Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 2: Bất đẳng thức – min, max (Có đáp án)

 Chuyên đề 2: BẤT ĐẲNG THỨC – MIN, MAX
Câu 1. (Đề thi HSG 9 tỉnh Thanh Hóa 2012-2013) 
 1 2
 Cho x, y là các số thực dương thoả mãn : 2 . Chứng minh rằng :
 x y
 5x2 y 4xy y2 3
 Lời giải
 * Ta có:
 5x2 y 4xy y2 3
 4x2 4xy y2 x2 y 3 0
 2x y 2 x2 y 3 0
 1 2 2 1 2 2x 1 2x
 2 2 y 
 * x y y x y x 2x 1
 1 2x 2
 Vì y 0; x 0 2x 1 0 x .Thay y vào x y 3 0
 2 2x 1
 2x 2x3 x2 2x 6x 3
 x2 y 3 0 x2 3 0 0
 Ta có: 2x 1 2x 1 
 (1)
 Vì 2x 1 0
 3 2 3 2
 1 2x x 2x 6x 3 0 2x x 4x 3 0
 3 2
 Mà 2x x 4x 3
 2x3 2x2 x2 x 3x 3
 x 1 2x2 x 3 
 x 1 2 2x 3 0 x 0
 2 2
 Vậy 2x y x y 3 0 x 0; y 0
Câu 2. (Đề thi HSG 9 tỉnh huyện Cẩm Thủy 2011-2012) 3
 1 x 1 1 3 2x x 
 Cho x 1; y 0 , chứng minh: 3 3 3 
 (x 1) y y x 1 y 
 Lời giải
 1 x 1 1
 x 1; y 0 x 1 0; y 0 0; 0; 0
 (x 1)3 y y3
 Áp dụng BĐT Côsi cho 3 số dương: 
 1 1 1 3
 1 1 3. 3 .1.1 2 (1)
 (x 1)3 (x 1)3 (x 1)3 x 1
 3 3 3
 x 1 x 1 x 1 3(x 1)
 1 1 33 .1.1 2 (2)
 y y y y
 1 1 1 3
 1 1 3.3 .1.1 2 (3)
 y3 y3 y3 y
 Từ (1); (2); (3): 
 3
 1 x 1 1 3 3(x 1) 3
 3 3 6 
 (x 1) y y x 1 y y
 3
 1 x 1 1 3 6x 6 3x 3 2x x
 3 3 3( )
 (x 1) y y x 1 y x 1 y
Câu 3. (Đề thi HSG 9 tỉnh huyện Lâm Thao 2017-2018)
 Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn a b c 2 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 2 2 2 2 1 1 1 
 P 21 a b c 12 a b c 2017 
 a b c 
 Lời giải
 2
 Ta có Theo BĐT Bunhiacôpky ta có 3 a2 b2 c2 a b c ; 
 1 1 1 1 1 1 9
 Mặt khác a b c 9 
 a b c a b c a b c
 Nên 
 2 18153 2 8 8 17849
 P 19 a b c 19 a b c Q
 a b c a b c a b c a b c
 Áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có 2 8 8 17849 17849 18305
 P Q 19.33 a b c . . 228 
 a b c a b c 2 2 2
 a b c 0
 18305 2
 Min(P) a b c 2 a b c 
 2 3
 2 8
 a b c 
 a b c
Câu 4. (Đề thi HSG 9 tỉnh Phú Thọ 2012-2013)
 Cho a,b,c là các số thực dương. CMR: 
 ab bc ca a b c
 a 3b 2c b 3c 2a c 3a 2b 6
 Lời giải
 Dự đoán a b c tách mẫu để a c b c 2b 
 1 1 1 1 1 1 1 1 
 Tacó áp dụng BĐT (x y z) 9 
 x y z x y z 9 x y z 
 ab ab ab 1 1 1 1 ab ab a 
 (1)
 a 3b 2c (a c) (b c) 2b 9 a c b c 2b 9 a c b c 2 
 Tương tự
 bc bc bc 1 1 1 1 bc bc b 
 (2)
 2a b 3c (a b) (a c) 2c 9 a c b c 2b 9 a b b c 2 
 ac ac ac 1 1 1 1 ac ac c 
 (2)
 3a 2b c (a b) (b c) 2a 9 a b b c 2a 9 a b b c 2 
 Từ (1) (2) (3)
 1 ac bc ab ac bc ab a b c a b c
 P 
 9 a b b c a c 2 6
 Dấu “=” xảy ra khi a b c
Câu 5. (Đề thi HSG 9 tỉnh Nghệ An 2010-2011) 1 1 1
 a) Cho x 0; y 0; z 0 và 4.
 x y z
 1 1 1
Chứng minh rằng: 1
 2x+y+z x 2y z x y 2z
b) Cho x 0; y 0; z 0 thỏa mãn x2011 y2011 z2011 3 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M x2 y2 z2
 Lời giải
 1 1 4
 a)Áp dụng bất đẳng thức x y x y (với x 0; y 0 )
 Ta có:
 1 1 1 1 1 1 1
 ( ) 
 2x+y+z 4 2x y z ; y z 4y 4z
 Suy ra: 
 1 1 1 1 1
 ( )
 2x+y+z 4 2x 4y 4z (1)
 Tương tự:
 1 1 1 1 1
 ( )
 x+2y+z 4 4x 2y 4z (2)
 1 1 1 1 1
 ( )
 x+y+2z 4 4x 4y 2z (3)
 Từ (1),(2),(3) 
 1 1 1 1 1 1 1
 ( )
 2x+y+z x+2y+z x+y+2z 4 x y z
 1 1 1
 1
 2x+y+z x+2y+z x+y+2z
 Dấu "=" xảy ra 
 3
 x y z 
 4 2011 2011
 b) Áp dụng bất đẳng thức CôSy cho x ,x và 2009 số 1 ta có:
 x2011 x2011 1 1 ... 1 20112011 (x2 )2011
 2009
 2011 2
 2x 2009 2011x (1)
 2011 2
 Tương tự: 2y 2009 2011y (2)
 2011 2
 2z 2009 2011z (3)
 2(x2011 y2011 z2011 ) 3.2009
 x2 y2 z2 
 2011
 2 2 2
 x y z 3
 Giá trị lớn nhất của M là 3 khi và chỉ khi x y z 1 
Câu 6. (Đề thi HSG 9 tỉnh Nghệ An 2010-2011)
 4x+3
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A 
 x2 1
 Lời giải
 4x+3 x2 4x+4
 Ta có: A 1 
 x2 1 x2 1
 (x 2)2
 A 1 1
 x2 1
 Dấu "=" xảy ra x 2 0 x 2
 Vậy Amin 1 khi x 2 
 Câu 7(Đề thi HSG 9 huyện Kim Thành 2012-2013)
 Cho a;b;c là các số thuộc đoạn  1;2 thỏa mãn: a2 b2 c2 6 hãy chứng minh rằng: 
 a b c 0 
 Lời giải
 Do a;b;c thuộc đoạn  1;2 nên a 1 0;a 2 0 nên a 1 a 2 0 Hay: a2 a 2 0 a2 a 2 Tương tự: b2 b 2;c2 c 2;
 Ta có: a2 b2 c2 a b c 6 theo đầu bài: a2 b2 c2 6 nên: a b c 0
Câu 7. (Đề thi HSG 9 tỉnh Khánh hòa 2017-2018)
 1.Chứng minh rằng: Với mọi số nguyên dương n , ta có:
 1 1 1 1
 ... 3.
 2 33 2 4 3 3 n 1 3 n
 2. Cho hai số thực x và y thỏa mãn x2 xy y2 1. Tìm giá trị lớn nhất của 
 P x3 y xy3
 Lời giải
 1) Ta có 
 3 3 2
 1 n 1 n = 3 n 1 3 n 3 n 1 3 n 3 n 1 3 n 1 n 3 n2 .
 2 2 2
 Mà 3 n 1 3 n 1 n 3 n2 33 n 1 1 33 n 1 3 n 1 3 n .
 2
 3 3 3
 1 3 n 1 n 1 n 1 1 
 Từ đó suy ra 3 
 n 1 3 n n 1 3 n 3 n 3 n 1 
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 Nên ... 3 3 ... 3 
 2 33 2 4 3 3 (n 1) 3 n 1 3 2 3 2 3 3 3 n 3 n 1 
 1 1 1 1 1 1 
 ... 3 3
 2 33 2 4 3 3 (n 1) 3 n 1 3 n 1 
 1 1 1 1
 ... 3.
 2 33 2 4 3 3 n 1 3 n
 2.Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm ta có: 
 1
 x2 y2 2 x2 y2 2 xy 2xy x2 y2 xy 2xy xy 3xy xy .
 3
 2
 2 2 a b 
 Ta có a b 0 2ab a2 b2 4ab a b ab 1 .
 4
 P x3 y xy3 xy x2 y2 xy 1 xy vì x2 xy y2 1
 2 2 2
 2xy 1 xy 1 xy 1 4
 Áp dụng BĐT 1 ta có 2P 2xy. 1 xy 1 : 4 
 4 4 3 9
 2 2
 P . Vậy P có giá trị lớn nhất bằng . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
 9 9 1 1 1
xy và x y x y hoặc x y .
 3 3 3