Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 4: Hệ phương trình

 CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Chuyờn đề 4: HỆ PHƯƠNG TRèNH
Cõu 1.(Đề thi HSG 9 huyện Nụng Cống 2019-2020) 
 x3(2 3y) 1
 Giải hệ phương trỡnh : 3
 x(y 2) 3
 Lời giải
 x3(2 3y) 1(1)
 3
 3 Từ hệ phương trỡnh => ≠ 0. Chia phương trỡnh (1) cho và 
 x(y 2) 3(2)
 1
 (2 3y) (1)
 x3 1
 phương trỡnh (2) cho x ta được Đặt = . Hệ phương trỡnh được viết lại 
 3 
 (y3 2) (2)
 x
 z3 3y 2
 : 3 
 y 3z 2
 trừ từng vế của hai phương trỡnh ta được: ( ― ) 2 + + 2 + 3 = 0
 => = => 3 ― 3 ― 2 = 0
 Giải phương trỡnh tỡm được = ―1 푣à = 2
 Với = ―1 => = ―1
 1
 Với = 2 => = 2
 Kết luận: Vậy nghiệm của hệ pương trỡnh là( ; )휖{( ―1; ― 1); 1 ;2 }
 2
Cõu 2.(Đề thi HSG 9 huyện huyện Yờn Định 2012-2013) 
 (x y)(x2 y2 ) 45
 Giải hệ phương trỡnh: 2 2
 (x y)(x y ) 85
 Lời giải
 (x y)(x2 y 2 ) 45 (x y)(x y)2 45 (1)
 Biến đổi 2 2 2 2
 (x y)(x y ) 85 (x y)(x y ) 85 (2)
 Từ hệ ta cú x – y > 0
 Nhõn hai vế của (1) với 17 và nhõn hai vế của (2) với 9 rồi đồng nhất sau khi nhõn ta 
 được:
 17(x – y)(x + y)2 = 9(x - y)(x2 +y2) 4x2 + 17xy + 4y2 = 0
 Nếu y = 0 thỡ x = 0 => khụng thỏa món hệ.
 Nếu y 0 , chia hai vế của 4x2 + 17xy + 4y2 = 0 cho y2 
 và đặt t = x/y được: 4t2 +17t + 4 = 0 (t+4)(4t+1) = 0
 t = - 4 hoặc t = - 1/4
 x = -4y hoặc y = - 4x
  Trang 1  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 thay vào hệ phương trỡnh trờn được nghiệm của phương trỡnh đó cho là
 (x ; y) {(4;-1);(1;-4)}
 Cõu 3. (Đề thi HSG 9 tỉnh ĐÀ NẴNG 2010-2011) 
 17x 2y 2011 xy
 Giải hệ phương trỡnh: 
 x 2y 3xy
 Lời giải
 17 2 1 1007 9
 2011 x 
 y x y 9 490
 (1) 
 1 2 1 490 9
 3 y 
 Nếu xy 0 thỡ y x x 9 1007 (phự hợp)
 17 2 1 1004
 2011 
 y x y 9
 (1) xy 0
 1 2 1 1031
 3 
 Nếu xy 0 thỡ y x x 18 (loại)
 Nếu xy 0 thỡ (1) x y 0 (nhận).
 9 9 
 KL: Hệ cú đỳng 2 nghiệm là 0;0 và ; 
 490 1007 
Cõu 4. (Đề thi HSG 9 huyện Như Thanh - năm 2019)
 Giải hệ phương trỡnh 2 ẩn x , y :
 3 2 2 3 2 2
 x xy x 2x y yx y 2y
 .
 2
 5 x y 4y x 1 y x 2y 1
 Lời giải
 x 5
 ĐKXĐ: y 0 
 4y x 1 0
 3 2 2 3 2 2
 x xy x 2x y yx y 2y (1)
 2
 5 x y 4y x 1 y x 2y 1 (2)
 Ta cú phương trỡnh (1) x3 y3 xy2 yx2 x2 y2 2x 2y 0 
 x y x2 xy y2 xy x y x y x y 2 x y 0 
 x y x2 y2 x y 2 0 
 2 2
 1 1 3 
 x y x y 0
 2 2 2 
 2 2
 1 1 3
 x y 0 vỡ x y 0 x, y
 2 2 2
 x y
  Trang 2  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 Thay x y vào phương trỡnh (2) ta được
 5 y y 3y 1 y2 3y 1 
 5 y 2 y 1 3y 1 2 y2 3y 4 
 y 1 y 1 3 y 1 
 y 1 y 4 
 5 y 2 y 1 3y 1 2
 y 1 y 1 3 y 1 
 y 1 y 4 0 
 5 y 2 y 1 3y 1 2
 1 1 3 
 y 1 y 4 0
 5 y 2 y 1 3y 1 2 
 1 1 3
 y 1 0 (vỡ y 4 0 y 0 )
 5 y 2 y 1 3y 1 2
 y 1 (thỏa món ĐKXĐ)
 x 1 (thỏa món ĐKXĐ)
 Vậy hệ phương trỡnh đó cho cú nghiệm x; y 1;1 .
Cõu 5. (Đề thi HSG 9 tỉnh Thanh Húa 2018-2019)
 3 3 3
 x y z 3xyz
 Tỡm nghiệm nguyờn dương của hệ phương trỡnh sau: .
 2
 x 2 y z 
 Lời giải
 Từ phương trỡnh (1) của hệ ta cú: x3 y3 z3 3xyz
 3
 x3 y z 3yz(y z) 3xyz 0 
 2
 x y z x2 x y z y z 3yz 0 
 x y z x2 y2 z 2 xy xz yz 0 
 2 2 2
 x y z x y x z y z 0 
 2 2 2
 Vỡ theo giả thiết x, y,z 0 nờn : x y x z y z 0 suy ra : 
 x y z 0 x y z . Thay vào phương trỡnh (2) ta cú : 
 2 x 0 (loaùi)
 x 2x x x 2 0 
 x = 2
 Với x 2 y z 2 . Vỡ y, z là cỏc số nguyờn dương suy ra: y z 1. 
 Thử lại ta thấy với : x 2, y z 1 thỏa món hệ phương trỡnh đó cho.
 Vậy nghiệm nguyờn dương của hệ phương trỡnh là : x, y, z 2,1,1 .
Cõu 6. (Đề thi HSG 9 huyện Kỳ Anh 2019-2020)
 6
 a) Tỡm cỏc số thực x, y thỏa : 2x 3y 1 và 3x2 2y2 
 35
 Lời giải
 2 2 6 2 2 35 2 2 ổ4 9ử
 a)Ta cú:3x + 2y = ị (3x + 2y ). = 1ị (3x + 2y )ỗ + ữ= 1 
 35 6 ốỗ3 2ứữ
  Trang 3  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 27 8 2 27 8
 ị 4x2 + 9y2 + x2 + y2 = 1= (2x + 3y) ị 4x2 + 9y2 + x2 + y2 = 4x2 + 9y2 + 12xy
 2 3 2 3
 2
 27 2 8 2 ổ9 2 4 2 ử ổ3 2 ử
 ị x + y - 12xy = 0 ị 6ỗ x + y - 2xyữ= 0 ị 6ỗ x - yữ = 0 ị 9x = 4y 
 2 3 ốỗ4 9 ứữ ốỗ2 3 ứữ
 4y 4y 35 9 4
 Hay x = ị 2. + 3y = 1ị y = 1ị y = ị x = 
 9 9 9 35 35
Cõu 7. (Đề thi HSG 9 tỉnh Phỳ Yờn 2014-2015)
 x3 12x y3 12y
 Giải hệ phương trỡnh: 
 2 2
 x 5y 6
 Lời giải
 3 3
 x y 12 x y (1)
 Hệ phương trỡnh viết lại là: 
 2 2
 x 5y 6 (2)
 Thế (2) vào (1) ta được:
 x3 y3 2 x2 5y2 x y x3 2x2 y 10xy2 9y3 0(3).
 Vỡ y = 0 khụng phải là nghiệm của hệ, chia 2 vế (3) cho y3 ta được: 
 3 2
 x x x 
 2 10 9 0 (4).
 y y y 
 x
 Đặt u , (4) sẽ là: u3 2u2 10u 9 0
 y
 u 1 u2 u 9 0 u 1 x y .
 Thế vào (2) ta được 6x2 = 6 x y 1 .
 Vậy hệ phương trỡnh cú cỏc nghiệm là (1;1), (-1;-1).
Cõu 8. (Đề thi HSG 9 tỉnh Hải Dương 2012-2013)
 2 2
 x x 2012 y y 2012 2012
 Giải hệ phương trỡnh .
 x2 z2 4 y z 8 0
 Lời giải
 2 2
 x x 2012 y y 2012 2012 1 
 2 2
 x z 4 y z 8 0 2 
 (1) x x2 2012 y y2 2012 y2 2012 y 2012 y2 2012 y 
 (Do y2 2012 y 0 ,y )
 x x2 2012 2012 2012 y2 2012 y 
 x x2 2012 y2 2012 y
 x y y2 2012 x2 2012
  Trang 4  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 y2 2012 x2 2012 y2 2012 x2 2012 
 x y 
 y2 2012 x2 2012
 y2 x2
 x y 
 y2 2012 x2 2012
 y2 2012 y x2 2012 x
 x y 0
 y2 2012 x2 2012
 2 
 y 2012 y y y 
  y2 2012 y x2 2012 x 0
 Do 2
 x 2012 x x x 
 Thay y x vào 2 x2 z2 4x 4z 8 0 (x 2)2 (z 2)2 0
 (x 2)2 0 x 2
 y x 2
 2 
 (z 2) 0 z 2
 Vậy hệ cú nghiệm x; y; z 2;2;2 .
Cõu 9.(Đề thi HSG 9 tỉnh KIấN GIANG 2012-2013) 
 2x 3 y 5
 2 3
 Giải hệ phương trỡnh: y 5 2x 3 với x ; y 5 . 
 2
 3x 2y 19
 Lời giải
 2x 3 2x 3 y 5
 Đặt a (với a 0 ), khi đú phương trỡnh 2 cú dạng 
 y 5 y 5 2x 3
 1 2
 a 2 a2 2a 1 0 a 1 0 a 1(thỏa món điều kiện)
 a
 2x 3
 Với a 1 1 2x y 8 .
 y 5
 2x y 8 4x 2y 16 7x 35 x 5
 Do đú ta cú hệ phương trỡnh 
 3x 2y 19 3x 2y 19 3x 2y 19 y 2
 Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm là x, y 5;2 .
Cõu 10. (Đề thi HSG 9 tỉnh THANH HểA 2018-2019) 
 x 1 y 1 2
 Giải hệ phương trỡnh: 1 1 .
 1
 x y
 Lời giải
  Trang 5  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 x 1 y 1 2
 Giải hệ phương trỡnh: 1 1 . (ĐK: x 1; y 1)
 1
 x y
 (2) x y xy (3)
 Hai vế của (1) đều dương nờn bỡnh phương hai vế ta cú: 
 x y 2 2 x 1 y 1 4
 x y 2 2 xy x y 1 4
 x y 4
 Thay (3) vào ta cú: x y 4 kết hợp với (3) cú hệ: 
 xy 4
 Áp dụng hệ thức Viete ta cú x ; y là hai nghiệm của pt: x2 4x 4 0 
 x 2; y 2.
Cõu 11. (Đề thi HSG 9 tỉnh AN GIANG 2013-2014) 
 5x 3y 5 3
 Cho hệ phương trỡnh 
 3 1 x 5y 5 3
 a) Giải hệ phương trỡnh
 b) Tỡm một phương trỡnh bậc nhất hai ẩn x, y nhận 1 nghiệm là nghiệm của hệ phương 
 trỡnh đó cho và một nghiệm là 0;0 . 
 Lời giải
 a)
 5x 3y 5 3 5x 15y 5 15
 3 1 x 5y 5 3 3 3 x 15y 15 3 3
 5x 15y 5 15
 5x 15y 5 15 
 5 3 3
 (5 3 3)x 5 3 3 x 
 2 3
 x 1 3 x 1 3
 . 
 5(1 3) 15y 5 15 y 1 5
 b) Phương trỡnh bậc nhất hai ẩn cú dạng ax by c 
 Phương trỡnh cú nghiệm 0;0 suy ra c 0 . 
 Phương trỡnh cú nghiệm 1 3; 1 5 a 1 3 b 1 5 0 
  Trang 6  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 Ta cú nhiều phương trỡnh như thế nờn cú thể chọn a 1 5;b 1 3 vậy một phương 
 trỡnh thỏa đề bài đú là: 1 5 x 1 3 y 0 . 
Cõu 12. (Đề thi HSG 9 tỉnh ĐỒNG NAI 2013-2014) 
 x3 2y 1
 Giải hệ phương trỡnh .
 3
 y 2x 1
 Lời giải
 x3 2y 1
 x3 y3 2x 2y 0 x y x2 y2 xy 2 0
 3 
 y 2x 1
 y x
 x y 0 
 2 2
 2 2 y 3y
 x y xy 2 0 x 2 0 (vo õnghieọm)
 2 4
 Thay y x vào x3 2y 1 ta được x3 2x 1 0 x 1 x2 x 1 0
 x 1
 x 1 0 1 5
 x .
 x2 x 1 0 2
 1 5
 x 
 2
 Với x 1 y 1. 
 1 5 1 5
 Với x y .
 2 2
 1 5 1 5
 Với x y .
 2 2
 1 5 1 5 1 5 1 5 
 Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm là x, y 1;1 , ; , ; 
 2 2 2 2 
 2
 m 2 n
Cõu 13. Cho m và n là hai số nguyờn dương lẻ thỏa .
 2
 n 2 m
 a)Hóy tỡm một cặp gồm hai số nguyờn dương lẻ m;n thỏa cỏc điều kiện đó cho với 
 m 1 và n 1. 
 m2 n2 2 4mn
 b)Chứng minh 
 Lời giải
 a)Với m 11 và n 41 thỏa cỏc điều kiện của bài toỏn
 Vỡ khi đú m2 2 12341 và n2 2 168311. 
  Trang 7  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 m2 2 n m2 n2 2 n
 b)Vỡ mà n2 n nờn (1)
 Tương tự m2 n2 2 m (2)
 Gọi d là ước chung lớn nhất của m và n m2 n2 d 
 Theo chứng minh trờn m2 n2 2 m m2 n2 2 d 2d
 d 1 (3) ; nếu d 1 thỡ d 2 mõu thuẫn với m và n lẻ
 Từ (1), (2) , (3) suy ra m2 n2 2 mn
 Cuối cựng vỡ m lẻ nờn m 2k 1 (với k Ơ ) m2 4k k 1 1 
 Tương tự n2 4l l 1 1(với l Ơ )
 Suy ra m2 n2 2 4 . 
 Mà 4,mn 1 nờn suy ra m2 n2 2 4mn .
Cõu 14. (Đề thi HSG 9 tỉnh HẢI DƯƠNG 2013-2014) 
 3
 x 2x y
 Giải hệ phương trỡnh .
 3
 y 2y x
 Lời giải
 Từ hệ ta cú x3 (2y x) y3 (2x y) (x2 y2 ) 2xy x2 y2 0
 3 x y
 (x y) (x y) 0 
 x y
 * Với x y ta tỡm được x ; y 0; 0 ; 3; 3 ; 3; 3 
 * Với x -y ta tỡm được x ; y 0; 0 ; 1; 1 ; 1;1 
 Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm
 x ; y 0; 0 ; 3; 3 ; 3; 3 ; 1; 1 ; 1;1 
Cõu 15. (Đề thi HSG 9 tỉnh HƯNG YấN 2014-2015) 
 3 3 2
 x y 15y 14 3. 2y x 
 Giải hệ phương trỡnh . 
 3
 4x 6xy 15x 3 0
 Lời giải
 3 3 2
 x y 15y 14 3. 2y x (1)
 Ta cú: 
 3
 4x 6xy 15x 3 0 (2)
 1
 Ở phương trỡnh ta cú:
 x3 y 3 15y 14 3 2y2 x 
  Trang 8  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 x3 3x y3 15y 6y2 14
 x3 3x y3 6y2 12y 8 3y 6
 x2 3x y 2 3 3 y 2 
 x y 2 * 
 Từ 2 và * ta cú hệ phương trỡnh: 
 x y 2 x 2 y x 2 y
 3 3 3 2
 4x 6xy 15x 3 0 4x 6x. x 2 15x 3 0 4x 6x 3x 3 0
 1 3 5
 3 x 
 x 2 y 2x 1 5 2
 3 2 
 8x 12x 6x 6 0 x 2 y 5 3 5
 y 
 2
 1 3 5 5 3 5 
 Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm là ; . 
 2 2 
Cõu 16. (ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH NINH BèNH NĂM HỌC 2014-2015)
 x y z 6
 Giải hệ phương trỡnh sau: xy yz zx 11. 
 xyz 6
 Lời giải
 x z 6 y
 x y z 6 x z 6 y 
 6
 xy yz zx 11 xy yz zx 11 y 6 y 11 
 y
 xyz 6 6
 xz 6
 y xz 
 y
 6
 y 6 y 11 y2 6 y 6 11y y3 6y2 11y 6 0 .
 y
 y 1
 y 1 y 2 y 3 0 y 2 
 y 3
 *) Với y 1 x 3; z 2 hoặc x 2; z 3. 
 *) Với y 2 x 3;z 1 hoặc x 1; z 3. 
 *) Với y 3 x 2; z 1 hoặc x 1; z 2 .
  Trang 9  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Cõu 17.ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2013 – 2014
 3x2 2y2 4xy x 8y 4 0
 Giải hệ phương trỡnh: 
 2 2
 x y 2x y 3 0
 Lời giải
 3x2 2y2 4xy x 8y 4 0 3x2 2y2 4xy x 8y 4 0(1)
 2 2 2 2
 x y 2x y 3 0 2x 2y 4x 2y 6 0(2)
 Lấy pt (1) trừ pt (2) ta được 
 2 x 2y 1
 x 2y 3(x 2y) 2 0 (x 2y 1)(x 2y 2) 0 
 x 2y 2
 Thay vào phương trỡnh x2 y2 2x y 3 0 hệ cú 4 nghiệm
 7 109 13 109 7 109 13 109 
 x; y 1;0 ; 5 3 ; ; ; ; 
 3 6 3 6  
Cõu 18.ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2013-2014
 x y z 2
 Giải hệ phương trỡnh 2 .
 2xy z 4
 Lời giải
 S 2 z
 S x y 
 Đặt . Hệ phương trỡnh đó cho trở thành 1 2 .
 P xy P z 4 
 2
 1
 Khi đú x , y là nghiệm của phương trỡnh X 2 2 z X z2 4 0 1 .
 2
 2 1 2
 Ta cú 2 z 4. z2 4 z2 4z 4 z 2 . 
 2
 Phương trỡnh 1 cú nghiệm 0 z 2 2 0 z 2 . 
 Thay z 2 vào phương trỡnh 1 ta được X 2 4X 4 0 X 2 .
 phương trỡnh 1 cú nghiệm x y 2 , z 2 . 
 x 2
 Vậy hệ phương trỡnh đó cho cú nghiệm y 2 . 
 z 2
Cõu 19.ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH THANH HểA NĂM HỌC 2013 – 2014
 x y z 1
 Giải hệ phương trỡnh 4 4 4 .
 x y z xyz
 Lời giải
 Ta cú:
 x4 y4 y4 z4 z4 x4
 x4 y4 z4 x2 y2 y2 z2 z2 x2 =
 2 2 2
  Trang 10 