Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 4: Hệ phương trình (Có đáp án)

 Chuyên đề 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Câu 1. (Đề thi HSG 9 tỉnh Thanh Hóa 2012-2013) 
 x 1 y 1 2
 Giải hệ phương trình: 1 1
 1
 x y
 Lời giải
 x 1 y 1 2 (1)
 1 1 (ĐK: x 1; y 1 )
 1 (2)
 x y
 2 x y xy 3 
 Hai vế của (1) đều dương ta bình phương hai vế ta có: 
 x y 2 2 x 1 y 1 4
 x y 2 2 xy x y 1 4
 x+y=4
 Thay (3) vào ta có: x y 4 kết hợp với (3) có hệ: 
 xy=4
 Áp dụng hệ thức Vi Ét ta có x; y là hai nghiệm của pt: x2 4x 4 0 
 x 2; y 2 
Câu 2. (Đề thi HSG 9 tỉnh Thanh Hóa 2011-2012)
 x 2
 x 2
 y
 Giải hệ phương trình 
 y 2 1
 y .
 x 2
 Lời giải
 ĐK x 0; y 0 
 Dùng phương pháp thế rút y theo x từ (1) thay vào pt (2) ta có pt:
 3x3 4x2 4x 0
 x 0 (0 t / m)
 x 3x2 4x 4 0
 2
 3x 4x 4 0 (*)
 x1 2 y1 1
 (*) 2 1
 x y 
 2 3 2 3 Câu 3. (Đề thi HSG 9 tỉnh huyện Lâm Thao 2017-2018)
 x2 y2 1 10y2
 Giải hệ phương trình : 
 xy x 1 7y
 Lời giải
 ta thấy y 0 không thoả mãn hệ (I) với y 0 
 2
 2 1 
 x 10 1 x
 2 x 2 10
 y y y
 (I) 
 x 1
 x 7 x 1
 x 7
 y y y y
 đặt
 1
 S x 
 y
 x
 P 
 y
 S 2 2P 10 P 7 S S 6 S 4
 thay vào (II) ta được 
 2  
 S P 7 S 2S 24 0 P 13 P 3
 S 4 1
 Với x và là 2 nghiệm của phương trình 
 P 3 y
 2 t 1
 t 4t 3 0 t 1 t 3 0 
 t 3
 x 1 x 1
 * 1 1
 3 y 
 y 3
 x 3
 x 3
 * 1 
 1 y 1
 y
 S 6 1
 suy ra x và là 2 nghiệm của phương trình 
 P 13 y
 2
 t 2 6t 13 0 t 3 4 0 Vo nghiem 
 1 
 x; y 1; ; 3;1 
 3 
Câu 4. (Đề thi HSG 9 tỉnh Phú Thọ 2012-2013) 8x3 y3 27 18y3
 Giải hệ phương trình: 
 2 2
 4x y 6x y
 Lời giải
 8x 3 y 3 27 18y 3
 Giải hệ phương trình 2 2
 4x y 6x y
 HD y 0 không là nghiệm của hệ chia 2 vế PT(1) cho y3 ,PT(2) cho y2 .
 27
 8x 3 18
 3 2x a 3 3
 y a b 18 a b 3
 Ta có hệ Đặt 3 ta có hệ 
 2 2 2 
 x x b a b ab 3 ab 1
 4 6 2 1 y
 y y
 3 5 6 3 5 6 
 Hệ có 2 nghiệm (x, y) ; ; ; 
 4 3 5 4 3 5  
Câu 5. (Đề thi HSG 9 tỉnh Nghệ An 2010-2011)
 1
 x 3
 y
 1
 Giải hệ phương trình: y 3
 z
 1
 z 3
 x
 Lời giải
 1
 x 3
 y
 1
 y 3
 z
 1
 z 3
 x
 3x-1
 z 
 Từ (3) x thay vào (2) 3xy+3 = 8x+y (4)
 Từ (1) xy 1 3y 3xy+3 = 9y (5)
 Từ (4) và (5) 8x+y = 9y x y
 Chứng minh tương tự : y z 
 Từ đó x y z 1
 x 3 x2 3x+1 = 0
 x
 3 5
 x 
 2
 3 5
 x y z 
 hệ có 2 nghiệm 2
Câu 6. (Đề thi HSG 9 tỉnh Nghệ An 2010-2011)
 2x+y = x2
 Giải hệ phương trình: 
 2
 2y+x = y
 Lời giải
 2x+y=x2 (1)
 2
 2y+x=y (2)
 Trừ từng vế 2 phương trình ta có: x2 y2 x y
 (x y)(x y 1) 0
 x y x y
 x y 1 0 x 1 y
 Ta có:
 x y x y
 *) 
 x(x 3) 0 xhoặc 0 x = 3 
 Vậy x; y 0;0 , 3;3 
 x 1 y x 1 y x 1 y
 *) (*)
 2 2 2
 2x+y = x 2 2y y (1 y) y y 1 0
 Vì phương trình y2 y 1 0 vô nghiệm nên hệ (*) vô nghiệm
 Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm x; y 0;0 , 3;3 
Câu 7. (Đề thi HSG 9 TP Đà Nẵng 2010-2011)
 17x 2y 2011 xy
 Giải hệ phương trình: 
 x 2y 3xy.
 Lời giải 17 2 1 1007 9
 2011 x 
 y x y 9 490
Nếu xy 0 thì (1) (phù hợp)
 1 2 1 490 9
 3 y 
 y x x 9 1007
 17 2 1 1004
 2011 
 y x y 9
Nếu xy 0 thì (1) xy 0 (loại)
 1 2 1 1031
 3 
 y x x 18
Nếu xy 0 thì (1) x y 0 (nhận).
 9 9 
KL: Hệ có đúng 2 nghiệm là (0;0) và ; 
 490 1007