Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 9 - Chuyên đề: Số học

 Chuyên đề số học.
 ĐỀ HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 SGD BÌNH DƯƠNG
 NĂM HỌC 2016 - 2017
Câu 1. (5,0 điểm)
a) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình x y 2017 .
b) Xác định số điện thoại của THCS X thành phố Thủ Dầu Một, biết số đó dạng 82xxyy với xxyy là số chính 
phương.
 Lời giải
a) Phương trình: x y 2017 (x, y 0) x 20172 y 4034 y
Do x, y Z y Z
 y a2
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là: 
 2
 x (2017 a)
b) Ta có: xxyy 11.x0y là số chính phương nên :
 x y 11 x y 11
 x0y  11 100x y  11 99x x y  11 x y  11 
 x y 0 x y 0
➢ Với x y 0 ta tìm được số : xxyy 0000
➢ Với x y 11 ta có: xxyy 11.x0y 11. 99x x y 11. 99x 11 112. 9x 1 
 9x 1 là số chính phương.
 x 7 y 4
Vậy: xxyy 7744; xxyy 0000
 ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH ĐẮC LẮC NĂM HỌC 2016-2017
Câu 3: (4,0 điểm)
 1) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 1 2x y2 .
 2 4 2
 2) Với mỗi số tự nhiên n, ta đặt M (n) 2n 24n 1 n . Chứng minh rằng 2M (n) 8 luôn chia hết cho 
 31.
 Lời giải
 y 1 2m (1)
 x 2 x n
 1) . 1 2 y y 1 y 1 2 y 1 2 (2)
 m n x
 Từ (1) và (2) 2m 2n 2 22 2 m 2,n 1 x 3; y 3 .
 2 2 n2 4t t
 2)  Nếu n chẵn . n 4 n 4t (t ¥ ) 2 2 16 5k1 1(k1 ¥ )
 4 2 4n4 1 n2 4 p 1 p
 Và 4n 1 n 4 p 1( p ¥ ) 2 2 2.16 5k2 2(k2 ¥ ) . 
 Nên M (n) 5k 3(k ¥ ) 2M (n) 8 25k 3 8 8 32k 1 31 (1) 
 2 n2 4t 1 t
  Nếu n lẻ n 4t 1 t ¥ 2 2 2.16 5k1 2 k ¥ 
 4 2 4n4 1 n2 4 p p
 Và 4n 1 n 4 p ( p ¥ ) 2 2 16 5k2 1(k ¥ ) Nên M (n) 5k 3(k ¥ ) 2M (n) 8 25k 3 8 8 32k 1 31 (2) 
 Từ (1) và (2) suy ra 2M (n) 8 luôn chia hết cho 31.
 ĐỀ THI CHỌN HSG HÀ TĨNH NĂM HỌC 2016-2017
 ab
Câu 11: Tìm số tự nhiên có hai chữ số ab thỏa mãn a b .
 a b
 Lời giải
 ab 3 3 2
 Ta có với a,b ¥ * thì a b a b ab a b ab nên a b là số chính 
 a b 
 phương.
 Vì 1 a b 18 nên a b 1;4;9;16 
 Với a b 1 ta có ab 1 (loại)
 Với a b 4 ta có ab 8 (loại)
 Với a b 9 ta có ab 27 
 Với a b 16 ta có ab 64 (loại)
 Vậy số tự nhiên cần tìm là 27 
 LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2018-2019
Câu 3: (3,0 điểm)
 1) Chứng minh rằng với k là số nguyên thì 2016k 3 không phải là lập phương của một số nguyên.
 2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 25 y(y 6) .
 Lời giải
 1) Chứng minh rằng với k là số nguyên thì 2016k 3 không phải là lập phương của một số 
 nguyên.
 Giả sử 2016k 3 a3 với k và a là số nguyên. 
 Suy ra: 2016k a3 3 .
 Ta chứng minh a3 – 3 không chia hết cho 7.
 Thật vậy: Ta biểu diễn a 7m r , với r 0;1; 1;2; 2;3; 3 .
 Trong tất cả các trường hợp trên ta đều có a3 – 3 không chia hết cho 7
 Mà 2016k luôn chia hết cho 7, nên a3 – 3 2016k . Ta suy ra điều phải chứng minh.
 2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 25 y(y 6) .
 Từ x2 25 y(y 6) y 3 x y 3 x 16
 Để ý trong phương trình chỉ chứa ẩn số x với số mũ bằng 2 , do đó ta có thể hạn chế giải với x là số 
 tự nhiên.
 Khi đó: y 3 x y 3 x . Ta có y 3 x y 3 x 2 y 3 là số chẵn 
 Suy ra 2 số y 3 x và y 3 x cùng tính chẵn lẻ . Ta lại có tích của chúng là số chẵn , vậy 2 
 số y 3 x và y 3 x là 2 số chẵn.
 Ta chỉ có cách phân tích - 16 ra tích của 2 số chẵn sau đây:
 16 8. 2 4. 4 2. 8 trong đó thừa số đầu bằng giá trị y 3 x .
 Khi y 3 x = 8 , y 3 x = -2 ta có x 5, y 0 .
 Khi y 3 x = 4 , y 3 x = -4 ta có x 4, y 3. 
 Khi y 3 x = 2 , y 3 x = -8 ta có x 5, y 6. 
 Vậy phương trình đã cho có nghiệm:
 x, y x; y 5,0 ; 5, 6 ; 4, 3  .
 ĐÁP ÁN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9 VINH NĂM 2016-2017
Câu 3. 
 a) Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên n thỏa mãn 20142014 1 chia hết cho n3 2012n.
 b) Cho x, y là các số nguyên thỏa mãn 2x2 x 3y2 y. Chứng minh x – y;2x 2y 1;3x 3y 1 đều 
 là các số chính phương.
 Lời giải
 a) Giả sử tồn tại số nguyên n thỏa mãn 20142014 1 chia hết cho n3 2012n. 
 Ta có n3 2012n n3 n 2013n n(n 1)(n 1) 2013n 
 Vì n –1,n,n 1 là ba số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 3
 Suy ra n n 1 n 1 3 mà 20133 nên n3 2012n 3(1) 
 Mặt khác 20142014 1 2013 1 2014 1 chia cho 3 dư 2 vì 20133 (2)
 Từ (1) và (2) dẫn đến điều giả sử trên là vô lý, tức là không có số nguyên nào thỏa mãn điều kiện bài 
 toán đã cho
 b) Từ: 2x2 x 3y2 y (1) 2x2 2y2 x y y2 (x y)(2x 2y 1) y2 (2) 
 Mặt khác từ (1) ta có: 3x2 3y2 x y x2 (x y)(3x 3y 1) x2 
 (x y)2 (2x 2y 1)(3x 3y 1) x2 y2 
 (2x 2y 1)(3x 3y 1) là số chính phương (3)
 Gọi 2x 2y 1;3x 3y 1 d 
 (2x 2y 1)d; (3x 3y 1)d 3x 3y 1 2x 2y 1 x y d 
 2(x y)d (2x 2y 1) 2(x y) 1d nên d = 1
 2x 2y 1;3x 3y 1 1 (4) 
 Từ (3) và (4) 2x 2y 1 và 3x 3y 1 đều là số chính phương
 Lại có từ (2) suy ra x y 2x 2y 1 là số chính phương nên x – y cũng là số chính phương. 
 Vậy 2y2 x 3y2 y thì x y;2x 2y 1 và 3x 3y 1 đều là các số chính phương.
PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
 HUYỆN XUYÊN MỘC
 NĂM HỌC 2016 - 2017
Câu 1: (3,0 điểm) a) Chứng minh rằng các số A 62015 1 và B 62016 1đều là bội của 7.
 102016 1 102016 1
b) So sánh A và B 
 102017 11 102017 9
 Lời giải
 1013
a) Ta có: A 62015 16 1 77 và B 62016 1 62 162 1 357 .
 10.(102016 1) 102017 11 1 1
b) Ta có: 10.A 1 (*)
 102017 11 102017 11 102017 11
 10.(102016 1) 102017 9 1 1
 10.B 1 (**)
 102017 9 102017 9 102017 9
 1 1
Ta thấy nên từ (*) và (**) 10A > 10B A > B
 102017 11 102017 9