Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Chủ đề 4: Lời giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình - Năm 2020 (Có đáp án)

 CHỦ ĐỀ 4: LỜI GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH,
 HỆ PHƯƠNG TRÌNH.
Để giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình ta thường thực hiện theo các 
bước sau:
Bước 1: Chọn ẩn số (nêu đơn vị của ẩn và đặt điều kiện nếu cần).
Bước 2: Tính các đại lượng trong bài toán theo giả thiết và ẩn số, từ đó lập phương trình 
hoặc hệ phương trình.
Bước 3: Giải hệ phương trình hoặc hệ phương trình vừa lập được
Bước 4: Đối chiếu với điều kiện và trả lời.
I. CÁC BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
+ Quãng đường = Vận tốc x thời gian
+ Vận tốc tỷ lệ nghịch với thời gian và tỉ lệ thuận với quãng đường đi được.
+ Nếu hai xe đi ngược chiều nhau khi gặp nhau lần đầu: Thời gian hai xe đi ngược là như 
nhau. Tổng quãng đường hai xe đi được bằng đúng quãng đường cần đi của hai xe.
+ Nếu hai phương tiện chuyển động cùng chiều từ hai địa điểm khác nhau là A và B, xe từ A 
chuyển động nhanh hơn xe từ B thì khi xe từ A đuổi kịp xe từ B ta luôn có hiệu quãng 
đưoqừng đi được của xe từ A với quãng đường đi được của xe từ B bằng quãng đường AB.
+ Đối với (ca nô, tầu xuồng) chuyển động trên dòng nước ta cần chú ý:
Khi đi xuôi dòng: Vận tốc ca nô = Vận tốc riêng + Vận tốc dòng nước
Khi đi ngược dòng: Vận tốc ca nô = Vận tốc riêng - Vận tốc dòng nước
Vận tốc của dòng nước là vận tốc của một vật trôi tự nhiên theo dòng nước (Vận tốc riêng 
của vật đó bằng 0)
Ví dụ 1
Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24 km. Khi đi từ B trở về A người đó tăng vận tốc 
thêm 4 km/h so với lúc đi, nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút. Tính vận tốc của xe 
đạp khi đi từ A đến B.
 Lời giải
 1
Đổi 30 phút giờ.
 2
Gọi vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B là x (km/h,x 0 ). Thời gian xe đi từ A đến B là 
 24
 (giờ).
 x
 24
Đi từ B về A người đó đi với vận tốc x 4 (km/h). Thời gian xe đi từ B về A là (giờ). 
 x 4
Do thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút nên ta có phương trình:
 24 24 1 24 24 1 2 x 12
 . Giải phương trình: x 4x 192 0 
 x x 4 2 x x 4 2 x 16
Đối chiếu với điều kiện ta có vận tốc của xe đạp đi từ A đến B là 12 km/h.
Ví dụ 2
 3
Quảng đường AB dài 120 km. Lúc 7h sáng một xe máy đi từ A đến B. Đi được xe bị hỏng 
 4
phải dừng lại 10 phút để sửa rồi đi tiếp với vận tốc kém vận tốc lúc đầu 10km/h. Biết xe máy 3
đến B lúc 11h40 phút trưa cùng ngày. Giả sử vận tốc xe máy trên quãng đường đầu không 
 4
 1
đổi và vận tốc xe máy trên quãng đường sau cũng không đổi. Hỏi xe máy bị hỏng lúc mấy 
 4
giờ? 
 (trích đề tuyển sinh chuyên lớp 10 trường chuyên ĐHSP Hà Nội năm 2015)
 Lời giải
 3
Gọi vận tốc trên quãng đường ban đầu là x (km/h), điều kiện: x 10 
 4
 1
Thì vận tốc trên quãng đường sau là x 10 (km/h)
 4
 3 90
Thời gian trên quãng đường ban đầu là (h)
 4 x
 1 30
Thời gian trên quãng đường sau là: (h)
 4 x 10
 9
Thời gian đi cả hai quãng đường là: 11 giờ 40 phút – 7 giờ - 10 phút = giờ.
 2
 90 30 9
Nên ta có phương trình: 
 x x 10 2
Giải phương trình ta được x 30 thỏa mãn điều kiện
 3 90
Do đó thời gian đi trên quãng đường ban đầu 3 (giờ)
 4 30
Vậy xe hỏng lúc 10 giờ.
Ví dụ 3
Một ca nô xuôi dòng 78 km và ngược dòng 44 km mất 5 giờ với vận tốc dự định. Nếu ca nô 
xuôi 13 km và ngược dòng 11 km với cùng vận tốc dự định đó thì mất 1 giờ. Tính vận tốc 
riêng của ca nô và vận tốc dòng nước.
 Lời giải
Gọi vận tốc riêng của ca nô là x (km/h, x 0 )
Và vận tốc của dòng nước là y (km/h, y 0 )
 78
Ca nô xuôi dòng đi với vận tốc x y (km/h). Đi đoạn đường 78 km nên thời gian đi là 
 x y
(giờ)
Ca nô đi ngược dòng với vận tốc x y (km/h). Đi đoạn đường 44 km nên thời gian đi là 
 44
 (giờ)
 x y
Tổng thời gian xuôi dòng là 78 km và ngược dòng là 44 km mất 5 giờ nên ta có phương 
 78 44
trình: 5 (1)
 x y x y
 13 11
Ca nô xuôi dòng 13 km và ngược dòng 11 km nên ta có phương trình: 1 (2)
 x y x y
 78 44
 5
 x y x y x y 26 x 24
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 
 13 11 x y 22 y 2
 1 
 x y x y
Đối chiếu với điều kiện ta thấy thỏa mãn. Vậy vận tốc riêng của ca nô là 24 km/h và vận tốc của dòng nước là 2 km/h.
Ví dụ 4
Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc dự định trong một thời gian dự định. Nếu ô tô tăng vận tốc 
thêm 3 km/h thì thời gian út ngắn được 2 giờ so với dự định. Nếu ô tô giảm vận tốc đi 3km/h 
thi thời gian đi tăng hơn 3 giờ so với dự định. Tính độ dài quảng đường AB.
 Lời giải
Gọi vận tốc dự định của ô tô là x (km/h, x 3 ) và thời gian dự định đi từ A đến B là y (giờ, 
 y 2 ). Khi đó quảng đường từ A đến B dài xy (km).
Nếu ô tô tăng vận tốc thêm 3 km/h thì vận tốc lúc đó là x 3 (km/h), khi đó thời gian đi sẽ là: 
 y 2 (giờ).
Ta có phương trình: x 3 y 2 xy (1)
Tương tự nếu ô tô giảm vận tốc đi 3 km/h thì thời gian tăng 3 giờ nên ta có phương trình: 
 x 3 y 3 xy (2)
 x 3 y 2 xy
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình 
 x 3 y 3 xy
 x 15
Giải hệ ta được . Đối chiếu với điều kiện ta thấy thỏa mãn.
 y 12
Vậy quãng đường AB dài là: 12.15 180 (km).
Chú ý: Trong bài toán này, vì các dữ kiện liên quan trực tiếp tới sự thay đổi của vận tốc và 
thời gian nên ta chọn là ẩn và giải như trên. Nếu đặt độ dài quãng đường và vận tốc dự định 
là ẩn số ta cũng lập được hệ hai phương trình hai ẩn và vẫn giải được bài toán, tuy nhiên sẽ 
khó khăn hơn.
 II. BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN NĂNG SUẤT LAO ĐỘNG, CÔNG VIỆC
Ta cần chú ý: khi giải các bài toán liên quan đến năng suất thì liên hệ giữa ba đại lượng là:
Khối lượng công việc = năng suất lao động + thời gian.
Ví dụ 1
Một công ty dự định điều động một số xe để chuyển 180 tấn hàng từ cảng Dung Quốc vào 
Thành phố Hồ Chí Minh, mỗi xe chở khối lượng hàng bằng nhau. Nhưng do nhu cầu thực tế 
cần chuyn63 thêm 28 tấn hàng nên công ty đó phải điều động thêm một chiếc xe cùng loại và 
mỗi xe bây giờ phải chở thêm 1 tấn hàng mới đáp ứng được nhu cầu đặt ra. Hỏi theo dự định 
công ty đó cần điều động bao nhiêu xe? Biết rằng mỗi xe không chở quá 15 tấn.
 (trích đề tuyển sinh vào lớp 10, tỉnh Quãng Ngãi 2015)
 Lời giải
Gọi x (tấn) là số tấn hàng trong thực tế mà mỗi xe phải chở (ĐK: 1 x 15, x ¥ )
 x 1 là số tấn hàng mỗi xe phải chở theo dự định.
 180 28
Số xe thực tế phải điều động là: (xe)
 x
 180
Số xe cần điều động theo dự định là: (xe)
 x 1
Vì vậy số xe thực tế nhiều hơn dự định là 1 xe nên ta có phương trình:
 208 180
 1 208x 208 180x x2 x x2 29x 208 0 
 x x 1
 x1 13 (tm) hoặc x2 16 (loại vì x 15 ) 180 180
Vậy theo dự định cần điều động: 15 (xe).
 x 1 13 1
Ví dụ 2
Hưởng ứng phong trào “Vì biển đảo Trường Sa”, một đội tàu dự định chở 280 tấn hàng ra 
đảo. Nhưng khi chuẩn bị khởi hành thì số hàng hóa đã tăng thêm 6 tấn so với dự định, vì vậy 
đội tàu phải bổ sung thêm 1 tàu và mỗi tàu chở ít hơn dự định 2 tấn hàng. Hỏi khi dự định đội 
tàu có bao nhiêu chiếc tàu, biết các tàu chở số tấn hàng bằng nhau.
 (trích đề tuyển sinh vào lớp 10, tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu, năm 2015)
 Lời giải
Gọi x (chiếc) là số tàu dự định của đội x ¥ *, x 140 
Số tàu tham gia vận chuyển là x 1 (chiếc)
 280
Số tấn hàng trên mỗi chiếc theo dự định (tấn)
 x
 286
Số tấn hàng trên mỗi chiếc thực tế (tấn)
 x 1
Theo bài ra ta có phương trình: 
 280 286 2 x 10
 2 280 x 1 280x 2x x 1 x 4x 140 0 
 x x 1 x 14(L)
Vậy đội tàu lúc đầu có 10 chiếc tàu
Ví dụ 3
Một công nhân theo kế hoạch phải làm 85 sản phẩm trong một khoảng thời gian dự định. 
Nhưng do yêu cầu đột xuất, người công nhân đó phải làm 96 sản phầm. Do người công nhân 
mỗi giờ đã làm tăng thêm 3 sản phẩm nên người đó đã hoàn thành công việc sớm hon7so với 
thời gian dự định là 20 phút. Tính xem theo dự định mỗi giờ người đó phải là bao nhiêu sản 
phẩm, biết rằng mỗi giờ chỉ làm được không quá 20 sản phẩm.
 Lời giải
Gọi số sản phẩm công nhân dự định làm trong một giờ là x 0 x 20 .
 85
Thời gian dự kiến người đó làm xong 85 sản phẩm là (giờ)
 x
Thực tế mỗi giờ làm tăng thêm 3 sản phẩm nên số sản phẩm làm được của mỗi giờ là x 3 .
 96
Do đó 96 sản phẩm làm được trong (giờ)
 x 3
 1
Thời gian hoàn thành công việc thực tế sớm hơn so với dự định là 20 phút giờ nên ta có 
 3
 85 96 1
phương trình 
 x x 3 3
Giải phương trình ta được x 15 hoặc x 51 
Đối chiếu điều kiện ta loại ngiệm x 51
Theo dự định mỗi giờ người đó phải làm 15 sản phẩm
Ví dụ 4
Để hoàn thành một công việc, nếu hai tổ cùng làm chung thì mất hết 6 giờ. Sau 2 giờ làm 
chung thì tổ hai được điều đi làm việc khác, tổ một tiếp tục làm và đã hoàn thành công việc 
còn lại trong 10 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi tổ sẽ hoàn thành công việc này trong thời 
gian bao nhiêu?
 Lời giải Gọi thời gian tổ một làm riêng và hoàn thành công việc là x (giờ, x 6 )
Gọi thời gian tổ hai làm riêng và hoàn thành công việc là y (giờ, y 6 )
 1
Mỗi giờ tổ một làm được (phần công việc)
 x
Mỗi giờ tổ hai làm được 1 (phần công việc)
 y
Biết hai tổ làm chung trong 6 giờ thì hoàn thành được công việc nên ta có phương trình:
 6 6
 1 (1). Thực tế để hoàn thành công việc này thì hai tổ làm trong 2 giờ và tổ một làm 
 x y
 12 2
trong 2 10 12 (giờ), ta có phương trình: 1 (2).
 x y
 6 6
 1
 x y x 15
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: .Giải hệ ta được: thỏa mãn điều kiện.
 12 2 y 10
 1 
 x y
Nếu làm riêng thì tổ một hoàn thành công việc trong 15 giờ và tổ 2 hoàn thành công việc 
trong 10 giờ.
Nhận xét: Bài toán hai người (hai đội) cùng làm chung – làm riêng để hoàn thành một công 
việc có hai đại lượn chính là năng suất của mỗi người (hoặc mỗi đội). Ta coi toàn bộ khối 
lượng công việc cần thực hiện là 1.
+ năng suất công việc = 1: thời gian.
+ Năng suất chung = Tổng năng suất riêng.
Chú ý:
Trong bài toán trên có thể thay điều kiện x 6 bằng điều kiện x 10 hoặc thậm chí là x 12 
 0 2
.Có thể thay phương trình (2) bằng phương trình vì phần việc còn lại riêng tổ một làm 
 x 3
 2
là , ta có ngay x 15 .
 3
Ví dụ 5
Cho một bể cạn (không có nước). Nếu hai vòi nước cùng được mở để chảy vào bể này thì sẽ 
đầy bể sau 4 giờ 48 phút. Nếu mở riêng từng vòi chảy vào bể thì thời gian vòi một chảy đầy 
bể sẽ ít hơn thời gian vòi hai chảy đầy bể là 4 giờ . Hỏi mỗi vòi chảy một mình thì sau bao 
lâu sẽ đầy bể?
 Lời giải
 4 24
Đổi 4 giờ 48 phút 4 giờ giờ
 5 5
Cách 1:Lập hệ phương trình
 24
Gọi thời gian vòi một chảy một mình đầy bể trong x (giờ, x )
 5
 24
Gọi thời gian vòi hai chảy một mình đầy bể trong y (giờ, x )
 5
 24 24 24
Biết hai vòi cùng chảy thì sau giờ thì đầy bể nên ta có phương trình: 1 (1)
 5 5x 5y
Nếu chảy riêng thì vòi một chảy đầy bể nhanh hơn vòi hai là 4 giờ nên ta có phương trình:
 x y 4 (2) 24 24
 1
Từ(1) và (2) ta có hệ phương trình 5x 5y 
 x y 4
 x 8
Giải hệ trên ta được: (thỏa mãn điều kiện)
 y 12
Vậy vòi một chảy một mình trong 8 giờ thì đầy bể và vòi hai chảy một mình trong 12 giờ thì 
đầy bể.
Cách 2: Lập phương trình
 24
Gọi thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể là x (giờ,)x 
 5
 1
Khi đó trong một giờ vòi 1 chảy được: (phần bể)
 x
 1
Vòi hai chảy một mình đầy bể trong x 4 (giờ) nên trong một giờ chảy được: (phần bể)
 x 4
 1 1
Tổng cộng trong một giờ hai vòi chảy được (phần bể) (3)
 x x 4
 24 5
Sau 4 giờ 48 phút giờ hai vòi cùng chảy thì đầy bể nên trong một giờ chảy được 
 5 24
(phần bể) (4)
 1 1 5
Từ (3) và (4) ta có phương trình 
 x x 4 24
 12
Giải phương trình ta được x (loại) hoặc x 8 (thỏa mãn)
 5
Vậy thời gian vòi một chảy một mình đầy bể là 8 giờ. Vòi hai chảy một mình đầy bể là 
 8 4 12 (giờ)
Nhận xét: Ta có thể chuyển bài toán trên thành bài toán sau:”Hai đội công nhân cùng làm 
chung một công việc thì hoàn thành sau 4 giờ 48 phút. Nếu làm riêng để hoàn thành công 
việc này thì thời gian đội một ít hơn thời gian đội hai là 4 giờ. Hỏi khi làm riêng thì mỗi đội 
hoàn thành công việc trong bao lâu?
Ví dụ 6
Một mảnh đất hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 13m và chiều dài hơn chiều rộng là 
7m.Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó.
 Lời giải
Cách 1: lập phương trình
Gọi chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật là x ( m, x > 0 )
Chiều dài mảnh đất hình chữ nhật lớn hơn chiều rộng là 7m nên chiều dài của mảnh đất hình 
chữ nhật là x + 7 (m)
Biết độ dài đường chéo là 13 m nên theo định lý Pitago ta có phương trình: 
 x2 + (x + 7)2 = 132 
Giải phương trình ta được x = 5 hoặc x = - 12 . Đối chiếu với điều kiện ta có chiều rộng của 
mảnh đất hình chữ nhật là 13 m , chiều rộng mảnh đất đó là 12 m.
Cách 2: Lập hệ phương trình
Gọi chiều dài mảnh đất đó là x và chiều rộng của mảnh đất đó là y (m, x > y > 0) ïì y + 7 = x ïì x = 12
Khi đó ta có hệ phương trìnhí 2 2 2 Giải hệ ta được í
 îï x + y = 13 îï y = 5
Đối chiếu với điều kiện ta thấy thỏa mãn . Vậy chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật là5 m 
và chiều dài là 12 m.
 III. MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP
Bài 1
Một ca nô xuôi dòng 108 km rồi ngược dòng 63 km, tổng thời gian cả đi lẫn về là 7 giờ.Nếu 
ca nô xuoi dòng 81 km và ngược dòng 84 km thì tổng thời gian cũng hết 7 giờ. Biết vận tốc 
riêng của dòng nước không thay đổi. Tính vận tốc của ca nô và vận tốc riêng của dòng nước.
 Lời giải
Gọi vận tốc của ca nô là x ( km / h ), vận tốc của dòng nước là y với x > y > 0 
 108
Thời gian ca nô đi xuôi dòng 108 km là : giờ, thời gian ca nô ngược dòng 63 km là 
 x + y
 63 108 63
 giờ. Theo giả thiết ta có: + = 7 (1) (1). Thời gian ca nô đi xuôi dòng 81 
 x - y x + y x - y
 81 84
km là : giờ, thời gian ca nô ngược dòng 84 km là giờ. Theo giả thiết ta có: 
 x + y x - y
 81 84
 + = 7 (2) 
 x + y x - y
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình 
 ïì 108 63
 ï + = 7
 ï x + y x - y 27 21
 íï Þ - = 0 Û x - 8y = 0 Û Û x = 8y
 ï 81 84 x + y x - y
 ï + = 7
 ï
 îï x + y x - y
 108 63 21
Thay vào phương trình (1) ta có 7 7 y 3 x 24 . Vậy vận tốc của ca 
 9y 7y y
nô là 24 km/h , vận tốc của dòng nước là 3 km/h .
Bài 2 
Một phòng họp có 180 ghế được chia thành các dãy ghế có số ghế ở mỗi dãy bằng nhau. Nếu 
kê thêm mỗi dãy 5 ghế và bớt đi 3 dãy thì số ghế trong phòng không thay đổi. Hỏi ban đầu 
phòng họp được chia thành bao nhiêu dãy.
 Lời giải
Gọi số dãy ghế ban đầu của phòng họp là x (dãy) điều kiện x 3, x N ).
 180
Số ghế ở mỗi dãy lúc đầu là (ghế).Số dãy mới là:x 3 (dãy), số ghế ở mỗi dãy lúc này là 
 x
 180
: (ghế)
 x 3
 180 180
Theo giả thiết ta có: 5 5x(x 3) 540 5x2 15x 540 0
 x 3 x
 2 x 12
 x 3x 108 0 (x 12)(x 9) 0 
 x 9
Đối chiếu với điều kiện ban đầu ta thấy x =12 thỏa mãn.
Vậy số dãy ghế ban đầu của phòng họp là : 12 dãy. Bài 3
Khu du lịch sinh thái Đồng Mô thuộc thị xã Sơn Tây là một địa điểm thu hút khách du lịch 
của thành phố Hà Nội. Nhà bạn An ở cách địa điểm du lịch 1800 m . Lúc đi từ nhà đến địa 
điểm du lịch bạn An đi bộ. Lúc về bạn An đi bằng xe điện với vận tốc lớn hơn lúc đi là 120 
m/ phút nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 20 phút. Tính vận tốc của xe điện.
 Lời giải
Gọi vận tốc lúc đi từ nhà đến khu du lịch của bạn An là x ( m/ phút ) ( x > 0 ). Suy ra vận tốc 
lúc về bằng xe điện là x + 120 ( m/ phút ).
 1800 1800
Thời gian lúc đi là ( phút ).Thời gian lúc về là ( phút ).
 x x 120
 1800 1800 90 210 x 2 x 180
Theo giả thiết ta có : 20 x 120x 10800 0 . Đối 
 x x 120 x x 120 x 60
chiếu với điều kiện ta thấy x = 180 thỏa mãn.
Vậy vận tốc của xe điện là 180 + 120 = 300 mét / phút.
Bài 4
Một ô tô dự định đi từ A đến B cách nhau 148 km trong một thời gian đã định . Sau khi đi 
được 1 giờ thì ô tô bị chắn bởi tàu hỏa trong 5 phút , vì vậy để đến B đúng giờ ô tô phải chạy 
với vận tốc tăng thêm 2 km / h so với lúc đầu. Tính vận tốc ô tô trong 1 giờ đầu.
 Lời giải
Gọi vận tốc dự định của ô tô là x ( km/ h ) điều kiện x > 0. Thời gian dự định đi từ A đến B 
 148
là ( giờ ).
 x
Quãng đường ô tô đi được trong 1 giờ đầu là x ( km ). Quãng đường còn lại là 148 – x ( km 
 148 x
). Thời gian đi quãng đường còn lại là : ( giờ ). Tổng thời gian thực tế ô tô để ô tô đi 
 x 2
 1 148 x 1802 x
từ A đến B là: 1 ( giờ ). Theo giả thiết ta có: 
 12 x 2 12(x 2)
 148 1802 x 2 x 48
 x 26x 3352 0 (x 48)(x 74) 0 . Đối chiếu với điều kiện 
 x 12(x 2) x 74
ban đầu ta có x = 48 thỏa mãn. Vậy vận tốc ô tô trong 1 giờ đầu là 48 km/h.
Bài 5
Khoảng cách giữa hai tỉnh A, B là 60 km. Hai người đi xe đạp cùng khởi hành một lúc đi từ 
A đến B với vận tốc bằng nhau. Sau khi đi được 1 giờ thì xe của người thứ nhất bị hỏng nên 
phải đứng lại sửa xe 20 phút còn người thứ hai tiếp tục đi với vận tốc ban đầu. Sau khi sửa xe 
xong, người thứ nhất tiếp tục đi với vận tốc lớn hơn lúc đầu 4 km/h nên đến B cùng lúc với 
người thứ hai. Tính vận tốc hai người lúc đầu.
 Lời giải
 60
Gọi vận tốc hai người lúc đầu là x ( km/h). Thời gian người thứ hai đi từ A đến B là giờ. 
 x
Quãng đường người thứ nhất đi được sau 1 giờ là x ( km ). Sau khi tăng vận tốc thì người thứ 
nhất đi với vận tốc mới là x +4 ( km/h ). Thời gian người thứ nhất đi tiếp cho đến khi đến B 
 60 x
là : . Theo giả thiết ta có: 
 x 4
 60 x 1 60 180 3x 4(x 4) 60 196 x 60
 1 x2 16x 720 0
 x 4 3 x 3(x 4) x 3(x 4) x x 20
 (x 20)(x 36) 0 đối chiếu với điều kiện thì x = 20 thỏa mãn.
 x 36
Vậy vận tốc ban đầu của hai người là 20 km/ h.
Bài 6
Trong giờ thể dục hai bạn An và Bình chạy bền trong trên cùng một quãng đường dài 2 km 
và xuất phát tại cùng một thời điểm. Biết bạn An chạy bền với vận tốc trung bình lớn hơn 
vận tốc trung bình của bạn Bình là 2 km/h và về đích sớm hơn bạn Bình 5 phút. Tính thời 
gian chạy hết quãng đường của mỗi bạn ( giả sử vận tốc của mỗi bạn không đổi trong suốt 
quãng đường ).
 Lời giải
Gọi vận tốc trung bình của bạn Bình là x ( km/h ), suy ra vận tốc trung bình của bạn An là x 
+ 2 ( km/h ).
 2
Thời gian chạy hết quãng đường của bạn Bình là ( giờ ). Thời gian bạn An chạy hết quãng 
 x
 2
đường là : ( giờ ).
 x 2
Theo giả thiết ta có:
 2 2 1 2 x 6
 24(x 2) 24x x(x 2) x 2x 48 0 (x 6)(x 8) 0 
 x x 2 12 x 8
Đối chiếu với điều kiện, ta thấy x = 6 thỏa mãn.
Bài 7
Một đoàn xe vận tải nhận chuyên chở 22 tấn hang . Khi sắp khởi hành thì một xe phải điều đi 
làm việc khác nên mỗi xe còn lại phải chở nhiều hơn 0,2 tấn hang so với dự định. Hỏi thực tế 
có bao nhiêu xe đã tham gia vận chuyển? Biết khối lượng hàng mỗi xe vận chuyển là như 
nhau.
 Lời giải:
Gọi x là số chiếc xe dự định vận chuyển x 1,x ¥ . 
Số lượng lượng hàng mỗi xe dự định vận chuyển là :22 (tấn). Số xe thực tế đã vận chuyển 
 x
 22
hàng là : x 1(chiếc). Số lượng hàng thực tế đã vận chuyển là (tấn). Theo giả thiết ta có 
 x 1
:
 22 1 22 111 x 22 2 x 11
 x x 110 0 x 10 x 11 0 
 x 1 5 x 5 x 1 x x 10
Đối chiếu với điều kiện ta thấy x 11 thỏa mãn điều kiện. Vậy thực tế có 10 xe vận chuyển 
.
Bài 8
Nếu giảm chiều rộng của một mảnh vườn hình chữ nhật đi 3m và tăng chiều dài thêm8 m thì 
diện tích hình chữ nhật giảm đi 54 m2 . Nếu tăng chiều rộng của mảnh vườn thêm 2 mvà 
giảm chiều dài đi 4m thì diện tích hình chữ nhật tăng thêm 32 m2 . Hãy tính các kích thước của mảnh vườn.
 Lời giải
Gọi chiều dài của mảnh vườn là x(m) , chiều rộng mảnh vườn là y(m) . Điều kiện x 4, y 3. 
Diện tích mảnh vườn là x.y (m2 ) 
 x 8 y 3 xy 54 3x 8y 30 x 50
Theo giả thiết ta có hệ phương trình : 
 x 4 y 2 xy 32 2x 4y 40 y 15
Vậy chiều dài mảnh vườn là 50 m , chiều rộng mảnh vườn là 15 m .
Bài 9
Một đội xe dự định chở 24 tấn hàng. Thực tế khi chở đội được bổ sung thêm 4 xe nữa nên 
mỗi xe chở ít hơn thực tế 1 tấn hàng. Hỏi ban đầu đội có bao nhiêu xe ( biết khối lượng hàng 
chở trên mỗi xe là như nhau). 
 ( Đề dự bị môn toán tuyển sinh lớp 10 – TP Hà Nội, 2017).
 Lời giải
Gọi số xe ban đầu đội có là x ( chiếc ). Điều kiện x 0,x ¥ .
Số hàng ban đầu mỗi xe dự định chở là 24 ( tấn)
 x
 24
Số xe thực tế được huy động là x 4 (chiếc) nên số hàng thực tế mỗi xe chở là (tấn).
 x 4
Theo giả thiết ta có :
 24 24 2 x 8
 1 x x 4 96 x 4x 96 0 x 8 x 12 0 . Đối chiếu với 
 x x 4 x 12
điều kiện ban đầu ta thấy x 8 thỏa mãn. Vậy số xe ban đầu của đội là 8 chiếc.
Bài 10
Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24km với vận tốc dự định. Khi từ B trở về A 
người đó tăng vận tốc thêm 4 km / h so với lúc đi, nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 
phút.
Tính vận tốc trung bình dự định của xe đạp khi đi từ A đến B ?
 Lời giải
Gọi vận tốc dự định đi từ A đến B là x km / h , điều kiện : x 0 
Vận tốc thực tế khi đi từ Bvề A là x 4 km / h .