Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Bộ 3

 Chuyên đề 1: CĂN BẬC HAI VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Câu 1. (Đề thi HSG 9 huyện Như Thanh 2019-2020)
 x 2 x 1 x 1
 Cho biểu thức: A : 
 x x 1 x x 1 1 2
 1. Tìm điều kiện của x để A có nghĩa và rút gọn biểu thức A .
 2. Tìm x để biểu thức A nhận giá trị bằng 2.
 3 2 1
 3. Tính giá trị của biểu thức A tại x 3 3 2 1 .3 .
 3
 Lời giải
 1. ĐKXĐ: x 0 ; x 1.
 x 2 x 1 x 1
 A :
 x x 1 x x 1 1 x 2
 x 2 x x 1 x x 1 x 1
 :
 x 1 x x 1 2
 x 2 x x x x 1 2
 .
 x 1 x x 1 x 1
 2. x 2 x 1 
 2
 x 1 . x x 1 
 2
 2. x 1 
 2
 x 1 . x x 1 
 2
 .
 x x 1
 2
 Vậy A với x 0 ; x 1.
 x x 1
 2
 2. Ta có A 2 2 
 x x 1
 x x 1 1 x x 1 0 2 x 0 x 0 t / m (vì x 1 0 với x )
 Vậy x 0 thì A 2 .
 1 3 2 1
 3. Ta có : x 3 3 2 1 .3
 3
 3 2 1
 x 3 3 2 1 .3 
 3
 3
 3 3 2 1
 x 3 3 2 1 .
 3
 3
 3 2 1
 x 3 3 33 2 3 2 1 .
 3
 x 3 3 1 3 2 3 2 1 . 3 2 1
 3
 x 3 3 2 1 3 2 3 2 1 . 3 2 1 
 3
 x 3 3 2 1 3 2 3 22 1 
 x 3 3 1 x 3 1
 x 4 t / m 
 2 2
 Thay x 4 thỏa mãn ĐKXĐ vào A ta được A .
 4 4 1 7
 2 2 3 2 1
 Vậy A với x 3 3 2 1 .3 . 
 4 4 1 7 3
Câu 2. (Đề thi HSG 9 huyện Kim Động 2019-2020) 
 3 4 3 2 2
 a) Rút gọn biểu thức: A .
 3 4 3 2 1
 2.2019
 b) So sánh B 20202 1 20192 1 và C .
 20202 1 20192 1
 Lời giải
 3 4 3 2 2
 a) A 
 3 4 3 2 1
 3 4 3 2 3 8 3 2( 3 4 3 2 1)
 A 3 2 .
 3 4 3 2 1 3 4 3 2 1
 b) Ta có 
 2 20202 1 20192 1 20202 20192
 B 20202 1 20192 1 
 20202 1 20192 1 20202 1 20192 1
 2020 2019 2020 2019 2020 2019 2.2019
 C
 20202 1 20192 1 20202 1 20192 1 20202 1 20192 1
 Vậy ta có B C .
Câu 3. (Đề thi HSG 9 huyện Thạch Hà 2019-2020) 
 a) Tính giá trị biểu thức T 5 3 29 12 5 .
 5 2 5 2
 b) Chứng minh rằng: A 2 .
 5 1
 5 2 5 2
 c) Tính giá trị biểu thức N x2019 3x2020 2x2021 với x 3 2 2 .
 5 1
 3 1 3 1
 d) Cho x và y . Tính M x5 y5 .
 2 2
 Lời giải
 a) T 5 3 29 12 5 
 2
 5 3 2 5 3 
 5 3 2 5 3 
 5 6 2 5
 2
 5 5 1 5 5 1 1.
 5 2 5 2 2 5 2
 b) A A2 A 2 dpcm .
 5 1 5 1
 5 2 5 2 2
 c) x 3 2 2 2 2 1 2 2 1 1
 5 1
 Với x 1 , ta có: N 1 3 2 4 .
 1
 d) Ta có: xy và x y 3 .
 2
 3 2 2 1
 x2 y2 x y 2xy 3 2. 2
 2
 3 3 1 3 3
 x3 y3 x y 3xy x y 3 3. . 3 
 2 2
 3 3 1 11 3
 Vậy x5 y5 x2 y2 x3 y3 x2 y2 x y 2. . 3 .
 2 4 4
Câu 4. (Đề thi HSG 9 Quảng Trị 2019-2020) 
 a a2 9 3a 1 1 
 1. Rút gọn biểu thức 
 P 2 : 2 
 3 a 9 a a 3a a 
 3 2 2 3 2 2
 2. Tính giá trị của P biết a 1 4 4 
 3 2 2 3 2 2
 Lời giải
 a a2 9 3a 1 1 
 1. 
 P 2 : 2 
 3 a 9 a a 3a a 
 a 3 a a2 9 3a 1 a 3
 : 
 9 a2 a2 3a
 3a 9 a2 3a
 . 
 9 a2 2a 2
 3 a 3 a a 3 3a
 . 
 3 a 3 a 2a 2 2a 2
 3 2 2 3 2 2
 2. a 1 4 4
 3 2 2 3 2 2
 3 2 2 3 2 2
 2
 4 9 2 2 
 2 2
 2 1 2 1 
 1
 2 1 2 1
 2 1 2 1 2
 a 1 
 3.1 3
 P 
 2.1 2 4
 4 Câu 5. (Đề thi HSG 9 Quận Cầu Giấy 2019-2020) 
 2x x x x x x x 1 x
 Cho biểu thức . .
 P 
 x x 1 x 1 2x x 1 2 x 1
 a) Tìm điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa và rút gọn P .
 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P .
 Lời giải:
 a) Để P có nghĩa thì:
 x 0 x 0 x 0
 x x 1 0 x x 1 x3 1 x 0
 x 1 0 x 1 x 1 x 1
 2x x 1 0 1 1 1
 2( x )( x 1) 0 x x 
 2 4
 2 x 1 0 4
 1
 x 
 2
 1
 Vậy với x 0; x 1; x thì P có nghĩa.
 4
 2x x x x x x x 1 x 1
 Ta có: . với x 0; x 1; x 
 P 
 x x 1 x 1 2x x 1 2 x 1 4
 2x x x x x( x 1) ( x 1)( x 1) x
 P . 
 1
 ( x 1)(x x 1) ( x 1)( x 1) 2( x )( x 1) 2 x 1
 2
 2x x x x x x 1 x
 . 
 ( x 1)(x x 1) ( x 1) 2 x 1 2 x 1
 2x x x x x.(x x 1) x 1 x
 . 
 ( x 1)(x x 1) 2 x 1 2 x 1
 2x x x x x x x x x 1 x
 . 
 ( x 1)(x x 1) 2 x 1 2 x 1
 x x 2 x x 1 x
 .
 ( x 1)(x x 1) 2 x 1 2 x 1
 x x 2 x x x x 2 x x.(x x 1)
 (2 x 1)(x x 1) 2 x 1 (2 x 1)((x x 1)
 5 x x 2 x x x x x) 2x x x x
 (2 x 1)((x x 1) (2 x 1)((x x 1)
 2x x x 2x x x.(2 x 1) x.(2 x 1)
 (2 x 1)((x x 1) (2 x 1)((x x 1)
 (2 x 1)(x x)
 (2 x 1)(x x 1)
 x x
 .
 x x 1
 1 x x
 Vậy với x 0; x 1; x thì P .
 4 x x 1
 x x x x 1 1 1
 b) Ta có: P 1 
 x x 1 x x 1 x x 1
 1
 Để P đạt giá trị nhỏ nhất thì đạt giá trị lớn nhất
 x x 1
 x x 1 phải đạt giá trị nhỏ nhất.
 1
 Lại có x 0; x 1; x nên x x 1 1.
 4
 Giá trị nhỏ nhất của x x 1 1 khi và chỉ khi x 0
 Giá trị nhỏ nhất của P 0 khi và chỉ khi x 0.
 Vậy với x 0 thì P có giá trị nhỏ nhất bằng 0.
Câu 6. (Đề thi HSG 9 Huyện Quan Sơn 2019-2020) 
 x x 2x x 2 x x 2x x 2
 Cho P 
 x x 3 x 2 x x 3 x 2
 1. Rút gọn P. Với giá trị nào của x thì P 1 . 
 2. Tìm x nguyên biết P đạt giá trị nguyên lớn nhất.
 Lời giải
 1. ĐK : x 0; x 1
 x x 2x x 2 x x 2x x 2
 a) P 
 x x 3 x 2 x x 3 x 2
 x 2 x 1 x 2 x 1 
 2 2
 x 2 x 1 x 2 x 1 
 6 x 1 x 1
 2 2
 x 1 x 1 
 x 1 x 1 x 1 x 1 
 2 2
 x 1 x 1 
 x 1 x 1
 x 1 x 1
 2 2
 x 1 x 1 
 x 1 x 1 
 2x 2
 x 1
 2x 2 x 3
 b) P 1 1 0 . 
 x 1 x 1
 Với x 0; x 1thì x 3 0 . Nên x 1 0 x 1
 Vậy x 1
 2x 2 2x 2 4 4
 2. Ta có P 2 
 x 1 x 1 x 1
 4
 P có giá trị lớn nhất khi 2 có giá trị lớn nhất x 1 là số nguyên dương nhỏ nhất 
 x 1
 x 1 1 x 2
Câu 7. (Đề thi HSG 9 Đồng Xuân 2011 - 2012) 
 a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 4x2 – 7x 10 .
 x x 1 x x 1 x x
 b/ Cho P :
 x 1 x 1 x 1
 + Tìm điều kiện của x để P xác định.
 + Rút gọn P
 Lời giải
 a/ 
 x3 4x2 – 7x 10 x3 x2 3x2 3x 10x 10 (x 1)(x2 3x 10) (x 1)(x2 5x 2x 10)
 (x 1)(x 5)(x 2)
 b/ 
 + P xác định khi x 0 và x 1
 7 x x 1 x x 1 x x ( x)3 1 ( x)3 1 x( x 1)
 + Rút gọn P : = :
 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
 ( x 1)[( x)2 x 1] ( x 1)[( x)2 x 1] 1 2 x
 = . = = 2
 x 1 x 1 x x
Câu 8. (Đề thi HSG 9 Đồng Xuân 2012 - 2013) 
 a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 9x 20 
 2 x 9 x 3 2 x 1
 b/ Rút gọn A 
 x 5 x 6 x 2 3 x
 Lời giải
 a/ x2 9x 20 x2 4x 5x 20 x(x 4) 5(x 4) (x 4)(x 5)
 b/ Với ĐK : x 0; x 4; x 9 ta có:
 2 x 9 x 3 2 x 1 (2 x 9) (x 9) (2 x 1)( x 2)
 A = 
 x 5 x 6 x 2 3 x ( x 2)( x 3)
 2 x 9 x 9 2x 3 x 2 ( x 1)( x 2) x 1 x 4 x 3
 ( x 2)( x 3) ( x 2)( x 3) x 3 x 9
Câu 9. (Đề thi HSG 9 Đồng Xuân 2013 - 2014) 
 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 4x 21 
 1 1 x3 x
 2. Cho biểu thức A 
 x 1 x x 1 x x 1
 a) Tìm điều kiện để A xác định. Rút gọn A
 53
 b) Tính giá trị của A khi x = 
 9 2 7
 c) Tìm giá trị của x để A 16
 Lời giải
 1. x2 4x 21 x2 7x 3x 21 x(x 7) 3(x 7) (x 7)(x 3)
 1 1 x3 x
 2. a) A 
 x 1 x x 1 x x 1
 x 0
 x 1 0 x 0
 Điều kiện để A xác định: x 1 x 0 x 1 x 1 
 x 1
 x 1 x 0 
 x 1 0
 8 1 1 x3 x
 A 
 x 1 x x 1 x x 1
 = x 2 x 1 
 53 53(9 2 7) 53(9 2 7)
 b) Khi x 9 2 7 biểu thức A có giá trị là:
 9 2 7 92 (2 7)2 53
 A (9 2 7) 2 (1 7)2 9 2 7 2 2 7 7
 c) Với x 1 ta có: A 16
 x 2 x 1 16
 (x 1) 2 x 1 15 0
 x 1 X X 2 2X 15 0 (X 5)(X 3) 0
 X 5(TM ); X 3(L)
 X 5 x 1 5 x 1 25 x 26 (thoả ĐK)
 Vậy x 26 thì A 16
Câu 10. (Đề thi HSG 9 Đồng Xuân 2014 - 2015) 
 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 7x 8
 5 x x 1 2 x 6
 2. Cho biểu thức P 
 x 3 x 2 x 2 1 x
 a/ Rút gọn biểu thức P .
 b/ Tìm x để P 1
 c/ Tìm giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên
 Lời giải
 1. x2 7x 8 x2 8x x 8 x(x 8) (x 8) (x 8)(x 1)
 2. a/ Với ĐK : x 0; x 4; x 1ta có:
 5 x x 1 2 x 6 (5 x) ( x 1)( x 1) (2 x 6)( x 2)
 P = 
 x 3 x 2 x 2 1 x ( x 2)( x 1)
 5 x x 1 2x 2 x 12 x x 6
 ( x 2)( x 1) ( x 2)( x 1)
 ( x 3)( x 2) x 3
 ( x 2)( x 1) x 1
 b/ Với ĐK : x 0; x 4; x 1 ta có P 1 
 9 x 3 x 3 x 1 4
 1 0 0 x 1 0 x 1
 x 1 x 1 x 1
 Vậy 0 x 1 thì P 1
 x 3 x 1 4 4
 c) Ta có P = 1 
 x 1 x 1 x 1
 Vậy P nguyên khi 4 x 1 suy ra x 1 ¦ (4) 4; 2; 1;1;2;4 
 x 0;4;9;25
 Do x 0; x 4; x 1 nên x 0;9;25
 Chuyên đề 2: BẤT ĐẲNG THỨC – MIN, MAX
Câu 1. (Đề thi HSG 9 huyện Như Thanh - năm 2019)
 Với các số thực dương a , b , c thỏa mãn a b c 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 a2 b2 c2 1
 P 2018 .
 2 2 2
 b c a 3 a b c 
 Lời giải
 2 2 2 2
 a b c 2 2 2
 Chứng minh 3 a b c 
 b c a 
 a4 b4 c4 a2b b2c c2a 
 VT 2 2 2 2 
 b c a c a b 
 a4 a2b
 Ta có bc 3a2 
 b2 c
 b4 b2c
 Tương tự ac 3b2
 c2 a
 4 2
 c c a 2
 2 ab 3c
 a b 
 a2b b2c c2a
 VT ab bc ca 3 a2 b2 c2 (1)
 c a b
 2 2 2
 a b b c c a 2
 Mà bc ac ab ab bc ca 
 c a b 
 a2b b2c c2a
 ab bc ca (2)
 c a b
 Từ (1) và (2) VT 3 a2 b2 c2 
 a2 b2 c2
 3 a2 b2 c2 
 b c a
 10