Chuyên đề bồi dưỡng Hình học Lớp 9 - Chuyên đề 7: Đường tròn và góc (Có đáp án)

 Chuyên đề 7
ĐƯỜNG TRÒN VÀ GÓC
 TỔNG QUAN VỀ CHUYÊN ĐỀ.
 Tùy theo vị trí với đường tròn mà một góc có nhiều tên gọi mới: góc ở tâm, góc nội tiếp, góc tạo bởi 
tia tiếp tuyến với dây, góc có đỉnh ở trong hay ở ngoài đường tròn. Quan hệ giữa góc với đường tròn giúp 
chứng minh được nhiều quan hệ giữa hai góc và là công cụ hữu ích trong giải toán.
 Quan hệ giữa góc và đường tròn còn được thể hiện trong khái niệm cung chứa góc. Sử dụng cung 
chứa góc, ta chứng minh được nhiều điểm nằm trên một đường tròn, nhờ đó có thể áp dụng nhiều kiến 
thức đã học về đường tròn vào bài toán.
BÀI TOÁN THỰC TẾ
 NGÔI SAO NĂM CÁNH
 Ngôi sao năm cánh trên lá quốc kì Việt Nam là một hình rất quen thuộc. Bạn đã bao giờ nghĩ đến góc 
nhọn x của một cánh sao và góc tù y giữa hai cánh sao (h.77) bằng bao nhiêu độ chưa? 
Giải (h.78)
 Vẽ đường tròn đi qua các đỉnh của năm cánh sao, ta có số đo của mỗi cung AB, BC,CD, DE, EA bằng 
360o :5 72o .
 sd »AB
 Theo tính chất góc nội tiếp, ta có x 72o : 2 36o .
 2
 Theo tính chất góc có đỉnh ở bên trong đường tròn, ta có 
 sd B»E sdC»D 72o.2 72o
 y 108o .
 2 2
I. GÓC TẠO BỞI HAI CÁT TUYẾN (HOẶC TIẾP TUYẾN) CỦA ĐƯỜNG TRÒN
 Số đo của góc nội tiếp, số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây đều bằng nửa số đo của cung bị 
chắn.
 Số đo của góc có đỉnh ớ bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.
 Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn bởi hai cạnh của 
 góc và tia đối của hai cạnh ấy (trường hợp đặc biệt: số đo của góc ở tâm bằng số đo của cung bị 
 chắn).
 Ví dụ 60. Cho tam giác nhọn ABC AB AC , trực tâm H. Gọi I là trung điểm cùa AH, M là trung 
điểm của BC. Tia phân giác cùa góc BAC cắt IM ờ K. Chứng minh rằng ·AKH 90. 
Giải (h.79)
 Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp ABC . Vẽ bán kính OD đi qua M thì D là điểm chính giữa của cung 
BC nên A, K, D thẳng hàng. Để chứng minh bổ đề OM AH . Tứ giác AOMI có AI // OM , AI OM nên là hình bình hành 
 µ ¶
 OA// MI A1 K1 
 µ µ ¶ ¶ ¶ · o
 Kết hợp với A1 D A2 nên K1 A2 IK IA IH . Vậy AKH 90 . 
 Ví dụ 61. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác góc A cắt BC ở D và cắt đường 
tròn (O) ở M (khác A). Kẻ tiếp tuyến AK với đường tròn M ;MB , K là tiếp điểm. Chứng minh rằng DK 
vuông góc với AM.
 Giải (h.80)
 µ ¶ ¶ µ µ µ
 A1 A2 mà A2 B1 (góc nội tiếp) nên A1 B1 .
 MBD : MAB (g.g)
 MD MB MD MK
 . 
 MB MA MK MA
 Kết hợp với D· MK K· MA ta có
 DMK  KMA (c.g.c)
 M· DK M· KA 90 . Vậy DK  AM .
 Ví dụ 62. Tính góc A của tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), biết I·OK 90, trong dó I là tâm 
đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc A.
Giải (h.81)
 Gọi D là giao điểm của đoạn IK và đường tròn (O). 
 1
 IBK vuông tại B có DB DI (dễ chứng minh) nên DI DK và DB IK . (1)
 2
 1
 IOK vuông tại O có DI DK nên OD IK . (2)
 2
 Từ (1) và (2) suy ra BD OD OB . 
 BOD đều B· OD 60 B· AC 60 .
 Ví dụ 63. Cho tam giác nhọn ABC AB AC nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm cùa tam giác 
ABC, K là giao điểm thứ hai của AH với đường tròn (O). Đường thẳng đi qua H và vuông góc với OA cắt 
BC ở I. Chứng minh rằng IK là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Giải (h.82)
 ¶ ¶ ¶
 Dễ chứng minh H đối xứng với K qua BC, suy ra K2 H1 H2 (1)
 ¶ µ ¶ ¶
 Ta lại có K1 A1 nên K1 phụ H2 (2)
 ¶ ¶
 Từ (1) và (2) suy ra K2 phụ K1 . Vậy IK là tiếp tuyến của đường tròn (O). Ví dụ 64. Cho tam giác ABC AB AC nội tiếp đường tròn (O), đường trung tuyến AM. Lấy điểm D 
trên cung BC không chứa A sao cho B· AD C· AM . Chứng minh rằng ·ADB C· DM .
 Giải (h.83)
 µ ¶ · · · ·
 A1 A2 BAM DAC , lại có ABM ADC (góc nội tiếp) nên ABM  ADC (g.g)
 BA BM MC
 .
 AD DC CD
 µ µ · ·
Kết hợp với A1 C1 suy ra BAD  MCD (c.g.c) ADB CDM .
 Ví dụ 65. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi C là trung điểm của OB. Gọi D, E là các điểm thuộc 
nửa đường tròn sao cho ·ACD B· CE 90 . Biết CD CE a . Tính DE theo a.
Giải (h.84)
 Trên CD lấy K sao cho CK CE thì DK CD CK CD CE a .
 Kéo dài DC cắt đường tròn (O) ở I.
 1
 Ta có C¶ Cµ C¶ E đối xứng với I qua AB E· OB sd EºI Dµ . (1)
 2 l 3 2
 180o C¶
 ECK cân K¶ 4 C¶ D· KE O· CE (bù với hai góc trên). (2)
 1 2 2
 Từ (1) và (2) suy ra DKE  OCE (g.g)
 DE OE OB
 2 . Vậy DE 2DK 2a . 
 DK OC OC
 Ví dụ 66. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có bán kính 1dm , Bµ 45o ,Cµ 15o . Tính dộ dài 
AC, BC, AB và diện tích tam giác ABC .
Giải (h.85)
  Bµ 45o ·AOC 90o AC OC 2 2 dm .
  Kẻ OM  BC .
 ¶ µ µ o o o
 Ta có C2 C C1 45 15 30 
 3
 MC OC.cos30o BC 3 dm .
 2
  Kẻ AH  BC . Đặt HC x, HB y thì x y 3 (1)
 Ta có HC 2 HB2 HC 2 HA2 AC 2 2 nên x2 y2 2 (2)
 2
 Từ (1) và (2) suy ra 2xy x y x2 y2 3 2 1 (3)
 Từ (2) và (3) suy ra x y 2 x2 y2 2xy 2 1 1 x y 1 (4) 3 1 6 2
 Từ (1) và (4) suy ra y dm . Do đó AB y 2 dm . 
 2 2
 1 1 3 1 3 3 2
  S ABC BC.AH . 3. dm 
 2 2 2 4
 Ví dụ 67. Cho đường tròn (O; R), hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Gọi K là trung điểm của 
OC. Gọi M là giao điểm thứ hai của BK với đường tròn (O), I là giao điểm của MD và AB. Tính diện tích :
 a) Tam giác MAB;
 b) Tam giác MIK.
Giải (h.86)
 MA OK 1
 a) ·AMB 90, B· OK 90 nên tan B .
 MB OB 2
 AB 2MA 2R 4R 4R2
 Từ 2 2 2 dễ dàng tính được MA , MB , S MAB . (1)
 MA MB 4R 5 5 5
 IA MA 1
 b) MI là đường phân giác của MAB . Lại có IA IB 2R nên dễ dàng tính được 
 IB MB 2
 4R
IB .
 3
 1 1 4R R R2
 S IB.KO . . . (2)
 KIB 2 2 3 2 3
 1 1 1 4R2 4R2
 AI AB S S . . (3)
 3 MAI 3 MAB 3 5 15
 Từ (1), (2) và (3) suy ra 
 4R2 R2 4R2 R2
 S S S S .
 MIK MAB KIB MAI 5 3 15 5
 Ví dụ 68. Cho đường tròn (O) và hai điểm H, I nằm trong đường tròn, trong đó I là trung điểm cùa OH. 
Dựng tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) nhận H làm trực tâm và AI là tia phân giác của góc BAC
Giải (h.87)
 Phân tích: Kẻ đường kính AE. Gọi K là giao điểm của AH với đường tròn. Ta có
 » » µ ¶ µ ¶
 BC // EK nên BE CK , suy ra A1 A2 , do đó A3 A4
 AO IO
 AOH có µA ¶A nên 1. Suy ra AI  OH .
 3 4 AH IH
Cách dựng.
 Dựng đường trung trực của OH, cắt đường tròn tại A.
 Dựng giao điểm K của AH và đường tròn.
 Dựng dây BC là đường trung trực của HK. 
 Ví dụ 69. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, điểm D di chuyển trên cạnh BC. Gọi I và K theo thứ tự là tâm 
các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ADB và ADC.
 a) Chứng minh rằng tứ giác AIDK là hình vuông. b) Tìm vị trí của điểm D để hình vuông AIDK có diện tích nhỏ nhất.
Giải (h.88)
 a) Theo liên hệ giữa góc nội tiếp và góc ở tâm, ta có
 ·AID 2Bµ 2.45 90 , ·AKD 2Cµ 2.45 90 .
 Suy ra
 I·AK I·DK 360 90 90 180. 
 Ta lại có IAK IDK (c.c.c) I·AK I·DK 90 . 
 Hình chữ nhật AIDK có IA ID nên là hình vuông.
 1 1 1
 b) S AD.IK AD2 AH 2 (AH là đường cao của ABC ). 
 AIDK 2 2 2
 1
 min S AH 2 D là trung điểm của BC.
 AIDK 2
 Ví dụ 70. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi (O) là đường tròn đi qua A và tiếp xúc với BC tại B. Gọi (O') là 
đường tròn tiếp xúc với AB tại B và tiếp xúc với AC tại C. Gọi I là giao điểm (khác B) của hai đường tròn trên. 
Chứng minh rằng CI đi qua trung điểm của AB.
Giải (h.89)
 µ µ
 Gọi M là giao điểm của CI và AB. Ta có C1 và B1 là góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến với dây chắn 
 µ µ MCB ¶ µ µ
cung BI của (O’) C1 B1 . Xét MBI và có M là góc chung, B1 C1 nên MBI : MCB (g.g) 
 MB MI
 MB2 MI.MC (1) 
 MC MB
 µ ¶
 Ta có A1 B2 (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến với dây của (O)).
 ¶ ¶
 Mặt khác, B2 C2 (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến với dây của (O’)) nên MAI : MCA (g.g)
 MA MI
 MA2 MI.MC (2)
 MC MA
 Từ (1) và (2) suy ra MA MB .
 Vậy CI đi qua trung điểm của AB
 Ví dụ 71. Cho tam giác ABC, đường phân giác AD. Các điểm E và F thuộc đoạn AD sao cho ·ABE C· BF . 
Chứng minh rằng ·ACE B· CF .
Giải (h.90)
 Giả sử E nằm giữa A và F. Vẽ đường tròn ngoại tiếp BFC cắt AD ở K.
 AB AE
 Ta có Bµ B¶ K¶ nên ABE  AKC (g.g) 
 1 2 1 AK AC
 ¶ µ
 ABK  AEC (c.g.c) K2 C1 .
 ¶ ¶ µ ¶
 Ta lại có K2 C2 nên C1 C2 (đpcm). Ví du 72. Cho tam giác nhọn ABC. Dựng điểm M trong tam giác sao cho M· AC M· BA và M· AB M· CA.
Giải (h.91)
 Phân tích: M· AC M· BA AC là tiếp tuyến của đường tròn AMB .
 M· AB M· CA AB là tiếp tuyến của đường tròn (AMC).
 Cách dựng:
 Dựng đường tròn (I) đi qua B và tiếp xúc với AC tại A (I là giao điểm của đường vuông góc với AC tại A 
 và đường trung trực của AB).
 Dựng đường tròn (K) đi qua C và tiếp xúc với AB tại A. Giao điểm khác A của hai đường tròn là điểm M 
 phải dựng.
 Ví dụ 73. Cho tam giác đều ABC cạnh a, nội tiếp đường tròn (O), điểm D di chuyển trên cạnh BC. Gọi F 
là giao điểm thứ hai của AD với đường tròn (O). Tìm vị trí của điểm D để tích các bán kính của các đường tròn 
ngoại tiếp tam giác BDE, CDE có giá trị lớn nhất.
Giải (h.92)
 I; x , K; y
 Gọi là các đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE,CDE . Kẻ HI  BC , ta có B· IH B· ED 60 
 x 3
nên BH IBsin60 .
 2
 BD
 2BH x 3 BD x 3 x .
 3
 CD BD.CD
 Tương tự y nên xy .
 3 3
 2
 BD CD a2 a2
 Ta lại có BD.CD xy .
 2 4 12
 a2
 max xy BD CD D là trung điểm BC .
 12
 Ví dụ 74. Cho hai đường tròn (O), (O’) cắt nhau ở A và B sao cho O· AO ' 90 . Gọi C là một điểm của 
đường tròn (O’). Các đường thẳng CA, CB cắt đường tròn (O) ở điểm thứ hai D, E. Chứng minh rằng DE là đường 
kính của đường tròn (O).
Giải (h.93)
 Gọi số đo cung DE không chứa A là m, số đo cung nhỏ AB của đường tròn (O) là n. Xét hai trường hợp:
 - Trường hợp C ở ngoài đường tròn (O) (h.93a). Theo tính chất góc có đỉnh ở ngoài đường tròn ta có: 
 m n
 ·ACB m 2·ACB n ·AO B ·AOB 180o .
 2
 DE là đường kính của (O). Trường hợp C ở trong đường tròn (O) (hình 93b). Xét hai cung AB của (O’), gọi số đo cung nằm ngoài (O) 
là p, số đo cung còn lại là q. Theo tính chất góc có đỉnh nằm ở trong đường tròn ta có 
 m n
A· CB m 2A· CB n . Kết hợp với 2A· CB p 3600 q , suy ra 
 2
m (3600 q) n 3600 (q n) 3600 (A· O'B A· OB) 3600 1800 1800 DE là đường kính của (O) 
 Ví dụ 75. Cho đường tròn (O), hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau, điểm M thuộc cung nhỏ BC. 
Gọi E là giao điểm của MA và CD, F là giao điểm của MD và AB. Chứng minh rằng:
 a) D· EA A· DF
 b) Khi M di chuyển trên cung nhỏ BC thì diện tích tứ giác AEFD không đổi.
 Giải: (h.94)
 sñA»D+sñC¼M 900 sñC¼M
 a) Eµ 1 (góc có đỉnh ở trong đường tròn)
 2 2
 sñA»C sñC¼M 900 sñC¼M
 A· DF (góc nội tiếp)
 2 2
 Suy ra: Eµ 1 A· DF (đpcm)
 0 DE AD 2
 b) Ta có Dµ 1 Aµ 1( 45 ) và Eµ 1 A· DF (câu a) nên DEA ∽ ADF(g.g) AF.DE=AD
 AD AF
 1 1
 Do đó S AF.DE AD2 không đổi.
 AEFD 2 2
 II. CUNG CHỨA GÓC
 1. Cung chứa góc áp dụng vào chứng minh: Nếu một tứ giác có hai đỉnh liên tiếp nhìn cạnh chứa hai đỉnh 
còn lại dưới hai góc bằng nhau thì bốn đỉnh của tứ giác nằm trên đường tròn.
 2. Cung chứa góc áp dụng vào quỹ tích:
 Quỹ tích các điểm nhìn một đoạn thẳng cố định dưới một góc không đổi (00 1800 ) là hai cung chứa 
góc dựng trên đoạn thẳng đó.
 Đặc biệt: Quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới một góc vuông là đường tròn đường kính 
AB.
 Ví dụ 76. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, I là điểm chính giữa của nửa đường tròn, điểm M thuộc 
cung AI. Gọi H là hình chiếu của I trên AM, K là giao điểm của OH và BM. Chứng minh rằng tứ giác IHMK là 
hình vuông.
 Giải: (h.95)
 Tứ giác AHIO có A· HI A· OI 900 nên A, H, I, O nằm trên đường tròn đường kính AH (*).
 Suy ra Oµ 1 Aµ 1 . Ta lại có Aµ 1 Bµ 1 (góc nội tiếp) nên Oµ 1 Bµ 1 , suy ra O, K, I, B thuộc một đường tròn, do đó 
I·KB I·OB 900
 Tứ giác IHMK có Hµ Mµ Kµ 900 nên là hình chữ nhật.
 Do (*) nên O· HA O· IA 450 . Suy ra KHM vuông cân. Hình chữ nhật IHMK có MH = MK nên là hình 
vuông. Ví dụ 77. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), điểm D thuộc cung nhỏ BC (B»D B»C ). Vẽ dây 
DE // BC, dây BI  AE tại H. Gọi K là giao điểm của ID với AC. Chứng minh rằng HK // BC
 Giải. (h.96)
 
 Cµ I1 (góc nội tiếp) (1)
  
 DE // BC B»D C»E I2 Aµ 1 A, H, I, K thuộc một đường tròn A· KH I1 (2)
 Từ (1) và (2) suy ra Cµ A· KH , lại ở vị trí đồng vị nên HK // BC.
 Ví dụ 78. Cho ABC vuông tại A, điểm I thuộc đường trung tuyến AM. Tia phân giác của I·BC cắt AC tại 
E. Gọi K là hình chiếu của E lên BI. Chứng minh rằng AIK cân.
 Giải. (h97)
 AMC cân tại M Aµ 1 Cµ (1)
 0
 Tứ giác BAKE có B· AE B· KE 90 nên B, A, K, E thuộc đường tròn đường kính BE Aµ 2 Bµ 1 Bµ 2 (2)
 Từ (1) và (2) suy ra K· AI Aµ 1 Aµ 2 Cµ Bµ 2 A· EB (3)
 Do B, A, K, E thuộc một đường tròn nên A· KB A· EB, tức là A· KI A· EB (4)
 Từ (3) và (4) suy ra K· AI A· KI AIK cân tại I.
 Ví dụ 79. Cho đường tròn (O), đường kính AB vuông góc với dây CD tại M. Gọi E là điểm thuộc cung nhỏ 
AC, I là trung điểm của BE, H là hình chiếu của A lên DE. Chứng minh rằng:
 a) DHM ∽ BEC
 b) IC = IH
 Giải. (h.98)
 a) A, H, M, D thuộc đường tròn đường kính AD Hµ 1 Aµ 1 (1)
 Do AB  CD nên B»C B»D suy ra Eµ 1 Aµ 1 (2)
 Từ (1) và (2) suy ra Hµ 1 Eµ 1
 Ta lại có Dµ 1 Bµ 1 nên DHM ∽ BEC(g.g)
 b) Gọi K là trung điểm của HD. Do MK và CI là các đường trung tuyến tương ứng của hai tam giác đồng 
 
 dạng nên Kµ 1 I1 (3)
 MK là đường trung bình của HCD MK / /CH Kµ 1 Hµ 2 (4)
 
 Từ (3) và (4) suy ra I1 Hµ 2 E, H, I, C thuộc một đường tròn. Xét đường tròn đó, do Eµ 1 Eµ 2 nên IC 
 = IH.
 Ví dụ 80. Cho ABC đều nội tiếp đường tròn (O; R), M là điểm chính giữa cung nhỏ AC. Lấy điểm K thuộc 
cạnh BC sao cho nếu gọi I là giao điểm của MK và AC thì CI = BK. Gọi D là điểm chính giữa cung nhỏ BC. 
Chứng minh rằng:
 a) D· KM 1200 b) CK = R
 Giải. h.99)
 0
 a) DKB và MCI có BK = CI (gỉả thiết), Bµ 1 Cµ 1( 30 ) , BD = CM (vì B¼D C¼M ) nên 
 0 0 0 0
 DBK MCI(c.g.c) Dµ 1 Mµ 1 . Do B· CM A· CB Cµ 1 60 30 90 nên Kµ 1 90 Mµ 1 . 
 0 0 0 0 0
 Kµ 2 Bµ 1 Dµ 1 30 Dµ 1 nên Kµ 1 Kµ 2 90 Mµ 1 30 Dµ 1 120 (vì Dµ 1 Mµ 1 ) tức là D· KM 120 (1)
 b) Ta có D· OM sñD¼M 1200 (2)
 Từ (1) và (2) suy ra D, K, O, M thuộc một đường tròn. Đường tròn này có tâm là C, vì CD = CO = CM 
 = R. Suy ra CK = R.
 Ví dụ 81. Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O; R), đường cao AH. Gọi I, K theo thứ tự là hình chiếu 
của H lên AB, AC. Biết diện tích tam giác AIK bằng nửa diện tích tam giác ABC. Tính AH.
 Giải. (h.100)
 0 
 Tứ giác AIHK có A· IH A· KH 90 nên A, I, H, K thuộc đường tròn đường kính AH I1 Hµ 1 . Kết hợp 
 
với Hµ 1 Cµ 1 (cùng phụ Hµ 2 ) suy ra I1 Cµ 1 .
 2
 AI SAIK 1 AI 1
 AIK ∽ ACB(g.g) (1)
 AC SACB 2 AC 2
  0
 Kẻ đường kính AD. Xét AIH và ACD có I Cµ 90 ,Hµ 3 Dµ ( Bµ ) nên AIH ∽ ACD(g.g) 
 AI AH AH
 (2)
 AC AD 2R
 AH 1
 Từ (1) và (2) suy ra AH R 2
 2R 2
 Ví dụ 82. Cho ABC,Bµ 350 ,Cµ 300 . Lấy điểm K thuộc nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A sao cho 
A· KB 600 ,A· KC 700 . Tính góc nhọn tạo bởi AK và BC.
 Giải. (h.101)
 Vẽ đường tròn (O) ngoại tiếp ABC . Theo liên hệ giữa góc nội tiếp và góc ở tâm, ta có: 
A· OB 2A· CB 2.300 600 ,A· OC 2A· BC 2.350 700 nên O là giao điểm của cung chứa góc 600 vẽ trên AB 
và cung chứa góc 700 vẽ trên AC. Do đó O và K trùng nhau.
 Gọi I là giao điểm của AK và BC. AKB cân tại K có A· KB 600 nên K· AB 600 tức là I·AB 600
 Vậy A· IB 1800 (600 350 ) 850 . Góc nhọn tạo bởi AK và BC bằng 850.
 Ví dụ 83. Cho đường tròn (O), điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp 
điểm). Một đường thẳng chuyển động luôn qua A cắt đường tròn (O) ở M và N. Tìm quỹ tích trực tâm H của tam 
giác BMN.
 Giải. (h.102)
 Phần thuận: Lấy C đối xứng với O qua MN. Dễ chứng minh BH = OC. Ta lại có BH // OC nên HBOC là 
hình bình hành. Vẽ hình bình hàng AOBK. Dễ chứng minh AKHC là hình bình hành nên KH = AC = AO. Điểm H cách K 
cố định một khoảng bằng AO (đặt bằng d) không đổi, nên H chuyển động trên đường tròn (K; d)
 Giới hạn: Khi AMN trùng với AB thì H trùng H1 ( H1 thuộc tia OB và OH1 3OB ). Điểm H chỉ chuyển 
động trên cung H1H2 của đường tròn (K; d), cung H1H2 nhận KB là trục đối xứng.
 Phần đảo: Bạn đọc tự giải.
 Kết luận: Quỹ tích của H là cung H1H2 của đường tròn (K: d).
 Lưu ý: Ta có thể phát hiện quỹ tích của H nhờ phép tịnh tiến: H là ảnh của C trong phép tịnh tiến theo vectơ 
OB. Quỹ tích của C là cung C1C2 của đường tròn (A; AO). Tịnh tiến cung C1C2 theo vectơ OB ta được cung H1H2
(điểm K vẽ thêm là ảnh của điểm A trong phép tịnh tiến đó).
 Ví dụ 84. Cho đường tròn (O; R), điểm A cố định có OA = 2R. Dựng đường kính BC sao cho B· AC 450
 Giải. (h.103)
 Cách dựng: Dựng theo thứ tự ngược. Trước hết ta dựng ở một hình riêng (h.103a):
 Dựng đoạn thẳng B’C’ = 2R. Dựng cung B'mC' chứa góc 450.
 Dựng trung điểm O’ của B’C’. Dựng đường tròn (O’; 2R) cắt cung B'mC' ở A’
 Sau đó dựng và hình đã cho (h.103b)
 Dựng đường tròn (A; A’B’) cắt (O) ở B. Dựng đường kính BOC.
 Chứng minh: AOB A'O'B'(c.c.c) Bµ Bµ '
 ABC A'B'C'(c.g.c) B· AC B· 'A'C' 450
 Bài tập
Góc ở tâm. Cung bị chắn
120. Cho đường tròn (O; R), hai dây AB và CD vuông góc với nhau tại I nằm trong đường tròn. Tính tổng bình 
 phương bốn cạnh của tứ giác ACBD.
121. Cho đường tròn (O), M là điểm chính giữa cung AB. Kẻ dây MC cắt dây AB ở D.
 a) Nêu cách dựng đường tròn (I) đi qua D và tiếp xúc trong với đường tròn (O).
 b) Chứng minh rằng đường tròn (I) tiếp xúc với AB tại D
122. Cho tam giác ABC vuông tại A. Ở phía ngoài tam giác ABC vẽ các nửa đường tròn có đường kính AB, AC. 
 Một đường thẳng d đi qua A cắt các nửa đường tròn trên theo thứ tự ở D, E. Tìm vị trí của đường thẳng d 
 để tứ giác BCED có:
 a) Diện tích lớn nhất.
 b) Chu vi lớn nhất.
Góc nội tiếp
123. Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Dây BC của đường tròn (O) cắt đường tròn 
 (O’) ở E nằm giữa B và C. Đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC cắt các đường tròn (O) và (O’) lần 
 lượt ở D và K (khác A). Chứng minh rằng CDEK là hình thoi.