Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 7: Hình học (Phần 2)

 CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Chuyên đề 7: HÌNH HỌC (PHẦN 2)
Câu 1:(Đề chọn hsg lớp 9 bình định năm 2016 – 2017)
 Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R . M là một điểm di động trên cung 
 nhỏ BC của đường tròn đó.
 a) Chứng minh MB MC MA.
 b) Gọi H, I, K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M xuống AB, BC, CA . Gọi S, S’ lần lượt 
 là diện tích của tam giác ABC, MBC . Chứng minh rằng: Khi M di động ta luôn có đẳng thức:
 2 3 S + 2S' 
 MH MI MK 
 3R
Câu 2:(Đề chọn hsg lớp 9 bình định năm 2016 – 2017)
 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. AD, BE, CF là các đường cao. Lấy M trên đoạn FD , lấy 
 N trên tia DE sao cho M· AN = B· AC . Chứng minh MA là tia phân giác của góc N· MF .
 Lời giải
 a) Cách 1: Trên tia đối của tia MC lấy điểm E sao cho ME MB
 A
 O
 B C
 M
 E
 Ta có: BEM là tam giác đều BE BM EM
 BMA BEC MA EC
 Do đó: MB MC MA
 Cách 2:
 A
 O
 E
 B C
 M
  Trang 1  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 Trên AM lấy điểm E sao cho ME MB
 Ta có: BEM là tam giác đều
 BE BM EM
 MBC EBA (c. g.c) MC AE
 Do đó: MB MC MA.
 b) Kẻ AN vuông góc với BC tại N
 Vì ABC là tam giác đều nên O là trọng tâm của tam giác
 3
 A, O, N thẳng hàng AN R A
 2
 Ta có: AN AB.sin·ABN 
 AN 3 3
 AB R : R 3
 sin ·ABN 2 2
 O
 K
 1 2SABM 2SABM
 Ta có: MH.AB SABM MH I N
 2 AB R 3 B
 C
 H
 1 2S 2S
 MK.AC S MK ACM ACM
 2 ACM AC R 3 M
 1 2S 2S 2S '
 MI.BC S MI BCM BCM 
 2 BCM BC R 3 R 3
 2S ' 2 2S ' 2
 Do đó: MH MK MI S S .S
 R 3 R 3 ABM ACM R 3 R 3 ABMC
 2S ' 2 2 3 S 2S ' 
 . S S ' 
 R 3 R 3 3R
 Qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt DE tại K .
 A
 N
 F
 E
 H
 M K
 1 2
 3 4
 B D C
Tứ giác AEDB nội tiếp C· DE B· AC
Mà: M· KD C· DE (vì MK / /BC ).
  Trang 2  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 Do đó: M· KD M· AN Tứ giác AMKN nội tiếp
 ·AMN ·AKN
 ¶ ¶ · ¶ ¶
 Ta có: D3 D4 ( BAC ) D1 D2
 DMK có DA là phân giác vừa là đường cao nên cân tại D
 DM DK
 AMD AKD (c. g.c) ·AMD ·AKD
 Nên: ·AMF ·AKN . Ta có: ·AMF ·AMN ·AKN 
 Vậy: MA là phân giác của góc N· MF .
Câu 3: ĐỀ CHỌN HSG LỚP 9 BẮC GIANG NĂM 2016 - 2017
 Cho nửa đường tròn O; R đường kính AB . Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa nửa đường tròn vẽ 
 tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn, trên Ax lấy M sao AM R . Từ M vẽ tiếp tuyến MC với nửa 
 đường tròn, từ C vẽ CH vuông góc với AB , CE vuông góc với AM . Đường thẳng vuông góc với 
 AB tại O cắt BC tại N . Đường thẳng MO cắt CE , CA , CH lần lượt tại Q, K, P .
 a) Chứng minh MNCO là hình thang cân.
 b) MB cắt CH tại I . Chứng minh KI song song với AB .
 c) Gọi G và F lần lượt là trung điểm của AH và AE . Chứng minh PG vuông góc với QF .
 Lời giải
 M N
 E Q C
 K
 F I
 T
 A B
 G O H
 P
  Trang 3  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 a) Ta có ACB nội tiếp đường tròn (vì...) mà AB là đường kính nên ACB vuông tại C
 AC  BN .
 Ta có MA MC (.....), OA OC (....) nên MO là trung trực của AC . MO  AC MO // NB
 M· OA N· BO
 Ta có OA  MA (....) M· AO N· OB 900 ; xét MAO và NOB có
 M· AO N· OB 900; M· OA N· BO;OA OB R MAO NOB MO NB
 Ta có MO // NB; MO NB MNBO là hình bình hành.Ta có MAO = NOB (cm trên) nên ta có 
 NO MA , mà MA MC (...) nên NO MC vậy MNBO là hình thang cân.
 b) Xét CHB và MAO có M· AO N· OB 900;C· BH M· OA (cm trên)
 CH HB HB
 CHB : MAO 
 MA AO R
 IH HB HB
 Ta có CH  AB (gt) ; MA  AB (...) CH // MA IH // MA 
 MA AB 2R
 CH HB HB IH 2IH
 Nên ta có 2  2  CH 2IH IC IH .
 MA R 2R MA MA
 Chi ra KI là đường trung bình của tam giác ACH KI // AB
 c) Chưng minh FQIO là hình bình hành QF // IO
 -Chứng minh O là trục tâm tam giác GIP .
 PG  OI PG  QF
Câu 4: (ĐỀ CHỌN HSG LỚP 9 VĨNH PHÚC NĂM 2014 – 2015)
 Cho đoạn thẳng AC có độ dài bằng a. Trên đoạn AC lấy điểm B sao cho AC 4AB. Tia Cx 
 vuông góc với AC tại điểm C, gọi D là một điểm bất kỳ thuộc tia Cx ( D không trùng với C ). Từ 
 điểm B kẻ đường thẳng vuông góc với AD cắt hai đường thẳng AD và CD lần lượt tại K, E.
 a) Tính giá trị DC.CE theo a.
 b) Xác định vị trí điểm D để tam giác BDE có diện tích nhỏ nhất.
 c) Chứng minh rằng khi điểm D thay đổi trên tia Cx thì đường tròn đường kính DE luôn có một 
 dây cung cố định.
 Lời giải
  Trang 4  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 x
 D
 K
 C
 A N
 M B
 E
a) Ta có: E· BC ·ADC (Cùng bù với góc K· BC ); ·ACD E· CB 90
 ACD ~ ECB (g - g)
 DC AC
 DC.CE AC.BC .
 BC EC
 a 3a 3a2
Do AB ; BC DC.EC AC.BC .
 4 4 4
 1
b) S BC.DE S nhỏ nhất khi và chỉ khi DE nhỏ nhất.
 BDE 2 BDE
 3a2
Ta có: DE DC EC 2 DC.EC 2 a 3 (Theo chứng minh phần a).
 4
 a 3
Dấu " " DC EC .
 2
 3a2 3 a 3
 S nhỏ nhất bằng khi D thuộc tia Cx sao cho CD .
 (BDE) 8 2
c) Gọi giao điểm của đường tròn đường kính DE với đường thẳng AC là M , N (M nằm giữa A và
 B ) M , N đối xứng qua DE .
Ta có: AKB ~ ACD (g - g)
 AK AB
 AK.AD AC.AB . 1 
 AC AD
 AKM AND (g - g)
 AK AM
 AK.AD AM.AN . 2 
 AN AD
 a2
Từ 1 và 2 suy ra AM.AN AC.AB 
 4
  Trang 5  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 a2
 (AC MC)(AC NC) AC 2 MC 2 (Do MC NC )
 4
 3a2 a 3
 MC 2 MC NC 
 4 2
 M , N là hai điểm cố định.
 Vậy đường tròn đường kính DE luôn có dây cung MN cố định.
Câu 5: ĐỀ HSG LỚP 9 TỈNH BẾN TRE NĂM 2018 - 2019
 Cho đoạn thẳng AB và điểm E nằm giữa điểm A và điểm B sao cho AE BE . Vẽ đường tròn 
 O1 đường kính AE và đường tròn O2 đường kính BE . Vẽ tiếp tuyến chung ngoài MN của hai 
 đường tròn với M là tiếp điểm thuộc O1 và N là tiếp điểm thuộc O2 .
 a) Gọi F là giao điểm của các đường thẳng AM và BN . Chứng minh rằng đường thẳng EF vuông 
 góc với đường thẳng AB .
 b) Với AB 18cm và AE 6cm , Vẽ đường tròn O đường kính AB . Đường thẳng MN cắt 
 đường tròn O tại C và D sao cho điểm C thuộc cung nhỏ AD . Tính độ dài đoạn thẳng CD .
 Lời giải
 F
 D
 N
 K I
 M
 C
 A O1 E O O2 B
Hình vẽ điểm N chưa chính xáchình như kéo theo điểm F cũng chưa chính xác
 a) MN là tiếp tuyến chung của O1 và O2 nên MN  O1M ;MN  O2 N O1M //O2 N 
 · ·
 MO1E NO2 E 180
 · ·
 O1 AM cân tại O1 suy ra MO1E 2O1 AM
 · ·
 O2 BN cân tại O2 nên NO2 E 2O2 BN
 · · · · · · 0 · 0
 MO1E NO2 E 2 O1 AM O2 BN O1 AM O2 BN 90 MFN 90 .
 Mặt khác ·AME B·NE 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
  Trang 6  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 E·MF E·NF 90 suy ra MENF là hình chữ nhật M· EF N·ME
 · · · ·
 Mà O1EM O1ME ( O1ME cân tại O1) và NME O1ME 90 ( MN là tiếp tuyến)
 · ·
 MEF O1EM 90 hay EF  AB tại E .
 b) Ta có AB 18 cm, AE 6 cm EB 12 cm, OF 9 cm.
 AFB vuông tại F có đường cao EF nên EF 2 AE.EB 6.12 72 EF 6 2 cm
 MN EF 6 2 cm.
 Gọi K, I lần lượt là giao điểm của EF,OF với MN .
 F
 D
 N
 K I
 M
 C
 A O1 E O O2 B
 Tứ giác MENF là hình chữ nhật nên có N·MF N·EF mà N·EF ·ABF (cùng phụ góc BEM )
 N·MF ·ABF (1) FNM ∽ FAB
 Ta lại có OAF cân tại O suy ra O·AF O·FA 2 
 Và O·AF ·ABF 90 (3)
 Từ 1 , 2 và 3 ta suy ra N·MF O·FA 90 M· IF 90.
 FNM đồng dạng FAB và có FI, FE là hai đường cao tương ứng nên
 FI MN FI 6 2
 FI 4 cm
 EF AB 6 2 18
 OI OF FI 9 4 5 cm.
 OID vuông tại I nên ID2 OD2 OI 2 92 52 56 ID 2 14 cm.
 Vì OF  CD tại I nên CD 2.ID 4 14 cm.
Câu 6: ĐỀ HSG LỚP 9 TỈNH BẾN TRE NĂM 2018 - 2019
 Cho tam giác ABC cân tại A , có góc A nhỏ hơn 900 . Từ B kẻ BM vuông góc với AC tại M 
 2
 AM AB 
 (điểm M thuộc AC ). Chứng minh 1 2 .
 MC BC 
 Lời giải
  Trang 7  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 A
 M
 B C
 ABC cân tại A nên AB AC .
 Ta có
 2 2 2
 AM AB AM MC AC AC AC 2
 1 2. 2. 2 2. 2 BC 2.AC.MC
 MC BC MC BC MC BC
 Như vây, ta chỉ cần chứng minh: BC 2 2AC.MC .
 Thật vậy, ta có
 BC 2 BM 2 MC 2 AB2 AM 2 AC AM 2
 AC 2 AM 2 AC 2 2AC.AM AM 2
 2AC 2 2.AC.AM 2AC.(AC AM ) 2.AC.MC
Câu 7: ĐỀ CHỌN HSG BẮC GIANG LỚP 9 NĂM 2017 - 2018
 Cho đoạn thẳng OA R , vẽ đường tròn O;R . Trên đường tròn O;R lấy H bấy kỳ sao cho
 AH R , qua H vẽ đường thẳng a tiếp xúc với đường tròn O;R . Trên đường thăng a lấy B và C sao 
 cho H nằm giữa B và C và AB AC R . Vẽ HM vuông góc với OB ( M OB) , vẽ HN vuông góc 
 với OC ( N OC)
 a/ Chứng minh OM.OB ON.OC và MN luôn đi qua 1 điểm cố định
 b/ Chứng minh OB.OC 2R 2
 c/ Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OMN khi H thay đổi
 Lời giải
 a
 B
 M
 H
 E A
 O
 N
 C
 a/ Chứng minh OM.OB ON.OC và MN luôn đi qua 1 điểm cố định
 *Ta có OH  HB (t/c tiếp tuyến)
 OHB vuông tại H, mà HM  OB (gt) nên
  Trang 8  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có OM OB OH 2 R2
Chưng minh tương tự ta có ON OC OH 2 R2 .
Vậy ta có OM OB ON OC
* Ta có OM OB OH 2 R2 mà OA R nên
 OM OA
ta cóOM OB OA2 
 OA OB
 OM OA
Xét OMA và OAB có Oµ chung, có OMA : OAB
 OA OB
 O· AM O· BA. Ta có AO=AB=R (gt)
 OAB cân ·AOB O· BA ·AOM O· BA ,
Vậy O· AM ·AOM OMA cân MO MA
Chứng minh tương tự ta có ONA cân NO NA
Ta có MO MA ; NO NA , vậy MN là trung trực của OA , gọi E là giao điểm của MN với OA ta 
 OA
có EO=EA= và MN  OA tại E, mà O, A cố định nên E cố đinh. Vậy MN luôn đi qua 1 điểm cố 
 2
định
b/ Chứng minh OB. OC 2R 2
 OM ON
Ta có OM OB ON OC 
 OC OB
 OM ON
Xét OMN và OCB có Oµ chung, có OMN : OCB ,
 OC OB
mà OE  MN và OH  BC
 OM OE OM OE OE 1 1
nên ta có OM OC (vì OH OA 2OE )
 OC OH OC OA 2OE 2 2
 1
Ta có OM OB OH 2 R2 (cm trên) OC OB R2 OC OB 2R2
 2
c/ Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OMN khi H thay đổi
 2 2 2
 SOMN OE OE OE 1
Ta có OMN : OCB (cm trên) 2 2 2 
 SOCB OH OA 2OE 4
 1 1 1 1 1 1 1
Nên S S  OH  BC R  BC R(AB AC) R(R R) R2
 OMN 4 OCB 4 2 8 8 8 4
Dấu bằng có khi B, A, C thẳng hàng H  A
 1
Vậy diện tích tam giác OMN lớn nhất là S R2 khi H  A
 OMN 4
  Trang 9  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Câu 8: ĐỀ CHỌN HSG TỈNH LỚP 9 THANH HÓA 2015 - 2016
 Cho tứ giác ABCD có AD BC , AB CD . Gọi I,Q, H, P lần lượt là trung điểm của 
 AB, AC,CD, BD .
 a) Chứng minh IPHQ là hình thoi và PQ tạo với AD, BC hai góc bằng nhau.
 b) Về phía ngoài tứ giác ABCD , dựng hai tam giác bằng nhau ADE và BCF . Chứng minh rằng 
 trung điểm các đoạn thẳng AB,CD, EF cùng thuộc một đường thẳng.
 Lời giải
 a) Vì IP//HQ và IP HQ (tính chất đường trung bình của tam giác)
 nên IPHQ là hình bình hành.
 Mặt khác IP IQ (do AD BC ).
 Suy ra IPHQ là hình thoi.
 Gọi P1 và Q1 lần lượt là giao điểm
 của PQ với AD và BC .
 Nhận thấy HPQ cân đỉnh H H· PQ H· QP 1 
 · · · ·
 Mà PH //BC BQ1P HPQ (so le trong) 2 và QH //AD AP1P HQP (so le trong) 3 .
 · ·
 Từ 1 , 2 , 3 suy ra AP1P BQ1P (đpcm).
 b) Gọi K , M , N lần lượt là trung điểm của EF , DF , CE .
 Từ giả thiết ADE BCF và dựa vào
 tính chất đường trung bình của tam giác
 suy ra HMP HNQ (c. c. c)
 M· HP N· HQ M· HQ N· HP
 M· HN và P· HQ có cùng tia phân giác.
 Mặt khác dễ thấy IPHQ và KMHN là các hình thoi.
 Suy ra HK và HI lần lượt là phân giác của
 M· HN và P· HQ .
 Suy ra H , I , K thẳng hàng.
Câu 9: ĐỀ CHỌN HSG TỈNH LỚP 9 THANH HÓA 2015 - 2016
 Tam giác ABC có BC 40 cm, phân giác AD 45 cm, đường cao AH 36 cm. Tính độ dài
 BD , DC .
 Lời giải
 Đặt BD x, DC y . Giả sử x y . Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông AHD ta được 
 HD 27 cm.
 Vẽ tia phân giác của góc ngoài tại A , cắt BC tại E .
 AD2 452
 Ta có AE  AD AD2 DE.DH DE 75 cm.
 DH 27
 Theo tính chất đường phân giác trong và ngoài của tam giác ta có:
 BD EB x 75 x
 1 .
 DC EC y 75 y
 2 x 15
 Mặt khác x y 40 y 40 x , thay vào 1 ta được x 115x 1500 0 .
 x 100
  Trang 10 