Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Bộ 12

 CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Chuyên đề 1: CĂN BẬC HAI VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Câu 1.(Đề thi HSG 9 tỉnh Quảng Ngãi 2016 2017) 
 5 3 3 5
 Rút gọn biểu thức: A = 
 2 3 5 2 3 5
 Lời giải
 5 3 3 5
 Rút gọn biểu thức: A = 
 2 3 5 2 3 5
 5 3 3 5 2( 5 3) 2(3 5)
 A = = 
 2 3 5 2 3 5 2 6 2 5 2 6 2 5
 2( 5 3) 2(3 5) 2( 5 3) 2(3 5)
 A = 
 2 ( 5 1)2 2 ( 5 1)2 5 3 3 5
 A = 2 2
Câu 2.(Đề thi HSG 9 tỉnh Quảng Ngãi 2016 2017) 
 x2 x x2 x
 Cho A 
 x x 1 x x 1
 a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A
 b) Đặt B = A + x – 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B
 Lời giải
 x2 x x2 x
 A 
 x x 1 x x 1
 a) ĐKXĐ: x 0
 3 3
 x2 x x2 x x x 1 x x 1 
 A 
 x x 1 x x 1 x x 1 x x 1
 x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 
 x x 1 x x 1
 x x 1 x x 1 x x x x 2 x
 2
 b) B = A + x – 1= 2 x x 1 x 2 x 1 x 1 2 2
 Dấu “=” xảy ra x 1 0 x 1 ( TM ĐKXĐ)
 Vậy GTNN của biểu thức B=-2 khi x=1
Câu 3.(Đề thi HSG 9 quận Cầu Giấy 2017 2018) 
 2 x 3 x 1 x 2 2x x 6
 Cho hai biểu thức: A và B với 0 x 1 
 2 x 2 x 2 1 x x x 2
 a) Tính giá trị của A với x 6 2 5 
 b) Rút gọn B
 c) Đặt P = B:A. Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên
 Lời giải
 a) Tính giá trị của A với x 6 2 5 
  Trang 1  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 2 2
x 6 2 5 5 2 5 1 5 2. 5.1 12 5 1 
 2
 x 5 1 5 1 5 1
 2 x 3
Thay x 5 1vào A 
 2 x 2
 2 5 1 3 2 5 5 2 5 5 . 5 2.5 5. 5 2 5
A 
 2 5 1 2 2 5 2 5. 5 2.5 2
 2 5
Vậy x 6 2 5 thì A 
 2
b)Rút gọn B
 x 1 x 2 2x x 6
B 0 x 1 
 x 2 1 x x x 2
 x 1 x 2 2x x 6
B 
 x 2 x 1 x 1 x 2 
 x 1 . x 1 x 2 . x 2 2x x 6
B 
 x 1 x 2 
 x 1 x 4 2x x 6
B 
 x 1 x 2 
 2x x 3
B 
 x 1 x 2 
 x 1 2 x 3 
B 
 x 1 x 2 
 2 x 3
B 0 x 1 
 x 2
c) Đặt P = B:A. Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên
 2 x 3 2 x 3 2 x 3 2 x 2 2 x 2 6
P B : A : . 2 
 x 2 2 x 2 x 2 2 x 3 x 2 x 2
 6
P nguyên nguyên 6 x 2 x 2 Ư(-6)
 x 2
Mà Ư(-6)= 1; 2; 3; 6 
Mặt khác: x 2 0
 x 2 2;3;6
 x 0;1;4
 x 0;1;16
Kết hợp ĐKXĐ: 0 x 1
  Trang 2  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 Kết luận: Vậy x 0;16 thỏa mãn yêu cầu bài toán
Câu 4.(Đề thi HSG 9 thành phố Bắc Giang 2016 2017) 
 a a b b a b
 a) Cho biểu thức M= với a, b > 0 và a b. Rút gọi M 
 a b a b b a
 và tính giá trị biểu thức M biết 1 a 1 b 2 ab 1
 5 4
 b) Tìm các số nguyên a, b thoả mãn 18 2 3
 a b 2 a b 2
 c) Cho a, b, c thỏa mãn a b c 7 ; a b c 23 ; abc 3Tính giá trị biểu 
 1 1 1
 thức H= 
 ab c 6 bc a 6 ca b 6
 Lời giải
 ab
 -Rút gọn M= với a, b>0 và a b
 a b
 -Ta có
 1 a 1 b 2 ab 1 ab a b 1 2 ab 1
 2 ab ab
 ab a b ( )2 1 1
 a b a b
 + Nếu a>b>0
 ab
 a b a b 0; ab 0 0
 a b
 ab ab ab
 1 M 1
 a b a b a b
 + nếu 0<a<b
 ab
 a b a b 0; ab 0 0
 a b
 ab ab ab
 1 M 1
 a b a b a b
 5 4
 18 2 3
 a b 2 a b 2
 5a 5b 2 4a 4b 2 18 2 a2 2b2 3 a2 2b2 
 5a 5b 2 4a 4b 2 18a2 2 36b2 2 3a2 6b2
 18a2 2 36b2 2 9b 2 3a2 6b2 a
 18a2 36b2 9b 2 3a2 6b2 a
 3a2 6b2 a
 -Nếu 18a2 36b2 9b 0 2 
 18a2 36b2 9b
 3a2 6b2 a
 Vì a, b nguyên nên Q 2 Q Vô lý vì 2 là số vô tỉ
 18a2 36b2 9b
 2 2 3
 18a2 36b2 9b 0 3a 6b b 3
 -Vây ta có 18a2 36b2 9b 0 2 a b
 2 2 
 3a 6b a 0 2 2 2
 3a 6b a
  Trang 3  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 3
 Thay a= b vào 3a2 6b2 a 0 t
 2
 9 3
 a có 3 b2 6b2 b 0 27b2 24b2 6b 0 3b(b 2) 0
 4 2
 Ta có b=0 (loại) ; b=2 (thoã mãm) , vậy a=3. Kết luận
 2
 Ta có a b c a b c 2 ab bc ca 
 mà a b c 7 ; a b c 23 nên ab bc ca 13
 Ta có a b c 7 c 6 a b 1
 nên ab c 6 ab a b 1 a 1 b 1 
 Tương tự bc a 6 b 1 c 1 ; ac b 6 a 1 c 1 
 1 1 1
 Vậy H= 
 ab c 6 bc a 6 ca b 6
 1 1 1
 = 
 a 1 b 1 b 1 c 1 a 1 c 1 
 c 1 a 1 b 1
 =
 a 1 b 1 c 1 
 a b c 3 7 3
 = 1
 abc a b c ab bc ca 1 3 7 13 1
Câu 5.(Đề thi HSG 9 thành phố Bắc Giang 2016 2017) 
 4 3 4 3
 Tính giá trị của biểu thức N= 27 10 2
 4 13
 Lời giải
 2( 4 3 4 3 )
 N= 25 10 2 2
 8 2 13
 2( 4 3 4 3 )
 = (5 2)2
 (4 3) 2 4 3 4 3 (4 3)
 2( 4 3 4 3 ) 2( 4 3 4 3 )
 (5 2)2 5 2 2 5 2 5
 ( 4 3 4 3 )2 4 3 4 3
Câu 6.(Đề thi HSG 9 thành phố Bắc Giang 2016 2017) 
 2
 Cho a, b là số hữu tỉ thỏa mãn a2 b2 2 a b + (1 ab)2 4ab
 Chứng minh 1 ab là số hữu tỉ
 Lời giải
  Trang 4  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 (GT) a b 2 2(ab 1) (a b)2 1 ab 2 0
 a b 4 2(a b)2 (1 ab) (1 ab)2 0
 2
 a b 2 (1 ab) 0 (a b)2 -(1 ab)=0
 (a b)2 1 ab a b 1 ab Q;vi:a;b Q.KL
Câu 7.(Đề thi HSG 9 thành phố Thanh Hóa 2016 2017) 
 x 2 x 1 x 1
 Cho biểu thức: P : . Với x 0, x 1.
 x x 1 x x 1 1 x 2
 a) Rút gọn biểu thức P.
 2
 b) Tìm x để P .
 7
 c) So sánh: P2 và 2P.
 Lời giải
 Điều kiện: x 0, x 1.
 x 2 x 1 x 1
 P :
 x x 1 x x 1 1 x 2
 x 2 x 1 x 1
 :
 3 
 x 1 x x 1 x 1 2
 x 2 x( x 1) (x x 1) x 1
 :
 x 1 x x 1 2
 x 2 x 1 2
 .
 x 1 x x 1 x 1
 2
 x x 1
 Với x 0, x 1. Ta có:
 2
 P 
 7
 2 2
 x x 1 7
 x x 1 7
 x x 6 0
 ( x 2)( x 3) 0
 Vì x 3 0 nên x 2 0 x 4(t/m) 
  Trang 5  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 2
 Vậy P = khi x = 4 
 7
 Vì x 0 x x 1 1
 2
 0 2
 x x 1
 0 P 2
 P(P 2) 0
 P 2 2P 0
 P 2 2P
 Dấu “=” xảy ra khi P = 2 x = 0
 2
 Vậy P 2P
Câu 8.(Đề thi HSG 9 thành phố Hải Phòng 2016 2017) 
 3
 10 6 3( 3 1) 2017
 Cho x . Tính giá trị của P 12x2 + 4x – 55 .
 6 2 5 5
 a 1 a a 1 a 2 a a a 1
 M 
 b) Cho biểu thức a a a a a a với a > 0, a 1. Với những 
 6
 N 
 giá trị nào của a thì biểu thức M nhận giá trị nguyên?
 Lời giải
 a) Ta có : 
 3 10 6 3 3 1 3 ( 3 1)3 3 1 
 6 2 5 5 ( 5 1)2 5
 3 ( 3 1)3 ( 3 1) ( 3 1)( 3 1) 3 1
 x 2
 ( 5 1)2 5 5 1 5 1
 Thay giá trị của x vào P ta được:
 2017
 P 12.22 4. 2 55 12017 1
 b) Với điều kiện a 0; a 1thì: 
 a 1 a 1 a a 1 a 1 a 1 a a 1 
 M 
 a a a 1 a a 1 a 1 
 2
 a 1 a a 1 a a 1 a 1 
 M 
 a a a a
 6 6 a
 Khi đó N 2 0
 M a 1 
 Ta thấy với 0 a 1 a a 1 0
  Trang 6  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 2 6 a
 a 1 3 a 2 2
 a 1 
 Do 0 N 2
 Để N có giá trị nguyên thì N = 1.
 6 a
 1
 a 2 a 1 a 4 a 1 0 
 2 a 3 2 a 7 4 3 (tháa m·n)
 a 2 3 
 a 3 2 a 7 4 3 (tháa m·n)
 Vậy a 7 4 3.
Câu 9.(Đề thi HSG 9 tỉnh Thanh Hóa 2010 2011) 
 1 1 1
 a) Cho ba số hữu tỉ a, b, c thoả mãn . Chứng minh rằng A a2 b2 c2 là 
 a b c
 số hữu tỉ.
 b) Cho ba số hữu tỉ x, y, z đôi một phân biệt. Chứng minh rằng: 
 1 1 1
 B là số hữu tỉ.
 (x y)2 (y z)2 (z x)2
 Lời giải
 Từ giả thiết suy ra 2ab 2bc 2ca 0
 Suy ra A (a b c)2 a b c là số hữu tỉ
 1 1 1 1 1 1
 Đặt a , b ,c suy ra .
 x y y z x z a b c
 1 1 1
 Áp dụng câu 2a) suy ra B là số hữu tỉ.
 (x y)2 (y z)2 (z x)2
Câu 10. (Đề thi HSG 9 thành phố Bắc Giang 2017 2018) 
 x 2 x 4 x 2 x 1 3 x 5 2 x 10 
 a) Cho biểu thức M : 
 x x 8 x 1 x 2 x 6 x 5 
 Rút gọn M và tìm x để M>1
 b) Cho a, b, c >0 thỏa mãn ab bc ca 1. Tính H=
 a b b c c a
 1 c 1 a 1 b
 Lời giải
 x 2 x 4 x 2 x 1 3 x 5 2 x 10 
 a) Cho biểu thức M : 
 x x 8 x 1 x 2 x 6 x 5 
 Rút gọn M và tìm x để M>1
 x 2 x 4 ( x 1)2 3 x 5 2 x 5 
 * M : 
 x 2 x 2 x 4 x 1 x 1 x 2 x 1 x 5 
  Trang 7  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 1 x 1 3 x 5 2 
 : 
 x 2 x 1 x 2 x 1 
 x 1 x 1 x 2 (3 x 5)( x 1) 2( x 2)
 :
 x 2 x 1 x 2 x 1 
 x 1 x 2 x x 2 3x 3 x 5 x 5 2 x 4
 :
 x 2 x 11 x 2 x 1 
 x 3 3x 9 x 3 x 2 x 1 x 1
 : 
 x 2 x 11 x 2 x 1 x 2 x 1 3(x 3) 3 x 1 
 x 1
 Vậy M= với x 0; x 1,3,4
 3 x 1 
 x 1 x 1 4 2 x 2 x
 *M<1 1 1 0 0 0
 3 x 1 3 x 1 3 x 1 x 1
 2 x 0
 x 1 0
 Ta có 1 x 2 1 x 4 . Vậy M>1 khi 1<x<4 và x 3
 2 x 0
 x 1 0
 b/Cho a, b, c >0 thỏa mãn ab bc ca 1. Tính H=
 a b b c c a
 1 c 1 a 1 b
 • Vì ab bc ca 1 nên 1+c=
 ab bc ca c ... a c b c 
 • Tương tự ta có 1 a a b a c ;1 b a b b c 
 • Vậy H=
 a b b c c a
 a c b c a b a c a b a c 
 a c b c a b a c b c a b 
 = 
 a c b c a b a c b c a b 
 1 1 1 1 1 1
 = 0
 b c a c a c a b a b b c
Câu 11.(Đề thi HSG 9 tỉnh Hải Dương 2012 2013) 
 Cho x, y thỏa mãn x 3 y- y2 +1+ 3 y+ y2 +1 . Tính giá trị của biểu thức 
 A x4 +x3y+3x2 +xy- 2y2 +1.
 Lời giải
 Có x = 3 y- y2 + 1 3 y+ y2 + 1 
  Trang 8  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 3 2 2 2 2 
 x = 2y +33 y - y + 1 . 3 y+ y + 1 3 y- y +1 3 y+ y +1 
 x3 + 3x -2y = 0
 A = x4 + x3y + 3x2 - 2xy + 3xy - 2y2 + 1 = (x4 +3x2 -2xy) +(x3y+3xy - 2y2 ) 1
 x(x3 +3x-2y) +y(x3 +3x - 2y) 1 1
 Chuyên đề 2: BẤT ĐẲNG THỨC – MIN, MAX
Câu 1.(Đề thi HSG 9 tỉnh Quảng Ngãi 2016 2017) 
 a b c
 Cho a,b,c 0 . Chứng minh rằng 2 .
 b c c a a b
 Lời giải
 a 2a
 Áp dụng BĐT Cauchy ta có a b c 2 a b c 
 b c a b c
 Chứng minh tương tự ta được
 b 2b c 2c
 ; 
 c a a b c a b a b c
 a b c 2 a b c 
 Suy ra 2
 b c c a a b a b c
 a b c
 Dấu bằng xảy ra b c a a b c 0(Trái với giả thiết)
 c a b
 Vậy dấu = không xảy ra suy ra đpcm.
Câu 2.(Đề thi HSG 9 quận Cầu Giấy 2017 2018) 
 Cho x, y, z 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 x y z
 T 
 3 x 2y 1 4 3 y 2z 1 4 3 z 2x 1 4
 Lời giải
 2
 a2 b2 c2 a b c 
 Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức * với x, y, z 0 , 
 x y z x y z
 a,b,c bất kì.
 a b c
 Dấu " '' xảy ra 
 x y z
 2
 a2 b2 a b 
 Chứng minh: Trước hết ta chứng minh ,
 x y x y
 Thật vậy quy đồng hai vế lên ta được bất đẳng thức tương đương ay bx 2 0 , luôn 
 a b
 đúng. Dấu " " xảy ra ay bx 
 x y
 2 2
 a2 b2 c2 a b c2 a b c 
 Áp dụng ta được 
 x y z x y z x y z
 a b
 x y a b c
 Dấu " " xảy ra (đpcm)
 a b c x y z
 x y z
  Trang 9  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 Bất đẳng thức thức (*) được chứng minh.
 Áp dụng bất đẳng thức cô- si cho hai số không âm 3 và x 2y 1 ta có: 
 9 x 2y 1 x
 3 x 2y 1 y 4 
 2 2
 x
 3 x 2y 1 4 y 
 2
 x x 2x 2x2
 Suy ra 
 x 2
 3 x 2y 1 4 y x 2y x 2xy
 2
 y 2y2 z 2z2
 Tương tự ; 
 3 y 2z 1 4 y2 2yz 3 z 2x 1 4 z2 2zx
 Cộng vế với vế tương ứng của các bất đẳng thức trên ta được 
 2x2 2y2 2z2
 T 
 x2 2xy y2 2yz z2 2zx
 Lại áp dụng bất đẳng thức (*) ta có 
 2
 2x2 2y2 2z2 x y z 
 2 2 
 2 2 2 2 2 2 
 x 2xy y 2yz z 2zx x 2xy y 2yz z 2zx 
 Do đó T 2 
 x 2y 1 9
 y 2z 1 9
 10
 Dấu " '' xảy ra z 2x 1 9 x y z (TMĐK)
 3
 x y z
 2 2 2
 x 2xy y 2yz z 2zx
 10
 Vậy Min T 2 khi x y z 
 3
Câu 3.(Đề thi HSG 9 tỉnh Phú Thọ 2009 2010) 
 Cho các số dương x, y,z thỏa mãn điều kiện xy yz zx 670. Chứng minh rằng:
 x y z 1
 x2 yz 2010 y2 zx 2010 z2 xy 2010 x y z
 Lời giải
 Trước tiên ta chứng minh bất đẳng thức : Với mọi a,b,c ¡ và x,y,z 0 ta có:
 2
 a2 b2 c2 a b c 
 (*) 
 x y z x y z
 a b c
 Dấu “=” xảy ra 
 x y z
 Thật vậy, với a,b ¡ và x,y 0 ta có:
 2
 a2 b2 a b 
 (**)
 x y x y 
 2
 a2y b2x x y xy a b 
 a b
 (bx ay)2 0 (luôn đúng ). Dấu “=” xảy ra 
 x y
  Trang 10 