Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 10: Chia đa thức

 CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Chuyên đề 10: CHIA ĐA THỨC
Câu 1. (Đề thi HSG 9 huyện HƯƠNG KHÊ 2019) 
 Tìm số thực a , b sao cho:
 Đa thức x4 9x3 21x2 ax b chia hết cho đa thức x2 x2 2 .
 Lời giải
 Ta thực hiện phép chia: 
 x4 9x3 21x2 ax b x2 x 2
 x4 x3 2x2 x2 8x 15
 8x3 23x2 ax b
 8x3 8x2 16x
 15x2 a 16 x b
 15x2 15x 30
 a 1 x b 30
 Vì đa thức x4 9x3 21x2 ax b chia hết cho đa thức x2 x2 2 ,
 a 1 0 a 1
 Nên a 1 x b 30 0 .
 b 30 0 b 30
 Vậy a 1 và b 30 .
Câu 2. (Đề thi HSG 9 huyện HƯƠNG SƠN 2019-2020) 
 Tìm thương của phép chia x3 y3 z3 3xyz cho x y z .
 Lời giải
 Ta có: x3 y3 z3 3xyz x y z x2 y2 z2 xy xz yz .
 Vậy thương của phép chia x3 y3 z3 3xyz cho x y z là x2 y2 z2 xy xz yz .
Câu 3. . (Đề thi HSG 9 huyện Thạch Hà 2019-2020) 
 3 2
 Tìm các số a,b, c sao cho đa thức f x x ax bx c chia cho x 2 ; x 1; x 1 đều 
 dư 8.
 Lời giải
 Từ giả thiết ta có: f x 8 luôn chia hết cho x 2 ; x 1; x 1.
 f x x 2 x 1 x 1 8.
 Với x 2, ta có: 8 4a 2b c 8 4a 2b c 16 1 CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 Với x 1, ta có: 1 a b c 8 a b c 9 2 
 Với x 1 , ta có: 1 a b c 8 a b c 7 3 
 Từ 1 , 2 , 3 suy ra: b 1 a 2;b 6 .
Câu 4. (Đề thi HSG 9 huyện Chương Mỹ 2019-2020)
 Tìm a, b để P x 3x3 +ax2 bx 9 chia hết cho Q x x2 9
 Lời giải
 Ta có: x2 – 9 =(x-3).(x+3)
 Để chia P(x) chia hết cho x2-9 tức là P(3) = 0; P(-3) = 0
 Ta có P(3) = 9a+3b+90 = 0
 P(-3) = 9a-3b-72 =0
 Suy ra : 9a+3b+90 = 9a-3b-72, từ đó tìm được a = -1; b = -27
 Kết luận
Câu 5. (Đề thi HSG 9 tỉnh HẢI DƯƠNG 2013-2014) 
 a2 b 2c b2 c a 2c2 a b abc
 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: .
 Lời giải
 a2 b 2c b2 c a 2c2 a b abc 2c2 a b ab a b c a2 b2 ac a b 
 2
 a b 2c 2ac ab bc 
 a b 2c c a b a c 
 a b a c b 2c 
Câu 6. (Đề thi HSG 9 tỉnh AN GIANG 2013-2014) 
 Cho đa thức P x x5 x; g x x2 4 x2 1 x 
 Hãy phân tích đa thức P x g x thành tích các nhân tử.
 Lời giải
 2 2
 P ( x ) x 5 x , g x x 4 . x 1 x 
 P x g x x5 x x2 4 . x2 1 x x5 x x4 5x2 4 x
 x5 x x5 5x3 4x 5x3 5x
 5x x2 1 5x x 1 x 1 . 
 Vậy P x 5x x 1 x 1 . 
Câu 7. (Đề thi HSG 9 tỉnh AN GIANG 2013-2014) 
 Cho đa thức P x x5 x; g x x2 4 x2 1 x CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 Chứng tỏ rằng nếu x là số nguyên thì P x luôn chia hết cho 5.
 Lời giải
 Theo trên P x g x 5x x 1 x 1 luôn chia hết cho 5 với mọi số nguyên x 
 Mặt khác g x x2 4 x2 1 x x 2 x 1 x x 1 x 2 nên g x là tích của 5 
 số nguyên liên tiếp 
 g x chia hết cho 5
 Vậy P x g x 5x x2 1 luôn chia hết cho 5.
Câu 8. (Đề thi HSG 9 huyện CẨM GIÀNG 2013-2014) 
 Tìm số dư của phép chia đa thức x 2 x 4 x 6 x 8 2013 cho đa thức 
 x 2 10x 21.
 Lời giải
 x 2 x 4 x 6 x 8 2013
 x2 10x 16 x2 10x 24 2013
 x2 10x 21 5 x2 10x 21 3 2013
 2
 y 5 y 3 2013, đặt y x 10x 21
 2
 y 2y 1998 chia cho y dư 1998.
 Vậy số dư của phép chia đa thức x 2 x 4 x 6 x 8 2013 cho đa thức 
 x 2 10x 21 là 1998.
Câu 9. (Đề thi HSG 9 Tình Hà Giang 2017-2018) 
 2
 Cho P(x) x ax b với a, b N . Biết P 1 2017 . Tính P 3 P 1 .
 Lời giải.
 Vì P 1 2017 2017 1 a b a b 2016 . 
 Do đó: P 3 P 1 9 3a b 1 a b 10 2 a b 4042
Câu 10. (Đề thi HSG 9 huyện Thạch Hà 2018-2019) 
 Cho đa thức f x , tìm dư của phép chia f x cho x 1 x 2 . Biết rằng f x chia 
 cho x 1 dư 7 và f x chia cho x 2 dư 1. 
 Lời giải
 Vì (x - 1)(x + 2) = x2 + x - 2 là đa thức bậc 2 nên f x : (x 1)(x 2) có đa thức dư dạng 
 ax + b .
 Đặt f (x) (x 1)(x 2).q(x) ax b CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 Theo đề ra: f (x):(x - 1) dư 7 f (1) 7 a b 7 (1)
 f (x):(x + 2) dư 1 f ( 2) 1 2a b 1 (2)
 Từ (1) và (2) Þ a = 2 và b = 5.
 Vậy f (x):[(x - 1)(x + 2)] được dư là 2x + 5.
Câu 11. (Đề thi HSG 9 tỉnh Nghệ An 2018-2019) 
 n
 Chứng minh rằng A 22 4n 16 chia hết cho 3 với mọi số nguyên dương n.
 Lời giải
 n n
 Ta có A 22 4n 16 22 1 4n 1 18
 n n
 Đặt 22 22k k ¥ * suy ra 22 1 22k 1 4k 1  3
 n
 Do đó với mọi n nguyên dương ta có: 22 1 3; 4n 1  3; 18  3
 n
 A 22 4n 16  3
Câu 12. (Đề thi HSG 9 tỉnh Nghệ An 2018-2019) 
 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2y2 x 2y 5 xy.
 Lời giải
 Ta có: 2y2 x 2y 5 xy x(y 1) 2y2 2y 5
 5
 x 2y (y =1 không thỏa mãn PT)
 y 1
 Vì x, y là các số nguyên nên y -1 là ước của 5.
 TH1: y 1 1 y 2 x 9.
 TH 2 : y 1 1 y 0 x 5.
 TH 4 : y 1 5 y 4 x 9.
 TH3: y 1 5 y 6 x 13.
 Vậy PT có các nghiệm nguyên (x;y) là: (9;2), (-5;0), (13;6), (-9;-4).Chuyên đề 10: CHIA ĐA 
 THỨC
Câu 13. (Đề thi HSG 9 tỉnh Nghệ An 2018-2019) 
 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: xy 5 2y2.
 Lời giải
 5
 xy 5 2y2 x 2y (vì y =0 không thỏa mãn PT)
 y
 vì x, y là các số nguyên nên y là ước của 5. CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 TH1: y 1 x 7.
 TH 2 : y 1 x 7.
 TH 4 : y 5 x 11.
 TH3: y 5 x 11.
 Vậy PT có các nghiệm nguyên (x;y) là: (7;1), (-7;-1), (11;5), (-11;-5)
Câu 14. (Đề thi HSG 9 tỉnh Nghệ An 2018-2019) 
 Chứng minh rằng A 4n 17 chia hết cho 3 với mọi số nguyên dương n.
 Lời giải
 Ta có A 4n 17 4n 1 18
 Với mọi n nguyên dương ta có: 4n 1  3; 18  3
 A 4n 17  3
Câu 15. (Đề thi HSG 9 quận Ba Đình 2016-2017) 
 Tìm số nguyên x sao cho 3x3 5x2 7x 6 chia hết cho x2 2 .
 Lời giải
 Ta có:3x3 5x2 7x 6 3x2 5x2 6x 10 x 4
 3x x2 2 5 x2 2 x 4 x2 2 3x 5 x 4
 Để 3x3 5x2 7x 6 chia hết cho x2 2 thì x 4 0 x 4 
Câu 16. (Đề thi HSG 9 tỉnh Thanh Hóa 2018-2019) 
 Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 y2 x y x 2 y x 1 
 Lời giải
Câu 17. (Đề thi HSG 9 tỉnh Thanh Hóa 2018-2019) 
 Cho n N *. Chứng minh rằng nếu 2n 1 và 3n 1 là các số chính phương thì n chia hết 
 cho 40.
 Lời giải
Câu 18. (Đề thi HSG 9 tỉnh Thanh Hóa 2018-2019) 
 Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 y2 x y x 2 y x 1 
 Lời giải
Câu 19. (Đề thi HSG 9 thành phố Thanh Hóa 2015-2016) 
 Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x2 + xy + y2 = x2y2 
 Lời giải
 Ta có x2 + xy + y2 = x2y2 CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 (x + y)2 = xy(xy + 1)
 xy 0
 + Nếu x + y = 0 xy(xy + 1) = 0 
 xy 1
 Với xy = 0. Kết hợp với x + y = 0 x = y = 0
 x 1 x 1
 Với xy = -1. Kết hợp với x + y = 0 hoặc 
 y 1 y 1
 + Nếu x + y 0 (x + y)2 là số chính phương
 xy(xy + 1) là hai số nguyên liên tiếp khác 0 nên chúng nguyên tố cùng nhau. Do đó không 
 thể cùng là số chính phương
 Vậy nghiệm nguyên của phương trình là (x; y) = (0; 0); (1; -1); (-1; 1)
Câu 20. (Đề thi HSG 9 thành phố Thanh Hóa 2016-2017) 
 Tìm x, y Z thỏa mãn: 2y2 x x y 1 x2 2y2 xy 
 Lời giải
 2y2 x x y 1 x2 2y2 xy
 2y2 x x y 1 x2 2y2 xy 0
 x 1 (2y2 y x) 1
 Vì x, y Z nên x - 1 Ư(-1) = 1; 1
 +) Nếu x – 1 = 1 x = 2 
 Khi đó 2y2 - y – 2 = - 1 
 1
 y = 1 (t/m) hoặc y = Z (loại)
 2
 +) Nếu x – 1 = -1 x = 0 
 Khi đó 2y2 - y = 1 
 1
 y = 1 (t/m) hoặc y = Z (loại)
 2
 x 2 x 0
 Vậy ; 
 y 1 y 1
Câu 21.(Đề thi HSG 9 thành phố Thanh Hóa 2016-2017) 
 Cho a, b, c là các số nguyên khác 0 thỏa mãn điều kiện: CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 2
 1 1 1 1 1 1
 2 2 2 .
 a b c a b c
 Chứng minh rằng: a3 b3 c3 chia hết cho 3.
 Lời giải
 Từ giả thiết 
 1 1 1 1 1 1
 ( )2 
 a b c a2 b2 c2
 1 1 1
 2( ) 0
 ab bc ca
 Vì a, b, c 0 nên a + b + c = 0
 a b c
 a b 3 c 3
 a3 b3 3ab(a b) c3
 a3 b3 c3 3abc
 Vậy a3 b3 c3 3 với a, b, c Z 
 Lưu ý: Nếu học sinh sử dụng hằng đẳng thức
 x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) 
 mà không chứng minh thì trừ 0,5 điểm.
Câu 22. (Đề thi HSG 9 huyện Yên Định 2008-2009) 
 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 25 y(y 6)
 Lời giải
 Từ x2 25 y(y 6)
 Ta có : (y+3+x)(y+3-x) = - 16
 Để ý trong phương trình chỉ chứa ẩn số x với số mũ bằng 2 , do đó ta có thể hạn chế giải 
 với x là số tự nhiên.
 Khi đó: y+3+x y+3-x .
 Ta có ( y+3+x)+(y+3-x) = 2(y+3) là số chẵn 
 Suy ra 2 số ( y+3+x ) và (y+3-x) cùng tính chẵn lẻ . Ta lại có tích của chúng là số chẵn , 
 vậy 2 số 2 số ( y+3+x ) và (y+3-x) là 2 số chẵn .
 Ta chỉ có cách phân tích - 16 ra tích của 2 số chẵn sau đây.
 - 16 = 8 (-2) = 4 (-4) = 2 (-8) trong đó thừa số đầu bằng giá trị (y+3+x). CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 Khi y+3+x= 8 , y+3-x = -2 ta có x= 5 , y= 0.
 Khi y+3+x= 4 , y+3-x = -4 ta có x= 4 , y= -3.
 Khi y+3+x= 2 , y+3-x = -8 ta có x= 5 , y= -6.
 Vì thế phương trình đã cho có các nghiệm ( x,y) = ( 5,0 ; 5, 6 ; 4, 3 .
Câu 23. (Đề thi HSG 9 THẠCH HÀ 2018-2019) 
 Cho đa thức f(x), tìm dư của phép chia f(x) cho (x-1)(x+2). Biết rằng f(x) chia cho x - 1 dư 
 7 và f(x) chia cho x + 2 dư 1. 
 Lời giải
 Vì (x - 1)(x + 2) = x2 + x - 2 là đa thức bậc 2 nên f(x) : (x 1)(x 2) có đa thức dư dạng ax 
 + b
 Đặt f (x) (x 1)(x 2).q(x) ax b
 Theo đề ra f(x) : (x - 1) dư 7 f (1) 7 a b 7 (1)
 f(x) : (x + 2) dư 1 f ( 2) 1 2a b 1 (2)
 Từ (1) và (2) a = 2 và b = 5.
 Vậy f(x) : [(x - 1)(x + 2)] được dư là 2x + 5.
Câu 24. (Đề thi HSG 9 Đề thi HSG 9 BÌNH ĐỊNH 2016-2017) 
 Cho biểu thức: P = (a + b)(b + c)(c + a) – abc với a, b, c là các số nguyên. 
 Chứng minh rằng nếu a + b + c chia hết cho 4 thì P chia hết cho 4.
 Lời giải
 a + b + c  4 (a, b, c Z)
 Đặt a + b + c = 4k (k Z) a + b = 4k – c ; b + c = 4k – a ; a + c = 4k – b 
 Ta có: P = (a + b)(b + c)(c + a) – abc = (4k – c)(4k – a)(4k – b) – abc 
 = 16k 2 4ak ack ac 4k b abc 
 = 64 k 3 16bk 2 16ak 2 4abc 16ck 2 4bck 4ack abc abc
 = 4 16k 3 4bk 2 4ak 2 abk 4ck 2 bck ack 2abc (*)
 Giả sử a, b, c đều chia 2 dư 1 a+ b + c chia 2 dư 1 (1)
 Mà: a + b + c  4 a + b + c  2 (theo giả thiết) (2)
 Do đó (1) và (2) mâu thuẫn Điều giả sử là sai 
 Trong ba số a, b, c ít nhất có một số chia hết cho 2
 2abc  4 (**)
 Từ (*) và (**) P  4 CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Câu 25. (Đề thi HSG 9 THANH HÓA 2017 - 2018 ) 
 Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn p a2 b2 là số nguyên tố và p 5 chia hết 
 cho 8. Giả sử x, y là các số nguyên thỏa mãn ax2 by2 chia hết cho p . Chứng minh rằng 
 cả hai số x, y chia hết cho p .
 Lời giải
 Do p 58 nên p 8k 5 (k ¥ )
 4k 2 4k 2
 Vì ax2 by2  ax2 by2  p nên a4k 2  x8k 4 b4k 2  y8k 4  p
 Nhận thấy a4k 2  x8k 4 b4k 2  y8k 4 a4k 2 b4k 2 x8k 4 b4k 2 x8k 4 y8k 4 
 2k 1 2k 1
 Do a4k 2 b4k 2 a2 b2  a2 b2 p và b p 
 nên x8k 4 y8k 4  p (*)
 Nếu trong hai số x, y có một số chia hết cho p thì từ (*) suy ra số thứ hai cũng chia hết cho 
 p .
 Nếu cả hai số x, y đều không chia hết cho p thì theo định lí Fecma ta có :
 x8k 4 x p 1 1(mod p), y8k 4 y p 1 1(mod p)
 x8k 4 y8k 4  2(mod p) . Mâu thuẫn với (*).Vậy cả hai số x và y chia hết cho p .
Câu 26. (Đề thi HSG 9 AMSTERDAM 2017-2018 ) 
 Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương p;q;n , trong đó p , q là các số nguyên tố thỏa 
 mãn: p p 3 q q 3 n n 3 
 Lời giải
 Không mất tính tổng quát, giả sử p q.
 Trường hợp 1: p 2
 p p 3 2 2 3 2.5 10
 10 q q 3 n n 3 
 10 n2 3n q2 3q n2 q2 3n 3q 
 10 n q n q 3 n q 
 10 n q n q 3 
 Vì p p 3 q q 3 n n 3 mà p ; q ; n là các số nguyên dương n q 2.
 n q 3 2 2 3 7
 Mà 10 1.10 2.5
 n q 3 10 n q 7 n 4
 n q 1 n q 1 q 3
 So với điều kiện thỏa mãn.
 Vậy bộ ba số nguyên dương p;q;n cần tìm là 2;3;4 .
 Trường hợp 2: p 3 CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 p p 3 3. 3 3 3.6 18
 18 q q 3 n n 3 18 n2 3n q2 3q n2 q2 3n 3q 
 18 n q n q 3 n q 
 18 n q n q 3 
 Vì p p 3 q q 3 n n 3 mà p ; q ; n là các số nguyên dương n q 3.
 n q 3 3 3 3 9
 Mà 18 1.18 2.9 3.6
 n q 3 18 n q 15 n 8
 n q 1 n q 1 q 7
 So với điều kiện thỏa mãn.
 Vậy bộ ba số nguyên dương p;q;n cần tìm là 3;7;8 .
 Trường hợp 3: p 3
 Ta sẽ chứng minh với 1 số nguyên a bất kì không chia hết cho 3 thì tích a a 3 luôn 
 chia 3 dư 1.
 Thật vậy:
 Nếu a :3 dư 1 a 3k 1 a 3 3k 4
 a a 3 3k 1 3k 4 9k 2 15k 4 :3 dư 1.
 Nếu a :3 dư 2 a 3k 2 a 3 3k 5
 a a 3 3k 2 3k 5 9k 2 21k 10 :3 dư 1.
 Trở lại bài toán chính:
 Vì q p 3 p Œ3;q Œ3.
 p p 3 q q 3 :3 dư 2.
 Mà n n 3 :3 dư 1 (nếu n Œ3) hoặc n n 3 3 nếu n3.
 p p 3 q q 3 n n 3 
 Suy ra không có bộ ba số nguyên dương p;q;n thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 27. (Đề thi HSG 9 TỈNH BẾN TRE - 2017-2018 ) 
 Giả sử Trung tâm thành phố Bến Tre có tất cả 2019 bóng đèn chiếu sáng đô thị, bao gồm 
 671 bóng đèn ánh sáng trắng, 673 bóng đèn ánh sáng vàng nhạt, 675 bóng đèn ánh sáng 
 vàng sậm. Người ta thực hiện dự án thay bóng đèn theo quy luật sau: mỗi lần người ta tháo 
 bỏ hai bóng đèn khác loại và thay vào đó bằng hai bóng đèn thuộc loại còn lại. Hỏi theo 
 quy trình trên, đến một lúc nào đó, người ta có thể nhận được tất cả các bóng đèn đều thuộc 
 cùng một loại không? Giải thích vì sao?
 Lời giải
 Ta có 671 chia cho 3 dư 2 ; 673 chia cho 3 dư 1; 675 chia cho 3 dư 0 .
 Ta thấy mỗi loại bóng đèn có số bóng khi chia cho 3 được các số dư khác nhau 0 , 1, 2 .
 Sau mỗi bước thay bóng đèn, số bóng đèn mỗi loại giảm đi 1 hoặc tăng thêm 2 , khi đó số 
 dư của chúng khi chia cho 3 thay đổi như sau:
 Số chia cho 3 dư 0 sau khi thay chia cho 3 sẽ dư 2 .
 Số chia cho 3 dư 1 sau khi thay chia cho 3 sẽ dư 0 .
 Số chia cho 3 dư 2 sau khi thay chia cho 3 sẽ dư 1.