Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 9 - Chuyên đề: Hình học

 Chuyên đề hình học.
 ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỐN 9 SGD BÌNH DƯƠNG
 NĂM HỌC:2016 - 2017
Câu 2: Tam giác ABC đều nội tiếp đường trịn (O; R) , M (O; R) . Chứng minh rằng: 
MA2 MB2 MC2 6R2 .
 Lời giải
Giả sử: M »AC .
Dễ thấy: MA MC MB (trên MB lấy I sao cho MI MC , ta chứng 
minh: IB MA )
Đặt: MA x ; MB y ; MC y x . 
Ta cĩ: 
AM 2 BM 2 CM 2 x2 y2 x y 2 2 x2 y2 xy (1)
 x 3
Kẻ AH  BM MH AH 2 x2 .
 2 4
 x
Mà BH MB MH y 
 2
 x 3 1
BH MB MH y AB2 AH 2 BH 2 x2 y2 x2 xy x2 y2 xy (2)
 2 4 4
 2
Từ (1),(2) AM 2 BM 2 CM 2 2AB2 2 R 3 6R2 (đpcm) 
Câu 5: (3,0 điểm) Cho tứ giác ABCD . Gọi M , N, P,Q lần lượt là trung điểm của AB, BC,CD, DA . Chứng 
 1
minh rằng: S MP.NQ AB CD AD BC .
 ABCD 4
Giải. 
Cho tứ giác ABCD . Gọi M , N, P,Q lần lượt là trung điểm của AB, BC,CD, DA . Chứng minh rằng: 
 1
S MP.NQ AB CD AD BC 
 ABCD 4
 Lời giải
Ta cĩ: MP.NQ 2SMNPQ SABCD
Gọi R là trung điểm của AC , ta cĩ : 
 1 1
NR AB; QR CD
 2 2
 1
Suy ra: NQ NR QR AB CD 
 2
 1
Tương tự: PM AD BC 
 2
 1
 MP.NQ AB CD AD BC 
 4
 1
 S MP.NQ AB CD AD BC 
 ABCD 4 ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH ĐẮC LẮC NĂM HỌC 2016-2017
Câu 4: Cho đường trịn (O) cĩ tâm O. Dây AB cố định khơng phải đường kính. Gọi I là trung 
điểm của đoạn AB. Trên cung nhỏ AB lấy hai điểm C, E sao cho gĩc CIA và EIB là gĩc nhọn. 
CI cắt đường trịn (O) tại điểm D khác C. EI cắt đường trịn (O) tại điểm F khác E. Các tiếp 
tuyến với đường trịn (O) tại C và D cắt nhau tại M, các tiếp tuyến với đường trịn (O) tại E và F 
cắt nhau tại N. Nối OM cắt CD tại P và ON cắt EF tại Q. Chứng minh rằng:
1) Tứ giác PQNM nội tiếp.
2) MN song song với AB.
 Lời giải
1) Chứng minh: Tứ giác PQNM nội tiếp.
Ta cĩ: OC OD (bán kính), MC MD . F O D
(MC, MD là 2 tiếp tuyến cắt nhau) P
Suy ra: OM là trung trực của CD OM  DP Q
Xét ODM cĩ: A
 I B
 O· DM 900 (MD là tiếp tuyến của (O) tại D), 
 C E
 OM  DP (cmt) 
 2
 OD OP.OM (a) 
 2 M
Chứng minh tương tự cĩ: OF OQ.ON (b). Lại cĩ: N T
 OD OF (bán kính) (c)
Từ (a), (b), (c) suy ra: 
 OP ON
 OP.OM OQ.ON .
 OQ OM
Xét OPQ và ONM cĩ:
 OP ON
 Oµ chung;. (cmt)
 OQ OM
 OPQ ∽ ONM (c.g.c) nên O· PQ O· NM .
Vậy tứ giác PQNM nội tiếp (đpcm).
2) Chứng minh: MN song song với AB.
Tứ giác OPIQ cĩ : O· PI O· QI 900 (theo câu a)
Vậy tứ giác OPIQ nội tiếp Q· OI Q· PI (gĩc nội tiếp cùng chắn cung QI)
Lại cĩ O· NM O· PQ (cmt) Q· OI O· NM Q· PI O· PQ O· PI 900 (doOM  DP) . 
 ONT vuơng tại T (T là giao điểm của OI và MN).
 1
 OI  MN , mặt khác OI  AB (vì IA IB AB (gt) ). Vậy AB // MN (đpcm).
 2
Câu 5: (2,0 điểm)
 AC 1 5
 Cho tam giác ABC cân tại C, cĩ gĩc ở đỉnh là 36 . Chứng minh: .
 AB 2
 Lời giải
 1800 ·ACB 1800 360
 Ta cĩ: C· AB C· BA 720 (Vì tam giác ABC cân tại C).
 2 2
 Kẻ phân giác BD của gĩc ·ABC C· BD ·ABD 360 . Chứng minh được BDC cân tại D, ABD cân tại B. C
 Đặt AC BC x, AB BD CD a x 0,a 0 . 
 Mặt khác BD là phân giác của ABC . 36
 CD AD CD AD AC
 Nên 
 BC AB BC AB BC AB D
 a x
 x2 ax a2 0 (*)
 x x a
 1 5 A
 Giải phương trình (*) ta được x a (vì x 0 ) 
 2 a
 B
 AC 1 5 a 1 5
 nên : a .
 AB 2 2
 ĐỀ THI CHỌN HSG HÀ TĨNH NĂM HỌC 2016-2017
Câu 8: Cho tam giác ABC cĩ M là trung điểm cạnh AC và các đường thẳng AD, BM ,CE đồng quy tại K nằm 
trong tam giác (D BC; E AB ). Biết AKE và BKE cĩ diện tích lần lượt là 10 cm 2 và 20 cm2. Tính diện 
tích tam giác ABC .
 Lời giải
 A
 E 10
 M
 20
 K
 C
 B D
 S AE 10 1
 Ta cĩ AKE và BKE là hai tam giác cĩ chung đường cao nên AKE 
 SBKE BE 20 2
 BE 2AE SCBE 2SCEA 
 M là trung điểm của AC nên SABM SCBM , SAKM SCKM SBCK 30 
 Mà SCBE 2SCEA SBCK SBKE 2 SAKE 2SAKM 50 2 10 2SAKM 2SAKM 15
 SACE 25
 2
 Do đĩ SABC SBCE SACE 50 25 75 cm .
Câu 9: Cho tam giác ABC vuơng tại A. Biết đường cao AH , trung tuyến BM và phân giác trong CD đồng 
 AB
quy. Tính .
 AC
 Lời giải A
 F E
 D
 M
 I
 C
 B H
 Gọi I là giao điềm của đường cao AH , trung tuyến BM và phân giác trong CD .
 Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt BM tại E , cắt CD tại F 
 AE IA
 IBH cĩ AE // BH , nên (hệ quả của định lý Talet)
 BH IH
 FA IA
 IHC cĩ AF // CH , nên (hệ quả của định lý Talet)
 HC IH
 AE FA BH AE
 Suy ra 
 BH HC HC FA
 AD FA
 BDC cĩ BC // FA , nên (hệ quả của định lý Talet)
 BD BC
 CM BC
 BMC cĩ BC // EA , nên (hệ quả của định lý Talet)
 MA AE
 BH AD CM AE FA BC
 Do đĩ . . . . 1 hay BH.AD.CM HC.BD.MA 
 HC BD MA FA BC AE
 BH BD
 Mà MA MC nên suy ra BH.AD HC.BD hay (1)
 HC AD
 BD BC
 mặt khác, CD là phân giác của ABC nên (2)
 AD AC
 AB2 BH.BC BH
 ABC vuơng tại A , AH là đường cao cĩ (3)
 AC 2 HC.BC HC
 AB2 BC
 Từ (1), (2), (3) ta cĩ suy ra AB2 BC.AC
 AC 2 AC
 BC 2 AC 2 BC.AC (vì AB2 AC 2 BC 2 )
 Đặt BC t.AC (với 0 t 1 ) ta cĩ t.AC 2 AC 2 t.AC.AC 
 1 5
 t nhận 
 2 2
 t t 1 0 
 1 5
 t loại 
 2
 1 5
 Suy ra BC AC
 2
 1 5 1 5 AB2 1 5 AB 1 5
 Khi đĩ AB2 BC.AC AC.AC AC 2. .
 2 2 AC 2 2 AC 2
Câu 11: ho tứ giác ABCD nội tiếp được đường trịn và cĩ các cạnh đối khơng song song. Gọi F là giao điểm 
của AB và CD , E là giao điểm của AD và BC ; H,G theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AC và 
 BD . Đường phân giác gĩc BED cắt GH tại điểm I
 a) Chứng minh rằng IH.BD IG.AC . S
 b) Cho độ dài CD 2.AB . Tìm tỉ số diện tích IAB . 
 SICD
 Lời giải
 E
 A
 B
 G H
 I
 O
 D C F
 a) Ta cĩ EBD ∽ EAC (g.g) nên tỉ số giữa các đường trung tuyến tương ứng bằng tỉ số đồng dạng 
 . 
 EG BD DG DE
 EH AC CH EC
 Ta cĩ E· DG E· CH (cùng nhìn cung AB)
 EDG ∽ ECH (c.g.c) 
 D· EG C· EH
 EI là phân giác của G· EH 
 BD EG GI
 Do đĩ IH.BD IG.AC 
 AC EH HI
 b) Ta cĩ FBD ∽ FCA (g.g)
 FGD ∽ FHA (c.g.c)
 G· FD H· FA
 FG GD BD IG
 FH HA AC IH
 FI là phân giác của G· FH 
 FI là phân giác của ·AFD 
 Gọi M , N là chân đường vuơng gĩc hạ từ I lên các đường thẳng AB,CD .
 Khi đĩ IM IN 
 1 1
 IM.AB IM.AB
 S 1
 Ta cĩ IAB 2 2 .
 S 1 1 2
 ICD IN.CD IN.2AB
 2 2
Câu 12: Cho hình trịn C cĩ bán kính bằng 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của số nguyên dương k sao cho với mọi 
cách vẽ k điểm bất kỳ và phân biệt thuộc hình trịn C thì luơn tồn tại hai điểm trong k điểm đĩ thỏa mãn 
khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 1 .
 Lời giải A
 O B
 Xét k 7 , vẽ 7 điểm gồm 1 điểm ở tâm và 6 điểm trên cùng đường trịn tạo thành lục giác đều. 
 Lúc đĩ khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ bằng 1 . Suy ra k 8 
 Với k 8 , luơn tồn tại ít nhất 7 điểm khơng trùng tâm đường trịn. Ta kẻ các bán kính đi qua 7 
 điểm đĩ.
 Khả năng 1 : Nếu cĩ 2 điểm thuộc cùng 1 bán kính thì khoảng cách giữa hai điểm đĩ nhỏ hơn 1 
 (vì khơng cĩ điểm nào trùng tâm)
 Khả năng 2 : Khơng cĩ 2 điểm nào cùng thuộc một bán kính, lúc đĩ cĩ 7 bán kính, suy ra hai bán 
 kính tạo với nhau một gĩc nhỏ hơn 60 .
 Giả sử hai bán kính đĩ chứa A và B. Vì gĩc ·AOB khơng là gĩc lớn nhất của OAB nên 
 AB max OA;OB 1 
 Vậy trường hợp k 8 thỏa mãn
 Suy ra giá trị nhỏ nhất của k là 8 .
 ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2016-2017
Câu 5: (6,0 điểm)
 Cho điểm M thuộc nửa đường trịn (O) đường kính AB M A, M B, MA MB . Tia phân giác 
 của ·AMB cắt AB tại C. Qua C vẽ đường vuơng gĩc với AB cắt đường thẳng AM, BM theo thứ tự ở D, 
 H.
 a) Chứng minh: CA CH .
 b) Gọi E là hình chiếu vuơng gĩc của H trên tiếp tuyến tại A của (O), F là hình chiếu vuơng gĩc của 
 D trên tiếp tuyến tại B của (O). Chứng minh E, M, F thẳng hàng.
 2
 c) Gọi S1, S2 thứ tự là diện tích tứ giác ACHE và BCDF . Chứng minh CM S1.S2
Giải:
 AC AM
 a) Do MC là phân giác của AMB , theo tính chất đường phân giác (1) 
 BC BM
 Xét BHC và BAM cĩ: B· CH B· MA 900 , ·ABM là gĩc chung.
 HC AM
 BHC đồng dạng với BAM (2) 
 BC BM
 Từ (1) và (2) AC HC .
 b) Tứ giác ACHE là hình vuơng suy raAH EC .
 Gọi AH cắt EC tại I. AH EC
 Xét AMH vuơng tại M. MI MI E· MC 900
 2 2
 Chứng minh tương tự ta cĩ .C · MF 900
 Vậy E· MF 900 900 1800 suy ra E, M, F thẳng hàng.
 CE
 c) Do tứ giác ACHE là hình vuơng CH 
 2
 CE 2
 S CH 2 2S CE 2 
 1 2 1
 2
 Tương tự 2S2 CF 
 Xét FCE vuơng tại C, đường cao CM, theo hệ thức lượng trong tam giác vuơng ta cĩ: 
 1 1 1
 CE 2 CF 2 CM 2
 2 2
 2 CE .CF 2S1S2 2S1S2
 CM 2 2 S1.S2 
 CE CF S1 S2 2 S1S2
 Dấu “=” xảy ra S1 S2 AM BM (vơ lý vìAM BM ).
 2
 Vậy CM S1.S2 .
 LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH LONG AN NĂM HỌC 2018-2019
Câu 1: (3,0 điểm)
 1. Cho đường trịn tâm O và đường thẳng d cắt đường trịn tâm O tại hai điểm B,C ( d khơng 
 đi qua O ). Trên tia đối của tia BC lấy điểm A (A nằm ngồi đường trịn tâm O ). Kẻ AM và AN
 là các tiếp tuyến với đường trịn tâm O tại M và N . Gọi I là trung điểm của BC , AO cắt MN tại 
 H và cắt đường trịn tại các điểm P và Q (P nằm giữa A và O ), BC cắt MN tại K . 
 a, Chứng minh 4 điểm O, M , N, I cùng nằm trên một đường trịn và AK.AI AM 2 .
 b, Gọi D là trung điểm HQ , từ H kẻ đường thẳng vuơng gĩc với MD cắt đường thẳng MP tại E . 
 Chứng minh P là trung điểm ME .
 2. Cho hình vuơng cĩ độ dài cạnh bằng 1m, trong hình vuơng đĩ đặt 55 đường trịn, mỗi đường trịn 
 1
 cĩ đường kính m. Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng giao với ít nhất bảy đường trịn.
 9
 Lời giải M
 Q
 P
 H O D
 A B
 K
 I d
 C
 N
 E
a, * Ta cĩ I là trung điểm BC (dây BC khơng đi qua O ) nên OI  BC O· IA 90o .
Suy ra I thuộc đường trịn đường kính AO (1).
Ta cĩ ·AMO 90o (doAM là tiếp tuyến của O ) nên M thuộc đường trịn đường kính AO (2).
Ta cĩ ·ANO 90o (do AN là tiếp tuyến của O ) nên N thuộc đường trịn đường kính AO (3).
Từ (1), (2), (3) suy ra 5 điểm A, M , N,O, I cùng thuộc đường trịn đường kính AO .
Suy ra 4 điểm O, M , N, I cùng thuộc đường trịn đường AO .
* Ta cĩ AM , AN là hai tiếp tuyến của O cắt nhau tại A nên OA là tia phân giác của gĩc M· ON . 
Mà OMN cân tại O nên OA  MN .
Ta cĩ AMO vuơng tại M cĩ đường cao MH nên suy ra AH.AO AM 2 .
Ta cĩ AHK đồng dạng với AIO (vì ·AHK ·AIO 90o và O· AI chung) nên AK.AI AH.AO .
Vậy AK.AI AM 2 . (đpcm)
b, Ta cĩ M thuộc đường trịn O nên P· MQ 90o .
Xét MHE và QDM cĩ M· EH D· MQ (cùng phụ với D· MP ), E· MH M· QD (cùng phụ với 
 M· PO ).
 ME MH
Suy ra MHE : QDM . Do đĩ ta được .
 MQ DQ
 MP MH MH MP 1 ME
Tương tự ta cĩ PMH : MQH .
 MQ HQ 2DQ MQ 2 MQ
Suy ra ME 2MP . Vậy P là trung điểm ME . (đpcm).
* Kẻ 9 đường thẳng song song cách đều chia hình vuơng thành 10 hình chữ nhật cĩ chiều rộng là 
 0,1m. Vì đường kính của mỗi đường trịn lớn hơn 0,1 m nên mỗi đường trịn bị ít nhất một trong 9 đường 
 thẳng vừa kẻ cắt.
 Nếu mỗi đường thẳng chỉ cắt khơng quá 6 đường trịn thì số đường trịn khơng quá 9.6 54 .
 Vì cĩ 55 đường trịn nên ít nhất phải cĩ 1 đường thẳng cắt 7 đường trịn. 
LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2018-2019
Câu 4: (7,0 điểm)
 Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB . Gọi C là một điểm nằm trên nửa đường trịn (O) (C 
 khác A , C khác B ). Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của C trên AB , D là điểm đối xứng với A 
 qua C , I là trung điểm của CH , J là trung điểm của DH .
 a) Chứng minh C· IJ = C·BH .
 b) Chứng minh DCJH đồng dạng với DHIB .
 c) Gọi E là giao điểm của HD và BI . Chứng minh HE.HD HC 2 .
 d) Xác định vị trí của điểm C trên nửa đường trịn O để AH CH đạt giá trị lớn nhất.
 Lời giải
 D
 a)+ Vì ABC nội tiếp đường trịn đường kính AB nên 
 AC  BC
 Suy ra BC  CD (1)
 + Lập luận để chỉ ra IJ PCD (2)
 C
 + Từ (1) và (2) suy ra IJ ^ BC J
 + Suy ra C· IJ = C·BH (cùng phụ với H· CB ) (3) 
 CH E
 b)+) Trong vuơng CBH ta cĩ: tan C·BH = I (4)
 BH
 + Lập luận chứng minh được CJ P AB 
 B
 + Mà CH  AB (gt) A H O
 + Suy ra CJ  CH 
 CJ CJ
 +) Trong tam giác vuơng CIJ ta cĩ tan C· IJ = = (CI = HI) (5)
 CI HI
 CH CJ
 + Từ (3), (4), (5) 
 HB HI
 CH CJ
 + Xét CJH và HIB cĩ H· CJ B· HI 900 và (cmt)
 HB HI
 + Nên CJH đồng dạng với HIB
 c)+ Lập luận để chứng minh được H· EI 900
 + Chứng minh được HEI đồng dạng với HCJ
 HE HI
 + Suy ra 
 HC HJ
 + Suy ra HE.HJ HI.HC 
 1 1
 + Mà HJ HD; HI HC
 2 2
 + Suy ra HE.HD HC 2 d) 
 C
 M
 450
 A H O K B N
 + Lấy điểm M trên nửa đường trịn O sao cho B·OM = 450
 + Tiếp tuyến của nửa đường trịn O tại M cắt AB tại N . Ta cĩ M và N cố định
 + Kẻ MK  AB tại K .
 + Chứng minh được DMON vuơng cân tại M và KM KN suy ra ·ANC 45 .
 Xét C  M
 Ta cĩ C  M nên H  K 
 Do đĩ AH CH AH HN AN AH CH AK KM AK KN AN (khơng đổi)
 + Xét C khácM .
 Tia NC nằm giữa hai tia NA và NM
 Do đĩ ·ANC < ·ANM = 450
 + DHNC cĩ N·HC = 900
 nên H·NC + H·CN = 900
 Mà H·NC 450
 Suy ra H·NC < H·CN
 Suy ra HC HN 
 + Do đĩ AH CH AH HN AN
 + Vậy Khi C ở trên nửa đường trịn O sao cho B·OC = 450 thì AH CH
 đạt giá trị lớn nhất.
 ĐÁP ÁN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9 VINH NĂM 2016-2017
Câu 4. Cho đường trịn O; R và một đường thẳng d khơng cĩ điểm chung với đường trịn. Trên d lấy một 
điểm M bất kỳ, qua M kẻ các tiếp tuyến MA, MB với đườn trịn (A, B là các tiếp điểm ). Kẻ đường kính 
 AOC, tiếp tuyến của O tại C cắt AB tại E. 
 a) Chứng minh tam giác BCM đồng dạng với tam giác BEO;