Chuyên đề bồi dưỡng Hình học Lớp 9 - Chuyên đề 8: Tứ giác nội tiếp đường tròn (Có đáp án)

 Chuyên đề 8
TỨ GIÁC NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN
 TỔNG QUAN VỀ CHUYÊN ĐỀ.
 Tứ giác nội tiếp là một công cụ đặc biệt quan trọng trong các bài toán về đường tròn cũng 
như trong các bài toán mà đề bài không đề cập đến đường tròn.
 Các bài toán về tứ giác nội tiếp trong chuyên đề này gồm có:
 - Tứ giác nội tiếp, tính chất và cách nhận biết, bao gồm các bài toán về chứng minh một 
tứ giác nội tiếp và vận dụng các tính chất của tứ giác nội tiếp để chứng minh hai đoạn thẳng bằng 
nhau, hai góc bằng nhau, hai đường thẳng vuông góc, hai đường thẳng song song, các điểm 
thẳng hàng, 
 - Sử dụng hệ thức lượng trong đường tròn vào tứ giác nội tiếp: Từ các điểm thuộc đường 
tròn suy ra các hệ thức, từ các hệ thức chứng minh các điểm thuộc một đường tròn.
 - Chuyên đề cũng giới thiệu những chùm bài tập có giả thiết gần nhau thường gặp, như 
bài toán có tam giác và các đường cao, bài toán có hai tiếp tuyến và một cát tuyến kẻ từ một 
điểm, bài toán có tứ giác nội tiếp và giao điểm của các đường thẳng chứa các cạnh đối để khi gặp 
các bài toán dạng này, ta nhớ đến những bổ đề quen thuộc giúp tìm ra cách giải.
Vài nét lịch sử
 BÀI TOÁN NA-PÔ-LÊ-ÔNG
 Na-pô-lê-ông Bô-na-pác (Napoléon Bonaparte 1769 – 1821), Hoàng đế Pháp, không chỉ 
giỏi về quân sự và kinh tế mà còn rất yêu thích toán học. Bài toán dưới đây và một vài bài toán 
khác, được gọi là bài toán 
Na-pô-lê-ông.
 Thực ra, đó là bài toán của nhà toán học I-ta-li-a Mac-sê-rô-ni (Lorenzo Mascheroni 1750 
– 1800). 
Na-pô-lê-ông đã gặp nhà toán này trong chuyến viễn chinh ở I-ta-li-a và đã giới thiệu cuốn 
“Hình học với chiếc compa” của Mac-sê-rô-ni với Viện Hàn lâm khoa học Pa-ri.
 Bài toán chia đường tròn thành bốn phần với chiếc compa như sau: Cho một đường tròn và tâm O của nó. Chỉ dùng một chiếc compa, hãy chia đường tròn 
đó thành bốn phần bằng nhau (tức là hãy dựng hai điểm sao cho khoảng cách giữa chúng là độ 
dài cạnh của một hình vuông nội tiếp đường tròn).
Giải (h.104)
 Gọi R là bán kính của đường tròn (O). Dùng compa, dựng các điểm A, B, C, D trên 
đường tròn sao cho AB = BC = CD = R.
 Dựng các cung của đường tròn (A; AC) và (D; DB), chúng cắt nhau ở E. Độ dài OE là độ 
dài cạnh của hình vuông nội tiếp đường tròn.
 Đường tròn (A; OE) cắt (O) ở M, N. Các điểm A, M, D, N chia đường tròn (O) thành bốn 
phần bằng nhau.
 Chứng minh: EAD cân tại E, đường trung tuyến EO là đường cao nên
 2
 OE 2 AE 2 OA2 AC 2 OA2 R 3 R2 2R 2 OE R 2
I. TỨ GIÁC NỘI TIẾP: TÍNH CHẤT VÀ CÁCH NHẬN BIẾT
 1. Tứ giác nội tiếp là tứ giác có bốn đỉnh thuộc một đường tròn.
 2. Trong một tứ giác nội tiếp, các góc đối bù nhau (do đó một góc của tứ giác nội tiếp 
bằng góc ngoài tại đỉnh đối diện).
 3. Một tứ giác là nội tiếp nếu có một trong các điều kiện sau:
 - Có một điểm cách đều bốn đỉnh của tứ giác (dùng định nghĩa đường tròn);
 - Có hai đỉnh liên tiếp nhìn cạnh nối hai đỉnh còn lại dưới hai góc bằng nhau (dùng cung 
chứa góc);
 - Có hai góc đối bù nhau;
 - Có một góc bằng góc ngoài tại đỉnh đối diện.
 Ngoài ra, còn có thể dùng các hệ thức để chứng minh tứ giác nội tiếp (xem Mục II. Sử dụng 
hệ thức lượng trong đường tròn).
 Ví dụ 85. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm 
các đường phân giác của các tam giác AHB, AHC. Chứng minh rằng BIKC là tứ giác nội tiếp.
 Giải: (h.105)
 · µ µ µ µ
 Xét BIK C1 I1 I2 C1. 1 µA Cµ
 Iµ =900 + 1 =900 + 2 
 1 2 2
 HI
 VAHB : VCHA g.g , I và K là giao điểm các đường phân giác nên bằng tỉ số đồng 
 HK
 HI HA
 dạng , lại có I·HK 900 nên VIHK : VAHC c.g.c Iµ ¶A Bµ 3 
 HK HC 2 2
 Cµ Cµ
 Từ (1), (2) và (3) suy ra B· IK Cµ 900 Bµ 900 Bµ Cµ 1800 BIKC là tứ 
 1 2 2
 giác nội tiếp.
 Ví dụ 86. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi O, I, K theo thứ tự là giao 
 điểm các đường phân giác của các tam giác ABC, AHB, AHC. Gọi D, E theo thứ tự là giao 
 điểm của AI, AK với BC.
 a) Chứng minh rằng năm điểm D, I, O, K, E thuộc một đường tròn.
 b) Tính đường kính của đường tròn đó theo các cạnh của tam giác ABC.
 Giải: (h.106)
 · ¶ · µ µ ¶ · ·
 a) Ta có BAE phụ A4 , BEA phụ A3 , mà A3 A4 nên BAE BEA .
 VBAE cân tại B, do đó đường phân giác BO là đường trung trực của AE.
 Tương tự CO là đường trung trực của AD. Suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp VADE
 D· OE 2D· AE 2.450 900. 1 
 µ µ
 VBAE cân tại B có I thuộc trục đối xứng BO của tam giác nên E1 A1 (đối xứng), mà 
µ µ
A1 C1 
 · · µ µ
 (do BAH ACH ) nên E1 C1 , suy ra EI // CO. Ta lại có CO  AD nên EI  AD , 
 tức là D· IE 900. 2 
 Tương tự D· KE 900. 3 
 Từ (1), (2) và (3) suy ra D, I, O, K, E thuộc đường tròn đường kính DE.
 b) DE BE CD BC BA CA BC . 
 Ví dụ 87. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), đường cao AH. Gọi Bx, Cy là 
 các tiếp tuyến của đường tròn, D là hình chiếu của A trên Bx, E là hình chiếu của A trên 
 Cy. Gọi I là giao điểm của AB và HD, K là giao điểm của AC và HE. Chứng minh rằng:
 a) Chứng minh rằng AIHK là tứ giác nội tiếp. b) IK song song với BC.
 Giải: (h.107)
 · · µ ·
 a) Tứ giác AHBD nội tiếp AHD ABD , mà C1 ABD (góc nội tiếp và góc 
 » · µ
 tạo bởi tiếp tuyến với dây cùng chắn AB ) nên AHD C1 .
 · µ · · · µ µ · 0
 Tương tự AHE B1 . Suy ra AHD AHE BAC C1 B1 BAC 180
 I·HK I·AK 1800 AIHK là tứ giác nội tiếp.
 µ · · µ µ µ
 b) AIHK là tứ giác nội tiếp I1 AHK , mà AHK B1 nên I1 B1 . Suy ra IK 
 // BC.
 Ví dụ 88. Cho đường tròn (O), dây BC, điểm H nằm giữa B và C. Đường vuông góc với 
 BC tại H cắt cung lớn BC ở A. Kẻ dây AD song song với BC. Kẻ dây DK đi qua H. Kẻ 
 đường kính AE, cắt BC ở I. Kẻ dây KF đi qua I. Gọi M là giao điểm của AF và BC. Chứng 
 minh rằng ME là tiếp tuyến của đường tròn (O).
 Giải: (h.108)
 µ ¶ µ · ¶ ·
 Ta có D H1 (vì AD // BC), D AEK (góc nội tiếp chắn cung AK) nên H1 AEK
 ¶ ¶
 IHKE là tứ giác nội tiếp H2 K1 .
 ¶ µ ¶ µ
 Ta lại có K1 A1 ( góc nội tiếp chắn cung EF) nên H2 A1 .
 AHEM là tứ giác nội tiếp (theo cung chứa góc).
 ·AEM ·AHM 900 ME là tiếp tuyến của (O).
 Ví dụ 89. Cho hình thang ABCD nội tiếp đường tròn (O) có đáy lớn CD không qua O. 
 Đường vuông góc với AD tại D và đường vuông góc với BC tại B cắt nhau ở E. Chứng 
 minh rằng EO song song với AB.
 Giải: (h.109, hình vẽ ứng với điểm O nằm trong hình thang; trường hợp còn lại chứng 
minh tương tự)
 Gọi K là giao điểm của AD và BC.
 · · · · µ µ
 Ta có DAB ABC và OAB OBC nên hiệu của chúng là A1 B1 .
 µ · µ ·
 Ta lại có A1 ODA nên B1 ODA ODKB là tứ giác nội tiếp. (1)
 K· BE K· DE 900 KBDE là tứ giác nội tiếp. (2) Từ (1) và (2) suy ra K, B, O, D, E thuộc một đường tròn.
 K· OE K· BE 900 . Kết hợp với KO  AB suy ra EO // AB. 
Ví dụ 90. Cho tam giác ABC có AB < AC, điểm D thuộc đường trung tuyến AM. Đường 
thẳng đi qua D và vuông góc với BC cắt tia phân giác của góc BAC tại E. Gọi H và K theo 
thứ tự là hình chiếu của E trên AB và AC. Chứng minh rằng ba điểm H, D, K thẳng hàng. 
 Giải: (h.110)
 Qua D kẻ đường thẳng song song với BC, cắt AB và AC ở I và N.
 Do MB = MC nên DI = DN. (1)
 DE  BC , BC // IN nên DE  IN . (2)
 Từ (1) và (2) suy ra VEIN cân, EI = EN. (3)
 AE là tia phân giác góc A nên EH = EK. (4)
 Từ (3) và (4) ta có VEHI VEKN (cạnh huyền – cạnh góc vuông) E· IH E· NK . (5)
 Ta lại có E· IH E· DH (tứ giác EHID nội tiếp), E· NK bù E· DK (tứ giác EDKN nội tiếp) 
nên từ (5) suy ra E· DH bù E· DK . Do đó H, D, K thẳng hàng.
Ví dụ 91. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau ở A và B, O· AO ' 900 . Kẻ cát tuyến 
chung CAD, A nằm giữa C và D, C O , D O ' . Kẻ dây AG của đường tròn (O’) cắt 
cung AB của đường tròn (O) ở H (khác A). 
 a) Tính góc GBH.
 b) Gọi I là trung điểm của GD, K là trung điểm của CH. Tính góc IBK.
 Giải: (h.111)
 1
 a) Gµ ·AO 'O (cùng bằng ·AO ' B )
 1 2
 1
 B· HG ·ACB (ACBH nội tiếp) = ·AOO ' (cùng bằng ·AOB )
 2
 µ · · · 0 · 0
 Nên G1 BGH AO 'O AOO ' 90 , Vậy GBH 90 . 
 µ µ ¶
 b) C1 A1 D1 .
 B· HC B· AC (góc nội tiếp) = B· GD (ABGD nội tiếp) nên VBHC : VBGD g.g 
 H· BK G· BI (BK và BI là các trung tuyến tương ứng)
 H· BK H· BI G· BI H· BI I·BK G· BH . Ta lại có G· BH 900 (câu a) nên I·BK 900 .
Ví dụ 92. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau ở A và B, O· AO ' 900 . Kẻ cát tuyến 
chung CAD, C O , D O ' . Đường vuông góc với O’A tại A cắt BC ở M. Đường 
vuông góc với OA tại A cắt BD ở N. Chứng minh rằng: 
 a) A, M, B, N thuộc một đường tròn.
 b) MN // CD.
 Giải: (h.112, hình vẽ ứng với A nằm giữa C và D; trường hợp còn lại tương tự).
 a) Theo liên hệ giữa góc tạo bởi tiếp tuyến với dây và góc nội tiếp, ta có:
 µ µ µ µ · µ ¶ · µ µ 0
 A1 C, A1 D nên MBN A1 A2 CBD C D 180 
 AMBN là tứ giác nội tiếp.
 ¶ ¶
 b) Tứ giác AMBN nội tiếp N1 A2 .
 ¶ µ ¶ µ
 Ta lại có A2 D nên N1 D . Suy ra MN // CD.
Ví dụ 93. Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Kẻ các cát tuyến ABC, ADE với đường 
tròn, B nằm giữa A và C, D nằm giữa A và E. Gọi F là giao điểm (khác A) của các đường 
tròn ngoại tiếp các tam giác ABE, ACD.
 a) Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của BC và DE. Chứng minh rằng tứ giác AHFK 
nội tiếp.
 b) Tính góc AFO.
 Giải: (h.113).
 µ µ
 a) ABFE là tứ giác nội tiếp B1 E . 
 ¶ µ
 ADFC là tứ giác nội tiếp D1 C . 
 Suy ra VBCF : VEDF g.g , mà FH và FK là các đường trung tuyến tương ứng nên 
 B· HF E· KF
 AHFK là tứ giác nội tiếp.
 b) AHFK là tứ giác nội tiếp, AHOK là tứ giác nội tiếp (vì ·AHO ·AKO 900 ) nên A, H, 
O, F, K thuộc đường tròn đường kính AO. Suy ra ·AFO 900 . Ví dụ 94. Cho hai đường tròn O và O cắt nhau ở A và B . Kẻ tiếp tuyến chung 
 CD, C O , D O . B gần CD hơn so với A . Đặt B· CD , B· DC  . Kẻ dây 
 BE của đường tròn O vuông góc với OB tại B . Gọi I là giao điểm của CB và 
 DE . Tính B· ID và B· AI .
 Giải: (h.114)
 ¶ · µ
 C2 ABE (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến với dây) D2 (góc nội tiếp)
 ACDI là tứ giác nội tiếp
 · · µ ¶
 BID CAD A1 A2
 µ ¶
 C1 D1 
 µ µ · ¶ µ ¶ µ
 Ta có: A3 C1 ( ACDI nội tiếp) nên BAI A2 A3 D1 C1  
Ví dụ 95. Cho nửa đường tròn O đường kính AB . Qua điểm C thuộc nửa đường 
 tròn, kẻ tiếp tuyến d . Kẻ hai đường thẳng song song AA' và BB ' bất kì, cắt d theo 
 thứ tự ở D và E . Chứng minh rằng AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính 
 DE .
 Giải:(h.115)
 Gọi M là trung điểm của DE .
 Kẻ MH  AB . Ta sẽ chứng minh MH MD ME bằng cách chứng minh 
 D· HE 90 .
 Giả sử M nằm giữa C và E , các trường hợp khác tương tự.
 OCMH là tứ giác nội tiếp
 C· HO C· MO 1 
 OM là đường trung bình của hình thang ADEB
 OM // BE C· MO C· EB 2 
 · · · µ
 Từ (1) và (2) suy ra CHO CEB CHBE là tứ giác nội tiếp CEH B1 .
 · µ
 Tương tự CDH A1 .
 · · µ µ · 
 Suy ra CEH CDH B1 A1 90 DHE 90 . Tam giác DHE vuông tại H có HM là trung tuyến nên HM MD ME .
 Đường tròn đường kính DE có tâm M , lại có AB  MH tại H nên AB là tiếp 
 tuyến của đường tròn.
Ví dụ 96. Cho tam giác ABC , tia phân giác các góc B và C cắt nhau tại I . Gọi H là 
 hình chiếu của C trên BI , K là hình chiếu của B trên CI , D là hình chiếu của 
 I trên BC . Gọi M là trung điểm của BC . Chứng minh rằng bốn điểm 
 D, K, H, M thuộc một đường tròn.
 Giải: (h.116 hỉnh vẽ ứng với AB AC , các trường hợp khác tương tự).
 BHC vuông tại H có HM là đường trung tuyến MBH cân tại M .
 ¶ µ ·
 M1 2B1 ABC 1 
 ¶ µ
 BKID là tứ giác nội tiếp K1 B1.
 ¶ µ
 BKHC là tứ giác nội tiếp K2 B1
 ¶ ¶ µ · · ·
 Suy ra K1 K2 2B1 ABC tức là DKH ABC 2 
 ¶ ·
 Từ (1) và (2) suy ra M1 DKH DHKM là tứ giác nội tiếp.
Ví dụ 97. Cho tam giác ABC cân tại A . Đường tròn O tiếp xúc với AB tại B và 
 tiếp xúc với AC tại C . Gọi D là điểm thuộc cung nhỏ BC C»D B»D . Gọi E là 
 giao điểm của CD và AO . Đường thẳng đi qua E và song song với BC cắt AB ở 
 M . Chứng minh rằng MD là tiếp tuyến của đường tròn O .
 Giải:(h.117)
 ME / /BC E· MB C· Bx mà C· Bx C· DB (góc tạo bởi tiếp tuyến với dây và góc nội 
 tiếp)
 Nên E· MB C· DB EMBD là tứ giác nội tiếp. (1)
 EMBO có O· EM O· BM 90 90 180 nên là tứ giác nội tiếp. (2)
 Từ (1) và (2) suy ra năm điểm E, M , B,O, D thuộc một đường tròn.
 O· DM O· EM 90 
 Vậy MD là tiếp tuyến của O . Ví dụ 98. Cho tam giác ABC vuông cân tại A . Điểm I thuộc đường cao AD . Gọi 
 H, K theo thứ tự là hình chiếu của I trên AB, AC . Gọi E là giao điểm của BI và 
 DK . Chứng minh rằng I là giao điểm các đường phân giác của tam giác DHE .
 Giải: (h.118)
 Tứ giác AHIK là hình vuông nên H đối xứng với K qua AD .
 ¶ ¶ ¶ ¶
 D1 D2 , H1 K1
 Tứ giác BHID nội tiếp
 µ ¶ ¶
 B1 D1 D2 ABDE nội tiếp
 ·AEB ·ADB 90 
 ¶ ¶
 Do đó, A, H, I, E, K thuộc đường tròn đường kính AI K1 H2 .
 ¶ ¶
 Vậy H1 H2 .
 ¶ ¶ ¶ ¶
 Tam giác DHE có D1 D2 , H1 H2 nên I là giao điểm các đường phân giác.
 Ví dụ 99. Cho đường tròn O . Đường tròn O ' đi qua O và cắt đường tròn O 
 tại A và B . Vẽ đường kính OC của đường tròn O ' . Vẽ dây BD của đường tròn 
 O là tiếp tuyến của đường tròn O ' . Gọi giao điểm thứ hai của CD với đường 
 tròn O và đường tròn O ' theo thứ tự là H và E . Chứng minh rằng:
 a) EC là tia phân giác của góc AEB ;
 b) AE song song với HB ;
 c) AH EH .
 Giải: (h.119)
 a) A đối xứng với B qua.
 C»A C»B Eµ 1 Eµ 2 .
 b) Theo tính chất góc ngoài của tam giác ta có: Eµ 2 Dµ 1 Bµ 1, Hµ 1 Bµ 2 Cµ 1 .
 µ µ µ µ
Ta lại có BD là tiếp tuyến của O , BC là tiếp tuyến của O nên D1 B2 , B1 C1 .
Suy ra Eµ 2 Hµ 1 . Ta lại có Eµ 1 Eµ 2 (câu a) nên Eµ 1 Hµ 1 
 AE / /HB . c) Do AE / /HB (câu b), gọi I là giao điểm của BH và O thì AEBI là hình thang 
 cân
 I E· BH . (1)
 A· HI A· DB ( ADBH nội tiếp) Oµ 1 Eµ 1 Hµ 1 . (2)
 AH AI
 Từ (1) và (2) suy ra AHI : EHB (g.g) 1. Vậy AH EH .
 EH EB
Ví dụ 100. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O , BC a, AC b, AB c . Gọi d 
là tiếp tuyến tại A của đường tròn O . Lấy điểm D thuộc cung BC không chứa A 
sao cho các tia DB và DC cắt d , gọi các giao điểm đó theo thứ tự là M và N . Tính 
 1 1
tổng theo a, b, c .
 AM AN
Giải: (h.120)
Đặt AM m, AN n . Ta có Aµ 1 Cµ 1 (cùng bằng nửa số đo cung AB ). Để tạo ra tam 
giác đồng dạng với AMB , ta lấy I trên BC sao cho C· AI Mµ .
 CAI : AMB (g.g)
 AC IC
 .
 AM AB
 1 1 IC IB a 1 1 a
Suy ra . Vậy, .
 m n bc bc bc AM AN bc
Ví dụ 101. Cho đường tròn O và đường thẳng d không giao với đường tròn, điểm 
 A cố định trên đường tròn O , điểm B cố định trên đường thẳng d . Gọi M là điểm 
di chuyển trên d . Đường tròn O đi qua A, B, M cắt đường tròn O ở điểm C 
(khác A ). Chứng minh đường thẳng MC luôn đi qua một điểm cố định.
Giải: (h.121)
Vẽ đường tròn I đi qua A và tiếp xúc với d tại B , cắt O ở C . Gọi K là giao điểm 
của BC và O thì K cố định.
Gọi C1 là giao điểm (khác K ) của MK và O . 
 µ µ µ µ µ ·
Ta có: M1 B1 K (góc ngoài tam giác MBK ) A1 A2 BAC1 
 ABMC1 là tứ giác nội tiếp C1 O C1  C .
Vậy MC đi qua điểm cố định K .