Chuyên đề bồi dưỡng Hình học Lớp 9 - Chuyên đề 3: Định lí Ta-lét và tính chất đường phân giác của tam giác (Có đáp án)

 Chuyên đề 3
ĐỊNH LÍ TA-LÉT VÀ TÍNH CHẤT
ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC
 TỔNG QUAN VỀ CHUYÊN ĐỀ
Nội dung của chuyên đề bao gồm:
 - Định lí Ta-lét trong tam giác
 - Ba đường thẳng đồng quy cắt hai đường thẳng song song
 - Định lí Ta-lét đảo
 - Tính chất đường phân giác của tam giác
Định lí Ta-lét và tính chất đường phân giác của tam giác cho ta những cặp đoạn thẳng tỉ lệ, nhờ đó chứng minh 
nhiều quan hệ về độ dài các đoạn thằng
Các tính chất về ba đường thẳng đồng quy cắt hai đường thẳng song song là những bổ đề suy ra từ định lí Ta-lét
Định lí Ta-lét đảo cho ta thêm một cách mới để nhận biết hai đường thẳng song song
Bài toán thực tế
 ĐO CHIỀU CAO
 VỚI CUỐN SỔ TAY VÀ CÂY BÚT CHÌ
 Với cuốn sổ tay hình chữ nhật ABCD có AB= 10 cm và phần bút chì nhô lên AE= 5 cm (h.29) hãy tính 
chiều cao của cây, biết người đo cao 1,7m và đứng cách cây 20 cm
Giải
 Theo định lí Ta-lét, do FG / / AE nên 
 FG EA 5
 0,5
 GB AB 10
 FG GB.0,5 20.0,5 10 m 
 Cây cao : 10 1,7 11,7 m 
I.ĐỊNH LÍ TA-LÉT
 Khi có một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác, ta có các cặp đoạn thẳng tỉ lệ. Trên hình 30 
 AB ' AC ' B 'C '
: B 'C '/ / BC 
 AB AC BC A C' B'
 A
 B' C'
 C B C
 B a) b)
 Hình 30
 Trong nhiều bài toán, cần kẻ them đường thẳng song song để tạo thành các cặp doạn thẳng tỉ lệ
 Ví dụ 23. Cho tam giác ABC. Lấy điểm M thuộc đoạn BA, điểm N thuộc tia đối của tia BC sao cho 
AB BC
 1. Chứng minh đường thẳng MN đi qua một điểm cố định
MB BN
 Tìm hướng giải:
 Xét vị trí đặc biệt của M và N khi M là trung điểm của AB, B là trung điểm của CN, điều kiện của đề bài 
 AB BC
thỏa mãn vì 2 1 1. Khi đó MN đi qua đỉnh D của hình bình hành ABCD. Ta dự đoán D là điểm cố 
 MB BN
định phải tìm
Giải (h.31)
 Vẽ hình bình hành ABCD. Trước hết ta thấy A a D
 AB
do 1 nên AB MB , do đó M nằm giữa A và B
 MB
 Gọi N’ là giao điểm của DM và CB. Đặt M
 N'
AD BC a, BN ' b b B a C
 Do AD / /N 'C nên theo định lí Ta-lét , ta có Hình 31
AM AD a
MB BN ' b
 AM MB a b AM a b
 MB b MB b
 AB BC a b a
 Do đó 1
 MB BN ' b b
 AB BC
 Kết hợp với giả thiết 1 suy ra B ' N BN , do đó N '  N
 MB BN '
 Vậy MN đi qua đỉnh D của hình bình hành ABCD
 Ví dụ 24. Cho tam giác ABC, các đường phân giác BD và CE, điểm I thuộc đoạn thẳng DE. Gọi M, N, H 
theo thứ tự là hình chiếu của I trên AC, AB, BC IM IN
 a) Gọi EG, DK là các đường cao của tam giác ADE. Chứng minh rằng 1
 EG DK
 b) Chứng minh rằng IM IN IH
Giải (h.32)
Theo định lí Ta-lét với IM / /EG và IN / /DK , ta có
IM IN DI IE DE
 1 A
EG DK DE DE DE
 a) Đặt IM m, IN n, EG x, DK y G
 x
 K y
 Từ câu a) , ta có N D
 n
 m n m D
 1 1 E
 x y I
 Đặt IH h, BC a, AC c, SABC S x
 h
 Ta có 
 C
 SIAC SIAB SIBC S bm cn ah 2S 2 B F H
 Hình 32
Để chứng minh IM IN (tức là m n h ), ta sẽ chứng 
minh bm cn a m n 2S . Kẻ EF  BC thì EF EG x
 2S
Ta có S S S bx ax 2S a b 
 AEC BEC x
 2S m n 
Tương tự a c . Suy ra a b m a c n 2S 2S do 1 
 y x y 
 bm cn a m n 2S 3 
Từ (2) và (3) suy ra m n h tức là IM IN IH
 Ví dụ 25. Cho tam giác ABC có diện tích S. Một đường thằng đi qua trọng tâm G của tam giác cắt các cạnh 
AB và AC theo thứ tự ở M và N. Chứng minh rằng
 4 1
 a) S S b) S S
 AMN 9 AMN 2
Giải 
 a) (h.33) Gọi D là giao điểm của AG và BC. Qua G kẻ IK / /BC . Do BD DC nên GI GK . Theo bổ đề 
 về hai tam giác có một góc bằng nhau ( ví dụ 14) ta có 
 S AI AK 2 2 4
 AIK . . 
 S AB AC 3 3 9 A A
 N M
 G
 I K I G K
 M N
 C
 B D B D C
 a) b)
 Hình 33
Xét ba trường hợp:
- Trường hợp GM GN thì M trùng I và N trùng K . Khi đó
 4
S S S. 1 .
 AMN AIK 9
 4
- Trường hợp GM GN thì S S nên S S S. 2 
 IGM KGN AMN AIK 9
- Trường hợp GM GN thì SIGM SKGN nên 
 4 A
S S S. 3 
 AMN AIK 9
 4
Từ 1 , 2 , 3 suy ra S S.
 AMN 9
 I
 1 F E
b. Gọi E là giao điểm của BG và AC . Ta có: S S .
 ABE G
 2 N
 M
Ta sẽ chứng minh SGEN SGBM .
 S GE GN
Ta có GEN . ( bổ đề ở câu a) B C
 SGBM GB DM Hình 34
 GE 1 S 1 GN
mà nên GEN . 4 .
 GB 2 SGBM 2 GM
Qua C kẻ đường thẳng song song với AB , cắt MN ở I . Gọi F là giao điểm của CG và AB .
 GN GI GC
Ta có 2 5 
 GM GM GF
 S 1
Từ 4 và 5 suy ra GEN .2 1.
 SGBM 2
 1
Vậy S S S S S.
 GEN GBM AMN ABE 2 Lưu ý: Cách giải nêu trên là cách giải thuần túy hình học. Một cách giải khác có sử dụng nhiều bién đổi đại số 
như sau:
 AB AC
Trước hết ta chứng minh 3.
 AM AN
Thật vậy, kẻ BB / /CC / /MN . AG cắt BC tại D là trung điểm của BC , ta có DB DC .
 A
 F E
 G
 N
 M
 B'
 B D C
 Hình 35 C'
AB AC AB AC AB AC AD DB AD DC 2AD AB AC
 3 .Đặt m, n thì 
 2
AM AN AG AG AG AG AD AM AN
 3
m n 3 1 
 S AB AC
Đặt S S . Theo bổ đề về hai tam giác có một góc bằng nhau . m.n 2 
 AMN S AM AN
 2
 S m n 32 9 4
a. mn S S .
 S 4 4 4 9
Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi m n MN / /BC .
 S
b. mn m 3 m 3m m2 3 
 S 
Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AC, AB . M , N thuộc cạnh 
 AB AB AB
AB, AC AB AM AF 1 m 2 .
 AB AM AF
Do 1 m 2 nên m 1 2 m 0 3m m2 2 4 
 S 1
Từ 3 và 4 suy ra 2 , tức là S S .
 S 2
Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi m 1 hoặc m 2 , tức là M trùng B (khi đó N là trung điểm của AC ) hoặc 
M là trung điểm của AB (khi đó N trùng C ).
II. BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY CẮT HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG Khi ba đường thẳng đồng quy cắt hai đường thẳng song song, chúng cũng tạo ra trên hai đường thẳng song song 
ấy những cặp đoạn thẳng tỉ lệ.
Trên hình 36 :
 BD DC AD
B C / /BC ( vì cùng bằng ).
 B D D C AD 
 A C' D' B'
 A
 B' C'
 D'
 B C
 B C b) D
 a) D
 Hình 36
 1
Ví dụ 26. Cho tam giác ABC có diện tích S , điểm D thuộc cạnh AB sao cho AD AB , điểm E thuộc 
 3
 2
cạnh BC sao cho BE BC . Gọi O là giao điểm của AE và CD , F là giao điểm của BO và AC . Tính 
 5
diện tích tam giác DEF .
Giải (h.37)
Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt CD và BF theo thứ tự ở M và N .
 A
Do MN / /BC nên M N
AF AN AN AM EB AD 2 1 1
 . . . . F
FC CB AM CB EC DB 3 2 3 D
 O
Theo bổ đề về hai tam giác có một góc bằng nhau ( Ví dụ 14) ta có:
S AD AF 1 1 1 S BD BE 2 2 4
 ADF . . , BDE . . .
 S AB AC 3 4 12 S BA BC 3 5 15
 B E C
SCEF CE CF 3 3 9
 . . . Hình 37
 S CB CA 5 4 20
 SDEF 1 4 9 1 1
Suy ra 1 . Vậy SDEF S .
 S 12 15 20 5 5
 AF AF CE BD 
Lưu ý: Để tính , ta có thể dùng định lí Xê-va . . 1 . Ở lời giải trên, định lý Xê-va được chứng 
 FC FC EB DA 
minh luôn vào bài. AF
Để tính (cũng như để chứng minh định lí Xê-va), ngoài cách trên còn có thể dùng phương pháp diện tích 
 FC
như sau:
 AF S AF S
Từ BFA và OFA suy ra
 FC SBFC FC SOFC
AF S S S AD S BE S
 BFA OFA AOB . Tương tự AOC , AOB .
FC SBFC SOFC SBOC DB SBOC BC SAOC
 AF S S S BE AD 2 1 1
Suy ra AOB AOB . AOC . . .
 FC SBOC SAOC SBOC EC DB 3 2 3
Ví dụ 27. Cho tam giác ABC có diện tích S . Một đường thẳng song song với BC cắt AB và AC theo thứ tự 
ở D và E . Tính diện tích lớn nhất của tam giác BDE .
Giải
 A
Cách 1. (h.38) Đặt BD x, AD y, AB a ta có x y a .
S BD x
 BDE . 1 y
S BA a
 BAE a
SBAE AE AD y E
 2 D
 S AC AB a
 x
 2 2
 SBDE xy x y a 1
Nhân 1 với 2 được 2 2 2 . B C
 S a 4a 4a 4 Hình 38
 1
Max S S x y D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC .
 BDE 4
Cách 2. (h.39) Kẻ DG / / AC , cắt BE ở I . Kẻ BB , EE vuông góc với DG .
 BB EE h
S DI. DI. ( h là độ dài đường cao kẻ từ B của ABC ) 1 
 DBE 2 2
 DI DG
Do DG / / AC nên DI.AC AE.DG AE.EC .
 AE AC
 2
 AE EC AC 2 AC
 DI 2 
 4 4 4
 AC.h 1
Từ 1 và 2 suy ra S S .
 BDE 8 4
 1
Max S S AE EC E là trung điểm của AC , khi đó D là trung điểm của AB .
 BDE 4
III. ĐỊNH LÍ TA-LÉT ĐẢO
Định lí Ta-lét đảo cho ta một cách chứng minh hai đường thẳng song song. AB AC 
Trên hình 40: B C / /BC .
 AB AC
Ví dụ 28. Cho tam giác ABC , điểm I thuộc đường trung tuyến AM . Gọi D là giao điểm của BI với AC, E 
là giao điểm của CI với AB . Chứng minh rằng DE song song với BC .
Giải (h.41)
Kẻ IK / / AB, IH / / AC , theo định lí Ta - lét ta có
EI BK DI CH
 và 1 
EC BC DB BC
 BK AI CH
Ta lại có mà BM CM nên BK CH 2 
 BM AM CM
 EI DI
Từ 1 và 2 suy ra DE / /BC ( định lí Ta - lét đảo).
 EC DB
Ví dụ 29. Cho tam giác ABC , đường phân giác AD , đường trung tuyến AM . Đường thẳng đi qua D và song 
song với AB cắt AM ở I , BI cắt AC ở E . Chứng minh rằng AB AE.
Giải (h.42)
Gọi O là giao điểm của AD và BE .
Do MC MB và ID / / AB nên
MD MD ID OD
 OM / / AC ( định lí Ta - lét đảo).
MC MB AB OA
Tam giác BEC có MB MC, MO / /CE , nên OB OE .
Tam giác ABE có đường phân giác AO cũng là đường trung tuyến, nên nó là tam giác cân. Vậy AB AE .
Ví dụ 30. Cho tam giác ABC , điểm D thuộc cạnh BC . Đường thẳng đi qua D và song song với AC cắt AB 
ở E . Đường thẳng đi qua D và song song với AB cắt AC ở F . Gọi I là giao điểm của DE và BF , K là 
giao điểm của DF và CE . Đặt SCDK S1, SBDI S2 . Chứng minh rằng:
a. IK song song với BC ; b. S1 S2 SDEF .
Giải (h.43)
a. Do DE / / AC và DF / / AB nên
FI AE FK
 IK / /BC (định lí Ta - lét đảo).
IB EB KD
b. Do IK / /BC nên S1 SDIC .
Do ID / /FC nên SDIC SDIF . Suy ra S1 SDIF 1 
Do DF / /BE nên SBED SBEF . Cùng trừ đi SBEI được S2 SEIF . 2 
Từ 1 và 2 suy ra S1 S2 SDIF SEIF SDEF .
IV. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC
Đường phân giác của tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.
 DB AB
Với ABC ta có: AD là đường phân giác .
 DC AC
Ví dụ 31. Cho tam giác ABC , đường phân giác AD . Gọi E là điểm đối xứng với A qua C . Đường thẳng đi 
qua B và song song với AC cắt ED ở K . Chứng minh rằng D· AK 900 .
Giải (h.44)
Theo tính chất đường phân giác và định lí Ta - lét ta có
AB DB BK BK
 AB BK .
AC DC CE AC
Tia phân giác của góc ABK cắt DK ở I .
 BIA BIK (c.g.c) IA IK 1 và ·AIB K· IB .
 · · · µ µ ¶
Ta có AIB bù IAD ( do BI / / AD ); KIB bù I1 và I1 D1 ( do BI / / AD )
 · ¶
nên IAD D1 ID IA 2 
Từ 1 và 2 suy ra IK IA ID D· AK 900 .
Ví dụ 32. Tam giác ABC có AB 21 cm, AC 28 cm, BC 35 cm, các đường phân giác AD, BE,CF . Tính 
diện tích tam giác DEF .
Giải (h.45)
 DB DC DB DC 35 5
AD là đường phân giác nên 
 AB AC AB AC 21 28 7
 DB 5
 DB 15 (cm). DC 20 cm.
 21 7
 21 35 28 35
Tương tự ta tính được EA , EC , FA , FB .
 2 2 3 3
Theo bổ đề về hai tam giác có một góc bằng nhau ( Ví dụ 14), gọi S là diện tích tam giác ABC ta có:
 28 21 35 35
 . .15 .20
S 1 S 5 S 5
 AEF 3 2 . BDF 3 . CDE 2 .
 S 21.28 6 S 21.35 21 S 28.35 14
 SDEF 1 5 5 5
Suy ra 1 .
 S 6 21 14 21 ABC ccó AB2 AC 2 212 282 352 BC 2 µA 900 .
 1 1 5
 S AB.AC 21.28 21.14 (cm2) S 21.14. 70 (cm2).
 2 2 DEF 21
 BÀI TẬP
Định lí Ta - lét
48. Trên một tia gốc O có điểm A và trên tia đối của nó có các điểm B,C . Chứng minh rằng 
 1 1 1
 OA2 OB.OC .
OA AB AC
 1
49. Cho hình bình hành ABCD có diện tích S , điểm E thuộc cạnh AB sao cho AE AB , điểm F là trung 
 3
điểm của BC . Gọi M , N theo thứ tự là giao điểm của DE, DF với AC . Tính diện tích tam giác DMN .
50. Cho tam giác ABC . Điểm D chuyển động trên cạnh AB , điểm E chuyển động trên cạnh AC sao cho 
AD CE
 . Gọi I là trung điểm của DE . Chứng minh rằng I chuyển động trên đường trung bình của tam giác 
AB CA
ABC .
 BA BC
51. Cho tam giác ABC . Lấy điểm E thuộc tia BA , điểm F thuộc tia BC sao cho 1. Chứng minh 
 BE BF
rằng khi các điểm E và F thay đổi vị trí thì đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định.
52. Cho tứ giác ABCD có E, F lần lượt là trung điểm của AC, BD . Gọi giao điểm của EF với AD, BC theo 
 AG CH
thứ tự là G, H . Chứng minh rằng .
 GD HB
 1
53. Cho hình thang ABCD AB / /CD , điểm I thuộc tia đối của tia BD sao cho BI BD . Gọi M , N theo 
 2
 AH BK
thứ tự là trung điểm của AB,CD . IM cắt AD ở H, IN cắt BC ở K . Tính các tỉ số và . 
 HD KC
54. Cho hình thang ABCD AB / /CD có AB 5 cm, CD 9 cm. Gọi I là giao điểm của AD và BC . Điểm 
E thuộc tia đối của tia BA . Tính độ dài BE , biết diện tích tam giác IBE bằng diện tích hình thang ABCD .
55. Cho hình bình hành ABCD có diện tích S . Các điểm E, F,G, H theo thứ tự thuộc các cạnh 
 AE BF CG DH 2
AB, BC,CD, DA sao cho . Các đoạn thẳng AF,CH, BG, DE cắt nhau tạo thành 
 AB BC CD DA 3
một tứ giác. Tính diện tích tứ giác ấy.
56. Cho hình chữ nhật ABCD có AD 50 cm, AB 75 cm. Điểm E trên cạnh AB sao cho AE 45 cm, 
điểm F trên cạnh CB sao cho CF 30 cm. Tìm vị trí của điểm I trên đoạn thẳng EF sao cho nếu gọi H và 
K là các hình chiếu của I trên AD và CD thì hình chữ nhật DHIK có diện tích lớn nhất.
57. Cho tam giác nhọn ABC . Tìm vị trí của điểm M trên cạnh BC sao cho tích các khoảng cách từ M đến 
AB và AC có giá trị lớn nhất.
Ba đường thẳng đồng quy cắt hai đường thẳng song song