Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 6: Giải bài toán bằng cách lập phương trình & hệ phương trình

 CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Chuyên đề 6: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PT & HPT
Câu 1.(Đề thi HSG 9 huyện HẢI LĂNG 2008-2009) 
 Tìm một số có hai chữ số; biết rằng số đó chia hết cho 3 và nếu thêm số 0 vào giữa các 
 chữ số rối cộng vào số mới tạo thành một số bằng hai lần chữ số hàng trăm của nó thì 
 được một số lớn gấp 9 lần số phải tìm.
 Lời giải
 _ ___ __
 Gọi số cần tìm là ab . Ta có: ab3 và a0b 2a 9ab
 (a b)3 (a b)3
 100a b 2a 9(10a b) 3a 2b
 Từ 3a 2b 2b3 mà (2,3) 1 b3 do (a b)3 a3 mà 3a2 a2
 __
 Ta có a3,a2,(2,3) 1 a6,1 a 9 a 6 b 9 Vậy ab 69
Câu 2. (Đề thi HSG 9 huyện HƯƠNG SƠN 2019-2020) 
 Một bài thi gồm 20 câu hỏi, mỗi câu hỏi trả lời đúng được cộng 5 điểm; mỗi câu hỏi trả 
 lời sai bị trừ 2 điểm; câu hỏi nào bỏ qua không trả lời nhận được 0 điểm. Khi làm bài thi 
 trên bạn An có câu hỏi trả lời sai và tổng số điểm đạt được là 60 điểm. Hỏi bạn An đã bỏ 
 qua mấy câu hỏi?
 Lời giải
 Gọi x , y , z lần lượt là số câu trả lời đúng, sai, và bỏ qua của An. Vì số điểm của An là 
 60 nên x 0 .
 x y z 20
 Khi đó ta có: .
 5x 2y 60 (1)
 2y
 Từ (1) ta có: x 12 mà x là số tự nhiên nên y5 . Hơn nữa theo giả thiết thì 
 5
 20 y 0 .
 Vậy y có thể bằng 5, 10, 15.
 7y 40
 Vì x y 20 nên 12 20 y . Vậy y 5 , suy ra x 14 .
 5 7
 Do đó z 1.
 An đã bỏ qua 1 câu hỏi.
 Câu 3. (Đề thi HSG 9 TP Đà Nẵng 2017-2018) 
 Một thửa ruộng hình chữ nhật, nếu giảm chiều rộng đi 1 m và tăng chiều dài thêm 2 m 
 thì diện tích không đổi; ngoài ra nếu giảm chiều dài đi 4 m đồng thời tăng chiều rộng 
 thêm 3 m ta được hình vuông. Tính diện tích thửa ruộng ban đầu.
 Lời giải
 Gọi chiều rộng và chiều dài của thửa ruộng hình chữ nhật là x ; y với ( x 1; y 4 )
  Trang 1  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 Nếu giảm chiều rộng đi 1 m và tăng chiều dài thêm 2 m thì diện tích không đổi nên ta có 
 pt
 (x 1)(y 2) xy (1)
 Nếu giảm chiều dài đi 4m đồng thời tăng chiều rộng thêm 3m ta được hình vuông nên ta 
 có pt
 x 3 y 4 x y 7 (2)
 Thế (2) vào (1) ta có: (y 8)(y 2) y (y 7) y 16; x 9 
 Vậy diện tích thửa ruộng ban đầu là: 16.9 144 (m2 )
Câu 4.(Đề thi HSG 9 Tình Hà Tỉnh 2017-2018) 
 Hai vật chuyển động trên một đường tròn có chu vi bằng 200m , vận tốc vật thứ 
 nhất là 4m / s , vận tốc vật thứ hai là 6m / s . Hai vật xuất phát cùng một thời điểm 
 tại một vị trí và chuyển động cùng chiều. Hỏi sau 16 phút vật thứ hai vượt lên 
 trước vật thứ nhất mấy lần? (không kể lúc xuất phát)
 Lời giải
 Gọi t là thời gian để hai vật gặp nhau tính từ lúc xuất phát. Quảng đường mỗi vật 
 đi được đến lúc gặp nhau là S1 = v1t = 4t , S2 = v2t = 6t . Vì hai vật đi cùng chiều 
 nên S2 - S1 = S Þ 6t - 4t = 200 Þ t = 100 (giây).
 Do đó cứ sau 100 giây chúng gặp nhau một lần. Vậy sau 16 phút = 960 giây thì 
 é960ù
 chúng gặp nhau số lần là ê ú= 9 . Vậy vật thứ hai vượt lên trước 9 lần.
 ëê100ûú
Câu 5. (Đề thi HSG 9 TP Đà Nẵng 2017-2018) 
 Một thửa ruộng hình chữ nhật, nếu giảm chiều rộng đi 1m và tăng chiều dài thêm 2m thì 
 diện tích không đổi; ngoài ra nếu giảm chiều dài đi 4m đồng thời tăng chiều rộng thêm 
 3m ta được hình vuông. Tính diện tích thửa ruộng ban đầu.
 Lời giải
 Gọi chiều rộng và chiều dài của thửa ruộng hình chữ nhật là x ; y với ( x 1 ; y 4 )
 Nếu giảm chiều rộng đi 1m và tăng chiều dài thêm 2m thì diện tích không đổi nên ta có pt
 x 1 . y 2 xy (1)
 Nếu giảm chiều dài đi 4m đồng thời tăng chiều rộng thêm 3m ta được hình vuông nên ta 
 có pt
 x 3 y 4 x y 7 (2)
 Thế (2) vào (1) ta có:
 y 8 . y 2 y. y 7 
 y 16 ; x 9
 Vậy diện tích thửa ruộng ban đầu là: 16.9=144 (m2 )
Câu 6.(Đề thi HSG 9 TP Hồ Chí Minh 2017-2018) 
 Một ô tô dự định đi từ thành phố A đến thành phố B với vận tốc không đổi là v km/ h . 
 nếu vận tốc ô tô đó tăng thêm 20% thì nó sẽ đến B sớm hơn dự định 1 giờ. Tuy nhiên 
  Trang 2  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 sau khi đi được 120 km với vận tốc v , ô tô tăng thêm 25% và đến B sớm hơn dự định 
 48 phút. Tính quãng đường giữa hai thành phố.
 Lời giải
 48 4
 Đổi đơn vị : 48 phút (giờ) 
 60 5
 Gọi s km là quãng đường giữa hai thành phố A và B s 0 
 Nếu vận tốc ô tô đó tăng thêm 20% thì nó sẽ đến B sớm hơn dự định 1 giờ nên ta có 
 s s s
 phương trình: 1 v 1 
 v v 20% 6
 Sau khi đi được 120 km với vận tốc v , ô tô tăng thêm 25% và đến B sớm hơn dự định 
 120 s 120 s 4
 48 phút nên ta có phương trình: (2)
 s v 25%v v 5
 s
 v 
 6 v 60
 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 
 120 s 120 s 4 s 360
 s v 25%v v 5
 Vậy quãng đường giữa hai thành phố A và B là 360 km .
Câu 7.(Đề thi HSG 9 Tỉnh Hà Tĩnh 2017-2018) 
 Hai vật chuyển động trên một đường tròn có chu vi bằng 200m , vận tốc vật thứ nhất là 
 4m / s , vận tốc vật thứ hai là 6m / s . Hai vật xuất phát cùng một thời điểm tại một vị trí 
 và chuyển động cùng chiều. Hỏi sau 16 phút vật thứ hai vượt lên trước vật thứ nhất mấy 
 lần? (không kể lúc xuất phát)
 Lời giải
 Gọi t là thời gian để hai vật gặp nhau tính từ lúc xuất phát. Quảng đường mỗi vật đi được 
 đến lúc gặp nhau là S1 v1t 4t , S2 v2t 6t . Vì hai vật đi cùng chiều nên S2 S1 S
 6t 4t 200 t 100 (giây).
 Do đó cứ sau 100 giây chúng gặp nhau một lần. Vậy sau 16 phút 960 giây thì chúng 
 960 
 gặp nhau số lần là 9 . Vậy vật thứ hai vượt lên trước 9 lần.
 100 
Câu 8.(Đề thi HSG 9 Tỉnh Hà Tĩnh 2017-2018) 
 Biết khoảng cách từ trọng tâm tam giác ABC đến các cạnh tỉ lệ với các số 2 ; 3 ; 4 và 
 chu vi của tam giác ABC là 26 . Tìm độ dài các cạnh tam giác ABC .
 Lời giải
 Gọi độ dài các cạnh BC a , AC b , AB c . Độ dài các đường cao kẻ từ đỉnh A , B , 
 C lần lượt là x , y , z . 
 Khoảng cách từ trọng tâm tam giác ABC đến các cạnh tỉ lệ với các số 2 ; 3 ; 4 nên ta có 
 x y z
 k . 
 2 3 4
  Trang 3  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 a 1 c a 1 c a b c
 Mặt khác ax by cz 2S nên 24k . 
 ABC 1 1 1 1 1 1 13
 x y z 2k 3k 4k 12k
 Suy ra a 12 ; b 8 ; c 6 .
Câu 9. (Đề thi HSG tỉnh Thái Bìn h 2011-2012)
 Cho tam giác vuông có độ dài các cạnh là những số nguyên và số đo chu vi bằng hai lần 
 số đo diện tích. Tìm độ dài các cạnh của tam giác đó.
 Lời giải
 Gọi độ dài các cạnh của tam giác vuông là a, b, c (a là độ dài cạnh huyền)
 Theo giả thiết và định lý Pitago, ta có: 
 a b c bc 1 
 2 2 2
 b c a 2 
 b2 c2 2bc 2 a b c a2
 b c 1 2 a 1 2
 b c 2 a
 a b c 0 loaïi 
 Thế a = b + c - 2 vào (2) ta được: 2 + bc - 2b - 2c = 0 b-2 c 2 2
 Vì b, c là các số nguyên dương nên ta có các trường hợp sau:
 T.Hợp b - 2 c - 2 b c a K.Luận
 1 1 2 3 4 5 Nhận
 2 2 1 4 3 5 Nhận
 3 -1 -2 1 0 Loại
 4 -2 -1 0 1 Loại
 Vậy tam giác cần tìm có các cạnh là 3; 4; 5
Câu 10. (Đề thi HSG 9 Tỉnh Hòa Bình 2010-2011) 
 Đội cờ vua của trường A thi đấu với đội cờ vua của trường B, mỗi đấu thủ của trường này 
 thi đấu với một đấu thủ của trường kia một trận. Biết rằng tổng số trận đấu bằng 4 lần 
 tổng số cầu thủ của cả hai đội và số cầu thủ của trường B là số lẻ. Tìm số cầu thủ của mỗi 
 đội.
 Lời giải
 Gọi số cầu thủ đội trường A là x (cầu thủ) , số cầu thủ đội trường B là y (cầu thủ), Điều 
 kiện: x, y ¥ * và y lẻ.
 Theo đề bài, ta có phương trình xy 4 x y (x 4)(y 4) 16 
 y 4 1 y 5
 Vì y lẻ nên y 4 lẻ và x 4 4 . Suy ra (thỏa mãn).
 x 4 16 x 20
 Vậy trường A có 20 cầu thủ, trường B có 5 cầu thủ.
  Trang 4 