Chuyên đề bồi dưỡng Hình học Lớp 9 - Chuyên đề 6: Đường tròn. Đường tròn và đường thẳng đường tròn và đường tròn (Có đáp án)

 Chuyên đề 6
ĐƯỜNG TRÒN – ĐƯỜNG TRÒN VÀ ĐƯỜNG THẲNG
ĐƯỜNG TRÒN VÀ ĐƯỜNG TRÒN
 Theo bất đẳng thức Bun-nha-cốp-ski
 ax by a2 b2 x2 y2 2R2 d 2 d 2 d 2R2 d 2 .
 Từ 1 , 2 và 3 suy ra 2S R2 d 2R2 d 2 (không đổi).
 R2 d 2R2 d 2 x y
 maxS= IA và IB tạo với IO góc 45 .
 2 a b
 II. Đường tròn và đường thẳng
 1.Có hai dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đường tròn
 - Nếu đường thẳng a vuông góc với bán kính OC tai điểm C của đường tròn C thì 
a là tiếp tuyến đường tròn O .
 - Nếu đường tròn O; R có khoảng cách từ O đến đường thẳng a thỏa mãn d R thì 
a là tiếp tuyến đường tròn O .
 2.Cần nắm vững các tính chất của hai tiếp tuyến khác nhau.
 3.Với đường tròn nội tiếp tam giác ABC có cạnh a,b,c và D, E là các tiếp điểm trên 
 b c a
AB, AC thì AD AE .
 2
 Ví dụ 50. Cho đường tròn O đường kính AB , các dây cung AC và BD cắt nhau tại 
E . Gọi H là hình chiếu của E trên AB . Tiếp tuyến của đường tròn tại D cắt HE ở I . 
Chứng minh rằng IC là tiếp tuyến của đường tròn O .
 Giải:
 Gọi K là giao điểm của AD và BC . Ta có AC  KB, BD  KA nên E là trực tâm của 
tam giác KAB , do đó các điểm K, I, E, H thẳng hàng. 
 DI là tiếp tuyến D1 phụ D2 .
 µ ¶ ¶ µ µ µ
 Mặt khác, E1 E2 mà E2 phụ B1 nên E1 phụ B1 . ¶ µ ¶ µ ¶ ¶
 Ta lại có D2 B1 nên D1 E1 D3 K1 do đó IK ID IE .
 ECK vuông có IC là đường trung tuyến nên IC IE ID .
 OIC OID O· CI O· DI 90 .
 Vậy IC là tiếp tuyến của đường tròn O .
 Ví dụ 51. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB AC . Gọi R là bán kính đường tròn 
ngoại tiếp tam giác, r là bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABC . Đặt 
 r 2
BC a, AB c, AC b . Tính tỷ số a :b : c biết rằng . 
 R 5
 Giải:
 5r 2R Ta sẽ tính a,b,c theo R .
 Ta có a 2r 5R .
 Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp, D và E là các tiếp điểm trên AB và AC .Ta có
 AD AE b c a . Kết hợp với ADIE là hình vuông nên 2r b c a .
 b c 2r a 2r 5r 7r 1 
 b2 c2 a2 5r 2 25r 2 2 
 Từ 1 và 2 suy ra 
 2 2 2
 b c b c b2 c2 7r 25r 2 24r 2 3 
 Từ 2 và 3 suy ra 
 b c 2 b2 c2 2bc 25r 2 24r 2 r 2 4 
 Từ 1 và 4 suy ra b 4r,c 3r hay a :b : c 5: 4 :3 .
 Ví dụ 51. Cho đường tròn O đường kính AB , điểm M thuộc tia đối của tia AB . Kẻ 
tiếp tuyến MI với đường tròn ( I là tiếp điểm). Gọi C là hình chiếu của trên AB . Chứng 
minh hệ thức MB.AC MA.CB .
 Giải:
 · µ ·
 MIO 90 I1 phụ OIA 1 
 µ ·
 IC  OA I2 phụ OAI 2 · · µ µ
 Ta có: AIO OAI ( Tam giác OAI cân) nên từ 1 và 2 suy ra I1 I2 . Ta có IB vuông 
góc với IB mà IA là phân giác trong nên IA là phân giác ngoài của tam giác IMC . Suy ra 
 AM IM BM
 MB.AC MA.CB 
 AC IC BC
 Ví dụ 53 . Trong các tam giác vuông ABC có cạnh huyền BC a . Tam giác nào có bán 
kính đường tròn nội tiếp lớn nhất.
 Giải:
 Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC .Bạn đọc tự chứng minh 
2r b c a 1 
 Ta có: b c 2 2 b2 c2 2a2 2 
 a 2 1 
 Từ 1 và 2 2r a 2 a a 2 1 r 
 2
 a 2 1 
 Vậy r . Dấu bằng xảy ra AC AB 
 Max 2
 III. ĐƯỜNG TRÒN VÀ ĐƯỜNG TRÒN
 1. Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm của hai đường 
tròn.
 2. Nếu hai đường tròn cắt nhau thì tiếp điểm đối xứng nhau qua đường nối tâm của hai 
đường tròn.
 Ví dụ 54: Cho đường tròn O đường kính AB và đường tròn O đường kính BC tiếp 
xúc ngoài tại B . Qua C kẻ tiếp tuyến với đường tròn O E là tiếp điểm CE cắt đường tròn 
 O ở D (khác C ). Chứng minh BE là tia phân giác của góc ·ABD .
 Giải
 µ ¶
 Gọi giao điểm của EO , DB với O lần lượt là F, K EF / /DK mà F B2 
 · o µ ¶ ¶ µ µ ¶
 Ta có EBF 90 nên B3 phụ B2 , B4 phụ B1 B3 B4 
 Do đó BE là tia phân giác của góc ·ABD .
 Ví dụ 55: Cho đường tròn O bán kính 4 cm, điểm A nằm ngoài đường tròn và có 
OA 8cm . Kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn. ( B,C là các tiếp điểm). Vẽ đường tròn 
 K đi qua C và tiếp xúc với AB tại A . 
 a) Tính bán kính của đường tròn K 
 b) Vẽ đường tròn I bán kính 3cm tiếp xúc với đường O tại B . Chứng minh rằng 
đường tròn K và I tiếp xúc ngoài với nhau.
 Lời giải a) Đặt AK=R. Vẽ đường kính AE của K . Ta có ·ACE ·ACO 90o 90o 180O 
 nên E,C,O thẳng hàng.
 1
 OBA vuông tại B có OB OA nên µA 30o , Eµ 60o . Do đó AOE đều.
 2 1
 AE AO 8 cm, Vậy R 4 cm.
 b) Điểm O thuộc đoạn OB và OI OB IB 4 3 1 (cm).
 2 2 2 2 2 2
 ABOK là hình chữ nhật OK AB Ok AB OA OB 8 4 48 
 KI 2 OK 2 OI 2 49 KI 7 cm 1 
 Tổng các bán kính của hai đường tròn K và I bằng 4 3 7 cm 2 
 Từ 1 ; 2 suy ra K và I tiếp xúc ngoài .
 Ví dụ 56.Cho nữa đường tròn tâm O đường kính AB 2R ( với R 9cm ) . Trên bán kính OA 
có các điểm C và D sao cho AC 6cm, AD 9cm . Đường vuông góc với OA tại D cắt nữa đường 
tròn tại điểm E .Điểm F thuộc nữa đường tròn sao cho ·ACF D· CE . Đường tròn tâm I bán kính x 
tiếp xúc với đoạn CF tại H , tiếp xúc với đoạn CE và tiếp xúc với cung EF .
 a/ Tính CH theo R, x .
 b/ Tính x .
 Giải
 CH IH
 a/ CHI : EDC g.g 1 
 ED CD
 ED2 DA.DB 9 2R 9 2 
 Từ 1 và 2 suy ra 
 IH.ED x.3 2R 9
 CH x 2R 9 . 3 
 CD 3
 b/ OCI vuông tại C OI 2 OC 2 CI 2 OC 2 IH 2 CH 2 
 2 2
 R x R 6 x2 CH 2 4 
 2 2
 Từ 3 ; 4 suy ra R x R 6 x2 x2 2R 9 
 2R 9 x2 2Rx 12 R 3 0 
 2
 R2 12 2R 9 R 3 5R 18 
 R 5R 18 
 Do R 9 và x 0 nên x 2 cm .
 2R 9
 Ví dụ 57.Cho hai đường tròn O , O có cùng bán kính cắt nhau ở A, B . Vẽ về một phía của 
OO các bán kinh OC và O D song song với nhau . Chứng minh rằng A là trực tâm của tam giác 
BCD 
 Giải Tứ giác OCDO có OC / /O D , OC O D nên là hình bình hành , suy ra 
OO / /CD,OO CD 1 
 1
 Gọi I là giao điểm của AB và OO . AOO cân tại A , AI là đường cao nên IO OO , 
 2
 1
kết hợp với 1 có IO CD 2 
 2
 Kẻ đường kính AO K . Ta có IO là đường trung bình của ABK 
 1
 IO / /BK, IO BK 3 
 2
 Từ 1 , 2 và 3 suy ra CD / /BK,CD BK nên CDKB là hình bình hành 
 DK / /BC . Do DA  DK và DK / /BC nên DA  BC . Do BA  BK và BK / /CD nên 
BA  CD 
 Khi đó BCD có DA  BC, BA  CD nên A là trực tâm .
 Ví dụ 58.Cho hai đường tròn O; R và O ;r ở ngoài nhau , OO d . Điểm M nằm ngoài 
hai đường tròn sao cho các đoạn tiếp tuyến kẻ từ M đến O và đến O bằng nhau .Gọi H là hình 
chiếu của M trên OO . Tính OH .
 Giải
 Gọi các tiếp tuyến bằng nhau kẻ từ M đến O , O là MA, MB .
 Đặt OH x,O H y 
 Ta có x y d 1 
 x2 y2 OM 2 MH 2 O M 2 MH 2 OM 2 O M 2 
 MA2 R2 MB2 r 2 R2 r 2 2 
 R2 r 2
 Từ 1 , 2 suy ra x y 3 
 d 2
 R2 r 2 d 2 R2 r 2
 Từ 1 , 3 suy ra 2x d x .
 d 2d
 Lưu ý : từ ví dụ trên suy ra H là điểm cố định và tập hợp các điểm M là đường thẳng vuông góc 
với OO tại H .
 Ví dụ 59.Cho nữa đường tròn O đường kính AB 2 . Điểm C di chuyển trên nữa đường tròn 
. Gọi I là đường tròn tiếp xúc với các bán kính OA,OC và cung AC . Gọi K là đường tròn tiếp 
xúc với các bán kính OB,OC và cung BC . Gọi tiếp điểm của các đường tròn I , K trên AB theo 
thứ tự là D, E . Tìm giá trị nhỏ nhất của DE .
 Hướng dẫn : Đặt OD x,OE y . Hãy lập một hệ thức giữa x, y 
 Giải 
 Đặt ID r1, KR r2 
 2 2 2 2 2 2
 Ta có OD OI ID x 1 r1 r1 1 2r1 
 2
 1 x 2r1 1 
 2
 Tương tự 1 y 2r2 2 OD DI x r1
 ODI ~ KEO g.g xy r1r2 3 
 KE EO r2 y
 Từ 1 , 2 , 3 suy ra 1 x2 1 y2 4xy 
 1 x2 y2 x2 y2 4xy 1 2xy x2 y2 x2 y2 2xy 
 2 2
 1 xy x y . Do xy 1 nên 1 xy x y .
 2
 x y a2
 Đặt x y a thì 1 xy a 1 a xy 
 4 4
 2
 a2 a a
 a 1 1 2 1 2 a 2 2 1 
 4 2 2
 min a 2 2 1 x y khi đó C là điểm chính giữa của đường tròn .
 BÀI TẬP
 Đường tròn
 94. Cho nửa đường tròn O đường kính AB . Các điểm C, D thuộc nửa đường tròn, 
AC CD 30 cm. BD 14cm. Tính bán kính của đường tròn.
 95. Cho tam giác nhọn ABC , các đường cao BE, CF . Ở phía ngoài tam giác ABC , vẽ các đường 
tròn đường kính AB , AC , chúng cắt BE và CF theo thứ tự ở I và K . Chứng minh AI = AK. 
 96. Cho đường tròn O đường kính AB , dây CD nằm về một phía của AB . Gọi E, F theo thứ 
tự là hình chiếu vuông góc của A, B lên CD . Kẻ dây DG vuông góc với AB . Chứng minh 
SAEFB SACBG .
 97. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn O; R . Gọi D là giao điểm của AO và BC , 
 3
E là giao điểm BO và AC, F là giao điểm CO và AB . Chứng minh OD OE OF R. 
 2
 98. Cho điểm A nằm ngoài đường tròn O; R . Dựng đường thẳng đi qua A cắt đường tròn O 
tại B và C sao cho BC a 0 a 2R . 
 99. Cho đường tròn tâm O , đường kính AB cố định, điểm M chuyển động thuộc đường tròn 
đường kính AB , có MA a, MB b. Điểm C chuyển động trên đường tròn. Gọi D, E theo thứ tự 
là hình chiếu của M trên AC, BC . Tìm vị trí điểm C để hình chữ nhật MDCE có diện tích lớn nhất. 
 100. Cho đường tròn O , dây AB cố định , điểm M chuyển động trên đường tròn. Vẽ hình bình 
hành BAMC . Tìm vị trí của điểm M để độ dài AC lớn nhất. 
 101. Cho nửa đường tròn O , đường kính AB 2R . Hai bán kính OC và OD thay đổi sao 
cho C thuộc cung AD và C· OD 600 . Tìm vị trí của các điểm C, D để tứ giác ACDB có diện tích 
lớn nhất.
 102. Cho nửa đường tròn O đường kính AB 2R , bán kính OC vuông góc với AB , điểm M 
chuyển động trên cungCB . Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên OB . Tìm vị trí của điểm M để 
tam giác MOH có :
 a) Chu vi lớn nhất.
 b) Diện tích lớn nhất. 1
 103. Cho tam giác ABC . Dựng điểm M sao cho MA AB và MB 2MC có giá trị nhỏ nhất. 
 2
 Đường tròn và đường thẳng
 104. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường tròn O bán kính 2cm nội tiếp tam giác.
 a) Tính diện tích tam tam giác ABC , biết BC 13cm. 
 DB 2
 b) Tính BC , biết ( D là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp trên BC ).
 DC 3
 105. Cho nửa đường tròn O đường kính AB . Gọi d là tiếp tuyến với nửa đường tròn tại M . 
Gọi D , C theo thứ tự là hình chiếu của A, B trên d . Chứng minh hệ thức CD2 4AD.BC .
 106. Cho đường tròn O nội tiếp hình thoi ABCD . Kẻ một tiếp tuyến với đường tròn O cắt 
các cạnh CB, CD theo thứ tự G, H . Chứng minh rằng:
 a) BE.DF OB.OD. 
 b) EG song song với HF .
 107. Cho tam giác có diện tích là S , chu vi 2 p, r là bán kính đường tròn nội tiếp; R1; R2 ; R3 theo 
thứ tự là bán kính đường tròn bàng tiếp trong góc A, B,C . Chứng minh 
 a) S R1 p a R2 p b R3 p c ; 
 µ 0
 b) A 90 nếu R1 r R2 R3. 
 108. Cho tam giác ABC , đường tròn I nội tiếp tam giác tiếp xúc với BC, AC, AB theo thứ tự
D, E, F . Tia IA cắt EF ở H và cắt đường tròn I ở K . Gọi N là giao điểm của DK và EF . 
Tia phân giác của góc BIC cắt BC tại M . Chứng minh:
 a) IM song song KD .
 b) KHN : IDM. 
 c) AKN : AIM.
 d) Ba điểm A, N, M thẳng hàng. 
 109. Trong các tam giác ABC có đáy BC a , đường cao AH h , tam giác nào có bán kính 
đường tròn nội tiếp lớn nhất? 
 110. Trong các tam giác ABC vuông tại A ngoại tiếp đường tròn O;r , tam giác nào có cạnh 
huyền nhỏ nhất? 
 111. Cho hình vuông ABCD cạnh a . Vẽ cung BD một phần tư đường tròn có tâm A , bán kính 
AB (nằm trong hình vuông ABCD ). Gọi I là điểm chuyển động trên cung BD . Tiếp tuyến tại I cắt 
các cạnh CB, CD theo thứ tự E, F . Tìm vị trí của điểm I để tam giác CEF có diện tích lớn nhất.
 112. Cho tam giác nhọn ABC , BC 24cm , bán kính đường tròn nội tiếp bằng 6cm. Các đường 
tròn D và E có cùng bán kính x tiếp xúc ngoài nhau, cùng tiếp xúc với cạnh BC , trong đó một 
đường tròn tiếp xúc với AB , một đường tròn tiếp xúc với AC . Tính x ? 
 113. Cho tam giác ABC đều cạnh 6cm nội tiếp đường tròn O . Vẽ đường tròn I tiếp xúc với 
hai cạnh AB, AC theo thứ tự tại M , N và tiếp xúc với cung nhỏ BC . Tính MN . 
 114. Cho ba đường tròn A;1 ; B;2 ; C;3 tiếp xúc ngoài đôi một và cùng tiếp xúc trong với 
đường tròn O; R . Tính R. 115. Cho hai đường tròn O; R và O;r ở ngoài nhau R r . Đường tròn I tiếp xúc ngoài 
với hai đường tròn O và O’ theo thứ tự tại A, B . Chứng minh rằng khi đường tròn I thay đổi thì 
đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định. 
 116. Cho hai đường tròn O; R và O;r ở ngoài nhau . Kẻ các tia tiếp tuyến OA, OB đến đường 
tròn O’ , cắt đường tròn O ở C và D . Kẻ các tia tiếp tuyến O’E, O’F đến đường tròn O , cắt 
đường tròn O’ ở G và H . Chứng minh rằng CD GH .
 117. Cho hình bình hành ABCD có µA 900 , AB AD , trên cạnh AB lấy điểm E sao cho 
AE AD . Gọi F là giao điểm của DE vàCB . Đường tròn O ngoại tiếp tam giác BEF và đường 
tròn O’ ngoại tiếp tam giác ABC cắt nhau ở điểm thứ hai I . Chứng minh rằng IB song song với AC
.
 118. Cho đường tròn (O;R) tiếp xúc với đường thẳng d. Tìm giá trị nhỏ nhất của tích hai bán kính 
của các đường tròn (I) và (K) tiếp xúc ngoài nhau, tiếp xúc ngoài với đường tròn (O) và tiếp xúc với 
đường thẳng d.
 119. Cho nửa đường tròn O đường kính AB= 2R, điểm C trên đường tròn đường kính AB. 
đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn tại D. Tìm giá trị lớn nhất của tổng hai bán kính của 
các đường tròn (I) và (K) tiếp xúc vói AB, tiếp xúc với đoạn CD và tiếp xúc với nửa đường tròn O .
 LỜI GIẢI, CHỈ DẪN, ĐÁP SỐ
 Chuyên đề 6
 ĐƯỜNG TRÒN – ĐƯỜNG TRÒN VÀ ĐƯỜNG THẲNG
 ĐƯỜNG TRÒN VÀ ĐƯỜNG TRÒN
94. (h.252) Gọi H là giao điểm của OC và AD. Ta có CA CD và OA OD nên OC  AD . 
Đặt OA OC x .
Từ AC 2 HC 2 OA2 OH 2 suy ra 
302 x 7 2 x2 72 x2 7x 450 0
 x 25 x 18 0 ; OA 25 cm
95. (h.253)
 AIC vuông nên AI 2 AC.AE. 1 
 AKB vuông nên AK 2 AB.AF. 2 AE AF
 cos µA
AB AC 
 AC.AE AB.AF. 3 
Từ (1), (2), (3) suy ra AI AK .
96. (h.254) Gọi D’ là giao điểm của DG và AB. Kẻ CC '  AB .
SACBG SABC SABG
 CC ' GD '
 AB. AB.
 2 2
 CC ' DD '
 AB. (vì DD ' GD ').
 2
 CC ' DD'
Gọi M là trung điểm của CD, kẻ MM '  AB thì MM ' nên 
 2
SACBG AB.MM' 2SAMB . 1 
Gọi K là giao điểm của AM và BF, dễ chứng minh 
 MEA MFK nên SAEFB SABK 2SAMB . 2 
Từ (1) và (2) suy ra SACBG SAEFB . 
97. (h.255)
Đặt SAOB S1 , SAOC S2 , SBOC S3 .
 OD S
Ta có ODB
 AO S1
 S S S S
 ODC ODB ODC 3 .
 S2 S1 S2 S1 S2
 OD S
 3 .
 R S1 S2
 OE S OF S
Tương tự 2 , 1 .
 R S1 S3 R S2 S3
 OD OE OF S S S
Suy ra 1 2 3 .
 R S2 S3 S1 S3 S1 S2
 S S S 3
Bạn đọc tự chứng minh 1 2 3 .
 S2 S3 S1 S3 S1 S2 2 3
Do đó OD OE OF R . Xảy ra đẳng thức S S S ABC đều.
 2 1 2 3
98. (h.256) Cách dựng : Dựng dây B 'C ' a , dựng OH '  B 'C ' . Dựng đường tròn đường kính 
AO, cắt đường tròn O;OH ' tại H. AH cắt (O) tại B và C.
Chứng minh: Bạn đọc tự giải.
99. (h.257) SMDCE MD.ME .
Đặt M· AD B· ME , ta có 
MD MAsin asin .
ME MB cos bcos .
 ab 2 2
SMDCE absin cos sin cos 
 2
 ab
 .
 2
 ab
max S sin cos 
 2
 45 C là điểm chính giữa của cung AB.
100. (h.258) Gọi I là giao điểm của AC và BM. Do MI IB nên OI  BM , I chuyển động trên 
đường tròn đường kính OB.
AC lớn nhất AI lớn nhất đoạn AI đi qua trung điểm K của OB. Khi đó M ở vị trí M’ đối 
xứng với B qua điểm I’ vừa xác định.
 R2 3
101. (h.259) COD đều S . 1 
 COD 4
Đặt SACDB S thì S lớn nhất SAOC SBOD lớn nhất.
Gọi I là trung điểm của CD. Kẻ II’, CC’, DD’ vuông góc với AB.
 CC ' DD'
Ta có S S R. R.II '. 2 
 AOC BOD 2
 R 3
Ta lại có II ' IO . 3 
 2
 R2 3 R 3 3R2 3
Từ (1), (2), (3) suy ra S R. .
 4 2 4
 3R2 3
max S I’ trùng O ·AOC B· OD 60 .
 4
102. (h.260) Đặt MH x , OH y .