Chuyên đề bồi dưỡng Hình học Lớp 9 - Chuyên đề 1: Tam giác – tứ giác – đa giác (Có đáp án)

 Chuyờn đề 1
TAM GIÁC – TỨ GIÁC – ĐA GIÁC
 TỔNG QUAN VỀ CHUYấN ĐỀ
 Cỏc hỡnh tam giỏc, tứ giỏc được biết đến từ cỏc lớp dưới. Với những kiến thức hỡnh học của lớp 7, 
lớp 8, chỳng ta sẽ phỏt hiện ra rất nhiều tớnh chất thỳ vị về độ dài, về gúc, về tớnh song song, vuụng gúc, 
thẳng hàng, từ những hỡnh tưởng như đơn giản. 
 Cỏc bài toỏn trong chuyờn đề này gồm đủ cỏc dạng như: tớnh toỏn, chứng minh, dựng hỡnh, tỡm giỏ 
trị nhỏ nhất, giỏ trị lớn nhất. Chỳng thường đũi hỏi phải vẽ thờm đường phụ, điều đú sẽ mang đến cho 
chỳng ta nhiều cảm hứng và lợi ớch trong giải toỏn. 
 Bài toỏn vui
 Ở CỬA HÀNG ĐỒ DA
 Do cú ớt khỏch hàng, một ụng chủ cửa hàng đồ da đó nghĩ ra 
một cỏch quảng cỏo khộo lộo. ễng treo hai miếng da trước cửa hàng 
(h.1) trong đú miếng da bờn trỏi cú hỡnh tam giỏc (h.1a), miếng da bờn 
phải hỡnh trũn cú một lỗ hổng mà nếu đặt ngược tấm da bờn trỏi xếp 
vào lỗ hổng thỡ vừa khớt (h.1b). 
 Bờn cạnh hai tấm da, ụng chủ cửa hàng đặt một tấm bảng ghi 
dũng chữ: “Quý khỏch nào cắt được miếng da bờn trỏi thành ba mảnh a)
 Hỡnh 1 b)
rồi ghộp kớn lỗ hổng của tấm da bờn phải (mà khụng phải lật ngược) 
thỡ khi mua bất cửa thứ hàng nào của cửa hàng cũng chỉ phải trả nửa tiền”. 
 Ngay lập tức, cú nhiều khỏch hàng đến cửa hàng và đó cú người làm được. Cũn bạn, bạn hóy đưa ra 
cỏch làm của mỡnh. 
 Theo Xem Lụi-dơ (Sam Loyd, Mỹ). 
 Giải
 Cỏc tam giỏc ABC và A' B 'C ' tuy bằng nhau nhưng nếu muốn đặt trựng khớt nhau thỡ ABC phải 
lật lại (đưa mặt trờn xuống dưới, đưa mặt dưới lờn trờn). 
 A A'
 D E' 3'
 3 E D'
 1 2 2' 1'
 C'
 B C B'
 H a) b) H'
 Hỡnh 2
 Nhưng nếu hai hỡnh bằng nhau là tam giỏc cõn (tổng quỏt, hỡnh cú trục đối xứng) thỡ khụng cần lật 
lại một hỡnh vẫn được trựng khớp với hỡnh kia. 
 Do đú, ta làm như sau: Ở miếng da hỡnh tam giỏc (h.2a), gọi H là hỡnh chiếu của A trờn BC , gọi 
D và E theo thứ tự là trung điểm của AB và AC . Cắt miếng da đú theo HD và HE , miếng da được chia thành ba mảnh: mảnh 1 là tam giỏc cõn DBH , mảnh 2 là tam giỏc cõn EHC , mảnh 3 là tứ giỏc ADHE 
(gồm hai tam giỏc cõn là ADH và AEH ). Khụng cần lật lại, ta ghộp được:
 - Mảnh 1 trựng khớt phần 1’ ( D trựng D ', B trựng H ' , H trựng B ' ). 
 - Mảnh 2 trựng khớt phần 2’ ( E trựng E ', H trựng C ', C trựng H ' ). 
 - Mảnh 3 trựng khớt phần 3’ ( A trựng H ' , D trựng D ', H trựng A' , E trựng E '). 
I. TAM GIÁC
 Vớ dụ 1. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A , Bà 600 , điểm M A
thuộc cạnh BC cựng với điểm A chia chu vi tam giỏc ABC thành hai 
phần bằng nhau (tức là AB BM AC CM ). Tớnh gúc AMB . 
Giải: (h.3) 
 à 0 ã à 0 C
 Kẻ AH  BC . Đặt BH 1. Do B 60 nờn BAH C 30 . B H M
 0
Áp dụng bổ đề: Trong tam giỏc vuụng cú gúc nhọn 30 , cạnh đối diện Hỡnh 3
với gúc đú bằng nửa cạnh huyền vào cỏc tam giỏc vuụng ABH , 
ABC , AHC ta được AB 2BH 2 , BC 2AB 4 , AC 2AH . 
 Áp dụng định lớ Py – ta – go vào AHB , ta cú AH 2 AB2 BH 2 22 1 3
 AH 3 AC 2AH 2 3 .
Chu vi ABC bằng AB BC CA 2 4 2 3 6 2 3
 AB BM 6 2 3 : 2 3 3
 BM 3 3 AB 3 3 2 1 3
 HM BM BH 1 3 1 3 AH . 
 Tam giỏc AHM vuụng cõn nờn ãAMH 450 , tức là ãAMB 450 . 
II. TỨ GIÁC
 Cỏc tứ giỏc được nghiờn cứu trong chuyờn đề này là cỏc tứ giỏc lồi, chỳng cú tớnh chất: tổng cỏc 
gúc trong bằng 3600 . 
 Cần nắm vững định nghĩa, tớnh chất, dấu hiệu nhận biết của cỏc tứ giỏc đặc biệt: hỡnh thang, hỡnh 
bỡnh hành, hỡnh chữ nhật, hỡnh thoi, hỡnh vuụng. 
Vớ dụ 2. Cho tứ giỏc ABCD cú AB BC AD , àA 800 A
 0
, Cà 40 . Tớnh cỏc gúc B và D . 2
 1 B
 Giải: (h.4) 
 ADB cõn tại A , àA 800 nờn 
ả 0 0 0 1 H
D1 180 80 : 2 50 . 
 2
 Kẻ AH  BD , BK  CD . Ta cú Kà Hà 900 . D C
 Hỡnh 4 K
 à à 0
BC AD (giả thiết), C A1 40 nờn CKB AHD 
(cạnh huyền – gúc nhọn) BK DH HB . 
 1
Tam giỏc vuụng BKD cú BK BD nờn Dả 300 . Suy ra Dà Dả Dả 500 300 800 . Do đú 
 2 2 1 2
Bà 3600 800 800 400 1600 . Vớ dụ 3. (Bổ đề nhận biết hai đường chộo vuụng gúc) A
 Cho tứ giỏc ABCD cú tổng bỡnh phương cỏc cạnh đối bằng 
nhau ( AB2 CD2 AD2 BC 2 ). Chứng minh rằng AC vuụng gúc 
với BD . 
 Giải: (h.5) 
Giả sử AC khụng vuụng gúc với BD . Kẻ AH  BD , CK  BD , giả K
 B D
sửa H bằm giữa B và K . Từ giả thiết suy ra H
AB2 AD2 BC 2 CD2
 AB2 AH 2 AD2 AH 2 BC 2 CK 2 CD2 CK 2
 Hỡnh 5
 C
 HB2 HD2 BK 2 DK 2 HB2 BK 2 HD2 DK 2 . 
Đẳng thức trờn sai, vỡ vế trỏi õm, vế phải dương. Vậy AC vuụng gúc với BD . 
Lưu ý: Bổ đề trờn cũng đỳng trong trường hợp điểm C nằm trờn đoạn thẳng BD . Chứng minh tương tự 
như trờn .
 Vớ dụ 4. Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A , đường trung tuyến BE . Đường thẳng đi qua A và 
vuụng gúc với BE cắt BC ở K . Chứng minh rằng BK 2KC . 
Giải: (h.6)
 A
 Kẻ AH  BC , cắt BE ở G . Ta cú G là trực tõm của 
 ABK nờn KG  AB . Ta lại cú CA  AB nờn KG // CA . 
Gọi I là trung điểm của BG . Do G là trọng tõm của ABC E
nờn BI IG GE . G
Kẻ IM // GK M BC . Do IM // GK // EC nờn 
BM MK KC (tớnh chất đường song song cỏch đều). 
 B C
Vậy BK 2KC . H K
 Vớ dụ 5. Cho tam giỏc ABC . Ở phớa ngoài tam giỏc 
 Hỡnh 6
ABC , vẽ cỏc tam giỏc đều ABD , ACE và tam giỏc cõn 
BCF cú Fà 1200 . 
a) Gọi I là điểm đối xứng với F qua BC , gọi K là điểm đối xứng với I qua DE . Chứng minh rằng tam 
giỏc DIE cõn cú I 1200 . 
b) Tam giỏc DIK là tam giỏc gỡ? K
c) Chứng minh rằng AKIF là hỡnh bỡnh hành và 
AF vuụng gúc với DE . E
 Giải: (h.7. hỡnh vẽ và chứng minh ứng với 
ã 0 ã 0
ABC 30 , ACB 30 ; cỏc trường hợp khỏc A
tương tự). D
a) I đối xứng với F qua BC BI BF , 
ả à 0
B2 B1 30 . I
 2
 DBI và ABF cú DB AB , 1
ã ã 0 à , BI BF , do đú 
DBI ABF 60 B3 3
 2
 à à B 1 C
 DBI ABF c.g.c I1 F1, DI AF . Tương 
 à ã 1
tự I2 AFC , EI AF . Suy ra DI EI . 1 
à à à ã ã 0 Hỡnh 7 F
I1 I2 F1 AFC BFC 120
ã 0 à à ã 0 0 0 2
DIE 360 I1 I2 BIC 360 120 120 Từ 1 và 2 suy ra DIE cõn cú I 1200 . 
b) DIE cõn cú I 1200 nờn IãDE 300 . K đối xứng với I qua DE nờn DK DI và 
IãDK 2IãDE 2.300 600 . Suy ra DIK đều. 
c) DIK đều IK ID mà DI AF nờn IK AF . 3 
 DAK DBI c.g.c AK BI mà BI IF nờn AK IF . 4 
Từ 3 và 4 suy ra AKIF là hỡnh bỡnh hành AK // IK . 
Ta lại cú IK  DE nờn AF  DE . 
 Vớ dụ 6. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A , đường cao AH . Gọi M , N theo thứ tự là chõn cỏc 
đường vuụng gúc kẻ từ H đến AC , AB . Đường thẳng MN cắt AH tại I và cắt CB tại E . Gọi O là 
trung điểm của BC . Kẻ HD vuụng gúc với AE D AE . Chứng minh rằng:
a) I là trực tõm của tam giỏc AOE . 
 0 A
b) Bã DC 90 . 
 Giải: (h.8) D 1
a) Tứ giỏc AMHN là hỡnh chữ nhật nờn 1 M
ả ã I
M1 AHN . 
Ta lại cú ãAHN Bà (cựng phụ Hả 0 
 1 1 N
nờn Mả Bà ). 1 1 1
 1 1 C
Do OA OC nờn àA ãACB . 2 E B H O
 1 Hỡnh 8
Từ 1 và 2 suy ra 
ả à à ã 0
M1 A1 B1 ACB 90 , suy ra EM  OA . Tam giỏc AOE cú EM  OA nờn I là trực tõm. 
b) Từ cõu a), suy ra OI  AD . 3 . 
 ADH vuụng tại D cú DI là đường trung tuyến nờn IA ID 4 
Từ 3 và 4 suy ra OI là đường trung trực của AD , A
do đú OA OD .
 α
Tam giỏc BDC cú OD OA OB nờn Bã DC 900 . 
 Vớ dụ 7. Cho tam giỏc ABC cõn tại A cú 
àA 600 . Trờn cạnh AB lấy điểm D sao cho 
 F E
CD CB . Gọi điểm E đối xứng với B qua AC . Gọi D
 1
F là giao điểm của DE và AC . 
a) Chứng minh rằng BFEC là hỡnh thoi. 
b) Tớnh cỏc gúc của hỡnh thoi đú theo . 
 Giải: (h.9) 1
 2
a) Do E đối xứng với B qua AC nờn EC BC và 
 B 3 C
EF BF . 1 . Hỡnh 9
Để chứng minh BFEC là hỡnh thoi, ta sẽ chứng minh 
EC EF . Đặt ãABC ãACB  thỡ 2 1800 . Gọi Cx là tia đối của tia CE. 
 à ã ả 0
Do E đối xứng với B qua AC nờn C1 ACB  , suy ra C3 180 2 . 2 
 ã ả 0
 CBD cõn cú gúc đỏy CBD  nờn C2 180 2 . 3 ả ả ã
Từ 2 và 3 suy ra C2 C3 nờn DCx 2 . 4 . 
Ta cú CD CB CE nờn DCE cõn tại C , suy ra Dã Cx 2Cã ED . 5 . 
 ã à à à à à
Từ 4 và 5 suy ra CED . Tam giỏc ECF cú E , C1  nờn F1  , suy ra C1 E1 , do đú 
EC EF . 6 . 
Từ 1 và 6 suy ra BC EC EF BF nờn tứ giỏc BFEC là hỡnh thoi. 
b) Hỡnh thoi BFEC cú Cã EF nờn Cã BF , Bã FE Bã CE 1800 . 
 Vớ dụ 8. Tớnh độ dài cạnh của hỡnh vuụng ABCD , biết rằng cú điểm M nằm trong hỡnh vuụng 
thỏa món MB 1cm , MA MC 5cm . 
 Giải: (h.10). A E B
 MAB MCB c.c.c Mã BA Mã BC 450 . 
 5 1
Kẻ ME  AB E AB , suy ra MEB vuụng cõn tại E nờn M
 MB 1
ME EB cm 1 . 
 2 2 5
 2
 2
 2 2 2 1 9
 AEM vuụng tại E AE MA ME 5 
 2 2
 3 D C
 AE cm 2 . Hỡnh 10
 2
 3 1 4
Từ 1 và 2 suy ra AB AE EB 2 2 cm . 
 2 2 2
Vớ dụ 9. Cho hỡnh vuụng ABCD cú cạnh bằng 1, cỏc điểm E, F, G, H theo thứ tự thuộc cỏc cạnh AB, BC, 
CD, DA. Tớnh chu vi nhỏ nhất của tứ giỏc EFGH.
Giải (h. 11)
 A n E B
Đặt EH a, EF b, FG c,GH d, AH m, AE n.
 m b
 2
 m n m n a
Ta cú a2 m2 n2 a a 2 AH AE M F
 2 2
 c
Tương tự ta cú b 2 BE BF, c 2 CF CG, d 2 DG DH d
Suy ra a b c d 2 AB BC CD DA 4
 D G C
 a b c d 2 2 Hỡnh 11
Chu vi nhỏ nhất của tứ giỏc EGH bằng 2 2 khi và chỉ khi E, F, G, H lần lượt 
là trung điểm cỏc cạnh của hỡnh vuụng ABCD.
III. ĐA GIÁC
1. Cỏc đa giỏc được nghiờn cứu trong chuyờn đề này là cỏc đa giỏc lồi, chỳng cú tớnh chất: tổng cỏc gúc 
trong của đa giỏc n cạnh bằng n 2 .1800 .
2. Đa giỏc đều là đa giỏc cú cỏc cạnh bằng nhau và cỏc gúc bằng nhau. Mỗi gúc trong của đa giỏc đều n cạnh 
 n 2 .1800
bằng .
 n Vớ dụ 10. Tỡm giỏ trị của n sao cho cỏc đa giỏc đều n cạnh, n 1cạnh, n 2 cạnh, n 3 cạnh đều cú số đo 
mỗi gúc là một số nguyờn độ.
Giải:
 n 2 .180
Ta cú: là một số nguyờn nờn n 2 .180n 360n n 3 .
 n
Do 360 23.32.5 nờn 360 cú 24 ước tự nhiờn, trong đú cú 22 ước tự nhiờn khỏc 1 và 2 là : 3, 4, 5, 6, 8, 9, 
10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360. Trong cỏc số trờn, cú bốn số tự nhiờn liờn 
tiếp là 3, 4, 5, 6. Vậy giỏ trị phải tỡm của n là 3 (cỏc đa giỏc đều cú 3, 4, 5, 6 cạnh cú số đo mỗi gúc bằng 
60o ,90o ,108o ,120o ).
 BÀI TẬP
Tam giỏc
1. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, AB AC 2AB . Trờn cạnh AC lấy điểm D sao cho CD AB . Trờn 
 cạnh AB lấy điểm E sao cho BE AD . Gọi I là giao điểm của BD và CE. Tớnh gúc CID.
Tứ giỏc – Hỡnh thang
2. Cho tứ giỏc ABCD cú àA 60o , AB CD, Bà 75o , Dà 90o . Gọi G là giao điểm của BC và AD, E là giao 
 điểm của tia phõn giỏc gúc A với BC. Chứng minh rằng:
 a) AB AE ; b) BC EG
3. Cho tam giỏc ABC. Ở phớa ngoài của tam giỏc đú, vẽ cỏc tam giỏc cõn ABD đỏy AB, BCE đỏy BC, ACF 
 đỏy AC. Kẻ AH vuụng gúc với DF H DF , kẻ BI vuụng gúc với DE I DE , AH và BI cắt nhau 
 tại O. Chứng minh rằng OC vuụng gúc với ẩ.
Hướng dẫn: Sử dụng bổ đề ở vớ dụ 3.
4. Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A, điểm H thuộc cạnh AC. Đường thẳng đi qua A và vuụng gúc với 
 BH cắt BC ở D. Lấy điểm E thuộc đoạn DB sao cho DE DC . Đường thẳng đi qua E và vuụng gúc với 
 BH cắt AB ở K. Chứng minh rằng AK AH .
5. Cho tam giỏc ABC cú BC a , nửa chu vi bằng p, đường cao AH. Chứng minh rằng AH 2 p( p a) .
Hỡnh bỡnh hành
6. Cho hỡnh bỡnh hành ABCD, M là trung điểm của BC. Gọi H là chõn đường vuụng gúc kẻ từ A đến DM. 
 Chứng minh rằng BA BH .
7. Cho tam giỏc ABC cú àA 90o . Ở phớa ngoài tam giỏc đú vẽ cỏc tam giỏc vuụng cõn ABD cú cạnh huyền 
 AB và ACD cú cạnh huyền AC. Vẽ hỡnh bỡnh hành ADKE. Tam giỏc BKC là tam giỏc gỡ?
8. Cho hỡnh thang ABCD (AB / /CD) , AB CD . Gọi E, F, M theo thứ tự là trung điểm của BD, AC, CD. 
 Chứng minh rằng cỏc đường thẳng đi qua E và vuụng gúc với AD, đi qua F và vuụng gúc với BC, đi qua 
 M và vuụng gúc với CD đồng quy.
9. Cho tam giỏc ABC và đường trung tuyến AM cú AB 5cm, AC 13cm, AM 6cm . Gọi d1 và d2 theo 
 thứ tự là cỏc đường vuụng gúc với BC tại B và C. Gọi D là giao điểm của AM và d1 , gọi E là giao điểm 
 của AB và d2 . Chứng minh rằng CD vuụng gúc với ME. 10. Cho hỡnh bỡnh hành ABCD, cỏc đường chộo cắt nhau tại O. Đặt OA OC m , OB OD n . Chứng 
 minh rằng:
a) AB2 AD2 2m2 2n2
b) Tổng bỡnh phương cỏc cạnh của hỡnh bỡnh hành bằng tổng bỡnh phương cỏc đường chộo.
11. Dựng tam giỏc ABC biết vị trớ ba điểm B, H, M trong đú H là trực tõm, M là trung điểm của AC.
Hỡnh chữ nhật
12. Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A, điểm D trờn cạnh BC. Gọi H là chõn đường vuụng gúc kẻ từ B đến 
 AD. Trờn tia đối của tia HB lấy điểm E sao cho HE AH . Chứng minh rằng Hã EC 90o .
13. Cho đoạn thẳng AB. Vẽ về một phớa của AB cỏc tia Ax và By vuụng gúc với AB. Trờn đoạn thẳng AB 
 lấy cỏc điểm C và D sao cho AC BD . Gọi E là một điểm thuộc tia Ax (E khỏc A). Đường vuụng gúc 
 với EC tại C cắt By ở K. Tớnh gúc EDK.
14. Cho hỡnh chữ nhật ABCD cú E là trung điểm của AB, F là trung điể của BC. Đặt Eã DF . Gọi I là giao 
 điểm của AF và EC. Tớnh gúc AIE theo .
15. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A AB AC , đường cao AH. Trờn cạnh AC lấy điểm E sao cho AE AB . 
 Gọi I là trung điểm của BE. Tớnh gúc AHI.
16. Cho gúc vuụng xOy và điểm A nằm trong gúc vuụng đú. Gọi M là điểm chuyển động trờn tia Ox. Đường 
 vuụng gúc với AM tại A cắt tia Oy ở N. Tỡm vị trớ của điểm M để độ dài MN nhỏ nhất.
17. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, đường cao AH h . Gọi I là điểm bất kỡ nằm trong tam giỏc ABC. Gọi 
 D, E, F theo thứ tự là chõn cỏc đường vuụng gúc kẻ từ I đến BC AC, AB. Tớnh giỏ trị nhỏ nhất của tổng 
 ID2 IE 2 IF 2 theo h.
Hỡnh thoi – hỡnh vuụng
18. Tớnh cạnh của hỡnh thoi biết một đường chộo bằng 15 cm và chiều cao bằng 12 cm.
19. Cho hỡnh vuụng ABCD, điểm E thuộc cạnh AD, điểm F thuộc tia đối của tia CD sao cho CF AE . Gọi 
 I là giao điểm của EF và AC. Chứng minh rằng BI vuụng gúc với EF.
 a a
20. Cho hỡnh vuụng ABCD cạnh a. Lấy E thuộc cạnh AB, K thuộc cạnh CD sao cho AE ,CK . Lấy 
 2 2
 G thuộc cạnh AD sao cho Kã EG Kã EB . Đường thẳng đi qua K và song song với GE cắt BC ở H. Gọi O 
 là giao điểm của GH và EK. Chứng minh rằng Eã OG 45o .
Hướng dẫn: Qua K kẻ đường thẳng song song với HG, cắt EG ở M, chứng minh rằng Eã KM 45o .
21. Cho hỡnh vuụng ABCD cạnh a, điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh CD sao cho Eã AF 45o . Tớnh 
 độ dài lớn nhất của EF.
22. Tớnh chu vi nhỏ nhất của tứ giỏc ABCD biết hai đường chộo vuụng gúc và cú tổng bằng k.
Đa giỏc
23. Tớnh cỏc gúc của một đa giỏc cú số đo cỏc gúc tăng đều từ 90o đến 1260 .
24. Cho hai đa giỏc đều, đa giỏc M cú x cạnh, số đo mỗi gúc là n. Tớnh x và y, biết rằng:
 m 2 m 3
a) b) .
 n 5 n 4 LỜI GIẢI, CHỈ DẪN, ĐÁP SỐ
 Chuyờn đề 1
TAM GIÁC - TỨ GIÁC – ĐA GIÁC 1. (h.162) Qua B kẻ đường thẳng song song với EC , A
 qua C kẻ đường thẳng song song với BE , 
 E
 D
 chỳng cắt nhau tại K . Ta cú: IãCD Dã BK (1) 1
 Để chứng minh CBK BCE (g.c.g) I
 CK BE AD. 
 B C
 ABD CDK(c.g.c) . Hóy chứng minh
 DBK vuụng cõn để suy ra Dã BK 450 , 
 Hỡnh 162 1
 ã 0
 do (1) nờn CID 45 K
2. (h.163). a) Bạn đọc tự giải
 K
 b) Gọi K là giao điểm của AB và CD , ABD đều và 
 ả à 0
 D1 K 30 nờn 
 B
 AB BD BK, mà AB AE ( cõu a) nờn BK AE. 
 E
 Ta lại cú Kã BC ãAEG ( 1050) C
 Nờn KBC AEG (g.c.g) BC EG . 
 A D G
3. (h.164) Đặt AD BD a , AF FC b 
 Hỡnh 163
 CE EB c. 
 A
 Do OA  DF nờn b F
 2 2 2 2
 OF OD HF HD a
 2 2 2 2 H
 AF AD b a (1) D
 Tương tự , do OB  DE nờn b
 O
 2 2 2 2
 OD OE a c . (2) a
 I
 Cộng (1) (2) ta được: B C
 2 2 2 2 2 2 c
 OF OE b c CF CE . c
 Theo bổ đề nhận biết hai đường chộo vuụng goỏc, ta cú OC  EF Hỡnh 164 E
 B
4. (h.165) Kẻ đường thẳng qua C và song song với AD 1 E
 , cắt BA tại M thỡ AK AM (1) 
 ABH ACM (g.c.g) AH AM. (2) D
 Từ (1) và (2) suy ra AK AH 
 A
 1
 H 1 C
 M Hỡnh 165 5. (h.166) Kẻ đường thẳng d qua A và song song với D
 BC. Gọi D là điểm đối xứng với B qua d . Đặt AH h 
 Thỡ BD 2h . Đặt AC b, AB c 
 Ta cú AB AC AD AC CD 
 2 2 2 2
 (b c) CD a (2h) A d
 2 2
 2 (b c) a
 h b
 4 c
 (b c a)(b c a) h
 4
 B H C
 2 p(2 p 2a)
 p( p a). a
 4 Hỡnh 166
6. (h.167) Gọi K trung điểm của AD . 
 Ta cú BKDM là hỡnh bỡnh hành A B
 BK / /DM 
 BK  AH (tại I ) và AI IH. 
 K M
 Do BK là đường trung trực của AH nờn BA BH .
 D C
 Hỡnh 167
7. (h.168) BDK KEC (c.g.c)
 ả à
 BK KC và K1 C1. (1)
 Gọi H là giao điểm của CE và DK. 
 à ã
Ta cú CE  AE và AE//DK nờn CE//DK (tại H ) C1 phụ CKH. (2)
 ả ã
Từ (1) và (2) suy ra K1 phụ CKH và BKC vuụng cõn.