + z = 1. 
Chứng minh rằng: x + y + y + z + z + x 6
Bài 57: Cho tam giỏc ABC cú chu vi 2p = a + b + c (a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giỏc).
Bài 58: Cho cỏc số thực dương EMBED Equation.DSMT4 a,b,c. Chứng minh rằng
 EMBED Equation.DSMT4 
 8 8 8 8 8 8
 + + + a2 + b2 + c2 ³ + +
 (a + b)2 + 4abc (b + c)2 + 4abc (a + c)2 + 4abc a + 3 b + 3 c + 3
. 
 a b c
Bài 59: Cho a,b,c 0 . Chứng minh rằng 2
 b c c a a b
Bài 60: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa ab bc ca 3abc. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu 
 a3 b3 c3
thức A .
 c a2 a b2 b c2 Bài 61: Cho a, b, c là cỏc số thực thỏa món a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh rằng abc + 2(1 + a + b + c 
+ ab + ac + bc) ≥ 0.
 1 1
Bài 62: Chứng minh rằng với mọi x > 1 ta luụn cú. 3(x2 - ) < 2(x3 - )
 x 2 x 3
 9
Bài 63: Với a, b là cỏc số thực thỏa món đẳng thức (1 + a)(1 + b) = .
 4
Hóy tỡm GTNN của P = 1 a 4 + 1 b 4
Bài 64: Cho a, b ,c là ba số thực dương, tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:
 a3 b3 c3 a 2 b2 b2 c2 c2 a 2
 P .
 2abc c2 ab a 2 bc b2 ca
Bài 65: Cho ba số thực khụng õm x,y,z thỏa món x+y+z=3.Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức 
 2 2 2 2 2 2
A= 2x 3xy 2y 2y 3yz 2z 2z 3zx 2x
Bài 66: Cho các số thực dơng a, b, c thoả mãn a + b + c =6. Chứng minh rằng:
 b c 5 c a 4 a b 3
 6 . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào
 1 a 2 b 3 c
Bài 67: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa món ab ac bc 3. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu 
 19a 3 19b 3 19c 3
thức T .
 1 b2 1 c2 1 a2
Bài 68: Cho ba số thực dương a,b,c thỏa món a b c 1. Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức: 
 a b c
 P 
 9a3 3b2 c 9b3 3c2 a 9c3 3a2 b
Bài 69: Cho x, y, z là cỏc số thực dương thỏa món x y z xyz . Chứng minh rằng: 
 1 1 x2 1 1 y2 1 1 z2
 xyz 
 x y z
Bài 70: Chứng minh với mọi số nguyờn dương n lớn hơn 1 ta cú 2 3 4... n 1 n 3 .
 1 1 1
Bài 71: Cho ba số khụng õm x,y,z thỏa món 2.
 1 2x 1 2y 1 2z
 1
Chứng minh rằng xyz .
 64
 a b c
Bài 72: Chứng minh 2 , với a, b, c>0
 b c a c b a
Bài 73: Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: 3y2+x2+2xy+2x+6y+2017
Bài 74: Cho a, b, c là 3 cạnh một tam giỏc. Chứng minh: 
 1 1 1 1 1 1
 a b c b c a c a b a b c
 a4 b4
Bài 75: Chứng minh rằng ab3 a3b a2b2
 2
Bài 76: 
a/ Cho hai số dương x, y thoả món x + y = 1. 2 1 2 1 
 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: M x 2 y 2 
 y x 
 1 1 1
 b/ Cho x, y, z là cỏc số dương thoả món 6 .
 x y y z z x
 1 1 1 3
 Chứng minh rằng: .
 3x 3y 2z 3x 2y 3z 2x 3y 3z 2
 Bài 77: Cho tam giỏc ABC cú chu vi bằng 2. Ký hiệu a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giỏc . Tỡm 
 a 9b 16c
 giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức S 
 b c a c a b a b c
 Bài 78: Cho ba số dương a,b và c thoả món abc 1. Chứng minh rằng: 
 1 1 1 1
 . 
 a2 2b2 3 b2 2c2 3 c2 2a2 3 2
 Bài 79: 
 a b
 1.Cho a, b > 0. Chứng minh rằng: ab
 2
 2. Chia 10 số: 2; 3; 4; 5; 7; 8; 9; 10; 12; 14 làm thành hai nhúm rồi lấy tớch cỏc số trong mỗi nhúm. 
 Gọi M là tổng của hai tớch số đú. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của M và chỉ ra ớt nhất 4 cỏch chia sao cho M 
 nhỏ nhất.
Bài 80: Cỏc số thực dương x, y, z thoả món điều kiện: x + y +z = 1.
 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:
 x4 y4 z4
 F 
 (x2 y2 )(x y) (y2 z2 )(y z) (z2 x2 )(z x)
 ùỡ a ạ 0
 ù
Bài 81: Cho cỏc số thực a, b, c thỏa món điều kiện: EMBED Equation.DSMT4 ớ 2b c . 
 ù ³ + 4
 ợù a a
 Chứng minh rằng phương trỡnh ax2 + bx + c = 0 cú nghiệm.
Bài 82:
 Cho x, y, z > 0 thoả món x + y + z = 2
 x2 y2 z2
 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P = 
 EMBED Unknown y z z x x y
 Bài 83: (2,5 điểm)
 1) Cho x , y , z là cỏc số thực khụng õm thỏa món x y z 3 và xy yz zx 0 . 
 Chứng minh rằng 
 x 1 y 1 z 1 25
 .
 y 1 z 1 x 1 33 4xy yz zx
 Bài 84:
 1) Cho ba số a,b,c khụng õm thỏa món điều kiện: a2 b2 c2 2 ab bc ca và 
 p,q,r là ba số thỏa món: p q r 0. Chứng minh rằng: apq bqr crp 0 .
 2) Cho cỏc số dương a,b thỏa món a.b 1. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: 4
 M a b 1 a2 b2 
 a b
 1) Cho ba số a,b,c khụng õm thỏa món điều kiện: a2 b2 c2 2 ab bc ca và 
 p,q,r là ba số thỏa món: p q r 0. Chứng minh rằng: apq bqr crp 0 .
 2) Cho cỏc số dương a,b thỏa món a.b 1. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:
 4
 M a b 1 a2 b2 
 a b
Bài 85: 
 a) Chứng minh với mọi số a,b,c,d ta luụn cú: (a2 c2 )(b2 d 2 ) (ab cd)2
 a2 b2 1
 b) Cho a,b 0 chứng minh rằng: 
 (4a 3b)(3a 4b) 25
Bài 86: ( 2 điểm)
 Với x, y là hai số thực thỏa món y3 3y2 5y 3 11 9 x2 9x4 x6 . Tỡm giỏ trị 
 lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức T x y 2018.
Bài 87: Cho a, b, c là ba số khụng õm cú tổng bằng 1. Chứng minh:
 a) 3 ab bc ac 1
 b) a2 b2 c2 4 ab bc ac 1
Bài 88: 
Cho x ,y,z 0 thỏa món x y z 3. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức
 x y z
 P 
 y 3 16 z 3 16 x 3 16
Bài 89: Cho a,b,c 0 . Chỳng minh rằng:
 b2 c2 c2 a2 a2 b2
 2 a b c .
 a b c
Bài 90: Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giỏc cú chu vi bằng 3 thỡ 
 3a2 3b2 3c2 4abc 13 .
Bài 91: Cho cỏc số thực dương a, b, c, d thoả món a 1, b 1, c 1, d 1. Chứng minh bất 
 a2 b2 c2 d 2
đẳng thức 16 . 
 b 1 c 1 d 1 a 1
Bài 92: Cho cỏc số thực dương a, b, c thỏa món a c b c 4c2 . Tỡm giỏ trị lớn nhất, 
 a b ab
nhỏ nhất của biểu thức P .
 b 3c a 3c bc ca
Bài 93: Cho a,b,c là cỏc số thực khụng õm thỏa món a b c 3 
Chứng minh rằng a b3 1 b c3 1 c a3 1 5 
Bài 94: a) Cho x, y,z là cỏc số thực dương nhỏ hơn 4. Chứng minh rằng trong cỏc số 
 1 1 1 1 1 1
 , , luụn tồn tại ớt nhất một số lơn hơn hoặc bằng 1.
 x 4 y y 4 z z 4 x
b) Với cỏc số thực dương a,b,c thay đổi thỏa món điều kiện a2 b2 c2 2abc 1, tỡm giỏ trị lớn 
nhất của biểu thức P ab bc ca abc.
Bài 95: 
Cho a,b,c là cỏc số thực sao cho a b c 2 và ab 2c2 3c 1.Tỡm giỏ trị lớn nhất của 
biểu thức P a2 b2
 3x 4
Bài 96: Tỡm giỏ trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức B .
 x2 1
Bài 97: Cho a,b,c là cỏc số thực dương thỏa món abc 1. 
 a b c 3
Chứng minh .
 a 1 b 1 b 1 c 1 c 1 a 1 4
Bài 98: Chứng minh bất đẳng thức:
 2
 a2 b2 c2 a b c 
 (*) với a, b, c Ă và x, y, z 0 .
 x y z x y z
 Cho ba số dương x, y, z thoả món điều kiện: xy yz zx 673.
 x y z 1
Bài 99: Chứng minh rằng: 
 x2 yz 2019 y2 zx 2019 z2 xy 2019 x y z
Bài 100: Cho a,b,c là cỏc số thực dương. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 4 4 4
 a b c 
 P .
 a b b c c a 
Bài 101: Cho ba số thực dương x, y,z thỏa món x + y +z +2 = xyz . Chứng minh rằng 
 x + y +z +6 ³ 2( yz + zx + xy) .
Bài 102: Cho x, y, z là cỏc số thực dương thỏa món x y z 1 0. Tỡm giỏ trị lớn nhất 
 x3 y3
của biểu thức : P 
 x yz y xz z xy 2
Bài 103: Cho EMBED Equation.DSMT4 a 0 , EMBED Equation.DSMT4 b 0 . Chứng minh 
 a b 
 a 1 b 1 . Dấu “ EMBED Equation.DSMT4 ” xảy 
 b a 
EMBED Equation.DSMT4 
ra khi nào?
Bài 104: Cho x; y; z là cỏc số thực dương thoả món: xyz = 1
 1 1 1
 Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức: A 
 x3 y3 1 y3 z3 1 z3 x3 1
Bài 105: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giỏc. Chứng minh rằng:
 a b c
 a) 2
 b c c a a b 1 1 1
 b) ; ; là độ dài 3 cạnh của một tam giỏc.
 a b b c c a
 1 1 4
Bài 106: Chứng minh rằng: với mọi số thực x, y dương, ta luụn cú: 
 x y x y
Bài 107: Cho x, y, z là ba số dương. Chứng minh rằng:
 1 1 1 1 1 1 1 
 2 2 2 
 x yz y xz z xy 2 xy yz zx 
Bài 108: Cho x, y, z là cỏc số thực dương thỏa món x z. Chứng minh rằng
 xz y2 x 2z 5
 .
 y2 yz xz yz x z 2
Bài 109: Cho a,b,c là cỏc số thực thỏa món a2 b2 c2 12 . Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu 
thức S 4 a3 b3 c3 a4 b4 c4 
Bài 110: Cho a , b , c là ba số thực dương thỏa món a b c 3. Chứng minh rằng:
 1 1 1
 a2 b2 c2 . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
 a2 b2 c2
Bài 111: Cho cỏc số thực dương a,b,c thỏa món ab bc ca 28 . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của 
 5a 5b 2c
biểu thức: P .
 12 a2 28 12 b2 28 c2 28
Bài 112: Cho x , y , z là cỏc số thực khụng õm thỏa món x y z 3 và xy yz zx 0 . 
 x 1 y 1 z 1 25
Chứng minh rằng : .
 y 1 z 1 x 1 33 4xy yz zx
 a 2 b 2
Bài 113: Cho a b và ab = 6. Chứng minh: 4 3
 a b
 x2 x x2 x
Bài 114: Cho A 
 x x 1 x x 1
 Đặt B = A + x – 1. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức B
 a b c
Bài 115: Cho a,b,c 0 . Chứng minh rằng 2 .
 b c c a a b
Bài 116: Cho x, y, z 1. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 x y z
T 
 3 x 2y 1 4 3 y 2z 1 4 3 z 2x 1 4
Bài 117:
 Cho cỏc số dương x, y,z thỏa món điều kiện xy yz zx 670. Chứng minh rằng:
 x y z 1
 x2 yz 2010 y2 zx 2010 z2 xy 2010 x y z
Bài 118: Cho a, b, c>0 thỏa món abc=1 . 
 1 1 1 3
Chứng minh 
 ab a 2 bc b 2 ca c 2 2
 2 2
Bài 119: Cho x, y là 2 số thực thoả món: x + 2y + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0.
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất và giỏ trị lớn nhất của biểu thức: A = x + y + 1.
Bài 120: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: