Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Bộ 5

 CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 Chuyên đề 1: CĂN BẬC HAI VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Câu 1. (Đề thi HSG 9 huyện CẨM THỦY (V2) 2011-2012) 
 x 2 x 2
Cho biểu thức: P 
 x x x 2 x ( x 1)(x 2 x)
 a. Rút gọn P .
 b. Tính P khi x 3 2 2 .
 c. Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.
 Lời giải
 a/
 x 2 x 2
 P 
 x( x 1) x( x 2) x( x 1)( x 2)
 x( x 2) 2( x 1) x 2 x x 2x 2 x 2 x 2
 x( x 1)( x 2) x( x 1)( x 2)
 x x 2x 2 x x x( x 1)( x 2) ( x 1)
 x( x 1)( x 2) x( x 1)( x 2) ( x 1)
 x 3 2 2 x 2 2 2 1 ( 2 1)2 2 1
 b/ 
 ( x 1) 2 1 1 2 2
 P 1 2
 ( x 1) 2 1 1 2
 c/ ĐK: x 0; x 1. 
 ( x 1) x 1 2 2
 P 1 
 ( x 1) x 1 x 1
 Với x ¢ , x 0 , x 1 ta có P ¢ x 1 1,2 x 4,9.
Câu 2. (Đề thi HSG 9 tỉnh HẢI DƯƠNG 2012-2013) 
 Cho x , y thỏa mãn x 3 y y2 1 3 y y2 1 .Tính giá trị của biểu thức
 A x4 x3 y 3x2 xy 2y2 1
 Lời giải
 Ta có: 
 x 3 y y2 1 3 y y2 1
 3 2 2 2 2 
 x 2y 33 y y 1 . 3 y y 1 3 y y 1 3 y y 1 
 x3 3x 2y 0
 A x4 x3 y 3x2 2xy 3xy 2y2 1 x4 3x2 2xy x3 y 3xy 2y2 1
  Trang 1  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 A x x3 3x 2y y x3 3x 2y 1 1
Câu 3. (Đề thi HSG 9 huyện CẨM GIÀNG 2013-2014) 
 2
 a) Cho biểu thức: A x2 x 1 2013 .
 3 3
 Tính giá trị của A khi x .
 3 1 1 3 1 1
 b) Cho x x2 2013 y y2 2013 2013. Chứng minh rằng x2013 y2013 0 .
 Lời giải
 3 3 3( 3 1 1) 3( 3 1 1)
 a) Ta có x 
 3 1 1 3 1 1 3 1 1
 3( 3 1 1 3 1 1) 2 3
 2 .
 3 1 1 3
 Thay x 2 vào biểu thức A , ta có:
 A 22 2 1 2013 2014 .
 3 3
 Vậy khi x thì giá trị của biểu thức A là 2014.
 3 1 1 3 1 1
 b) x x2 2013 y y2 2013 2013
 x x2 2013 x x2 2013 y y2 2013 2013 x x2 2013 
 2013 y y2 2013 2013 x x2 2013 
 y y2 2013 x x2 2013 .
 Tương tự x x2 2013 y y2 2013
 Do đó x y 0 x y x2013 y2013 0 (đpcm).
Câu 4. (Đề thi HSG 9 huyện KIÊN GIANG 2012-2013) 
 x2 5x 6 x 9 x2 2x
 Rút gọn: A : 2 1 . 
 3x x2 x 2 9 x2 3 x
 Lời giải
 Điều kiện: 3 x 3 
 x 3 x 2 x 3 x. 3 x 3 x 2x
 A : 2 
 x 3 x x 2 3 x. 3 x 3 x 3 x
  Trang 2  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 3 x x 2 3 x x 3 x 3 x
 : 2
 3 x
 3 x x 3 x x 2 3 x 
 3 x 3 x 1
 : 2 .
 3 x 3 x 2
Câu 5. (Đề thi HSG 9 tỉnh THANH HÓA 2018-2019) 
 x 2 x 3 x 2 x 
 Cho biểu thức : A : 2 
 x 5 x 6 2 x x 3 x 1 
 1/ Rút gọn biểu thức A .
 1 5
 2/ Tìm các giá trị của x để .
 A 2
 Lời giải
 1/ Rút gọn biểu thức A .
 x 2 x 3 x 2 x 
 A : 2 (ĐK: x 0, x 4, x 9 )
 x 5 x 6 2 x x 3 x 1 
 x 2 x 3 x 2 x 2 
 A : 
 x 2 x 3 2 x x 3 x 1 
 x 2 x 9 x 4 x 2 
 A : 
 x 2 x 3 x 1 
 x 3 x 1 x 1
 A = = 
 x 3 x 4 x 4
 1 5
 2/ Tìm các giá trị của x để 
 A 2
 1 5 x 4 5
 2x 8 5 x 5
 A 2 x 1 2
 1 1
 2x 5 x 3 0 3 x 0 x 
 2 2
 1
 0 x 
 4
 1
 Kết hợp với ĐK 0 x .
 4
Câu 6. (Đề thi HSG 9 huyện KIM THÀNH 2012-2013) 
 2 x 9 x 3 2 x 1
 a/ Rút gọn biểu thức A 
 x 5 x 6 x 2 3 x
  Trang 3  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 b/ Cho x, y, z thoả mãn: xy yz zx 1. Hãy tính giá trị biểu thức
 (1 y2 )(1 z2 ) (1 z2 )(1 x2 ) (1 x2 )(1 y2 )
 A x y z 
 (1 x2 ) (1 y2 ) (1 z2 )
 Lời giải
 2 x 9 x 3 2 x 1
 a/ Rút gọn biểu thức A 
 x 5 x 6 x 2 3 x
 ĐKXĐ: x 4; x 9 
 2 x 9 x 3 2 x 1 2 x 9 x 9 2x 3 x 2 x x 2
 A 
 x 2 x 3 x 2 x 3 x 2 x 3 x 2 x 3 
 x 1 x 2 x 1
 = 
 x 2 x 3 x 3
 b/ Ta có:
 xy yz zx 1 1 x2 xy yz zx x2 y x z x x z x z x y 
 Tương tự: 1 y2 y z y x , 1 z2 z x z y 
 Thay các kết quả trên vào biểu thức A để tính.
Câu 7. (Đề thi HSG 9 tỉnh AN GIANG 2013-2014) 
 1 1 1 1 1
 Tính:T ...... 
 1 2 2 3 3 4 4 5 99 100
 Lời giải
 1 1 1 1 1
 T .... 
 1 2 2 3 3 4 4 5 99 100 
 1 n n 1
 Ta có : n n 1 
 n n 1 n n 1
 T 1 2 2 3 3 4 4 5 .... 99 100 
 1 2 2 3 3 4 4 5 .... 99 100
 1 100 11.
Câu 8. (Đề thi HSG 9 tỉnh HẢI DƯƠNG 2013-2014) 
 1 1 x2 . (1 x)3 (1 x)3 
 Rút gọn biểu thức A với 1 x 1.
 2 1 x2
 Lời giải
  Trang 4  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 1 1 x2 . 1 x 1 x 2 1 x2 
 A 
 2 1 x2
 1 1 x2 . 1 x 1 x 
 2
 1 1 x2 1 x 1 x 1 1 x2 2 2 1 x2 
 2x2 = x 2
 .
Câu 9. (Đề thi HSG 9 tỉnh HƯNG YÊN 2014-2015) 
 3 6 3 10
 Cho x 2 3 . Tính giá trị của biểu thức:
 3 1
 4 3 2 2015
 A x x x 2x 1 
 Lời giải
 Ta có :
 3
 3
 3 6 3 10 3 3 3 9 3 3 1 3 1 
 x 2 3 2 3 2 3 
 3 1 3 1 3 1
 2 2 2
 3 1 4 2 3 3 1 3 1 3 1 
 2 3 2
 3 1 2 2 2 2
 Thay x 2 vào A ta có:
 2015 2015
 A x4 x3 x2 2x 1 4 2 2 2 2 2 1 12015 1
Chuyên đề 2: BẤT ĐẲNG THỨC – MIN, MAX
Câu 10. (Đề thi HSG 9 huyện CẨM THỦY 2011-2012) 
 3
 1 x 1 1 3 2x x 
 Cho x 1; y 0 , chứng minh: 3 3 3 .
 (x 1) y y x 1 y 
 Lời giải
 1 x 1 1
 x 1; y 0 x 1 0; y 0 0; 0; 0
 (x 1)3 y y3
 Áp dụng BĐT Côsi cho 3 số dương: 
 1 1 1 3
 1 1 3. 3 .1.1 2 (1)
 (x 1)3 (x 1)3 (x 1)3 x 1
  Trang 5  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 3 3 3
 x 1 x 1 x 1 3(x 1)
 1 1 33 .1.1 2 (2)
 y y y y
 1 1 1 3
 1 1 3.3 .1.1 2 (3)
 y3 y3 y3 y
 Từ (1); (2); (3), ta suy ra 
 3
 1 x 1 1 3 3(x 1) 3
 3 3 6 
 (x 1) y y x 1 y y
 3
 1 x 1 1 3 6x 6 3x 3 2x x
 3 3 3( ) .
 (x 1) y y x 1 y x 1 y
Câu 11. (Đề thi HSG 9 tỉnh HẢI DƯƠNG 2012-2013) 
 Cho 3 số a , b , c thỏa mãn 0 a b c 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
 1 1 1 
 B a b c 3 .
 a 1 b 1 c 1 
 Lời giải
 Đặt x 1 c , y 1 b , z 1 a 
 Do 0 a b c 1 1 z y x 2 . Khi đó:
 1 1 1 x x y y z z
 A x y z 3 3 
 x y z y z x z x y
 x y x y x.y x y x
 1 1 0 1 0 1
 y z y z y.z y z z
 z y z y z.y z y z
 1 1 0 1 0 1
 y x y x y.x y x x 
 x y z y x z x x y y z z x z 
 2 2 2 
 y z y x z x y z x z x y z x 
 x
 Đặt t 1 t 2
 z
 x z 1 t 2 1 2t 2 5t 2 5 (2t 1)(t 2) 5
 t 
 z x t t 2t 2 2t 2
 (2t 1)(t 2) x z 5
 Do 1 t 2 0 
 2t z x 2
 5
 A 3 2. 2 10
 2
 Ta thấy khi a b 0 và c 1 thì A 10 nên giá trị lớn nhất của A là 10.
  Trang 6  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Câu 12. (Đề thi HSG 9 huyện CẨM GIÀNG 2013-2014) 
 a b c
 2
 a/ Chứng minh b c a c b a , với a,b,c 0 .
 b/ Cho a,b,c là ba cạnh một tam giác. Chứng minh:
 1 1 1 1 1 1
 .
 a b c b c a c a b a b c
 c/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3y2 x2 2xy 2x 6y 2017 .
 Lời giải
 b c a b c a b c a
 a/ Ta có b c a 
 2 2a a
 b c a b c a 2a
 .
 2a a b c a b c
 b 2b c 2c
 Tương tự , .
 a c a b c b a a b c
 a b c 2 a b c 
 2 .
 b c a c b a a b c
 Dấu “=” xảy ra b c a,c a b,a b c , a,b,c 0 (vô lí).
 a b c
 Vậy 2 .
 b c a c b a
 b/ A 3y2 x2 2xy 2x 6y 2017
 2 2
 y x 1 2 1 y 2014 2014 .
 y x 1 0 x 0
 Dấu “=” xảy ra 
 y 1 y 1.
 Vậy min A 2014 khi x 0, y 1.
 2 1 1 4 1 1 1 1 
 c/ Với x 0, y 0 ta có x y 4xy . (1)
 x y x y x y 4 x y 
 a,b,c là ba cạnh của một tam giác nên a b c 0,a c b 0,c b a 0.
 Áp dụng BĐT (1) với các số x a b c, y a c b dương ta có:
 1 1 4 2
 a b c a c b a b c a c b a
 1 1 4 2
 Tương tự 
 b a c b c a c b a a b c b
  Trang 7  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 1 1 4 2
 c b a c a b c b a c a b c
 2 2 2 1 1 1 
 Do đó 2 
 a b c b c a c a b a b c 
 1 1 1 1 1 1
 (đpcm).
 a b c b c a c a b a b c
Câu 13. (Đề thi HSG 9 huyện KIÊN GIANG 2012-2013) 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của M 5x2 y2 z2 4x 2xy z 1. 
 Lời giải
 M 5x2 y2 z2 4x 2xy z 1
 1 9
 x2 2xy y2 4x2 4x 1 z2 z 
 4 4
 2
 2 2 1 9 9
 x y 2x 1 z 
 2 4 4
 x y 0
 1
 Dấu “=” xảy ra khi 2x 1 0 x y z 
 2
 1
 z 0
 2
 9 1
 Vậy giá trị nhỏ nhất của M khi x y z .
 4 2
Câu 14. (Đề thi HSG 9 tỉnh THANH HÓA 2018-2019) 
 1 2
 Cho x, y là các số thực dương thoả mãn : 2 . Chứng minh rằng:
 x y
 5x2 y 4xy y2 3.
 Lời giải
 Ta có:
 5x2 y 4xy y2 3
 4x2 4xy y2 x2 y 3 0 
 2x y 2 x2 y 3 0
 1 2 2 1 2 2x 1 2x
 * 2 2 y 
 x y y x y x 2x 1
 1 2x
 Vì: y 0; x 0 2x 1 0 x . Thay y vào x2 y 3 0 
 2 2x 1
 2x 2x3 x2 2x 6x 3
 Ta có: x2 y 3 0 x2 3 0 0 
 2x 1 2x 1
  Trang 8  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 Vì 2x 1 0 1 2x3 x2 2x 6x 3 0 2x3 x2 4x 3 0 . Mà 
 2x3 x2 4x 3
 2x3 2x2 x2 x 3x 3
 x 1 2x2 x 3 
 x 1 2 2x 3 0 x 0
 Suy ra 2x y 2 x2 y 3 0 x 0; y 0 
 Vậy 5x2 y 4xy y2 3
Câu 15. (Đề thi HSG 9 tỉnh AN GIANG 2013-2014) 
 Cho x1; x2 0;1 
 2 2
 a) Chứng minh rằng 1 x1 4x1 . 
 2 2 2
 b) Chứng minh rằng : 1 x1 x2 4 x1 x2 .
 Lời giải
 2 2
 a) Xét 4x1 1 x1 2x1 1 x1 2x1 1 x1 x1 1 3x1 1 
 Do x1 0;1 x1 1 0; 3x1 1 0 
 2 2
 Vậy 4x1 1 x1 x1 1 3x1 1 0 
 2 2
 Hay 1 x1 4x1 dấu bằng xảy ra khi x1 1 
 2 2 2 2 2
 b)Do 1 x1 x2 4 x1 x2 và x1, x2 0;1 x1 x1; x2 x2 . Ta được :
 2 2
 x1 x2 x1 x2 
 2 2 2 2
 Xét: 1 x1 x2 4 x1 x2 1 x1 x2 4 x1 x2 
 2
 1 2 x1 x2 x1 x2 4 x1 x2 
 2 2
 1 2 x1 x2 x1 x2 1 x1 x2 0 .
 2 2 2
 Vậy 1 x1 x2 4 x1 x2 . 
 2
 x1 x1
 2
 Dấu “=” xảy ra khi x2 x2 x1 0; x2 1 hoặc x1 1; x2 0 .
 1 x x 0
 1 2
  Trang 9  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Câu 16. (Đề thi HSG 9 tỉnh HƯNG YÊN 2014-2015) 
 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab ac bc 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 
 19a 3 19b 3 19c 3
 thức T .
 1 b2 1 c2 1 a2
 Lời giải
 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: 
 ab ac bc a2 b2 c2  b2 a2 c2 
 a2 b2 c2 3s
 a2 b2 c2 2 ab ac bc 3 23
 a b c 2 9
 a b c 3.
 19a 3 19b 3 19c 3 a b c a 1 b 1 c 1 
 T 2 2 2 16 2 2 2 3 2 2 2 
 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 a 
 a b c a 1 b 1 c 1
 Đặt A và B 
 1 b2 1 c 2 1 a2 1 b2 1 c2 1 a2
 Ta lại có:
 a b c 
 a) a b c A a b c 2 2 2 
 1 b 1 c 1 a 
 ab2 bc2 ca2 ab bc ac 3
 1 b2 1 c2 1 a2 2 2 2 2
 3
 A a b c * .
 2
 a 1 b 1 c 1 
 b) a b c 3 B a b c 3 2 2 2 
 1 b 1 c 1 a 
 a ab2 a 1 1 b2 b bc2 b 1 1 c2 c a2c c 1 1 a2
 1 b2 1 c2 1 a2
 ab2 b2 bc2 c2 a2c a2 3 a b c
 1 b2 1 c2 1 a2 2 2
 3 a b c a b c 3
 B a b c 3 B ** 
 2 2 2 2
 3 a b c 3 
 Từ * và ** ta có: 16A 3B 16 a b c 3 
 2 2 2 
 35 39
 T  a b c 33
 2 2
  Trang 10 