Chuyên đề bồi dưỡng Toán Lớp 9 - Chuyên đề 7: Bất đẳng thức

 Chuyên đề 7: BẤT ĐẲNG THỨC
 Phần 1: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (CÔ SI)
Cho các số thực không âm a,b,c khi đó ta có:
 1. a b 2 ab . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b .
 2. a b c 33 abc . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c .
Các bất đẳng thức 1, 2 gọi là bất đẳng thức Cauchy cho 2 và 3 số thực 
không âm. (Còn gọi là bất đẳng thức Cô si hay bất đẳng thức AM- 
GM)
Để vận dụng tốt bất đẳng thức Cauchy . Ta cần nắm chắc những kết 
quả sau:
 2
 1 1 4 2 2 x2 y2 x y 
1) ; 
 a b a b a2 b2 a b a b
 1 1 1 9 3 3
2) 
 a b c a b c a2 b2 c2
 3 1 3
3) a2 ab b2 (a b)2 (a b)2 (a b)2
 4 4 4
 1 3 1
4) a2 ab b2 (a b)2 (a b)2 (a b)2
 4 4 4
 a b c 2
5) ab bc ca a2 b2 c2
 3
 2
 x2 y2 z2 x y z 
6) 
 a b c a b c
 a b 3
7) a3 b3 
 4
 2
 2 4 4
 2 a b (a b) (a b)
8) 2(a4 b4 ) a2 b2 a4 b4 
 2 4 8
 1
9) Với a,b 0 thì am n bm n (am bm ) (*)
 2
 Thật vậy BĐT cần chứng minh tương đương với 
 n n m m n n
 (a b )(a b )(a b ) 0 điều này là hiển nhiên đúng. 
 n
 an bn a b 
 (**) Tổng quát ta có 
 2 2 
 311 Thật vậy áp dụng (*) ta có 
 n
 an bn a b an 1 bn 1 a b 
 ...... 
 2 2 2 2 
 1
10) Với a,b,c 0 thì am n bm n cm n (am bm cm )(an bn cn ) (*)
 3
 Thật vậy ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: 
 (am bm )(an bn ) (bm cm )(bn cn ) (cm am )(cn an ) 0 mà điều 
 này là hiển nhiên đúng.
 n
 an bn cn a b c 
 Tổng quát ta có: . Thật vậy áp dụng (*) ta 
 3 3 
 có: 
 2
 an bn cn a b c an 1 bn 1 cn 1 a b c an 2 bn 2 cn 2 
 .
 3 3 3 3 3 
 Áp dụng bất đẳng thức này ta có:
 n
 n an n bn n bn n a n b n c n a n b n c a b c
 n
 3 3 3 3
 n
 1 1 1 1 1 1 
 an bn cn a b c 
 Tương tự ta có: 
 3 3 
 n
 1 1 1 9 1 1 1 3 
 Do suy ra n n n 3 .
 a b c a b c a b c a b c 
 1 1 2
11) với mọi a,b 1 
 a 1 b 1 1 ab
 1 1 2
 Tổng quát: với a,b 1 ta có n n n
 (1 a) (1 b) 1 ab 
 1 1 2
12) Với 0 a,b 1 thì 
 a 1 b 1 1 ab
 1 1 2
 Tổng quát: Với a,b 0;1 ta có: 
   n n
 1 a 1 b n 1 ab
13) Một số kết quả được suy ra từ bất đẳng thức Cô si.
2 + a3 b3 x3 y3 m3 n3 axm byn 3 (*)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có: 
 a3 x3 m3 3axm
 3 3 3 3 3 3 
 a b x y m n 3 a3 b3 x3 y3 m3 n3 
 b3 y3 n3 3byn
 3 3 3 3 3 3 
 a b x y m n 3 a3 b3 x3 y3 m3 n3 
Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều ta suy ra: 
 3axm 3byn
3 
 3 a3 b3 x3 y3 m3 n3 
 a3 b3 x3 y3 m3 n3 axm byn 3 . 
+ Hoàn toàn tương tự ta cũng chứng minh được: 
 a3 b3 c3 x3 y3 z3 m3 n3 p3 axm byn czp 3 .
Bài tập 1: Cho các số thực không âm a,b,c . Chứng minh rằng:
 a) a3 b3 ab a b .
 1 1 1 1
 b) . Với (a,b,c 0)
 a3 b3 abc b3 c3 abc c3 a3 abc abc
 c) a b b c c a 8abc .
 8
 d) a b b c c a a b c ab bc ca .
 9
 3
 e) Cho a b b c c a 1. Chứng minh: ab bc ca 
 4
Lời giải: 
 a) Ta có : a3 b3 a b a2 ab b2 . Suy ra 
a3 b3 ab a b a b a2 2ab b2 a b a b 2 0 suy ra 
đpcm.
 313 b) Áp dụng bất đẳng thức ở câu a ta có: 
a3 b3 abc ab a b abc ab a b c . Suy ra 
 1 1
 . Tương tự ta có: 
a3 b3 abc ab a b c 
 1 1 1 1
 ; . Cộng ba bất 
b3 c3 abc bc a b c c3 a3 abc ca a b c 
đẳng thức cùng chiều ra suy ra: 
 1 1 1 1
 . Dấu bằng xảy ra khi 
a3 b3 abc b3 c3 abc c3 a3 abc abc
và chỉ khi a b c .
 c) a b b c c a 8abc .
Cách 1: Ta có: 
a b 2 ab,b c 2 bc,c a 2 ca a b b c c a 8abc .
Cách 2: a b b c c a a b c ab bc ca abc . Theo bất 
đẳng thức Cauchy ta có: 
a b c 33 abc,ab bc ca 33 a2b2c2 
 a b c ab bc ca 9abc . Suy ra 
 a b b c c a a b c ab bc ca abc 8abc .
Chú ý: a b b c c a a b c ab bc ca abc là một biến 
đổi được sử dụng rất nhiều trong chứng minh bất đẳng thức:
 8
 d) a b b c c a a b c ab bc ca .
 9
Chú ý rằng: a b b c c a a b c ab bc ca abc . Áp 
dụng câu c ta có đpcm.
 e) Ta chú ý: a b b c c a a b c ab bc ca abc . 
 1 abc
 Suy ra ab bc ca .
 a b c
2 Theo bất đẳng thức Cô si ta có: 
 3
 a b b c c a 33 a b b c c a 3 a b c .Mặt 
 2
 1
 khác sử dụng: a b b c c a 8abc abc . Từ đó suy ra: 
 8
 1
 1 
 1 abc 3
 ab bc ca 8 . Dấu ‘’=’’ xảy ra khi và chỉ khi 
 a b c 3 4
 2
 1
 a b c .
 2
Bài tập 2: 
 a) Cho các số thực dương a,b,c sao cho a b c ab bc ca 6. 
 Chứng minh rằng: a2 b2 c2 6 . 
 1 1
 b) Cho các số thực dương a,b sao cho : 2 . Chứng minh:
 a b 
 1 1 1
 Q 
 a4 b2 2ab2 b4 a2 2a2b 2
 c) Cho các số thực dương a,b sao cho a b 2 . Chứng minh: 
 2 2 a b 1 1 
 2 a b 6 9 2 2 10 .
 b a a b 
 d) Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a b c 2 . Tìm giá trị 
 nhỏ nhất của P 2a bc 2b ac 2c ab . 
 e) Cho các số thực không âm a,b sao cho a2 b2 4 . Tìm GTLN 
 ab
 của P ..
 a b 2
Lời giải:
 a) Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a b c 1. Ta có cách giải như 
 sau:
Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: 
a2 b2 2ab,b2 c2 2bc,c2 a2 2ac,a2 1 2a,b2 1 2b,c2 1 2c . 
 315 Cộng 6 bất đẳng thúc cùng chiều ta suy ra 
3 a2 b2 c2 3 2 ab bc ca a b c 12 a2 b2 c2 3. Dấu 
bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c 1.
 b) Dự đoán khi a b 1 thì bất đẳng thức xảy ra dấu bằng. Từ đó 
 ta có cách áp dụng BĐT Cô si như sau:
Ta có: a4 b2 2a2b,b4 a2 2ab2 . Từ đó suy ra 
 1 1 1 1 1
Q . Từ 
 2a2b 2ab2 2b2a 2a2b 2ab a b 2ab a b ab a b 
 1 1 a b 2
giả thiết 2 2 a b 2ab suy ra Q . Do 
 a b ab a b 2
 1 1 4 1 1 1
2 . Suy ra Q . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ 
 a b a b a b 2 2
khi a b 1.
 c) Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành: 
 2 2
 2 a b 2ab a b 2ab
2 a b 2ab 6 9 10 . Hay 
 ab a2b2
 4 2ab 4 2ab
8 4ab 6 9 10 0 2a2b2 4a3b3 24ab 12a2b2 36 18ab 0
 ab a2b2
 2a2b2 4a3b3 24ab 12a2b2 36 18ab 0 4t3 10t 2 42t 36 0
 a b 2
 (*) với 0 t ab 1. Ta có (*) tương đương với: 
 4
2t3 5t 2 21t 18 0 t 1 2t 2 3t 18 0 . Do 2t 2 3t 18 0 và 
t 1 0 nên t 1 2t 2 3t 18 0 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
t 1 a b 1.
 d) 2a bc a a b c bc . Áp dụng bất đẳng thức Cô si 
 a b a c
 a b a c , tương tự ta có: 
 2
2 b a b c
 2b ac b a b c ac b a b c , 
 2
 c a c b
 2c ab . Từ đó suy ra 
 2
 2a b c 2b c a 2c a b
P 2a bc 2b ac 2c ab 2(a b c) 4
 2 2 2
 2
.Dấu bằng xảy ra khi a b c .
 3
 ab
Ta viết lại P . Đặt a b 2 t t 2 
 a b 2
 a2 b2 2ab t 2 2 2ab t 2 2t 2 a b 2 t 2 2 .Ta có : 
2 a2 b2 a b 2 a b 2 8 a b 2 2 2 t 2 2 2 . Ta 
 ab t 2 2t 2
sẽ chứng minh: P .Dự đoán dấu bằng xảy ra khi 
 a b 2 t
a b 2 t 2 2 2 nên ta chứng minh: 
 1 t 2 2t 2 1
P 2 1 t 2 2 2 3 t 2 2 2 0 . 
 2 1 t 2 1
Hay t 2 2 1 t 2 0 t 2 2 2 t 2 1 0 . Bất đẳng thức 
này luôn đúng do 2 t 2 2 2 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
t 2 2 2 a b 2 .
 MỘT SỐ KỸ THUẬT VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI.
 Dạng 1: Dự đoán dấu bằng để phân tích số hạng và vận dụng bất 
 đẳng thức Cô si.
Đối với các bài toán bất đẳng thức đối xứng thông thường dấu bằng 
xảy ra khi các biến bằng nhau đây là cơ sở để ta phân tích các số hạng 
sao cho khi áp dụng bất đẳng thức Cô si thì dấu bằng phải đảm bảo.
Ta xét các ví dụ sau:
 317 Bài tập 1: Cho x, y là các số dương thỏa mãn x y 2 . Chứng minh 
x2 y2 x2 y2 2
Lời giải:
Ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi x y 1. Khi đó xy 1, x2 y2 2
Mặt khác để tận dụng giả thiết x y 2 ta sẽ đưa về hằng đẳng thức 
 x y 2 . Vì vậy ta phân tích bài toán như sau:
 1
x2 y2 x2 y2 .xy.2xy x2 y2 . Theo bất đẳng thức Cauchy thì 
 2
 2 2 2 2 4
 x y 2 2 2xy x y x y 
xy 1, 2xy x y 4 . Từ đó 
 4 2 4
suy ra x2 y2 x2 y2 2 . Dấu bằng xảy ra khi x y 1.
Ngoài cách làm trên ta có thể giải bài toán bằng cách đưa về một biến: 
t x y hoặc t xy với chú ý: x y 2 4xy , 2 x2 y2 x y 2 . 
Thật vậy: Đặt t xy; x y 2 x2 y2 2xy . 
 x y 2
 4 x2 y2 2t x2 y2 4 2t . Do xy 1 0 t 1. Ta 
 4
cần chứng minh: t 2 4 2t 2 t3 2t 2 1 0 t 1 t 2 t 1 0 . 
Bất đẳng thức này luôn đúng với mọi giá trị 0 t 1.
Bài tập 2:
 a) Cho a,b là các số không âm thỏa mãn a2 b2 2 . Chứng minh 
 rằng:
a 3a a 2b b 3b b 2a 6 . 
 b) Với ba số dương x, y, z thỏa mãn x y z 1, tìm giá trị lớn 
 x y z
 nhất của biểu thức:Q . 
 x x yz y y zx z z xy
2 Lời giải:
 a) Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a b 1. Khi đó 
3a a 2b,3b b 2a nên ta có thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy trực 
tiếp cho biểu thức trong dấu căn.
 x y
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy dạng xy , dễ thấy 
 2
 3a a 2b
a 3a a 2b a 2a2 ab ,
 2
 3b b 2a
b 3b b 2a b 2b2 ab .
 2
Cộng hai bất đẳng thức này lại vế theo vế, ta được:
M a 3a a 2b b 3b b 2a 2 a2 b2 2ab 4 2ab . Tiếp tục 
sử dụng bất đẳng thức Cauchy kết hợp với giả thiết, ta có: 
4 2ab 4 a2 b2 6 . Từ đó ta có ngay M 6 . Dấu bằng xảy ra 
 a b 1.
 x x x yz x x x x y z yz x 
 b) Ta có: . 
 x x yz x yz x2 x x y z yz x2
 a b
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy co hai số thực dương ab ta 
 2
có:
 x y x z 
 x x 
x x y x z x 2 xy xz
 . Chứng 
 xy yz xz xy yz xz 2 xy yz xz 
minh tương tự rồi cộng vế, ta suy ra Q 1.Đẳng thức xảy ra khi 
 1 1
x y z . Vậy Q lớn nhất bằng 1 khi x y z 
 3 3
Bài tập 3: Cho c 0 và a,b c . Chứng minh rằng 
 c a c c b c ab .
 319 Lời giải:Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a b . Bất đẳng thức cần chứng 
minh có thể viết thành:
 c a c c b c
P . . 1. Sử dung bất đẳng thức Cauchy dạng: 
 b a a b
 c a c c b c c c c c
 1 1 
 x y
 xy , ta có: P b a a b b a a b 1. 
 2 2 2 2
Bài toán được giải quyết hoàn toàn. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
 c a c
 b a 1 1 1
 . Ngoài ra ta cũng có thể chứng minh bài toán 
 c b c a b c
 a b
bằng biến đổi tương đương.
Bài tập 4: Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng: 
 x2 y2 z2
 1.
x2 2yz y2 2zx z2 2xy
Lời giải:
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy dạng: 2ab a2 b2 , dễ thấy:
 x2 y2 z2 x2 y2 z2
P 1
 x2 2yz y2 2zx z2 2xy x2 y2 z2 y2 z2 x2 z2 x2 y2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y z .
Bài tập 5: Cho x, y 0 và x y 1. Chứng minh rằng 
 1
8 x4 y4 5 .
 xy
Giải:
2