Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Bộ 6

 CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 Chuyờn đề 1: CĂN BẬC HAI VÀ BÀI TOÁN LIấN QUAN
Cõu 1. (ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN VĨNH BẢO 2013-2014)
 x y x y x y 2xy 
 Cho biểu thức: P : 1 .
 1 xy 1 xy 1 xy 
 a) Rỳt gọn biểu thức P .
 2
 b) Tớnh giỏ trị của P với x .
 2 3
 Lời giải:
 a) ĐKXĐ: x 0;y 0;xy 1.
 Mẫu thức chung là 1 – xy 
 ( x y)(1 xy) ( x y)(1 xy) 1 xy x y 2xy
 P :
 1 xy 1 xy
 x x y y y x x x y y y x 1 xy
 .
 1 xy 1 x y xy
 2( x y x) 2 x(1 y) 2 x
 (1 x)(1 y) (1 x)(1 y) 1 x
 2 2(2 3)
 b) x 3 2 3 1 ( 3 1)2
 2 3 4 3
 x ( 3 1)2 3 1 3 1
 2( 3 1) 2 3 2
 P 
 1 ( 3 1)2 1 3 2 3 1
 2( 3 1) 6 3 2
 P 
 5 2 3 13
Cõu 2. (ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH NINH BèNH NĂM HỌC 2014-2015)
 2 
 x 4 x x 8 x 2 2 x
 Cho biểu thức A : (với x 0 , x 4 ).
 x 2 4 x x 2
  Trang 1  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 a) Rỳt gọn A .
 b) Chứng minh rằng A 1, với mọi x 0 , x 4 .
 c) Tỡm x để A là số nguyờn.
 Lời giải
 2 
 x 4 x x 8 x 2 2 x
 a) A : 
 x 2 4 x x 2
 x 2 x 2 x 2 x 2 x 4 x 2
 . 
 x 2 x 2 x 2 x 2 x 4
 x 2 x 4 x 2
 x 2 . 
 x 2 x 2 x 4
 2 x
 .
 x 2 x 4
 2
 2 x x 2 
 b) Xột hiệu 1 A 1 0
 x 2 x 4 x 2 x 4
 Với mọi x 0, x 4 , suy ra A 1 (đpcm).
 2
 c) Ta cú x 2 x 4 x 1 3 0 , với mọi x 0
 2 x
 suy ra A 0 0 A 1 A 0 x 0 . 
 x 2 x 4
Cõu 3.ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH THANH HểA NĂM HỌC 2013 – 2014
 Cho biểu thức
 xy x xy x 
 A x 1 1 : 1 x 1
 xy 1 1 xy xy 1 xy 1 
 1. Rỳt gọn biểu thức A. 
 2. Cho 1 1 6 . Tỡm giỏ trị lớn nhất của A. 
 x y
 Lời giải
 1. Điều kiện: xy 1.
 x 1 1 xy xy x xy 1 xy 1 1 xy 
 A :
 xy 1 1 xy 
 xy 1 1 xy xy x xy 1 x 1 1 xy 
 xy 1 1 xy 
  Trang 2  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 x 1 1 xy xy x xy 1 xy 1 1 xy 
 xy 1 1 xy xy x xy 1 x 1 1 xy 
 1 x 1 .
 x y xy xy
 2. Theo Cụsi, ta cú: 6 1 1 2 1 1 9 .
 x y xy xy
 1
 Dấu bằng xảy ra 1 1 x y .
 x y 9
 1
 Vậy: maxA 9, đạt được khi: x y . 
 9
Cõu 4.ĐỀ THI CHỌN HSG THANH OAI NĂM HỌC 2013-2014
 x x 3 x 2 x 2 
 a) Cho M 1 : 
 x 1 x 2 3 x x 5 x 6 
 1. Rỳt gọn M .
 2. Tỡm giỏ trị nguyờn của x để biểu thức M nhận giỏ trị là số nguyờn. 
 b) Tớnh giỏ trị của biểu thức P . 
 P 3x 2013 5x 2011 2006 với x 6 2 2. 3 2 2 3 18 8 2 3.
 Lời giải
 ĐKXĐ: x 0; x 4; x 9 (*) 
 1) Rỳt gọn M : Với x 0; x 4; x 9 
 x 1 x x 3 x 2 x 2 
 M : 
 x 1 x 2 x 3 ( x 2)( x 3) 
 1 ( x 3)( x 3) ( x 2)( x 2) ( x 2) 
 : 
 x 1 ( x 2)( x 3) 
 1 x 9 (x 4) x 2
 :
 x 1 ( x 2)( x 3)
 x 2
 x 1
 x 2
 Vậy M (với x 0; x 4; x 9 ) (*) 
 x 1
 x 2 x 1 3 x 1 3 3
 2) M 1 
 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
 Biểu thức M cú giỏ trị nguyờn khi và chỉ khi: 3 x 1 x 1 U(3)
  Trang 3  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 Ư(3) 1; 3  Vỡ x 0 x 0 x 1 1
 Nờn x 1 1;3 Xảy ra cỏc trường hợp sau: 
 x 1 1 x 0 x 0 (TMĐK (*) )
 x 1 3 x 2 x 4 (khụng TMĐK (*) loại ) 
 Vậy x 0 thỡ M nhận giỏ trị nguyờn. 
 b) 
 x 6 2 2. 3 2 2 3 18 8 2 3
 Cú 18 8 2 (4 2) 2 4 2 4 2 
 2 2 3 4 2 2 3 4 ( 3 1) 2 3 1 
 x 6 2 2. 3 3 1 3 6 2 2. 2 3 3 6 2 4 2 3 3
 x 6 2 ( 3 1) 2 3 6 2 3 1 3 4 2 3 3
 x ( 3 1) 2 3 3 1 3 3 1 3 1 
 Với x 1.Ta cú P 3.12013 5.12011 2006 3 5 2006 2014 
 Vậy với x 1thỡ P 2014 .
Cõu 5.ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH LẠNG SƠN NĂM HỌC 2014-2015
 x 2 x 1 1
 Cho biểu thức A (x 0; x 1) 
 x x 1 x x 1 1 x
 1) Rỳt gọn biểu thức A.
 2) Chứng minh rằng A khụng nhận giỏ trị nguyờn với x 0; x 1. 
 Lời giải
 x
 Rỳt gọn được A . 
 x x 1
 Chứng minh được 0 < A <1 nờn A khụng nguyờn.
Cõu 6.ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH PHÚ YấN NĂM HỌC 2015-2016
 a a 1 a a 1 1 3 a 2 a 
 .
 Cho biểu thức P a 
 a a a a a a 1 a 1 
 a) Rỳt gọn biểu thức P .
  Trang 4  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 b) Chứng minh rằng với mọi giỏ trị của a (thỏa điều kiện thớch hợp) ta đều 
 cú P 6 .
 Lời giải
 a a 1 a a 1 1 3 a 2 a 
 0 1
 a) P a (đk: a )
 a a a a a a 1 a 1 
 a3 13 a3 13 a2 1 3 a a 1 2 a a 1 
 a a 1 a a 1 a a 1 a 1 a 1 a 1 
 a 1 a a 1 a 1 a a 1 a 1 3a 3 a 2 a 2 a a
 .
 a a 1 a a 1 a a 1 a 1 
 a a 1 a a 1 a 1 2a 2 a 2
 .
 a a a a 1 a 1 
 2 a a 1 a 1 2 a a 1 
 .
 a a a 1 a 1 
 2 a a 1 
 2 
 a
 2 a 2a 2 a 2
 a
 2
 2 a 4 .
 a
 2
 Vậy với 0 a 1 thỡ P 2 a 4 .
 a
 2 2
 b) Ta cú 2 a 2 2 a. 4 vậy P 8 hay P 6 (đpcm).
 a a
Cõu 7.ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN HÀ TRUNG NĂM HỌC 2008 – 
2009
 x 2 x 1 1
 Cho biểu thức A= 
 x x 1 x x 1 x 1
 a. Rút gọn biểu thức A
 b. Tính giá trị biểu thức A khi x=33-8 2
 c. Chứng minh A< 1
 3
 Lời giải:
 x 2 x 1 1
 Cho biểu thức A= 
 x x 1 x x 1 x 1
 a. Rút gọn biểu thức A
  Trang 5  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 ĐKXĐ: x 0; x 1 ( 0,25 điểm)
 x 2 x 1 1 x 2 x 1 x x 1
 A= = ( 0,5 điểm)
 x x 1 x x 1 x 1 ( x 1)(x x 1)
 x x x( x 1) x
 = ( 0,75 điểm)
 ( x 1)(x x 1) ( x 1)(x x 1) x x 1
 b. Tính giá trị biểu thức A khi x=33-8 2
 2
 Ta có x=33-8 2 = 4 2 1 x 4 2 1 ( 0,25 điểm)
 4 2 1 4 2 1
 A= ( 0,25 điểm)
 33 8 2 4 2 1 1 33 4 2
 c. Chứng minh A< 1
 3
 1 x 1 3 x x x 1 (x 2 x 1) ( x 1) 2
 Xét A- = = ( 
 3 x x 1 3 3(x x 1) 3(x x 1) 3(x x 1)
 0,5 điểm)
 ( x 1) 2 0 ( x 1) 2
 Do x 0; x 1 0 ( 0,25 điểm)
 3(x x 1) 0 3(x x 1)
 1 1
 A- 0 A< ( 0,25 điểm)
 3 3
 Chuyờn đề 2: BẤT ĐẲNG THỨC – MIN, MAX
Cõu 8. (ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH NINH BèNH NĂM HỌC 2014-2015)
 Cho ba số thực khụng õm x , y , z thỏa món x y z 3. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất 
 của biểu thức 
 A 2x2 3xy 2y2 2y2 3yz 2z2 2z2 3zx 2x2
 Lời giải
 A 2x2 3xy 2y2 2y2 3yz 2z2 2z2 3zx 2x2
 A 2 x y 2 xy 2 y z 2 yz 2 z x 2 zx
 2
 2 2 x y 7 2
 2 x y xy 2 x y x y 
 Ta cú 4 4
  Trang 6  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 7
 2x2 3xy 2y2 x y 
 2 . 
 7
 2y2 3yz 2z2 y z 
 Tương tự ta cú 2 ,
 7
 2z2 3zx 2x2 z x 
 2 .
 A 7 x y z 3 7 .
 Vậy Min A 3 7 , dấu " " xảy ra khi và chỉ khi x y z 1.
Cõu 9.ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2013 – 2014
 Cho cỏc số thực dương x, y, z thỏa món x y z 3 
 2x2 y2 z2 2y2 x2 z2 2z2 y2 x2
 Chứng minh rằng 4xyz
 4 yz 4 xz 4 yx
 Lời giải
 Lời giải 1:
 2x2 y2 z2 2y2 x2 z2 2z2 y2 x2
 4xyz
 4 yz 4 xz 4 yx
 x2 y2 x2 z2 x2 y2 y2 z2 z2 y2 x2 z2
 M 4(*)
 xyz(4 yz) xyz(4 xz) xyz(4 yx)
 2xy 2xz 2xy 2yz 2xz 2yz
 M N
 xyz(4 yz) xyz(4 xz) xyz(4 yx)
 y z x z x z 
 N 2 
 yz(4 yz) xz(4 xz) yx(4 yx) 
 1 1 1 1 1 1 
 N 2 2 
 z(4 yz) x(4 yz) y(4 yx) y(4 yz) zx(4 yz) x(4 yx) 
 6 6 12 3 3
 N 
 3 xyz(4 yz)(4 xz)(4 xy) 3 xyz(4 yz)(4 xz)(4 xy) 3 3xyz(4 yz)(4 xz)(4 xy)
 Mặt khỏc 
 4 4
 3xyz 4 xz 4 xy 4 yz 3xyz 12 xz xy yz 
 3xyz(4 xz)(4 yz)(4 xy) 
 4 4 
 1 1 1 9 xy yz xz
 Mà 3 3 3xyz xy xz yz 0
 x y z x y z xyz
 4
 3xyz 12 xz xy yz 
 3xyz(4 xz)(4 yz)(4 xy) 81
 4 
 3 3xyz(4 xy)(4 xz)(4 yz) 33 3 
  Trang 7  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 12 3 3
 Nờn M N 4 BĐT (*) được cm dấu “=” xảy ra khi x y z 1. 
 33 3
 Đỏp ỏn chớnh thức:
 Chứng minh được: 2x2 y2 z2 2x y z . 
 Tương tự ta cú 2y2 z2 x2 2y z x , 2z2 x2 y2 2z x y .
 x y z y z x z x y 
 Do đú ta sẽ chứng minh 2xyz .
 4 yz 4 zx 4 xy
 y z z x x y
 Bất đẳng thức này tương đương với 1.
 4 yz 2yz 4 zx 2zx 4 xy xy
 Ta cú 
 y z 2 yz 1
 , 
 4 yz 2yz 2 yz 2 yz 2yz 2 yz yz 2 yz 
 2 1 1
 dễ cú 0 2 yz yz xy 1 1 1 nờn .
 2 yz yz 2 yz 2 yz
 y z 1 z x 1
 Vậy nờn , tương tự cú và 
 4 yz 2yz 2 yz 4 zx 2zx 2 zx
 x y 1
 . 
 4 xy 2xy 2 xy
 y z z x x y 1 1 1
 Do đú .
 4 yz 2yz 4 zx 2zx 4 xy xy 2 xy 2 yz 2 zx
 Với a, b, c>0 cú 
 1 1 1 a b b c c a 
 a b c 3 3 2 2 2 9 nờn 
 a b c b a c b a c 
 1 1 1 9
 (*). 
 a b c a b c
 1 1 1 9
 Áp dụng (*) ta cú 1; 
 2 xy 2 yz 2 zx 6 xy yz zx
 x y y z z x
 (Vỡ xy yz zx x y z 3 ).
 2 2 2
 y z z x x y
 Vậy 1. 
 4 yz 2yz 4 zx 2zx 4 xy xy
 2x2 y2 z2 2y2 z2 x2 2z2 x2 y2
 Do vậy ta cú 4xyz . 
 4 yz 4 zx 4 xy
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y z 1.
Cõu 10.ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2013-2014
 Cho a , b , c là cỏc số thực thỏa món a2 b2 c2 1. 
 Chứng minh rằng abc 2 1 a b c ab ac bc 0 . 
 Lời giải
  Trang 8  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 Ta cú a2 b2 c2 1 a2 1 b2 c2 1 a 1 1 a 0 . 
 Tương tự ta cũng cú 1 b 0 , 1 c 0 . 
 Khi đú 1 a 1 b 1 c 0 1 a b c ab ac bc abc 0 1 .
 Mặt khỏc 1 a b c 2 0 1 2 a b c a b c 2 0 
 1 2 a b c a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 0 
 2 1 a b c ab ac bc 0 (vỡ a2 b2 c2 1) 
 1 a b c ab ac bc 0 2 
 Lấy 1 2 vế theo vế ta được: abc 2 1 a b c ab ac bc 0 (đpcm). 
Cõu 11.ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH THANH HểA NĂM HỌC 2013 – 2014
 Cho x, y là cỏc số thực dương thoả món x y 1. 
 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức B 1 1 .
 x3 y3 xy
 Lời giải
 1 2xy
 Ta cú: B 1 1 1 1 .
 (x y)3 3xy(x y) xy 1 3xy xy xy(1 3xy)
 (x y)2
 Theo Cụsi: xy 1 .
 4 4
 Gọi B0 là một giỏ trị của B, khi đú, tồn tại x, y để: 
 1 2xy 2
 B 3B xy – 2 B xy 1 0 (1)
 0 xy(1 3xy) 0 0 
 Để tồn tại x, y thỡ (1) phải cú nghiệm 
 2 Bo 4 2 3
 x, y B0 – 8B0 4 0 
 Bo 4 2 3
 Để ý rằng với giả thiết bài toỏn thỡ B 0. Do đú ta cú: B0 4 2 3 .
 2 B0 3 3 3 3
 Với B0 4 2 3 xy x(1 x) 
 6B0 6 2 3 6 2 3 
 2 3 2 3
 1 1 1 1
 x2 x 3 3 0 x 3 , x 3 .
 6 2 3 2 2
 2 3 2 3
 1 1 1 1
 Vậy, B 4 2 3 , đạt được khi x 3 , y 3 hoặc 
 min 2 2
 2 3 2 3
 1 1 1 1
 3 3
 x , y . 
 2 2
  Trang 9  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Cõu 12.ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG THANH OAI NĂM HỌC 2013-2014
 a) Cho hai số dương thỏa món: x y 1. Tỡm GTNN của biểu thức: 
 2 1 2 1 
 M x 2 y 2 
 y x 
 1 1 1
 b) Cho x, y là cỏc số dương thỏa món: 6 . 
 x y y z z x
 1 1 1 3
 Chứng minh rằng: 
 3x 3y 2z 3x 2y 3z 2x 3y 3z 2
 Lời giải
 a) (1,0 điểm)
 4 4 2 2
 2 1 2 1 2 2 1 x y 2x y 1
 M x 2 y 2 x y 1 1 2 2 2 2
 y x x y x y
 2
 2 2 2 2
 x y 1 x2 y2 1 1 
 2 2 xy 
 x y xy xy 
 1 1 15
 Ta cú: xy xy 
 xy 16xy 16xy
 1 1 1 1
 * Ta cú: xy 2 xy. 2. (1) 
 16xy 16xy 4 2
 x y 1 1 1 1 4 1 15 15
 * xy xy 4 (2)
 2 2 4 xy 16xy 16 4 16xy 4
 1 1 15 1 15 17
 Từ (1) và (2) xy xy . 
 xy 16xy 16xy 2 4 4
 2 2
 1 17 289
 Vậy M xy .
 xy 4 16
 1 1
 xy xy 1
 Dấu “=” xảy ra 16xy 4 x y (Vỡ x, y 0 )
 2
 x y x y
 289 1
 Vậy Min tại x y . 
 M 16 2
 b) (1,0 điểm)
 1 1 4 1 1 1 1 
 Áp dụng BĐT (với a,b 0 ) 
 a b a b a b 4 a b 
  Trang 10 