Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Bộ 14

 CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 Chuyờn đề 1: CĂN BẬC HAI VÀ BÀI TOÁN LIấN QUAN
Cõu 1. (Đề thi HSG 9 tỉnh Vĩnh Phỳc 2017-2018) 
 a 2018 a 2018 a 1
 Rỳt gọn biểu thức 
 P .
 a 2 a 1 a 1 2 a
 Lời giải
 a 0
 Điều kiện: 
 a 1
 a 2018 a 2018 a 1
 Khi đú: P . 
 2 
 a 1 a 1 a 1 2 a
 a 2018 a 1 a 2018 a 1 a 1
 2 . .
 a 1 a 1 2 a
 2.2017 a a 1 2017
 2 . 
 a 1 a 1 2 a a 1
Cõu 2. (Đề thi HSG 9 tỉnh Vĩnh Phỳc 2017-2018) 
 2
 Cho ba số thực dương x, y, z thỏa món x y x y z , x y z 
 2
 x x z x z
 và y z . Chứng minh đẳng thức 2 . 
 y y z y z
 Lời giải
 2 2 2
 x x z x y z y x z 
 Ta cú: 2 2 2
 y y z x y z x y z 
 2
 x 2 y z x z x z x z 2 x 2 y 2 z 
 2 
 2 x y z y z y z y z 2 x 2 y 2 x 
 x z
 .
 y z
Cõu 3. (Đề thi HSG 9 tỉnh Bắc Ninh 2017-2018) 
 x 2 x 1 x 2 x 1
 Rỳt gọn biểu thức: P , với x 2 .
 x 2x 1 x 2x 1
 Lời giải
  Trang 1  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 ổ 2 2 ử
 2.ỗ ( x- 1+ 1) + ( x- 1- 1) ữ
 x- 1+ 2 x- 1+ 1+ x- 1- 2 x- 1+ 1 ốỗ ứữ
 P = =
 2 2
 2x- 1+ 2 2x- 1+ 1- 2x- 1- 2 2x- 1+ 1 ( 2x- 1+ 1) - ( 2x- 1- 1)
 2
 2.( x- 1+ 1+ x- 1- 1) 2.2 x- 1
 = = = 2. x- 1.
 2x- 1+ 1- 2x- 1+ 1 2
Cõu 4. (Đề thi HSG 9 tỉnh Bến Tre 2017-2018) 
 2 3 5 2 3 5 
 Rỳt gọn biểu thức: A .
 2 2 3 5 2 2 3 5
 Lời Giải
 2 2
 2 3 5 2 3 5 5 1 5 1 
 A 
 2 2
 4 6 2 5 4 6 2 5 4 5 1 4 5 1 
 2 2
 5 1 5 1 5 1 5 1 2 5
 2 .
 5 5 5 5 5 5 5
Cõu 5. (Đề thi HSG 9 tỉnh Hải Dương 2017-2018) 
 ổ2 x + x 1 ử ổ x + 2 ử
 ỗ ữ ỗ ữ
 Rỳt gọn biểu thức A = ỗ - ữ:ỗ1- ữvới x ³ 0; x ạ 1.
 ốỗx x - 1 x - 1ứữ ốỗ x + x + 1ứữ
 Lời Giải
 ổ ử ổ ử
 ỗ2 x + x 1 ữ ỗ x + 2 ữ
 A= ỗ - ữ: ỗ1- ữVới x ³ 0 và x ạ 1 , ta cú :
 ốỗx x - 1 x - 1ứữ ốỗ x + x + 1ứữ
 ổ ử ổ ử
 ỗ 2 x + x x + x + 1ữ ỗx + x + 1- ( x + 2)ữ
 A= ỗ - ữ: ỗ ữ
 ỗ ữ ỗ ữ
 ốỗ( x - 1)(x + x + 1) x - 1 ứữ ốỗ x + x + 1 ứữ
 ổ ử ổ ử
 ỗ x - 1 ữ x + x + 1- x - 2ữ
 A= ỗ ữ: ỗ ữ
 ỗ ữ ỗ ữ
 ốỗ( x - 1)(x + x + 1)ứữ ố x + x + 1 ứ
 ổ ử
 ổ 1 ữửỗx + x + 1ữ 1
 A= ỗ ữỗ ữ=
 ốỗx + x + 1ứữốỗ x- 1 ứữ x- 1
 1
 Vậy với x 0 và x 1, ta cú A 
 x 1
Cõu 6. (Đề thi HSG 9 tỉnh Hà Nam 2017 - 2018) 
 2 a a 2a - 3b 3b 2 a - 3b - 2a a
 Cho biểu thức M = 
 a 2 3ab
 a) Tỡm điều kiện của a và b để M xỏc định và rỳt gọn M.
  Trang 2  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 11 8
 b) Tớnh giỏ trị của M khi a = 1 3 2 , b = 10 
 3
 Lời giải
 2 a a 2a - 3b 3b 2 a - 3b - 2a a
 a) M 
 a 2 3ab
 a,b 0 a 0
 ĐK xỏc định của M: 
 a 0 b 0
 2 a a 2a - 3b 3b 2 a - 3b - 2a a
 M 
 a 2 3ab
 2a 3b ( 2a 3b)( 2a 3b) 2a 3b
 a 2 3ab a( 2a 3b) a
 3b 11 8
 b) Ta cú M 2 với a 1 3 2 , b 10 
 a 3
 3b 30 22 2 (30 22 2)(3 2 1) 102 68 2
 a 17
 1 3 2 (1 3 2)(3 2 1)
 3b 2
 Vậy 6 4 2 2 2 2 2
 a 
 Từ đú M 2 (2 2) 2
Cõu 7. (Đề thi HSG 9 tỉnh Hải Dương 2017 - 2018) 
 x2 x x2 x 1
 Cho A . Rỳt gọn B 1 2A 4 x 1 với 0 x 
 x x 1 x x 1 4
 Lời giải
 Ta cú
 x2 x x2 x x x x 1 x x x 1 
 A 
 x x 1 x x 1 x x 1 x x 1
 x x 1 x x 1 2x
 1 
 B 1 2A 4 x 1 1 4x 4 x 1 1 2 x 1 2 x 0 x 
 4 
  Trang 3  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 Chuyờn đề 2: BẤT ĐẲNG THỨC – MIN, MAX
Cõu 8. (Đề thi HSG 9 tỉnh Vĩnh Phỳc 2017-2018) 
 1 1 1
 Cho a,b,c là cỏc số thực dương thoả món điều kiện 2 . Chứng minh rằng: 
 a b c
 1 1 1 2
 .
 5a2 2ab 2b2 5b2 2bc 2c2 5c2 2ca 2a2 3
 Lời giải
 1 1 1 1
 Với x, y, z 0 ta cú x y z 33 xyz, 33
 x y z xyz
 1 1 1 1 1 1 1 1 
 (x y z) 9 
 x y z x y z 9 x y z 
 Đẳng thức xảy ra khi x y z
 Ta cú:5a2 2ab 2b2 (2a b)2 (a b)2 (2a b)2 
 1 1 1 1 1 1 
 . Đẳng thức xảy ra khi a b
 5a2 2ab 2b2 2a b 9 a a b 
 Tương tự: 
 1 1 1 1 1 1 
 Đẳng thức xảy ra khi b c
 5b2 2bc 2c2 2b a 9 b b c 
 1 1 1 1 1 1 
 Đẳng thức xảy ra khi c a
 5c2 2ac 2a2 2c a 9 c c a 
 Do đú:
 1 1 1 1 3 3 3 
 5a2 2ab 2b2 5b2 2bc 2c2 5c2 2ca 2a2 9 a b c 
 1 1 1 1 2
 3 a b c 3
 3
 Đẳng thức xảy rakhi a b c . Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
 2
Cõu 9. ( Đề thi HSG 9 tỉnh Bắc Ninh 2017-2018) 
 Cho x , y , z là cỏc số thực khụng õm thỏa món x y z 3 và xy yz zx 0 . Chứng 
 x 1 y 1 z 1 25
 minh rằng .
 y 1 z 1 x 1 33 4xy yz zx
 Lời giải
 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
 25 25 25
 VT = ³ = 
 33 2.2(xy + yz + zx) xy + yz + zx + 4 xy + yz + zx + x + y + z + 1
  Trang 4  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 25
 ³ 
 (x + 1)(y + 1)(z + 1)
 Cần chứng minh ồ (x + 1)2 (y + 1)Ê 25 
 Sau khi rỳt gọn, BĐT trở thành x2 y + y2 z + z2 x Ê 4 
 Giả sử y nằm giữa x và z , suy ra (y - x)(y - z)Ê 0 hay y2 + zx Ê xy + yz 
 Do đú y2 z + z2 x Ê xyz + yz2 
 2 1 1
 x2 y + y2 z + z2 x Ê x2 y + xyz + yz2 Ê y(z + x) = .2y(z + x)(z + x)Ê 
 2 54
 (2y + z + x + z + x)3 = 4 .
Cõu 10. (Đề thi HSG 9 AMSTERDAM 2017-2018) 
 Cho a , b , c là ba số thực dương thỏa món a b c 3. 
 1 1 1
 Chứng minh rằng: a2 b2 c2
 a2 b2 c2
 Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
 Lời giải
 1 
 Trường hợp 1: Nếu tồn tại một trong ba số a , b , c thuộc nửa khoảng 0; thỡ ta cú 
 3 
 1 1 1 2
 9 a b c a2 b2 c2 . Khi đú bất đẳng thức cần chứng minh đỳng.
 a2 b2 c2
 1 1 1 1 1 7 7
 Trường hợp 2: a ; b ; c ta cú a b c 3 a a tương tự b ; 
 3 3 3 3 3 3 3
 7 1 7 
 c . Vậy a;b;c ; .
 3 3 3 
 1 2 1 7 
 Ta chứng minh 2 x 4x 4 x ; . (*).
 x 3 3 
 Thật vậy 
 2
 (*) 1 x4 4x3 4x2 x4 4x3 4x2 1 0 x 1 x2 2x 1 0
 2 2 1 7 
 x 1 x 1 2 0 luụn đỳng với x ; .
 3 3 
 1 1 1
 Vậy a2 4a 4 ; b2 4b 4 ; c2 4c 4 .
 a2 b2 c2
 1 1 1
 Từ đú suy ra a2 b2 c2 4 a b c 12 0
 a2 b2 c2
 1 1 1
 a2 b2 c2 (đpcm).
 a2 b2 c2
 Dấu “ ” xảy ra khi và chỉ khi a b c 1.
Cõu 11. (Đề thi HSG 9 tỉnh Kiờn Giang 2017-2018) 
 x y z t
 2
 Cho x, y, z, t là cỏc số thực dương. Chứng minh rằng: y z z t t x x y .
 Lời giải
 Đặt: 
  Trang 5  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 1 y z 1
 A 
 y z z t t x x y
 x y z t
 M 
 x y y z z t t x
 y z t x
 N 
 x y y z z t t x
 x y z t y z t x
 M N 4
 x y y z z t t x x y y z z t t x
 Ta cú:
 y t x z y t x z
 N A 
 x y y z z t t x
 1 1 1 1 4(y t) 4(x z)
 (y t) (x z) 4
 x y z t y z t x x y z t x y z t
 Chứng minh tương tự ta cũng cú: A M 4 .
 A M A N 8 A 2
 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi. x y z t 0
Cõu 12. (Đề thi HSG 9 tỉnh Hà Nam 2017 - 2018) 
 Cho ba số thực a, b, c > 0 thoả món a + b + c = 2013.
 a b c
 Chứng minh + + 1.
 a + 2013a + bc b + 2013b + ca c + 2013c + ab
 Dấu đẳng thức sảy ra khi nào?
 Lời giải
 Ta cú 2013a + bc=(a + b + c)a + bc =a2 + ab + ac + bc = a2 +bc + a(b + c)
 Theo BĐT Cụ-Si cho hai số dương ta cú a2 + bc 2a bc . Từ đú
 a2 + bc + a(b + c) 2a bc +a(b + c) = a(b + c + 2 bc ) = a( b c )2
 a a a a
 Vậy (1)
 a 2013a bc 2 a b c
 a a b c a a b c 
 Chứng minh tương tự được
 b b c c
 (2) và (3)
 b 2013b ca a b c c 2013c ba a b c
 Cộng từng vế của (1); (2); (3) ta được
 a b c a b c
 + + 1
 a + 2013a + bc b + 2013b + ca c + 2013c + ab a b c
  Trang 6  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 a2 bc
 b2 ca
 Dấu “=” xảy ra a b c 671
 2
 c ab
 a b c 2013
 Cỏch 2 : Với gt đó cho ta cú:
 a a
 a 2013a bc a (a b c)a bc
 a a(a (a b)(a c))
 a (a b)(a c) a2 a2 ab ac bc
 a(2 (a b)(a c) 2a) a(a b a c 2a) ab ac
 2(ab ac bc) 2(ab ac bc) 2(ab ac bc)
 (theo BĐT cosi 2 ab a b dấu “=” xảy ra khi a b.
 ab ac bc ba cb ac
 Từ đú suy ra VT =1 (ĐPCM)
 ab ac bc ab ac bc ab ac bc
 Dấu đẳng thức xảy ra khi a b c 2013:3 671.
 Chuyờn đề 3: PHƯƠNG TRèNH
Cõu 13. (Đề thi HSG 9 tỉnh Vĩnh Phỳc 2017-2018) 
 Giải phương trỡnh 1 x 4 x 3 
 Lời giải
 1 x 0
 Điều kiện xỏc định 4 x 1 (*)
 4 x 0
 Với điều kiện (*), phương trỡnh đó cho tương đương với:
 5 2 1 x. 4 x 9 (1 x)(4 x) 2 (1 x)(4 x) 4 x2 3x 0
 x 0
 x(x 3) 0 . Đối chiếu với điều kiện (*) ta được x 0; x 3. 
 x 3
Cõu 14. (Đề thi HSG 9 tỉnh Bỡnh Định 2017-2018) 
 Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh: x y 2x y 1 9 y 1 13 
 Lời giải
 Ta cú: x y 2x y 1 9 y 1 13 2x2 xy x 2xy y2 y 9y 9 13 0
 2x2 2xy 6x xy y2 3y 5x 5y 15 7 2x x y 3 y x y 3 5 x y 3 7
 x y 3 2x y 5 7 
  Trang 7  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 10
 x 
 x y 3 1 x y 2 3
 + TH1: (loại)
 2x y 5 7 2x y 12 16
 y 
 3
 10
 x 
 x y 3 7 x y 4 3
 + TH2: (loại)
 2x y 5 1 2x y 6 2
 y 
 3
 x y 3 1 x y 4 x 2
 + TH3: (thỏa món)
 2x y 5 7 2x y 2 y 2
 x y 3 7 x y 10 x 2
 + TH4: (thỏa món)
 2x y 5 1 2x y 4 y 8
 Vậy pt đó cho cú nghiệm nguyờn x; y là: 2;2 , 2;8 .
Cõu 15. (Đề thi HSG 9 tỉnh Bỡnh Định 2017-2018) 
 Giải phương trỡnh: x2 x 2018 2018 
 Lời giải
 ĐKXĐ: x 2018 , đặt x 2018 t , ,t 0 t 2 x 2018 
 2 2 2 x t 0
 Ta cú x x 2018 2018 x t t x x t x t 1 0 
 x 1 t
 x t 0 x2 x 2018 0 1 3 897
 + TH1: x 
 2018 x 0 2018 x 0 2
 x 1 t x2 x 2017 0 1 8069
 + TH2: x 
 x 1 x 1 2
 1 3 897 1 8069
 Vậy phương trỡnh đó cho cú nghiệm là: x ; x .
 2 2
Cõu 16. (Đề thi HSG 9 tỉnh Bắc Ninh 2017-2018) 
 Cho phương trỡnh x2 (m2 1)x m 2 0 (1) , m là tham số. Tỡm m để phương trỡnh (1)
 2x1 1 2x2 1 55
 cú hai nghiệm phõn biệt x1 , x2 thỏa món x1x2 .
 x2 x1 x1x2
 Lời giải
 2
 D = (m2 + 1) - 4(m- 2)= m4 + 2(m- 1)2 + 7 > 0 
 ùỡ 2
 ù x1 + x2 = - (m + 1)
 Theo định lớ Vi-ột ta cú ớ 
 ù
 ợù x1x2 = m- 2
  Trang 8  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 2
 2x1 - 1 2x2 - 1 55 (2x1 - 1)x1 + (2x2 - 1)x2 (x1x2 ) + 55
 + = x1x2 + Û = 
 x2 x1 x1x2 x1x2 x1x2
 2 2 2 2 2
 ị 2x1 - x1 + 2x2 - x2 = (x1x2 ) + 55 Û 2(x1 + x2 ) - 4x1x2 - (x1 + x2 )- (x1x2 ) - 55 = 0 
 2
 Û 2(- (m2 + 1)) - 4(m- 2)+ (m2 + 1)- (m- 2)2 + 55 = 0 
 Û 2(m4 + 2m2 + 1)- 4m + 8+ m2 + 1- m2 + 4m- 4- 55 = 0 
 Û m4 + 2m2 - 24 = 0 (2)
 Đặt m2 = a (a ³ 0) 
 Phương trỡnh (2) trở thành a2 + 2a- 24 = 0 
 Ta cú DÂ= 25> 0 ị phương trỡnh cú 2 nghiệm:
 a1 = 4 (Nhận); a2 = - 6 (Loại, vỡ a < 0 )
 +) Với a = 4 ị m2 = 4 ị m = ± 2 
 Vậy m = 2; m = - 2 là giỏ trị cần tỡm.
Cõu 17. (Đề thi HSG 9 tỉnh Bến Tre 2017-2018) 
 Giải phương trỡnh: 2017 2017x 2016 2018x 2017 2018 .
 Lời giải
 2017
 ĐKXĐ: x .
 2018
 2017 2017x 2016 1
 Xột x 1 2017 2017x 2016 2018 2017 2018.
 2018 2018x 2017 1
 2017x 2016 1
 Xột x 1 2017 2017x 2016 2018x 2017 2018.
 2018x 2017 1
 Xột x 1 thỏa món phương trỡnh. Vậy phương trỡnh cú nghiệm x 1.
Cõu 18. (Đề thi HSG 9 AMSTERDAM 2017-2018) 
 Gọi a , b , c là ba nghiệm của phương trỡnh 2x3 9x2 6x 1 0
 Khụng giải phương trỡnh, hóy tớnh tổng:
 a5 b5 b5 c5 c5 a5
 S 
 a b b c c a
 Lời giải
 Vỡ a , b , c là ba nghiệm của phương trỡnh 2x3 9x2 6x 1 0
 Khi phõn tớch đa thức 2x3 9x2 6x 1 ra thừa số ta được:
 2x3 9x2 6x 1 2 x a x b x c 
 9 1
 x a x b x c x3 x2 3x 
 2 2
 9 1
 x3 a b c x2 ab bc ca x abc x3 x2 3x 
 2 2
  Trang 9  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 9
 a b c 
 2
 ab bc ca 3
 1
 abc 
 2
 2
 2 2 2 2 9 57
 a b c a b c 2 ab bc ca 2.3 
 2 4
Tớnh a2b2 b2c2 c2a2 :
a2b2 b2c2 c2a2 ab bc ca 2 2 abbc bc ca ca ab 
 a2b2 b2c2 c2a2 ab bc ca 2 2abc a b c 
 1 9 9
 a2b2 b2c2 c2a2 32 2  
 2 2 2
Tớnh a3 b3 c3 :
a3 b3 c3 a b c a2 b2 c2 ab bc ca 3abc
 3 3 3 9 57 1 417
 a b c 3 3 
 2 4 2 8
Vậy:
 9
 a b c 
 2
 ab bc ca 3
 1
 abc 
 2
 57
 a2 b2 c2 
 4
 9
 a2b2 b2c2 c2a2 
 2
 417
 a3 b3 c3 
 8
Khi đú ta cú:
 a5 b5 b5 c5 c5 a5
S 
 a b b c c a
 S a4 a3b a2b2 ab3 b4 b4 b3c b2c2 bc3 c4 
 c4 c3a c2a2 ca3 a4 
 S 2a4 2b4 2c4 a3b b3a b3c c3b a3c c3a a2b2 b2c2 c2a2
 S a4 b4 c4 2a2b2 2b2c2 2c2a2 a4 a3b a3c b4 b3a b3c 
 c4 c3a c3b a2b2 b2c2 c2a2 
 2
 S a2 b2 c2 a3 a b c b3 a b c c3 a b c 
 a2b2 b2c2 c2a2 
 2
 S a2 b2 c2 a3 b3 c3 a b c a2b2 b2c2 c2a2 
  Trang 10 