Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Bộ 17

 CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Chuyên đề 1: CĂN BẬC HAI VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
 Câu 1. (Đề Hsg Toán 9 Lạng Sơn 2014 2015)
 x 2 x 1 1
 Cho biểu thức A (x 0;x 1) 
 x x 1 x x 1 1 x
 a) Rút gọn biểu thức A
 b) Chứng minh rằng A không nhận giá trị nguyên với x>0; x 1 
 Lời giải
 x
 a) Rút gọn được A 
 x x 1
 b) Chứng minh được 0 < A <1 nên A không nguyên
 Câu 2. (Đề Hsg Toán 9 Đồng Tháp 2016 2017)
 4 3 2 2 10
 Tính giá trị biểu thức A 
 1 2 3 2 1
 Lời giải
 2
 4 3 2 2 10 4 2 1 10 4 2 1 10 6 4 2 
 1 2 3 2 1 3 2 3 2 2 1 6 4 2
 A 1
 Câu 3.. Đề Hsg Toán 9 Đồng Tháp 2016 2017)
 x x x 5 2x
 Cho biểu thức P 
 x 1 x 1 x 1
 a) Tìm điều kiện của x để P xác định và rút gọn P
 b) Tìm các giá trị của x để P có giá trị bằng 7
 Lời giải
 ĐK: x 0 ;x 1 
 x2 x x x x x 5 2x x2 x 5 5
 P x 
 x 1 x 1 x 1
 5
 P 7 x 7 x2 8x 12 0 x 2;x 6 (nhận)
 x 1
 Câu 4. (Đề Vào 10 Chuyên Quảng Nam 2015 2016)
 x x 1 x 1
 Cho biểu thức A (với x ≠ 1; x ≥ 0). Rút gọn A, sau đó tính giá 
 x 1 x 1
 trị A– 1 khi x 2016 2 2015 
 Lời giải
  Trang 1  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 a) Với x ≥ 0, x ≠ 1 ta có
 3 2
 x 1 x 1 x 1 x x 1 x x 1 x 1 x
 A x 1 
 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
 x x 1 1
 A 1 
 x 1 x 1
 Ta có x 2016 2 2015 thỏa mãn điều kiện x ≥ 0 và x ≠ 1
 2
 Có x 2015 2 2015 1 2015 1 x 2015 1 . Thay vào biểu thức A – 1 
 1
 ta được: A 1 
 2015
Câu 5. (Đề Vào 10 Chuyên Hải Phòng 2012 2013)
 15 x 11 3 x 2 2 x 3
 Cho A . Rút gọn và tìm giá trị lớn nhất của A
 x 2 x 3 x 1 x 3
 Lời giải
 15 x 11 3 x 2 2 x 3
 A 
 x 2 x 3 x 1 x 3
 15 x 11 (3 x 2)( x 3) (2 x 3)( x 1)
 A 
 ( x 1)( x 3)
 17 2
 A 5 , A lớn nhất x 0 khi đó A lớn nhất bằng .
 x 3 3
Câu 6. (Đề Vào 10 Chuyên Bình Định 2013 2014)
 x 2 x 2 
 Cho biểu thức: Q x x ( Với x ≥ 0 ; x ≠ 1)
 x 2 x 1 x 1 
 a) Rút gọn Q
 b) Tìm các giá trị nguyên của x để Q nhận giá trị nguyên
 Lời giải
 a) Rút gọn Q
 x 2 x 2 x 2 x 2 
 Q x x x x 1
 x 1 2 
 x 2 x 1 x 1 x 1 x 1 
 x 2 x 1 x 2 x 1 x x 2 x x 2 2x
 . x x 1 . x 
 2 x 1
 x 1 x 1 x 1 x 1 
  Trang 2  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 b) Tìm các giá trị nguyên của x để Q nhận giá trị nguyên:
 2x 2
 Q= 2 Q ¢ x 1 U(2)= 2; 1;1;2 x 1;0;2;3 
 x 1 x 1
 Kết hợp với điều kiện => x 0;2;3
 Vậy với x 0;2;3 thì Q nhận giá trị nguyên.
Câu 7. (Đề Vào 10 Chuyên Bình Định 2013 2014): 
 Không dùng máy tính, hãy rút gọn biểu thức: A 7 13 7 13 2
 Lời giải
 2 2
 Ta có: 2.A 14 2 13 14 2 13 2 13 1 13 1 2
 13 1 13 1 2 13 1 13 1 2 0 A 0
Câu 8. (Đề Vào 10 Chuyên Bình Phước 2015 2016)
 1 3 a 5 ( a 1)2 
 Cho biểu thức P . 1 Với a 0,a 1.
 a 1 a a a a 1 4 a 
 a) Rút gọn P
 b) 2 Đặt Q (a a 1).P . Chứng minh Q 1
 Lời giải
 Ta có: 
 a a 1 a a 1 ( a 1)2
 Q (a a 1).P 1 1,a 0;a 1.
 a a a
Câu 9. (Đề Vào 10 Chuyên Bình Phước 2015 2016)
 a. Tính A 8 2 7 16 6 7
 x x x 1 x 1
 x 0, x 1
 b. Rút gọn biểu thức: M : , (với ).
 x 1 x x x
 Lời giải
 a)Ta có 
 2 2
 A 7 2 7 1 9 2.3 7 7 7 1 3 7 7 1 3 7 4
 b)Ta có 
 x x 1 
 x 1 x 1 1 x 1 x 1 x 1
 M : x : :
 x 1 x x 1 x x x x x
  Trang 3  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 x 1 x 1 x
 . x x 1 M x x 1
 x x 1 .Vậy 
Câu 10. (Đề thi THPT chuyên HÙNG VƯƠNG năm học 2015-2016)
 2 3 5 2 3 5 
 Rút gọn biểu thức: A . 
 2 2 3 5 2 2 3 5
 Lời giải
 2(3 5) 2(3 5)
 A 
 4 6 2 5 4 6 2 5
 3 5 3 5 3 5 3 5 
 2 2 
 2 2 5 5 5 5 
 4 ( 5 1) 4 ( 5 1) 
 (3 5)(5 5) (3 5)(5 5) 15 3 5 5 5 5 15 3 5 5 5 5 
 2 2 
 (5 5)(5 5) 25 5 
 20
 2. 2. Vậy A 2.
 20
 Chuyên đề 2: BẤT ĐẲNG THỨC – MIN, MAX
Câu 11.(Đề Hsg Toán 9 Đồng Tháp 2016 2017)
 1 1 1 
 a) Cho ba số dương a, b, c . Chứng minh rằng a b c 9 
 a b c 
 b) Cho 3 số dương x, y, z thỏa điều kiện x y z 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu 
 x y z
thức P 
 x 1 y 1 z 1
 Lời giải
 1 1 1 1
 a) Ta có : a b c 3 3 abc (1) và 3 3 (2) 
 a b c a.b.c
 1 1 1 
 Nhân (2) vế theo vế ta được a b c 9 
 a b c 
 x y z
 b) Từ P = suy ra
 x 1 y 1 z 1
 1 1 1 1 1 1 
 P 1 1 1 3 
 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 
 1 1 1 9
 Ta có : (theo câu a)
 a b c a b c
  Trang 4  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 1 1 1 9 9
 Nên 
 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 4
 9 3
 P 3 
 4 4
 3 1
 Vậy GTLN của P là khi x y z 
 4 3
Câu 12. (Đề Vào 10 Chuyên Vĩnh Phúc 2016 2017)
 Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn a b c 3. Chứng minh rằng 
 4 a2 b2 c2 a3 b3 c3 9.
 Lời giải
 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
 4 a b c a2 b2 c2 3 a3 b3 c3 27
 4 a b c a2 b2 c2 3 a3 b3 c3 a b c 3
 a3 b3 c3 4 a2b b2c c2a ab2 bc2 ca2 a b c 3 (1)
 Ta có đẳng thức a b c 3 a3 b3 c3 3 a2b b2c c2a ab2 bc2 ca2 6abc
 . 
 Do đó (1) tương đương với a2b b2c c2a a2c b2a c2b 6abc.
 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có
 a2b b2c c2a a2c b2a c2b a2 b c b2 c a c2 a b 
 2a2 bc 2b2 ca 2c2 ab 2 a2 bc b2 ca c2 ab 6abc.
 Vậy BĐT (1) được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1.
 (Chú ý: Học sinh được sử dụng BĐT AM-GM với 6 số hoặc BĐT Schur’s để 
 chứng minh).
Câu 13. (Đề Vào 10 Chuyên Tuyên Quang 2012 2013)
 1 1 1 1
 Chứng minh: ... 5
 1 2 3 4 5 6 119 120
 Lời giải 
 1 1
 1 2 2 3
 1 1
 Ta có: 3 4 4 5
 ...................................
 1 1
 119 120 120 121
  Trang 5  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 1 1 1 1 1 1
 ... ... 
 1 2 3 4 119 120 2 3 4 5 120 121
 1 1 1 1 1 1
 2( ... ) ... 
 1 2 3 4 119 120 1 2 2 3 120 121
 1 1 1
 2( ... ) 2 1 3 2 4 3 ... 121 120
 1 2 3 4 119 120
 1 1 1 1
 ... 5
 1 2 3 4 5 6 119 120
Câu 14. ((Đề Vào 10 Chuyên Quảng Nam 2015 2016)
 Cho ba số thực x; y; z thỏa mãn: x2 + y2 + z2 ≤ 9. Tìm giá trị lớn nhất 
 của biểu thức P = x + y + z – (xy + yz + zx)
 Lời giải 
 2
 Ta có x y z x2 y2 z2 2 xy yz zx 9 2 xy yz zx 
 x y z 2 9
 xy yz zx 
 2 
 9 (x y z)2
 P x y z 
 2
 9 t 2 t 2 2t 1 1
 Đặt x y z t P t 5 (t 1)2 5 5 
 2 2 2
 x y z 1
 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2 2 2 chẳng hạn khi x = 1, y = 2, z = 
 x y z 9,
 –2
 Vậy giá trị lớn nhất của P là 5.
Câu 15. (Đề Vào 10 Chuyên Haỉ Phòng 2012 2013). 
 a 4b 9c
 Cho ba số dương a,b,c .Chứng minh rằng: 4
 b c c a a b
 Lời giải
 a 4b 9c 1 4 9
 Ta có 4 (a b c)( ) 18
 b c c a a b b c a c a b
 Thật vậy: 
 1 4 9
 [(b c) (a c) a b)]( ) 
 b c a c a b
 b c 4(a c) 9(a b)
 ( )2 36
 b c (a c) (a b)
 1 4 9
 (a b c)( ) 18 Điều phải chứng minh
 b c a c a b
  Trang 6  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Câu 16. (Đề Vào 10 Chuyên Bình Định 2013 2014)
 bc ca ab
 Cho a,b,c là các số thực dương. CMR : a b c.
 a b c
 Lời giải
 Vì a,b,c là các số thực dương, áp dụng BĐT Cô-Si ta được:
 bc ca bc ca 
 2 . 2c 
 a b a b 
 ca ab ab ca bc ca ab bc ca ab
 2 . 2a  2 2. a b c a b c
 b c c b a b c a b c
 bc ab bc ab 
 2 . 2b 
 a c a c  
Câu 17. ( Đề thi TS THPT chuyên Toán TPHCM 08-09)
 Cho a, b là hai số thực sao cho a3 + b3 = 2. Chứng minh 0 < a + b ≤ 2.
 Lời giải
 Ta có: a3 + b3 > 0 a3 > –b3 a > – b a + b > 0(1)
 (a – b)2(a + b) ≥ 0 (a2 – b2)(a – b) ≥ 0 a3 + b3 – ab(a + b) ≥ 0
 a3 + b3 ≥ ab(a + b) 3(a3 + b3) ≥ 3ab(a + b) 
 4(a3 + b3) ≥ (a + b)3 8 ≥ (a + b)3 a + b ≤ 2(2)
 Từ (1) và (2) 0 < a + b ≤ 2.
Câu 18. (Đề vào 10 Chuyên Bình Phước 2015 20161) 
 a) Cho a, b là các số thực dương. Chứng minh rằng: (1 a)(1 b) 1 ab
 b) Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a b ab . Tìm giá trị nhỏ nhất của 
 1 1
 biểu thức P (1 a2 )(1 b2 )
 a2 2a b2 2b
 Lời giải
 a) Ta chứng minh bằng phép biến đổi tương đương
 1 1 4
 b) ( Ta cần sử dụng hai bđt phụ sau (1 x)(1 y) 1 xy và 
 x y x y
 nhưng phải chứng minh hai bđt này mới được điểm tối đa)
 4 4 4
 Cách1: P 1 ab 1 ab ab 1
 a2 2a b2 2b (a b)2 2ab 2(a b) a2b2
 4 ab ab 7ab 1 1 7ab 7 7ab
 1 3.3 4. . 1 
 a2b2 16 16 8 16 16 8 4 8
 Mặt khác: từ giả thiết, ta có: ab a b 2 ab ab 4
  Trang 7  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 7 7.4 21 21
 Do đó P . Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng khi a b 2
 4 8 4 4
 Bình luận: nếu không có bđt phụ thứ nhất, ta phải nghĩ đến sdụng bđt Bu-
 nhia-copxki cho biểu thức dưới dấu căn. Còn tổng hai biểu thức nghịch đảo 
 thì quá rõ, sau đó dùng ppháp dồn biến)
 Cách 2: 
 1 1 1 1 1 1
 P (1 a2 )(1 b2 ) 1 ab a b 1
 a2 2a b2 2b a2 2a b2 2b a(a 2) b(b 2)
 1 a a 2 1 b b 2 29 7
 (a b) 
 a(a 2) 16 32 b(b 2) 16 32 32 8
 1 1 1 1 29 7 13 29
 3.3 1. . 3.3 1. . (a b) (a b)
 16 32 16 32 32 8 8 32
 (a b)2
 Mặt khác: từ giả thiết, ta có: a b ab a b 4
 4
 13 29 13 29 21
 Do đó P (a b) .4 
 8 32 8 32 4
 21
 Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng tại a b 2
 4
 Cách 3:
 Ta có a b ab (a 1)(b 1) 1 Đặt 
 a 1 x a x 1;b 1 y b y 1; x.y 1
 1 1 1 1
 Khi đó P 1 ab a b 1
 a2 2a b2 2b a(a 2) b(b 2)
 1 1
 x y 3
 (x 1)(x 3) (y 1)(y 3)
Câu 19. (Đề Vào 10 Chuyên Bình Phước 2015 2016)
 a. Chứng minh rằng: a3 b3 ab(a b) , với a, b là hai số dương.
 b. Cho a, b là hai số dương thỏa mãn a b 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 
 2 3
 thức: F a3 b3 a2 b2 ab.
 2
 Lời giải
 a. Chứng minh rằng: a3 b3 ab(a b) , với a, b là hai số dương.
 Ta có bất đẳng thức 
 (a b)(a2 ab b2 ) ab(a b) 0 (a b)(a2 2ab b2 ) 0 (a b)(a b)2 0
 Ta thấy với a, b là hai số dương nên bất đẳng thức đã cho luôn đúng.
  Trang 8  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Dấu “=” xảy ra khi a = b. 
BỔ SUNG THÊM MỘT SỐ CÁCH:
C1: Xét hiệu: a3 b3 ab(a b) (a3 a2b) (b3 b2a) a2 (a b) b2 (a b) ......
C2: Biến đổi tương tương 
C3: Sử dụng BĐT Côsi cho VP: 
a3 b3 (a b)3 3ab(a b) (a b)2 (a b) 3ab(a b) 4ab(a b) 3ab(a b) ab(a b)
b. Cho a, b là hai số dương thỏa mãn a b 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
 2 3
biểu thức: F a3 b3 a2 b2 ab.
 2
Cách 1
 2
+) Áp dụng bất đẳng thức đã chứng minh ở câu (a) ta có: a3 b3 ab(a b)2 
mà theo giả thiết a b 1
 2
Do đó a3 b3 ab(a b)2 (ab)2
+) Mặt khác ta có: F a2 b2 a b 2 2ab 1 1ab
+) Do đó 
 2
 2 3 2 ab 2 1 1 15 1 15 15
F ab 1 2ab ab ab 1 ab 2.ab. ab 
 2 2 4 16 16 4 16 16
 a b 1
 1
+) Dấu “=” xảy ra 1 a b 
 ab 2
 4
 15 1
+) Vậy giá trị nhỏ nhất của F là bằng , đạt được khi a b .
 16 2
Cách 2
 2 2 1
+) Ta có F a3 b3 a b ab.
 2
 (a b)3
+) Ta luôn có bất đẳng thức: a3 b3 , (*) với mọi a, b > 0. Thật vậy (*)
 4
 (a b)2
 a2 ab b2 
 4
 4a2 4ab 4b2 a2 2ab b2 (a b)2 0, (luôn đúng).
 3 2
 3 3 2 (a b) 1
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có: a b .
 4 16
 (a b)2 (a b)2
+) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: ab ab .
 4 4
  Trang 9  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 2 2
 1 2 (a b) 1 7(a b) 1 7 15
 +) Do đó F a b . Dấu “=” xảy ra 
 16 8 16 8 16 8 16
 a b 1 1
 a b 
 a b 2
 15 1
 +) Vậy giá trị nhỏ nhất của F là bằng , đạt được khi a b .
 16 2
 2 3
 BỔ SUNG THÊM: F a3 b3 a2 b2 ab.
 2
 C3: Ta có: 
 2
 2 2
 3 2 3 3 (a b) 2 1
 F a b 3ab(a b) (a b) 2ab ab a b 3. (a b) (a b) ab
 2 4 2
 3 2 2 6 2
 (a b) 2 1 (a b) (a b) 7(a b) 1 7 15
 (a b) . 
 4 2 4 16 8 16 8 16
 a b 1 1
 Dấu “=” xảy ra a b 
 a b 2
 15 1
 Vậy giá trị nhỏ nhất của F là bằng , đạt được khi a b .
 16 2
Câu 20. (Đề thi vào 10 chuyên Hùng Vương năm học 2015-2016)
 1 1 1
 Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn: 1. Tìm giá trị nhỏ nhất 
 x2 y2 z 2
 y2 z 2 z 2 x2 x2 y2
 của biểu thức: P . 
 x y2 z 2 y z 2 x2 z x2 y2 
 Lời giải
 1 1 1
 Ta có P 
 1 1 1 1 1 1 
 y 
 x 2 2 2 2 z 2 2 
 z y z x x y 
 1 1 1
 Đặt a; b; c thì a,b,c 0 và a2 b2 c2 1. 
 x y z
 a b c a2 b2 c2
 P 
 b2 c2 c2 a2 a2 b2 a 1 a2 b 1 b2 c 1 c2 
 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có 
  Trang 10 