Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 8: Số học (Có đáp án)

 Chuyên đề 8: SỐ HỌC
 Câu 1(Đề thi HSG 9 tỉnh huyện Cẩm Thủy 2011-2012)
 Tìm số tự nhiên n để: A n2012 n2002 1 là số nguyên tố.
 Lời giải
 Xét n 0 thì A 1 không phải nguyên tố; n 1 thì A 3nguyên tố.
 Xét n 1 : A n2012 n2 n2002 n n2 n 1 
 670 667
 n2 n3 1 n n3 1 n2 n 1 
 670 670
 Mà n3 1 chia hết cho n3 -1, suy ra n3 1chia hết cho n2 n 1
 667
 Tương tự: n3 1 chia hết cho n2 n 1
 Vậy A chia hết cho n2 n 1 1nên A là hợp số. Số tự nhiên ần tìm n 1 
 Câu 2(Đề thi HSG 9 tỉnh huyện Lâm Thao 2017-2018)
 Tìm tất cả các số nguyên x sao cho giá trị của biểu thức x2 x 6 là một số chính 
 phương
 Lời giải
 x2 x 6 n2;(n,x Z) 4x2 4x 24 4n2 4x2 4x 1 4n2 23
 2x 1 2n 2x 1 2n 23;2x 1 2n 2x 1 2n
 2x 1 2n 1 23 
 2x 1 2n 23 1 
 4x 2 22 22 
 x 5 6 
 Vậy số nguyên x cần tìm là 5 hoặc 6 
 Câu 3(Đề thi HSG 9 tỉnh Phú Thọ 2012-2013)
 Tìm tất cả số nguyên dương n sao cho A n.4n 3n 7
 Lời giải
 Với n chẵn n 2k thì 
 7t 1
A 2k.42k 32k (2k 1).42k (16k 9k )7 2k 17 k n 14t 1 14m 6 m N 
 2
Với n lẻ n 2k 1
A (2k 1).42k 1 32k 1 2k.42k 1 (42k 1 32k 1 )7 2k7 k 7t n 14m 1 m N Vậy n 14m 6 hoặc n 14m 1 ( với mọi n N) thì A chia hết cho 7 
 Câu 4(Đề thi HSG 9 tỉnh Nghệ An 2010-2011)
 3 3 3
 a) Cho các số nguyên a1,a2 ,a3 ,...,an . Đặt S a1 a2 ... an 
 và P a1 a2 ... an .
 Chứng minh rằng: S chia hết cho 6 khi và chỉ khi P chia hết cho 6 .
 b) Cho A n6 n4 2n3 2n2 (với n N,n 1 ). Chứng minh A không phải là số 
 chính phương.
 Lời giải
 3
a) Với a Z thì a a (a 1)a(a 1) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 
 3 . Mà 2,3 1 
 a3 a6
 3 3 3
 S P (a1 a1 ) (a2 a2 ) ... (an an )6
 Vậy S6 P6
 6 4 3 2 2 2 2
 b) n n 2n 2n n (n 1) .(n 2n 2)
 với n N,n 1 thì n2 2n 2 (n 1)2 1 (n 1)2 
 2 2 2
 và n 2n 2 n 2(n 1) n 
 2 2 2 2
 Vậy (n 1) n 2n 2 n n 2n 2 không là số chính 
 phương đpcm
 Câu 5(Đề thi HSG 9 tỉnh Nghệ An 2010-2011)
 a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n2 n 2 không chia hết cho 3 .
 b) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n2 17 là một số chính phương.
 Lời giải
a) *) Nếu n3 n2 n3
 nên n2 n 23 (1)
 *) Nếu n3 n2 23
 n2 n 23 (2) Từ (1) và (2) n Z thì n2 n 23
b) Đặt m2 n2 17 (m N)
 m2 n2 17 (m n)(m n) 17 1.17 17.1
Do m n m n 
 m n 17 m 9
 m n 1 n 8
Vậy với n 8 ta có n2 17 64 17 81 92
 Câu 6(Đề thi HSG 9 TP Đà Nẵng 2010-2011)
 Tìm ba chữ số tận cùng của tích của mười hai số nguyên dương đầu tiên.
 Lời giải
 Đặt: S 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12 
 S
 3.4.6.7.8.9.11.12 (1) là một số nguyên 
 100
 hai chữ số tận cùng của S là 00 
 Mặt khác, trong suốt quá trình nhân liên tiếp các thừa số ở vế phải của (1), nếu chỉ để ý đến 
 S
 chữ số tận cùng, ta thấy có chữ số tận cùng là 6 
 100
 (vì 3.4 12;2.6 12;2.7 14;4.8 32;2.9 18;8.11 88;8.12 96 )
 Vậy ba chữ số tận cùng của S là 600 
 Câu 7(Đề thi HSG 9 huyện Kim Thành 2012-2013)
 Tìm số tự nhiên n sao cho n2 17 là số chính phương?
 Lời giải
 2 2 k n 1
 Giả sử: n 17 k , k N và k n k n k n 17 n 8 
 k n 17
 Vậy với n 8 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
 Câu 8(Đề thi HSG 9 tỉnh Khánh hòa 2017-2018)
 Cho p là một số nguyên tố thỏa mãn p a3 b3 với a, b là hai số nguyên dương phân biệt. 
 Chứng minh rằng : Nếu lấy 4 p chia cho 3 và loại bỏ phần dư thì nhận được số là bình 
 phương của một số nguyên lẻ. Lời giải
Ta có p a3 b3 (a b)(a2 ab b2 ) là số nguyên tố mà a,b là số nguyên dương 
a b 1 
 a b 1 p (b 1)3 b3 3b2 3b 1 4 p 12b2 12b 4 1(mod3)
 2 2
Nếu lấy 4 p chia 3 và loại bỏ phần dư ta được A 4b 4b 1 2b 1 là số chính 
phương lẻ.
Câu 9(Đề thi HSG 9 tỉnh Khánh hòa 2017-2018)
Trên bàn có n (n ¥ , n > 1). viên bi. Có hai người lần lượt lấy bi. Mỗi người đến lượt 
mình được lấy một số bi tùy ý (ít nhất 1 viên bi) trong những viên bi còn lại trên bàn, nhưng 
không vượt quá số viên bi mà người lấy trước vừa lấy, biết rằng người lấy đầu tiên lấy 
không quá n 1 viên bi. Người nào lấy viên bi cuối cùng được xem là người chiến thắng. 
Tìm các số n sao cho người lấy trước có chiến lược chiến thắng.
 Lời giải
+ Ta thấy rằng nếu n lẻ thì người đi trước luôn thắng, bằng cách ở nước đi đầu tiên, người 
đó chỉ lấy một viên bi, do đó ở những nước đi tiếp theo, mỗi người chỉ được lấy một viên bi.
+ Xét trường hợp n chẵn. Rõ ràng người nào lấy một số lẻ viên bi đầu tiên sẽ thua, vì để lại 
cho người đi nước tiếp theo một số lẻ viên bi, trở về trường hợp trên. Do đó, người chiến 
thắng phải luôn lấy một số chẵn viên bi. Như vậy, các viên bi gắn thành từng cặp và mỗi 
người đến lượt sẽ lấy một số cặp nào đó.
 TH1: Nếu chỉ có một cặp n 2 : người đi trước thua vì chỉ được lấy một viên. 
 TH2: Nếu số cặp lẻ và lớn hơn 1 n  2mod 4 : ta sẽ trở về trường hợp n lẻ (vì các viên 
bi đã được gắn thành cặp) và người đi trước sẽ thắng.
TH3: Nếu số cặp chẵn n  0mod 4 : mỗi người muốn thắng thì luôn phải lấy một số chẵn 
cặp (nếu ngược lại thì trở về TH2). Khi đó các viên bi được gắn thành từng nhóm 4 viên. 
Tương tự TH1 và TH2 ta thấy nếu số nhóm là một n 4 ; nếu n 4 và số nhóm lẻ 
 n  4mod 8 thì người đi trước thắng. Nếu số nhóm là chẵn n  0mod8 , ta lại gắn các 
viên bi thành từng nhóm 8 viên, 
+ Như vậy người đi trước có chiến lược thắng khi và chỉ khi n không phải là một lũy thừa 
của 2 n 2k .