Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 9 - Chuyên đề: Bất đẳng thức

 Chuyên đề bất đẳng thức.
 ĐỀ HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 SGD BÌNH DƯƠNG
 NĂM HỌC:2016 - 2017
Câu 4: a) Chứng minh với mọi số a,b,c,d ta luôn có: a2 c2 b2 d 2 ab cd 2
 a2 b2 1
b) Cho a,b 0 chứng minh rằng: 
 4a 3b 3a 4b 25
 Lời giải
a) Ta có:
 a2 c2 b2 d 2 ab cd 2 a2b2 a2d 2 c2b2 c2d 2 a2b2 c2d 2 2abcd
 a2d 2 c2b2 2abcd 0 ad cb 2 0 (luôn đúng).
b) Với a,b 0 . Ta có:
 a2 b2 1
 25a2 25b2 4a 3b 3a 4b 
 4a 3b 3a 4b 25
 13 a2 b2 25ab 13 a b 2 ab 0
 a2 b2 1
Dấu “=” không xảy ra, vậy: 
 4a 3b 3a 4b 25
 ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH ĐẮC LẮC NĂM HỌC 2016-2017
Câu 6: (2,0 điểm)
 Cho hai số thực a, b thay đổi sao cho 1 a 2;1 b 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
 2 4 2 2 4 2 
 A a b 2 b a 2 .
 a b b a 
 Lời giải
 x y 2
 Áp dụng BĐT: .x y 
 4
 2 2 2 4 2 4 
 a b a 2 b 2 
 4 2 4 2 a b a b
 2 2 .
 Ta có: A a b 2 b a 2 
 a b b a 4
 2 4 2 4
 Đặt .a x a2 x2 4;b y b2 y2 4
 a a2 b b
 Lại có: 1 a 2 ;1 b 2 suy ra: 
 2 a2 2 3a 2 2
 a 1 a 2 0 a2 3a 2 a 3 0 x 3 . 
 a a a
 2 b2 2 3b 2 2
 b 1 b 2 0 b2 3b 2 b 3 0 y 3 . 
 b b b
 2
 x y x2 y2 8 3 3 9 9 8 2
 Nên . A 64
 4 4 4 2 4 2
 a b2 b a2 
 2 2
 a b b a
 Đẳng thức xảy ra khi a 1 a 2 0 a b 1 .
 a b 2
 b 1 b 2 0 
 a b 1
 Vậy .Max A 64 
 a b 2
 ĐỀ THI CHỌN HSG HÀ TĨNH NĂM HỌC 2016-2017
 4 x 2y y 2x 
Câu 1: Cho các số x, y 0 thỏa mãn x 1 . Tìm giá trị lớn nhất của P . 
 y x2 y2
 Lời giải
 4 x x 1
 1 x 4 
 y y y 16
 2 2
 x 2y y 2x 2 x y 5xy 5
 P 2 
 2 2 2 2 x y
 x y x y 
 y x
 x y x y 255y 1 255 257
 Mà 2. 
 y x y 256x 256x 16 16 16
 5.16 594
 Suy ra P 2 
 257 257
 594 1
 Vậy giá trị lớn nhất của P khi x ; y 8 . 
 257 2
 ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2016-2017
Câu 5: (2,0 điểm)
 Cho ba số a,b,c 1 thỏa mãn 32abc 18(a b c) 27. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
 a2 1 b2 1 c2 1
 P .
 a b c
 Lời giải
 +) Sử dụng bất đẳng thức : Với x, y, z 0 , ta luôn có: x y z 3(x y z) 
 Từ bất đẳng thức đã cho ta có:
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 P 1 2 1 2 1 2 3 3 2 2 2 9 3 2 2 2 
 a b c a b c a b c 
 2
 1 1 1 
 Suy ra .P 9 
 a b c 
 1 1 1 27
 Từ giả thiết 32abc 18(a b c) 27 18 32 (*) 
 ab bc ca abc
 2 3
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 Ta có: . và . . 
 ab bc ca 3 a b c abc 27 a b c 
 1 1 1
 Đặt t . Từ (*) ta có:
 a b c
 2 3
 t t 3 2 2
 18 27. 32 t 6t 32 0 t 2 t 4 0 t 2 . 
 3 27 2
 1 1 1 2
 Suy ra .P 9 9 2 5
 a b c 
 3
 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .a b c 
 2
 Vậy giá trị lớn nhất của P là 5 .
LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2018-2019
Cau 5: (2,0 điểm)
 a b c
 Cho a,b,c 0 . Chứng minh rằng 2 .
 b c c a a b
 Lời giải
 a 2a
 Áp dụng BĐT Cauchy ta có a b c 2 a b c .
 b c a b c
 b 2b c 2c
 Chứng minh tương tự ta được ; 
 c a a b c a b a b c
 a b c 2 a b c 
 Suy ra 2 .
 b c c a a b a b c
 a b c
 Dấu bằng xảy ra b c a a b c 0 (trái với giả thiết
 c a b
 a b c
 Vậy dấu “ = “ không xảy ra, nên 2 .
 b c c a a b
 1 1 1
Câu 5. Giả sử a,b,c là những số thực thỏa mãn a,b,c 0 và a b c 0. Chứng minh rằng 
 a b c
 a6 b6 c6
 abc.
 a3 b3 c3
 Lời giải
 Do đó *a6 b6 c6 3abc 2 2.3a2b2c2 3a2b2c2 
 a6 b6 c6 3a2b2c2
 Vậy abc. 
 a3 b3 c3 3abc
PHÒNG GD&ĐT XUYÊN MỘC
 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI 
 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 – 2017 MÔN THI TOÁN LỚP 9 
 (Hướng dẫn chấm có trang)
Câu 3: (3,5 điểm) 
 a) Trên mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d có phương trình m 4 x m 3 y 1 (m là tham 
 số). Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d là lớn nhất.
 a b c
 b) Cho các số dương a, b, c . Chứng minh rằng: 1 2 
 a b b c c a Lời giải
a) Xét pt: m 4 x m 3 y 1
Ta thấy: m 4 .0 m 3 .0 0 1 nên d không thể đi qua O 0;0 .
+ Với m 4 ta được y 1 nên khoảng cách từ d đến O 0;0 bằng y 1 .
+ Với m 3 ta được x 1 nên khoảng cách từ d đến O 0;0 bằng x 1 1 .
 1 1 
+ Với m 3; m 4 thì d cắt Ox tại A ,0 và cắt Oy tại B 0, .
 m 4 m 3 
 Kẻ OH vuông góc với d tại H; ta có khoảng cách từ d đến O 0;0 làOH . 
 Dựa vào OAB vuông tại O chỉ ra được
 2
 1 2 2 7 1 1
 2 (m 4) (m 3) 2 m 
 OH 2 2 2
 Suy ra được: OH 2
 7
Suy được khoảng cách từ O đến (d) lớn nhất OH 2 khi m 
 2
b)Vì a, b, c là các số dương (gt) nên ta có:
 a a a c
 (1) 
a b c a b a b c
 b b b a
 (2)
a b c b c b c a
 c c c b
 (3)
a b c c a c a b
 a b c
Cộng từng vế (1), (2) và (3), ta có: 1 2 (đpcm).
 a b b c c a