Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Bộ 9

 CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Chuyờn đề 1: CĂN BẬC HAI VÀ BÀI TOÁN LIấN QUAN
Cõu 1.(Đề thi HSG 9 TP Đà Nẵng 2017-2018) 
 1 11 2
 Tớnh A 
 2 11 18 5 11
 Lời giải
 1 11 2 1 11 . 2 11 2. 18 5 11 
 A =
 2 11 18 5 11 4 11 49
 9 11 5 11
 2
 7
Cõu 2.(Đề thi HSG 9 TP Đà Nẵng 2017-2018) 
 x 2 x 1 x 1
 Cho biểu thức A : với x 0 ; x 1. 
 x x 1 x 1 x 1 x 2 x
 2
 Rỳt gọn A và chứng minh A .
 3
 Lời giải
 x 2 x 1 x 1
 + Rỳt gọn A : với x 0 ; x 1. 
 x x 1 x 1 x 1 x 2 x
 x 2 x( x 1) 1(x 1 x) x 1
 A :
 ( x 1)(x 1 x) ( x 1)(x 1 x) ( x 1)(x 1 x) 2 x
 ( x 1)2 2 x 2 x
 A  
 ( x 1)(x 1 x) x 1 (x 1 x)
 2
 + Chứng minh A .
 3
 2 2 x 2 6 x 2x 2 x 2 2( x 1)2
 Xột hiệu A 0 
 3 (x 1 x) 3 3(x 1 x) 3(x 1 x)
 2 2
 A 0 A 
 3 3
Cõu 3.(Đề thi HSG 9 Tỡnh Hà Giang 2017-2018) 
  Trang 1  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 2017
 Cho x 4 7 4 7 . Tớnh A x4 x3 x2 2x 1 .
 Lời giải.
 Ta cú: x 2 8 2 7 8 2 7 7 1 7 1 2 x 2 .
 Vậy : A 1 .
Cõu 4.(Đề thi HSG 9 Tỡnh Hải Dương 2017-2018) 
 x2 x x2 x 1
 Cho A= . Rỳt gọn B 1 2A 4 x 1 với 0 x 
 x x 1 x x 1 4
 Lời giải
 Ta cú
 x2 x x2 x x(x x 1) x(x x 1)
 A= = x( x 1) x( x 1) 
 x x 1 x x 1 x x 1 x x 1
 2x
 1
 B 1 2A 4 x 1 1 4x 4 x 1 1 2 x 1 2 x (0 x )
 4
 1 1 1 1 1 1 1 1
Rỳt gọn biểu thức: X 1 1 1 ... 1 . 
 12 22 22 32 32 42 20172 20182
 Lời giải
 1 1 n2 (n 1)2 (n 1)2 n2
 Tổng quỏt: 1 
 n2 (n 1)2 n(n 1)2
 2 2
 n(n 1) 2n(n 1) 1 n(n 1) 1 n(n 1) 1 1
 1 .
 n(n 1)2 n(n 1)2 n(n 1) n(n 1)
 1 1 1 1 1 1 1 1
 Vậy X 1 1 1 ... 1 
 12 22 22 32 32 42 20172 20182
 1 1 1 1
 1 1 1 ... 1 
 1.2 2.3 3.4 2017.2018
 1 1 1 1 1 1 1 1 4072323
 2017 1 ... 2018 .
 2 2 3 3 4 2017 2018 2018 2018
  Trang 2  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Chuyờn đề 2: BẤT ĐẲNG THỨC – MIN, MAX
Cõu 1.(Đề thi HSG 9 Tỡnh Hà Giang 2017-2018) 
 b2 c2 c2 a2 a2 b2
 Cho a;b;c 0 . Chỳng minh rằng: 2 a b c .
 a b c
 Lời giải.
 Áp dụng bất đăngt thức Cauchy ta cú : 
 b2 c2 c2 a2 a2 b2 bc ca ab bc ca ca ab ab bc 
 2 
 a b c a b c a b b c c a 
 2 a b c 
 Dấu bằng xảy ra khi a b c .
Cõu 2.(Đề thi HSG 9 Amsterdam lần 3 2017-2018)
 Cho a , b , c là ba số thực dương thỏa món a b c 3. Chứng minh rằng:
 1 1 1
 a2 b2 c2
 a2 b2 c2
 Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
 Lời giải
 1 
 Trường hợp 1: Nếu tồn tại một trong ba số a , b , c thuộc nửa khoảng 0; thỡ ta cú 
 3 
 1 1 1 2
 9 a b c a2 b2 c2 . Khi đú bất đẳng thức cần chứng minh đỳng.
 a2 b2 c2
 1 1 1 1 1 7
 Trường hợp 2: a ; b ; c ta cú a b c 3 a a tương tự 
 3 3 3 3 3 3
 7 7 1 7 
 b ; c . Vậy a;b;c ; .
 3 3 3 3 
 1 2 1 7 
 Ta chứng minh 2 x 4x 4 x ; . (*).
 x 3 3 
 Thật vậy 
 2
 (*) 1 x4 4x3 4x2 x4 4x3 4x2 1 0 x 1 x2 2x 1 0
 2 2 1 7 
 x 1 x 1 2 0 luụn đỳng với x ; .
 3 3 
 1 1 1
 Vậy a2 4a 4 ; b2 4b 4 ; c2 4c 4 .
 a2 b2 c2
  Trang 3  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 Từ đú suy ra 
 1 1 1 1 1 1
 a2 b2 c2 4 a b c 12 0 a2 b2 c2 (đpcm).
 a2 b2 c2 a2 b2 c2
 Dấu “ ” xảy ra khi và chỉ khi a b c 1.
Cõu 3.(Đề thi HSG 9 Tỡnh Hải Dương 2017-2018) 
 Cho x, y, z 0 thỏa món x2 y2 z2 3xyz . Tỡm GTLN của 
 x2 y2 z2
P .
 x4 yz y4 zx z4 xy
 Lời giải 
 x2 y2 z2
 Ta cú x, y, z 0 , x2 y2 z2 3xyz 3.
 xyz
 Với x, y, z 0 , theo BĐT Cauchy ta được x2 y2 z2 xy yz zx
 x2 1
 x4 yz 2 x4 yz 2x2 yz 
 x4 yz 2 yz
 y2 1 z2 1
 Tương tự ta được: ; .
 y4 zx 2 zx z4 xy 2 xy
 x2 y2 z2 1 1 1 1 1 1 1 1 
 P 4 4 4 
 x yz y zx z xy 2 yz xz xy 2 x y z 
 1 xy yz zx 1 x2 y2 z2 3
 .
 2 xyz 2 xyz 2
 3
 GTLN của P khi x y z 1.
 2
Cõu 4.(Đề thi HSG 9 Tỡnh Hà Tỉnh 2017-2018) 
 Cho x , y là cỏc số nguyờn khụng đồng thời bằng 0 . Tỡm GTNN của 
F = 5x2 + 11xy- 5y2 .
 Lời giải
 Đặt F = 5x2 + 11xy- 5y2 = f (x, y), m là GTNN của F .
 Ta cú m là số nguyờn và f (0;1)= f (1;0)= 5 ị m Ê 5 .
 Vỡ x , y là cỏc số nguyờn khụng đồng thời bằng 0 nờn 5x2 + 11xy- 5y2 ạ 0 hay F ạ 0 .
 Xột x = 2n ; y = 2k . Ta cú f (x; y)= f (2n;2k)= 4 f (n;k) nờn giỏ trị f (2n;2k) khụng 
 thể là GTNN. Do đú GTNN của F xảy ra khi x , y khụng cựng chẵn, vỡ vậy m là số lẻ.
  Trang 4  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 * Nếu m = 1 suy ra tồn tại x , y để 5x2 + 11xy- 5y2 = 1 Û 
 2
 100x2 + 220xy- 100y2 = ± 20 Û (10x + 11y) - 221y2 = ± 20 Û 
 2 2
 (10x + 11y) ± 20 = 221y2 M3. Suy ra (10x + 11y) chia 13 dư 6 hoặc dư 7. Mà số chớnh 
 phương khi chia 13 chỉ cú dư 0,1,3,4,9,10,12. Do đú vụ lý.
 * Nếu m = 3 suy ra tồn tại x , y để 5x2 = 11xy- 5y2 = 3 Û 
 2
 100x2 + 220xy- 100y2 = ± 60 Û (10x + 11y2 )= ± 60 = 221y2 M3 . Suy ra (10x + 11y) 
 chia 13 dư 5 hoặc dư . Mà số chớnh phương khi chia 13 chỉ cú dư 0,1,3,4,9,10,12. Do đú 
 vụ lý.
 Vậy GTNN của F là 5.
Cõu 5.(Đề thi HSG 9 Tỡnh Hậu Giang 2017-2018) 
 a2 b2 c2
 Cho a,b,c 0 . Chứng minh rằng a b c .
 b c a
 Lời giải
 a2
 Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta cú: b 2a 
 b
 b2 c2
 Tương tự ta cú: c 2b; a 2c 
 c a
 a2 b2 c2 a2 b2 c2
 b c a 2a 2b 2c a b c .
 b c a b c a
 Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a b c .
Cõu 6.(Đề thi HSG 9 Tỡnh Hậu Giang 2017-2018) 
 Cho tam giỏc ABC cú chu vi bằng 2. Ký hiệu a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giỏc . Tỡm 
 a 9b 16
 giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức S .
 b c a c a b a b c
 Lời giải
 b c a x 2a y z
 Đặt c a b y 2b z x 
 a b c z 2c z y
 Ta cú : 
 y z 9(z x) 16(x y) 1 y 9x z 16x 9z 16y 
 S 
 2x 2y 2z 2 x y x z y z 
 1
 . 2.3 2.4 2.3.4 19 
 2
 7 5 1
 Giỏ trị nhỏ nhất của S là 19. Đạt được khi và chỉ khi a ;b ;c .
 8 8 2
  Trang 5  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Cõu 7.(Đề thi HSG 9 Tỡnh Hưng Yờn 2017-2018) 
 1 3yz 4zx 5xy
 Cho x, y, z 0 thỏa món 2 y z . Chứng minh rằng 4
 x x y z
 Lời giải
 Áp dụng bất đẳng thức CauChy ta cú
 3yz 4zx 5xy yz zx zy xy zx xy 
 2 3 2z 4y 6x
 x y z x y x z y z 
 1
 4 x y 2(z x) 8 xy 4 xz 4 x(2 y z) 4 x. 4 .
 x
 1
 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y z .
 3
Cõu 8.(Đề thi HSG 9 Tỡnh Khỏnh Hũa 2017-2018) 
 1 1 1 1
 Chứng minh rằng: Với mọi số nguyờn dương n , ta cú: ... 3.
 2 33 2 4 3 3 n 1 3 n
 Lời giải:
 3 3 2
 Ta cú 1 n 1 n = 3 n 1 3 n 3 n 1 3 n 3 n 1 3 n 1 n 3 n2 . 
 2 2 2
 Mà 3 n 1 3 n 1 n 3 n2 33 n 1 1 33 n 1 3 n 1 3 n .
 2
 3 3 3
 1 3 n 1 n 1 n 1 1 
 Từ đú suy ra 3 
 n 1 3 n n 1 3 n 3 n 3 n 1 
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 Nờn ... 3 3 ... 3 
 2 33 2 4 3 3 (n 1) 3 n 1 3 2 3 2 3 3 3 n 3 n 1 
 1 1 1 1 1 1 
 ... 3 3
 2 33 2 4 3 3 (n 1) 3 n 1 3 n 1 
 1 1 1 1
 ... 3.
 2 33 2 4 3 3 n 1 3 n
Cõu 9.(Đề thi HSG 9 Tỡnh Khỏnh Hũa 2017-2018) 
 Cho hai số thực x và y thỏa món x2 xy y2 1. Tỡm giỏ trị lớn nhất của 
 P x3 y xy3 .
 Lời giải:
 Áp dụng BĐT Cụsi cho 2 số khụng õm ta cú: 
 1
 x2 y2 2 x2 y2 2 xy 2xy x2 y2 xy 2xy xy 3xy xy .
 3
 2
 2 2 a b 
 Ta cú a b 0 2ab a2 b2 4ab a b ab 1 .
 4
  Trang 6  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 P x3 y xy3 xy x2 y2 xy 1 xy vỡ x2 xy y2 1
 2 2 2
 2xy 1 xy 1 xy 1 4
 Áp dụng BĐT 1 ta cú 2P 2xy. 1 xy 1 : 4 
 4 4 3 9
 2
 P . 
 9
 2
 Vậy P cú giỏ trị lớn nhất bằng . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
 9
 1 1 1
 xy và x y x y hoặc x y .
 3 3 3
Cõu 10.(Đề thi HSG 9 Tỡnh Kiờn Giang 2017-2018) 
 x y z t
 Cho x, y, z, t là cỏc số thực dương. Chứng minh rằng: 2 
 y z z t t x x y
 Lời giải
 x y z t x y z t
 Đặt A , M 
 y z z t t x x y x y y z z t t x
 y z t x
 N .
 x y y z z t t x
 x y z t y z t x
 M N 4 . 
 x y y z z t t x x y y z z t t x
 y t x z y t x z
 Ta cú N A 
 x y y z z t t x
 1 1 1 1 4( y t) 4(x z)
 (y t) (x z) 4 .
 x y z t y z t x x y z t x y z t
 Chứng minh tương tự ta cũng cú A M 4 
 A M A N 8 A 2 . Dấu “=” xảy ra khi x y z t 0 .
Cõu 11.(Đề thi HSG 9 Huyện Hải Lăng 2008-2009) 
 x2 4x 1
 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A 
 x2
 Lời giải
 x2 4x 1 4 1
 Ta cú: A 1 
 x2 x x2
 2
 4 1 1 
 3 4 2 3 2 3
 x x x 
  Trang 7  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 1 1
Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi 2 0 x 
 x 2
  Trang 8  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Chuyờn đề 3: PHƯƠNG TRèNH
Cõu 1.(Đề thi HSG 9 TP Đà Nẵng 2017-2018) 
 Tỡm tất cả cỏc số của x thỏa món x 4 x 2 2 x 6 x 2 7 7 
 Lời giải
 ĐK x 2 
 x 4 x 2 2 x 6 x 2 7 7
 2 2
 ( x 2 2) ( x 2 3) 7 
 | x 2 2 | x 2 3 7 
 x 2 2 x 2 3 7
 2 x 2 x 2 3 7 
 2 x 2 6
 5 7 (loai)
 x 11 (t / m) 
Cõu 2.(Đề thi HSG 9 Tỡnh Hải Dương 2017-2018) 
 Giải phương trỡnh x 5 x 2 1 x2 3x 10 7 .
 Lời giải
 Điều kiện x 2
 x 5 x 2 1 x2 3x 10 7
 1 x2 3x 10 x 5 x 2
 ( x 5( x 2 1) x 2 1
 x 2 1 x 3
 x 5 1 x 4
 So với điều kiện ta được phương trỡnh cú 1 nghiệm x 3 .
Cõu 3.(Đề thi HSG 9 Tỡnh Hà Tỉnh 2017-2018) 
 Giải phương trỡnh 3 1- x + x + 3 = 2 .
 Lời giải
 ĐKXĐ x ³ - 3 . Đặt 3 1- x = a ; x + 3 = b ³ 0 . 
 ộ a = 0
 ùỡ a + b = 2 ờ
 Ta cú ớù ị a a2 + a- 4 = 0 ị ờ .
 ù 3 3 ( ) ờ - 1± 17
 ợù a + b = 4 ờa =
 ở 2
  Trang 9  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 ỡ ỹ
 ù 15± 17ù
 Từ đú tỡm được tập nghiệm của phương trỡnh đó cho là S = ớ 1; ý.
 ù ù
 ợù 2 ỵù
Cõu 4.(Đề thi HSG 9 Tỡnh Hà Tỉnh 2017-2018) 
 Giải phương trỡnh 1 1 x 3 2 x x .
 Lời giải
 Giải phương trỡnh 1 1 x 3 2 x x . ĐK: x 1
 1 1 x 3 2 x x x.3 2 x x 1 1 x x 3 2 x 1 1 x 0
 x 0
 3
 2 x 1 1 x
 Xột phương trỡnh 3 2 x 1 1 x .
 3 2 x a a b 1 a b 1 a b 1
 Đặt 
 3 2 3 2 2 3 2
 1 x b a b 1 b 3b 3b 1 b 1 b 2b 3b 0
 a 1
 x 1.
 b 0
 Đối chiếu ĐKXĐ ta cú: x 0;1 .
Cõu 5.(Đề thi HSG 9 Tỡnh Khỏnh Hũa 2017-2018) 
 Giải phương trỡnh: 2 5x 3 x2 x 2 27 3 x 1 x 2 .
 Lời giải:
 x + 2 0 x - 2 
 ĐK : x 1. 
 x 1 0 x 1
 2 5x 3 x2 x 2 27 3 x 1 x 2
 10x 6 x2 x 2 27 3 x 1 x 2 (1).
 Đặt t 3 x 1 x 2 mà x 1 t 3. 
 Phương trỡnh (1) t 2 t 20 0 t 4 t 5 = 0 t = 5 t 3 . 
 Khi đú ta cú phương trỡnh: 3 x 1 x 2 5 
  Trang 10 