Chuyên đề bồi dưỡng Hình học Lớp 9 - Chuyên đề 4: Tam giác đồng dạng (Có đáp án)

 Chuyên đề 4
TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
 TỔNG QUAN VỀ CHUYÊN ĐỀ.
Chuyên đề này bao gồm các nội dung:
 - Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác.
 - Tỉ số các đường cao, tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng.
 Nhờ tam giác đồng dạng, ta có thêm nhiều cách mới để chứng minh các quan hệ về độ dài đoạn 
 thẳng, số đo góc, diện tích tam giác.
Vài nét về lịch sử
 CẬU BÉ LƯƠNG THẾ VINH ĐO CHIỀU CAO BẰNG BÓNG NẮNG
 Lương Thế Vinh là một nhà toán học của nước ta thế kỉ XV. Ông sinh năm 1441, mất khoảng năm 
1496.
 Lúc nhỏ, khi chơi cùng các bạn trong làng, ông đã trả lời câu đố của một bạn yêu cầu tính chiều cao 
của cây cau mà không cần trèo lên cây như sau:
 Chỉ cần đo bóng của cây cau và bóng của một cọc thẳng đứng. Cọc dài gấp bao nhiêu lần bóng của 
nó thì cây cao gấp bấy nhiêu lần bóng của nó.
 Các bạn đã thực hành và than phục Lương Thế Vinh khi thấy kết quả đo bằng bóng nắng và kết quả 
đo trực tiếp khớp nhau.
I. CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC
 Đối với hai tam giác, có ba trường hợp đồng dạng: trường hợp cạnh-cạnh-cạnh, trường hợp cạnh-góc-
cạnh, trường hợp góc-góc. Đối với hai tam giác vuông, ngoài các trường hợp nói trên còn có trường hợp đồng 
dạng về cạnh huyền và cạnh góc vuông.
 Ví dụ 33. Cho tam giác ABC cân tại A , đường cao AD , K là trung điểm của AD . Gọi I là hình 
chiếu của điểm D trên CK . Chứng minh rằng A· IB 90 .
 Giải: (h.46)
 · · µ µ µ
 KID và DIC có KID DIC 90, K1 D1 (cùng phụ C1 ) nên KID : DIC (g.g)
 KI KD
 .
 DI DC
 KI KA
 Ta lại có: KD KA, DC DB nên 
 DI DB Kết hợp với I·KA I·DB suy ra IKA : IDB (c.g.c)
 A· IK B· ID . Cùng cộng với K· IB được: A· IB K· ID 90.
 1 
 Ví dụ 34. Cho tam giác ABC , đường trung tuyến AM AM BC . Lấy điểm I trên đoạn AM sao 
 2 
cho M· BI M· AB. Chứng minh rằng M· CI M· AC .
 Giải: (h.47)
 µ µ µ
 MBI và MAB có M1 là góc chung, B1 A1 nên MBI : MAB (g.g)
 MB MI MC MI
 .
 MA MB MA MC
 µ
 Kết hợp với M2 là góc chung suy ra MCI : MAC (c.g.c)
 M· CI M· AC . 
 Ví dụ 35. Cho tam giác ABC , các đường phân giác AD, BE, CF . Gọi M là giao điểm của BE và 
 DF, N là giao điểm của DE và CF .
 a) Kẻ MI và NK song song với AD I AB, K AC . Chứng minh rằng AIM : AKN .
 b) Chứng minh F· AM E· AN .
 Giải: (h.48)
 a) Ta có: B· IM B· AD C· AD C· KN nên góc bù với chúng là A· IM A· KN .
 AI AK
 Sẽ chứng minh .
 IM KN
 Đặt BC a, AC b, AB c . Do IM / /AD và Bµ 1 Bµ 2 nên
 AI MD BD
 (1)
 IF MF BF
 IF AF
 (2)
 IM AD
 AI BD AF BD AF BD b
 Nhân (1) với (2) được . . . (3)
 IM BF AD AD BF AD a
 AK CD c
 Tương tự . (4)
 KN AD a
 AI AK BD b AD a BD b
 Từ (3) và (4) suy ra : . . . . 1.
 IM KN AD a CD c CD c AI AK
 Vậy . Do đó AIM : AKN (c.g.c).
 IM KN
b) Suy ra từ câu a).
 AI
Lưu ý: Trong ví dụ trên, khi xét tỉ số , ta đã viết tỉ số đó dưới dạng tích của hai tỉ số trung gian 
 IM
 AI IF 
 . , có nhiều tỉ số bằng các tỉ số trung gian trên từ định lí Ta-lét và tính chất đường phân giác 
 IF IM 
của tam giác.
 Cách viết một tỉ số dưới dạng tích của hai tỉ số trung gian, cùng với cách kẻ thêm đường thẳng song 
song là những cách thường dung để tạo ra các cặp đoạn thẳng tỉ lệ.
 Bµ
Ví dụ 36. Cho tam giác ABC có AB 5cm, AC 6 cm, Aµ 90 . Tính độ dài BC .
 2
Giải: (h.49)
 Trên BC lấy điểm D sao cho BD 5 cm.
 Bµ
 Tam giác ABD cân tại B nên A· DC 90 B· AC .
 2
 Ta có DAC : ACB (g.g)
 CA DC
 DC.CB AC2 .
 CB AC
 Đặt DC x thì x x 5 36 x2 5x 36 0 
 x 9 x 4 0 .
 Do x 0 nên x 4. Do đó, BC 5 4 9 (cm)
 CA DC
 DC.CB AC2
 CB AC
Ví dụ 37. Cho tam giác nhọn ABC , trực tâm H có HA 7 cm, HB 5 cm, HC 17 cm. Tính
a) Đường cao AD ;
b) Diện tích ABC .
Giải: (h.50)
a) DBH và DAC vuông tại D có D· BH D· AC (cùng phụ A· CB ) nên DBH : DAC (g.g) 
 DB DH
 .
 DA DC 5 x2 x
 Đặt DH x thì .
 x 7 17 x2
 Rút gọn được 14x3 71x2 85 0 x 1 14x2 85x 85 0 .
 Do x 0 nên x 1 0 x 1. Suy ra AD 8cm.
 b) BD2 5 1 4 BD 2 (cm).
 DC2 17 1 16 DC 4 (cm).
 1 1
 S BC.AD . 2 4 .8 24 (cm2).
 ABC 2 2
 Ví dụ 38. Cho tam giác ABC AB AC , đường trung tuyến AM . Điểm D trên cạnh BC sao cho 
 2
 · · DB AB 
 BAD CAM . Chứng minh rằng .
 DC AC 
 Giải: (h.51)
 DB DB MB
 Do MB MC nên . (1)
 DC MC DC
 Theo bổ đề về hai tam giác có một góc bằng nhau (Ví dụ 14) ta có:
 DB S AB.AD
 ADB (2)
 MC SAMC AM.AC
 MB S AB.AM
 AMB (3)
 DC SADC AD.AC
 2
 DB AB.AD AB.AM AB 
 Từ (1), (2) và (3) suy ra: . .
 DC AM.AC AD.AC AC 
 Lưu ý: Do Aµ 1 Aµ 2 nên đường thẳng AD đối xứng với đường trung tuyến AM qua đường phân 
 giác của góc A . Ta gọi AD là đường đối trung đi qua A .
II. Tỉ số các đường cao, tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng
 Nếu hai tam giác đồng dạng thì tỉ số các đường cao tương ứng bằng tỉ số đồng dạng, tỉ số diện tích 
bằng bình phương tỉ số đồng dạng.
 AB AH S
 Nếu ABC : A B C có k , AH và A H là đường cao thì k, ABC k2 .
 A B A H SA B C 
 Ví dụ 39. Cho tam giác nhọn ABC , các đường cao BD và CE cắt nhau tại H . Gọi M và N theo thứ 
tự là hình chiếu của E và D trên BC . EM
 a) Chứng minh rằng tỉ số các khoảng cách từ H đến EM và DN bằng .
 DN
 b) Gọi O là giao điểm của DM và EN . Chứng minh rằng HO vuông góc với BC .
 Giải: (h.52)
 a) Kẻ HI  EM, HK  DN . KHD và NDC có Kµ Nµ 90, K· HD N· DC (cùng phụ H· DK ) nên 
 HK HD
 KHD : NDC (g.g) (1)
 DN DC
 HI HE
 Tương tự: (2)
 EM EB
 Ta lại có HBE : HCD (g.g)
 HE HD
 (3)
 EB DC
 HI HK HI EM
 Từ (1), (2) và (3) suy ra (4)
 EM DN HK DN
 b) Kẻ OP  EM, OQ  DN .
 OEM : OND (g.g) có OP và OQ là hai đường cao tương ứng nên
 OP EM
 (5)
 OQ DN
 HI OP
 Từ (4) và (5) suy ra , chứng tỏ HO / /EM , mà EM  BC nên HO  BC .
 HK OQ
 Ví dụ 40. Cho tam giác ABC , các đường trung tuyến BE và CF cắt nhau tại G . Gọi D là một điểm 
trên cạnh BC . Qua D kẻ đường thẳng song song với CF , cắt BE và BA theo thứ tự ở I và M . Qua D kẻ 
đường thẳng song song với BE , cắt CF và CA theo thứ tự ở K và N . Tìm vị trí của điểm D để:
 a) Tứ giác GIDK có diện tích lớn nhất;
 b) Tam giác DMN có diện tích lớn nhất.
 Giải: (h.53)
 a) Đặt SGBC S, SGIDK S , BD x, DC y . Các tam giác IBD, GBC, KDC đồng dạng nên
 2 2 2 2
 S S SIBD SKDC x y x y
 1 1 2 .
 S S BC BC x y 
 x2 y2
 S lớn nhất nhỏ nhất.
 x y 2 2 2
 2 2 2 x y 1
 Do 2 x y x y nên 2 .
 x y 2
 S lớn nhất x y D là trung điểm của BC .
 DM CF 3 DN 3
 b) Ta có DM / /CF nên , tương tự 
 DI CG 2 DK 2
 SDMN DM DN 3 3 9 9 9
 Suy ra . . SDMN SDIK S .
 SDIK DI DK 2 2 4 4 8
 SDMN lớn nhất S lớn nhất x y (theo câu a) D là trung điểm của BC .
 Bài tập
Các trường hợp đồng dạng của tam giác
67. Cho tam giác ABC có AC 12 cm, BC 7 cm, Bµ 2Cµ . Tính AB .
68. Cho tam giác ABC có Bµ Cµ , I là trung điểm của BC , đặt IB IC a . Các điểm M, N theo thứ 
 tự di chuyển trên các cạnh AB, AC sao cho M· IN .
 a) Tính BM.CN theo a .
 b) Chứng minh rằng NI là tia phân giác của góc MNC .
 c) Chứng minh rằng khoảng cách từ I đến MN khồn đổi.
69. Cho tam giác ABC vuông tại A có Cµ 20, đường phân giác CD . Trên cạnh AC lấy điểm E sao 
 cho A· BE 30 . Tia phân giác của góc CBE cắt AC ở I . Chứng minh DE song song với BI .
70. Cho tam giác nhọn ABC , trực tâm H có HA 1cm, HB 5 cm, HC 2 10 cm. Tính diện tích tam 
 giác ABC .
71. Tam giác ABC là tam giác gì, nếu có điểm D thuộc cạnh BC thỏa mãn AD chia tam giác ABC thành 
 hai tam giác đồng dạng.
72. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH , điểm D đối xứng với A qua B . Đường thẳng đi 
 qua A và vuông góc với DH cắt BC ở I . Chứng minh rằng HI IC .
73. Cho hình thoi ABCD , M là trung điểm BC . Trên đoạn AM lấy điểm E sao cho A· BE C· AM . Chứng 
 minh rằng:
 a) DAE : AMB;
 b) M· ED B· CD . 74. Cho tam giác ABC, AB AC , điểm D trên cạnh AC sao cho AD AB, điểm E trên đoạn AD sao 
 cho A· BE Cµ . Đường thẳng đi qua A và song song với BD cắt BE ở K . Gọi M là giao điểm của 
 KD và BC . Chứng minh rằng BM MC .
 BM MC
 Hướng dẫn: Kẻ EI / /BC I KD . Hãy chứng minh .
 EI EI
75. Cho hình vuông ABCD . Một đường thẳng đi qua C cắt tia đối của tia BA, DA tại E, F . Gọi M là 
 giao điểm của DE và BC . Gọi H, N theo thứ tự là giao điểm của BF với DE, DC . Chứng minh rằng:
 a) MN song song với EF ;
 b) H là trực tâm của tam giác AMN .
76. Cho tam giác đều ABC , trọng tâm G . Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD AG . Gọi giao điểm 
 của DG với AC, BC theo thứ tự là E, K . Chứng minh rằng DE EK .
 Hướng dẫn: Kẻ DI / /AC I BC . Hãy chứng minh IC CK .
77. Cho tam giác ABC cân tại A , đường cao AH , điểm D trên cạnh AB . Gọi I là hình chiếu của D trên 
 BC , lấy điểm K trên đoạn HC sao cho HK BI . Đường vuông góc với DK tại K cắt AH ở G . 
 Chứng minh rằng A· CG 90 .
78. Cho tam giác nhọn ABC , trực tâm H . Lấy điểm O nằm trong tam giác HBC sao cho O· BH O· CH . 
 Gọi D và E theo thứ tự là hình chiếu của O trên AB và AC . Chứng minh rằng OH đi qua trung điểm 
 của DE .
79. Cho tam giác nhọn ABC , đường cao AH . Ở phía ngoài tam giác ABC , vẽ các tam giác ABE vuông 
 tại B , ACF vuông tại C có B· AE C· AF . Chứng minh rằng các đường thẳng AH, BF, CE đồng quy.
80. Cho tam giác nhọn ABC . Các điểm D, E, F theo thứ tự thuộc cạnh BC, AC, AB sao cho B· DF C· DE , 
 C· DE A· EF, A· EF B· FD . Chứng minh rằng:
 a) AEF : ABC ;
 b) AD, BE, CF là các đường cao của ABC .
81. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường phân giác AD . Hình vuông MNPQ có M thuộc cạnh AB , 
 N thuộc cạnh AC , P và Q thuộc cạnh BC . Gọi E là giao điểm của BN và MQ .
 a) Chứng minh rằng DE song song với AC .
 b) Gọi F là giao điểm của CM và NP . Chứng minh rằng DE DF .
 c) Chứng minh rằng AE AF .
82. Cho tam giác ABC , đường trung tuyến AM , điểm D thuộc cạnh BC sao cho B· AD C· AM . Đường 
 thẳng đi qua D và song song với AB cắt AC ở E . Đường thẳng đi qua D và song song với AC cắt 
 AB ở F. Chứng minh rằng: a) AEF : ABC ;
 b) E· FD E· DC.
 Hướng dẫn: Sử dụng Ví dụ 38.
83. Cho hình chữ nhật ABCD . Điểm I nằm trong hình chữ nhật sao cho I·AD I·CD . Chứng minh rằng:
 a) I·DC I·BC ;
 b) SABCD IA.IC IB.ID .
84. Cho hình vuông ABCD . Hãy dựng đường thẳng d đi qua B , cắt tia đối của tia AD và CD lần lượt ở 
 E và F sao cho tích BE.BF có giá trị nhỏ nhất.
Tỉ số các đường cao, tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng
85. Một hình thang có đáy nhỏ 17 cm, đáy lớn 31cm được chia thành hai phần bởi một đoạn thẳng song 
 song với hai đáy dài 25 cm và có hai đầu mút nằm trên hai cạnh bên. Chứng minh rằng hai phần đó có 
 diện tích bằng nhau.
86. Cho tam giác nhọn ABC , có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H . Biết diện tích các tứ giác 
 BDHF và CDHE bằng nhau. Chứng minh rằng AB AC .
87. Cho tam giác ABC vuông tại A . Tìm vị trí của các điểm D, E, F theo thứ tự nằm trên các cạnh 
 BC, AC, AB sao cho tam giác DEF vuông tại D đồng dạng với tam giác đã cho và có diện tích nhỏ 
 nhất.
88. Cho tam giác ABC có diện tích S , điểm O nằm trong tam giác. Kẻ OD song song với AB D BC , 
 kẻ OE song song với BC E OA , kẻ OF song song với CA F AB .
 a) Kẻ EH song song với AB H BC , kẻ FI song song với BC I CA , kẻ DK song song với 
 CA K AB . Chứng minh rằng diện tích tam giác DEF bằng nửa diện tích lục giác FIEHDK .
 S
 b) Chứng minh rằng S .
 DEF 3
 LỜI GIẢI, CHỈ DẪN, ĐÁP SỐ
 Chuyên đề 4 TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
67. (h.226) Trên tia đối của tia BA lấy D sao cho BD = BC.
 AB AC
Ta có ∆ABC : ∆ACD (g.g) . 
 AC AD
 x 12
Đặt AB = x thì x2 7x 144 0 
 12 x 7
 (x 9)(x 16) 0. Đáp số: AB = 9cm.
 ¶ µ µ 0
68. (h227) a) Ta có N1 I2 (cùng cộng với I1 được 180 )
 BM IB
∆BIM : ∆CNI (g.g) 
 CI NC
 BM.NC IB.IC a2. 
b) Hai tam giác đồng dạng trên còn suy ra
 IM IB IC
 NI NC NC
 ¶ ¶
 ∆MIN : ∆ICN (c.g.c) N2 N1
c) Từ câu b) suy ra khoảng cách từ I đến MN bằng khoảng cách từ I đến AC không đổi.
69. (h.228) Kẻ IH ⊥ BC
Ta có ∆HIC : ∆ABC (g.g)
 HC AC AD
 (1)
 IC BC DB
Để chứng minh ∆IBC cân nên HB = HC.
 BE BC
Ta có BI là đường phân giác của ∆EBC nên 
 EI IC
 2AE 2HC AE HC
 (2)
 EI IC EI IC
 AD AE
Từ (1) và (2) suy ra DE // BI (định lí Ta-lét đảo).
 DB EI
70. (h.229) Giải tương tự Ví dụ 37.
Gọi AD là đường cao của ∆ABC. Đặt HD x .
Đưa phương trình:
 x3 23x2 100 0
 (x 2)(x2 25x 50) 0
HD = 2cm, BD = 1cm, DC = 6cm
 2
 SABC 10,5cm .
 ¶ µ ¶ µ
71. (h.230)∆ABD đồng dạng với tam giác có ba đỉnh là A, D, C (h.230a) mà D1 A1 và D1 C
 ¶ ¶
nên D1 D2 , suy ra AD  BC .
Có hai trường hợp:
 µ ¶
 - Nếu A1 A2 thì ∆ABC cân tại A (h.230b).
 µ µ
 - Nếu A1 B thì ∆ABC vuông tại A (h.230c).
72. (h.231) 
 µ µ · µ ¶ ·
Ta có A1 D (cùng phụ DAI ), C A2 (cùng phụ HAC )
nên ∆ICA : ∆HAD (g.g)
Kẻ trung tuyến IK của ∆ICA.
Do IK và HB là hai trung tuyến tương ứng của hai tam giác đồng dạng
nên C· IK ·AHB 900 .
∆AHC có AK = KC và KI // AH nên HI // IC.
 AD AE
72. (h.232) a) Sẽ chứng minh . 
 MA MB
 AD AB
Ta có (1)
 MA MA
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
 ¶ ¶
Do A2 M1 (vì AB // OM)
 AB AE AE
và Bµ µA nên ∆ABE : ∆MAO (g.g) (2)
 1 1 MA MO MB
 AD AE
Từ (1) và (2) suy ra , lại có D· AE ·AMB
 MA MB
nên ∆DAE : ∆AMB (c.g.c)