Chuyên đề học sinh giỏi môn Toán 9 - Chuyên đề 1: Căn bậc hai và bài toán liên quan (Có đáp án)

 CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Chuyờn đề 1: CĂN BẬC HAI VÀ BÀI TOÁN LIấN QUAN
Cõu 1. (Đề thi HSG 9 huyện Kim Thành 2019-2020) 
 x2 x 2x x 2 x 1 
 1) Rỳt gọn biểu thức: P x 0; x 1 
 x x 1 x x 1
 2) Cho x và y là hai số thỏa món: x x2 5 y y2 5 5 . Hóy tớnh giỏ trị của 
 biểu thức M x2017 y2017
 Lời giải
 x x 1 x x 1 x 2 x 1 2 x 1 x 1 
 1) P 
 x x 1 x x 1
 x x 1 2 x 1 2 x 1 
 x x 2 x 1 2 x 2
 x x 1
 2) Nhõn 2 vế của x x2 5 y y2 5 5 1 với x x2 5 ta được:
 x x2 5 x x2 5 y y2 5 5 x x2 5 
 2 2 2 2
 x x 5 y y 5 5 x x 5 
 5 y y2 5 5 x x2 5 
 y y2 5 x x2 5 2 
 Tương tự nhõn 2 vế của (1) với y y2 5 ta được: 
 x x2 5 y y2 5 3 
 Cộng vế với vế của (2) và (3) ta được:
y y2 5 x x2 5 x x2 5 y y2 5
 2x 2y 0 2 x y 0 x y 0 x y
 Vậy M x2017 y2017 0
Cõu 2. (Đề thi HSG 9 trường THCS Lương Thế Vinh 2019-2020) 
  Trang 1  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 x 9 x 2 x 1 1 
Cho biểu thức A : với x 0; x 1 
 x 2 x 3 x x 2 x 1 x 1 
 125 125 
Tớnh giỏ trị biểu thức khi x 4 3 3 9 3 3 9 
 27 27 
 Lời giải
Ta cú: 
 x 9 x 2 x 1 1 
A : 
 x 2 x 3 x x 2 x 1 x 1 
 x 3 x 3 x x 2 2 x
 = : 
 x 1 x 3 x 1 x 2 x 1 x 1 
 x 3 x x 1 x 1 3 x 1 x 1 3 x 1
 = . . .
 x 1 x 1 2 x x 1 2 x 2 x
Cú:
 125 125 125 125 x
x 4 3 3 9 3 3 9 3 3 9 3 3 9 
 27 27 27 27 4
 x3 5
 6 x x3 80x 384 0 x 4 x2 4x 96 0
 64 4
 x 4 0 x 4
 x 4(tm)
 2 2 
 x 4x 96 0 x 2 92 0(vn)
 3 4 1 9
Thay x 4 ( tmđk) vào A, ta được: A 
 2 4 4
Cõu 3. (Đề thi HSG 9 Huyện Mỹ Đức 2019-2020) 
 x 2 x 1 x 1
Cho biểu thức P : với x 0; x 1 
 x x 1 x x 1 1 x 2
 a) Rỳt gọn P 
 2
 b) Tỡm cỏc giỏ trị của x để P 
 7
 c) So sỏnh 2P và P2 
 Lời giải
  Trang 2  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 x 2 x 1 x 1 x 2 x 1 x 1
 P : :
 3 
 x x 1 x x 1 1 x 2 x 1 x x 1 x 1 2
 x 2 x( x 1) (x x 1) x 1
 :
 x 1 x x 1 2
 x 2 x 1 2
 .
 x 1 x x 1 x 1
 2
 x x 1
 b) Với x 0, x 1. Ta cú:
 2 2 2
 P x x 1 7
 7 x x 1 7
 x x 6 0 ( x 2)( x 3) 0
 Vỡ x 3 0 nờn x 2 0 x 4(t/m) 
 2
 Vậy P = khi x = 4 
 7
c) Vỡ x 0 x x 1 1
 2
 0 2
 x x 1
 0 P 2
 P(P 2) 0
 P 2 2P 0
 P 2 2P
Dấu “=” xảy ra khi P = 2 x = 0
 2
Vậy P 2P
Cõu 4. (Đề thi HSG 9 Huyện Hà Trung 2008 - 2009) 
Rỳt gọn biểu thức sau
a. 8 2 15 8 2 15
  Trang 3  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 2 3 5 13 48
b. 
 6 2
 sin 2 x cos 2 x
c. 1- 
 1 cot gx 1 tgx
 Lời giải
a. 8 2 15 8 2 15 = ( 5 3) 2 ( 5 3 ) 2
 = 5 3 5 3 2 3
 2 3 5 13 48 2 3 5 (2 3 1) 2
b. =
 6 2 6 2
 2 3 5 2 3 1 2 3 4 2 3
= =
 6 2 6 2
 2 3 ( 3 1) 2 2 3 3 1 2 2 3 2 4 2 3
= = = = 
 6 2 6 2 6 2 6 2
 2( 3 1)
= 1
 2( 3 1)
 sin 2 x cos 2 x sin 2 x cos 2 x sin 3 x cos3 x
c. 1- = 1- =1- 
 1 cot gx 1 tgx cos x sin x sin x cos x sin x cos x
 1 1 
 sin x cos x
 (sin x cos x)(sin 2 x cos 2 x sin x.cos x)
 =1-
 (sin x cos x)
 = 1- (1-sinx.cosx)= sinx.cosx
Cõu 5. (Đề thi HSG 9 Huyện Hà Trung 2008 - 2009) 
 x 2 x 1 1
A= 
 x x 1 x x 1 x 1
 a. Rỳt gọn biểu thức A
 b. Tớnh giỏ trị biểu thức A khi x=33-8 2
 1
 c. Chứng minh A<
 3
 Lời giải
 ĐKXĐ: x 0; x 1
  Trang 4  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 x 2 x 1 1 x 2 x 1 x x 1
 A= =
 x x 1 x x 1 x 1 ( x 1)(x x 1)
 x x x( x 1) x
 = 
 ( x 1)(x x 1) ( x 1)(x x 1) x x 1
 A khi x=33-8 2
 2
 Ta có x=33-8 2 = 4 2 1 x 4 2 1
 4 2 1 4 2 1
 A= 
 33 8 2 4 2 1 1 33 4 2
 1
 d. Chứng minh A<
 3
 1 x 1 3 x x x 1 (x 2 x 1) ( x 1) 2
 Xột A- = = 
 3 x x 1 3 3(x x 1) 3(x x 1) 3(x x 1)
 ( x 1) 2 0 ( x 1) 2
 Do x 0; x 1 0
 3(x x 1) 0 3(x x 1)
 1 1
 A- 0 A<
 3 3
Cõu 6. (Đề thi HSG 9 Huyện Hà Trung 2010 - 2011) 
Rỳt gọn cỏc biểu thức sau:
 2 5 24
 a. (3 2 2 3)(3 2 2 3) b. 
 12
 sin2x cos2x
 c. ( 12 2 14 2 13 12 2 11)( 11 13) d. + 1
 1+ cotgx 1+ tgx
 Lời giải
 a)(3 2 2 3)(3 2 2 3) 9.2 4.3
 18 12 6
 2 5 24 2 3 2 3
 b) 2
 12 2 3 2 3
 c)( 12 2 14 2 13 12 2 11)( 11 13)
 ( 12 2 13 2 12 2 11)( 11 13)
 ( 13 1 11 1)( 11 13)
 ( 13 11)( 13 11) 13 11 2
  Trang 5  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 sin2x cos2x sin3x cos3x
 d) + 1 1
 1+cotgx 1+tgx sinx +cosx sinx +cosx
 (sinx +cosx)(sin2x-sinxcosx +cos2x)
 1 1 sinxcosx-1= sinxcosx
 sinx +cosx
Cõu 7. (Đề thi HSG 9 Huyện Hà Trung 2010 - 2011) 
 2
 x - y x3 - y3 x - y + xy
Cho biểu thức P = ( + ) :
 x - y x - y x + y
 a. Rỳt gọn P.
 b. Tớnh giỏ trị của biểu thức P khi x = 5- 2 6 ; y = 5 + 2 6
 c. Chứng minh: 0 P 1
 Lời giải
 2
 x - y x3 - y3 ( x - y) + xy
 a) P = ( + ) :
 x - y y - x x + y
 ộ ự
 ờ x + y + xy ỳ x + y - xy
 P = ờ x + y - ỳ:
 ởờ x + y ỷỳ x + y
 x + y + 2 xy - x - y - xy x + y
 P = . (ĐKXĐ: x ạ y; x > 0; y > 0 )
 x + y x + y - xy
 xy x + y
 P = .
 x + y x + y - xy
 xy
 P =
 x + y - xy
 x = 5- 2 6 ( 3 2)2 x = 3 2
 b) Với Thay vào biểu thức ta được:
 2
 y = 5 + 2 6 ( 3 2) x = 3 2
 ( 3 - 2)( 3 + 2)
 P =
 3 - 2 + 3 + 2 - ( 3 - 2)( 3 + 2)
 1 2 3 + 1 2 3 + 1
 P = = =
 2 3 -1 12- 1 11
 1 3
 b) Với x > 0; y > 0 suy ra xy > 0 và x + y - xy = ( x - y)2 + y > 0 ị P > 0
 2 4
 2 xy
 ( x - y) > 0 ị x + y - xy > xy ị < 1
 x + y - xy
 1 3
 c) Với x > 0; y > 0 suy ra xy > 0 và x + y - xy = ( x - y)2 + y > 0 ị P > 0
 2 4
  Trang 6  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 2 xy
 ( x - y) > 0 ị x + y - xy > xy ị < 1
 x + y - xy
Cõu 8: (Đề thi HSG 9 Huyện Hoằng Húa 2011 - 2012) 
 x x 2 2 x 
Cho biểu thức: 
 P : 
 x 1 x 1 x x x x 
a. Rỳt gọn P
b. Tỡm x để P > 2
c. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của P
 Lời giải
a/ Rút gọn P : Điều kiện x > 0 và x 1
 x x 2 2 x x x 1 x 2 x 1 2 x 
P : :
 x 1 x 1 x x x x x 1 x 1 x x 1 
 x 2 x x x 1 x
P . 
 x 1 x 1 x 2 x x 1
b/ Tìm x để P > 2 
 2
 x x x 2 x 2 x 1 1
P 2 2 2 0 0 0 x 1
 x 1 x 1 x 1 x 1
Kết hợp điều kiện, vậy với x > 1 thì P > 2
 x
c/ Để có P thì P 0 0 x 1(Do điều kiện x > 0)
 x 1
Do P > 0 => P min P min
 2
 1 x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ta có : P 4
 P x x x x x 4 4 x 2 4 4
Suy ra : P min = 4 (Dấu bằng xảy ra khi x = 4) => P min = 2, khi x = 4
Cõu 9: (Đề thi HSG 9 Huyện Hoằng Húa 2014 - 2015) 
 x2 x 2x x 2 x 1 
Cho biểu thức: P . 
 x x 1 x x 1
 a. Rỳt gọn P. 
 b. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của P. 
 2 x
 c. Xột biểu thức: Q , chứng tỏ 0 < Q < 2.
 P
  Trang 7  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 Lời giải
a. Đk : x 0; x 1.
 x x x 1 x 2 x 1 2 x 1 x 1 
 P x x 1 2 x 1 2 x 1 x x 1 
 x x 1 x x 1
Vậy P x x 1, với x 0; x 1.
 2
 1 3 3
b. P x x 1 x 
 2 4 4
 3 1
dấu bằng xảy ra khi x = ẳ, thỏa món đk. Vậy GTNN của P là khi x .
 4 4
 2 x
c. Với x 0; x 1 thỡ Q = > 0. (1)
 x x 1
 2
 2 x 2 x 1 
 Xột 2 0 . Dấu bằng khụng xảy ra vỡ điều kiện x 1 .
 x x 1 x x 1
 suy ra Q < 2.(2). Từ (1) và (2) suy ra 0 < Q < 2.
Cõu 10: (Đề thi HSG 9 Huyện Hoằng Húa 2014 - 2015) 
 2014 2015
 Khụng dựng mỏy tớnh hóy so sỏnh : và 2014 2015 . 
 2015 2014
 Lời giải
 2014 2015 2015 1 2014 1 1 1
 2015 2014 2015 2014
 2015 2014 2015 2014 2014 2015
Cõu 11: (Đề thi HSG 9 Huyện Hoằng Húa 2015 – 2016)
 2 x 9 2 x 1 x 3
1. Cho A (x 0, x 4, x 9)
 x 5 x 6 x 3 2 x
 a) Rỳt gọn biểu thức A.
 1
 b) Tỡm giỏ trị của x để A = . 
 2
2. Tớnh 8 2 15 8 2 15
 Lời giải
 2 x 9 2 x 1 x 3
 a. A 
 ( x 3)( x 2) x 3 x 2
  Trang 8  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 2 x 9 (2 x 1)( x 2) ( x 3)( x 3)
 ( x 3)( x 2)
 2 x 9 2x 4 x x 2 x 9 x x 2
 ( x 3)( x 2) ( x 3)( x 2)
 ( x 2)( x 1) x 1
 ( x 3)( x 2) x 3
 x 1
 Vậy A với (x 0, x 4, x 9) .
 x 3
 b(2,0đ) Với (x 0, x 4, x 9) Ta cú: 
 1 x 1 1
 A 2 x 2 x 3
 2 x 3 2 
 1
 3 x 1 x (t / m)
 9
 1 1
 Vậy A = x = .
 2 9
 2. Ta cú 8 2 15 8 2 15
 5 2 15 3 5 2 15 3 ( 5 3)2 ( 5 3)2
 5 3 5 3 2 3
 Cõu 12: (Đề thi HSG 9 Huyện Nga Sơn 2012 - 2013)
1 Cho biểu thức:
 4 x 8x x 1 2 
 P = 
 : 
 2 x 4 x x 2 x x 
 a. Rỳt gọn P.
 b. Tớnh giỏ trị của x để P = -1.
 c. Tỡm m để với mọi giỏ trị x > 9 ta cú m ( x 3 )P > x + 1.
 Lời giải
  Trang 9  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
a. ĐK: x > 0 ; x 4 và x 9 
 4 x(2 x) 8x ( x 1) 2( x 2)
 P = : 
 (2 x)(2 x) x( x 2)
 8 x 4x 3 x
 = : 
 (2 x)(2 x) x( x 2)
 8 x 4x x( x 2) 4x
 = . = 
 (2 x)(2 x) 3 x x 3
 b. P = -1 4x + x - 3 = 0 
 ( x + 1) (4 x - 3)= 0 
 3 9
 x = x = 
 4 16
  Trang 10 