Chuyên đề học sinh giỏi môn Toán 9 - Chuyên đề 7: Hình học (Có đáp án)

 CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Chuyên đề 7: HÌNH HỌC
Câu 1. (Đề thi HSG 9 huyện Kim Thành 2019-2020) 
 Cho ABC vuông tại A, đường cao AH . Kẻ HD, HE lần lượt vuông góc với AB, AC . 
 Chứng minh rằng:
 3
 DB AB 
 1) 
 EC AC 
 2) BC.BD.CE AH 3
 Lời giải
 a) Ta có: ABC vuông tại A , đường cao 
 AH : 
 AB2 BH.BC BH
 AC 2 CH.BC CH
 2 2
 AB2 BH AB4 BH 2 BD.AB
 2 4 2 
 AC CH AC CH CE.AC
 3
 AB3 BD BD AB 
 3 
 AC CE CE AC 
 b) Ta có:
 AH 2 BH.CH
 AH 4 BH 2.CH 2 (BD.AB)(CE.AC) (BD.CE)(AB.AC) BD.CE.AH.BC
 AH 3 BD.CE.BC
 Câu 2. (Đề thi HSG 9 huyện Lai Vũ 2019-2020) 
 Cho tam giác ABC, M là một điểm thuộc cạnh BC, qua M kẻ các đường thẳng song 
 song với AC và AB, chúng cắt AB và AC tương ứng tại N và P.
 1) Gọi O là trung điểm của NP. Chứng minh ba điểm A, O, M thẳng hàng.
 MB 1
 2) Giả sử đường thẳng NP cắt đường thẳng BC tại Q và = . Tính tỉ số 
 MC 2
 QB .
 QC
 3) Tìm vị trí của M để diện tích tam giác MNP có giá trị lớn nhất.
 Lời giải
  Trang 1  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 a.
 A
 P
 O
 N
 Q C
 B M
 MP / / AN(gt)
 Xét tứ giác APMN có:  tứ giác APMN là hình 
 AP / /MN(gt)
 bình hành có O là trung điểm của đường chéo NP nên O cũng là trung 
 điểm của đường chéo AM . Vậy 3 điểm A, O, M thẳng hàng.
b. Theo gt:
 MB 1 BM BN MN 1
 = Þ = = =
 MC 2 BC BA AC 3
 AP 1 AP 1
 Þ = Þ =
 AC 3 PC 2
 QM MN 1
 = =
 QC PC 2
 Þ QM = MC
 MC QB 1
Mà BM MB QB 
 2 QC 4
c)Kẻ đường thẳng vuông góc với MN và AC tại H và K 
Ta có 
 1
1. S S 
 MNP 2 ANMP
 SANMP lớn nhất khi SANMP lớn nhất 
Ta có SANMP MN.HK
 1
S BK.AC
 ABC 2
 SAMNP 2MN.HK MN HK
 2. 
 SABC BK.AC AC BK
Đặt BM = x, MC = y 
  Trang 2  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
MN x HK y
 ; 
 AC x y BK x y
 SAMNP 2xy 2xy 1
 2 
 SABC (x y) 4xy 2
 1
 SAMNP SABC
 2 
 1
 S S
 MNP 4 ABC
 1
 S lớn nhất bằng S khi x = y hay M là trung điểm của BC
 NMP 4 ABC
Câu 3.(Đề thi HSG 9 THCS và THPT lương Thế Vinh 2019-2020) 
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, dây CD. Gọi H và K lần lượt là hình 
chiếu của A, B trên CD. 
 a) Khi OAC là tam giác đều, hãy giải tam giác ABC
 b) Chứng minh HC = KD
 c) Chứng minh SAHKB SABC SABD 
 Lời giải
 D K
 E I
 C F
 H
 A N M O P B
 1
a) Khi AOC đều thì AC OA OC R AB . BC AB2 AC 2 4R2 R2 R 3 
 2
 AC R 1
 sin B Bµ 300 Cµ 600 
 AB 2R 2
b) Kẻ OI  CD I là trung điểm của CD và OI / / AH / /BK . 
Lại có O là trung điểm của AB I là trung điểm của HK IH IK;CI ID CH DK .
c) Kẻ EF đi qua I và song song với AB(E AH, F BK)
  Trang 3  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 EHI FKI(ch gn) SAHKB SAEFB IM.AB
 1
Lại có: S S AB.(CN DP) AB.IM
 ACB ADB 2
 SAHKB SACB SADB
Câu 4.(Đề thi HSG 9 Huyện Mỹ Đức 2019-2020) 
Cho ABC có ba góc nhọn, µA 60o . Các đường cao AD, BE,CF cắt nhau tại H . Gọi 
K là trung điểm của AH 
 AE AB 1
a) Chứng minh: và EF BC .
 AF AC 2
b) Chứng minh: E· KF 120o và tính AH , biết BC 12 cm.
 HD HE HF
c) Chứng minh: 1 .
 AD BE CF
 AB2 AC 2 BC 2
d) Chứng minh: AD.DH BE.EH CF.FH .
 4
 Lời giải( đáp án không có lời giải)
Câu 5.(Đề thi HSG 9 Huyện Hà Trung 2008 – 2009 ) 
Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD. Gäi M lµ trung ®iÓm cña c¹nh AD, N lµ trung ®iÓm cña c¹nh BC. Trªn tia 
®èi cña tia DC, lÊy ®iÓm P. §­êng th¼ng PM c¾t AC t¹i Q vµ c¾t ®­êng th¼ng BC t¹i t¹i S. §­êng 
th¼ng QN c¾t ®­êng th¼ng DC t¹i R. Chøng r¼ng:
 a. NPR lµ tam gi¸c c©n
 b. MN lµ tia ph©n gi¸c cña gãc PNQ
 MQ SQ
 c. 
 MP SP
 Lời giải
 P D C R
 O
 M Q N
 A B
 S
  Trang 4  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
a. 
Gäi O lµ giao ®iÓm cñaAC vµ BD.Tø gi¸c ANCM lµ h×nh b×nh hµnh
 OM = ON
L¹i cã MN//PRTheo ®Þnh lý talÐt ta cã
 MO QO
 PC QC
 PC CR
 ON QO
 CR QC
 NPR c©n t¹i N
b. Ta cã MN//PR nªn Q· NM Q· RP vµ P· NM N· PR
Ta cã N· RP Q· PR ( NPR c©n) Q· NM P· NM . Hay MN lµ tia ph©n gi¸c cña gãc PNQ
 MQ NQ
c. Ta cã MN lµ tia ph©n gi¸c cña gãc PNQ (1)
 MP NP
Ta cã NS  NM vµ MN lµ tia ph©n gi¸c cña gãc PNQ nªn NS lµ ph©n gi¸c ngoµi cña gãc PNQ 
 SQ NQ
 (2)
 SP NP
 MQ SQ
Tõ (1) vµ (2) ta cã 
 MP SP
Câu 6.(Đề thi HSG 9 Huyện Hà Trung 2008 – 2009 ) 
Cho h×nh vu«ng ABCD. Gäi E vµ F theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AB vµ BC; CE c¾t DF ë M. 
 1
Chøng minh r»ng: SMCD = S
 5 ABCD
 Lời giải
 D C
C/m DCF = CBE
rót ra CMD vu«ng t¹i M
C/m CMD ®ång d¹ng FCD F
 DC CM
 M
 FD FC
 S CD2 CD2
 CMD S .S
 2 CMD 2 FCD A
 SFCD FD FD E B
 1 1 1 1
Mµ S CF.CD . BC.CD CD2
 FCD 2 2 2 4
  Trang 5  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 CD2 1 1 CD4
VËy S . CD2 
 CMD FD2 4 4 FD2
 5
¸p dông ®Þnh lý pi ta go ta cã DF2 =CD2+CF2 = CD2
 4
 1 CD4 1 CD4 1 1
 S . CD2 S
 CMD 2 5 ABCD
 4 FD 4 CD2 5 5
 4
Câu 7. (Đề thi HSG 9 Huyện Hà Trung 2010 – 2011 ) 
Cho tam giác đều ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Lấy P trên cạnh AB và
 Q trên cạnh AC sao cho P· MQ = 600 .
 a. Chứng minh B· PM = C· MQ .
 b. Chứng minh ΔMBP ~ QCM và tích PB.CQ có giá trị không đổi khi P trên cạnh AB và 
 Q trên cạnh AC sao cho P· MQ = 600
 c. Kẻ MH  PQ . Chứng minh ΔMBP ~ QMP ; ΔQCM ~ QMP
 d. Chứng minh độ dài MH không đổi khi P trên cạnh AB và Q trên cạnh AC sao cho 
 P· MQ = 600
 Lời giải
 File gốc Đáp án không có lời giải
Câu 8. (Đề thi HSG 9 Huyện Hà Trung 2010 – 2011 ) 
Cho tam giác ABC, đường cao AH ( (H BC) và HC = 2HB. Đường thẳng qua C vuông góc 
 với AC và đường thảng qua B vuông góc với AB cát nhau tại D. Gọi K là hình chiếu vuông 
 góc của D trên BC.
 a. Chứng minh 3DK.AH = BC.BK
 b. Tam giác DHC là tam giác gì?
 Lời giải
 File gốc Đáp án không có lời giải
Câu 9. (Đề thi HSG 9 Huyện Hoằng Hóa 2011 - 2012) 
Cho nöa ®­êng trßn (O) ®­êng kÝnh AB. Trªn tia ®èi cña tia AB lÊy ®iÓm P. VÏ c¸t tuyÕn PMN 
( M n»m gi÷a P vµ N). VÏ AD vµ BC vu«ng gãc víi MN; BC c¾t nöa ®­êng trßn t¹i I. Chøng 
minh r»ng
a. Tø gi¸c AICD lµ h×nh ch÷ nhËt
b. DN = CM
c. AD.BC = CM.CN
d. BC2 + CD2 + DA2 = 2AD.BC + AB2
 Lời giải
  Trang 6  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 C
 N
 I
 H
 M
 D
 P A B
 O
a. Tø gi¸c AICD lµ h×nh ch÷ nhËt
OA = OB = OI = R => Tam gi¸c IAB vu«ng t¹i I
=> Tø gi¸c AICD cã 3 gãc D, C, I vu«ng => Tø gi¸c AICD lµ h×nh ch÷ nhËt (®pcm)
b. DN = CM
KÎ OH  MN => HM = HN (1)
OA = OB, OH//AD//BC => HD = HC (2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã : MN + (HD – HM) = MN + (HC – HN)
 Hay : MN + MD = MN + NC
 Hay : DN = CM (®pcm)
c. AD.BC = CM.CN
DÔ dµng chøng minh ®­îc : CIM ®ång d¹ng víi CNB (gãc – gãc)
 CI CM
=> CI.BC CM.CN Do AICD lµ h×nh ch÷ nhËt (c©u a) => CI = AD
 CN CB
Thay vµo ta cã : AD.BC = CM.CN (®pcm)
d. BC2 + CD2 + DA2 = 2AD.BC + AB2
Ta cã : AB2 = AI2 + BI2 = CD2 + BI2( do CD = AI)
=>2AD.BC + AB2 = 2AD.BC + CD2 + BI2 Mµ BI = BC – CI = BC – AD
=> 2AD.BC + AB2 = 2AD.BC + CD2 + (BC – AD)2 = 2AD.BC + CD2 + BC2 – 2AD.BC + DA2
=> 2AD.BC + AB2 = CD2 + BC2 + DA2 =BC2 + CD2 + DA2 (®pcm)
Câu 10. (Đề thi HSG 9 Huyện Hoằng Hóa 2011 - 2012) 
Cho tam gi¸c ABC. Trªn c¹nh AC lÊy ®iÓm E cè ®Þnh ( E kh¸c A vµ C). Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm 
F cè ®Þnh (F kh¸c B, C). LÊy ®iÓm D thay ®æi trªn ®­êng th¼ng AB. H·y x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña 
®iÓm D trªn ®­êng th¼ng AB sao cho DE2 + DF2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
 Lời giải
  Trang 7  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 C
 E
 F
 A
 B K D H
Tõ E, F lÇn l­ît kÎ EH vµ FK vu«ng gãc víi AB =>H, K cè ®Þnh vµ EH, FK kh«ng ®æi
Ta cã : DE2 = EH2 + DH2 vµ DF2 = FK2 + DK2
Suy ra : DE2 + DF2 = EH2 + DH2 + FK2 + DK2 = (EH2 + FK2) + (DH2 + DK2)
DH2 + DK2 = (DH + DK)2 – 2DH.DK = HK2 – 2DH.DK
Suy ra : DE2 + DF2 = (EH2 + FK2) + HK2 – 2DH.DK
Do EH, FK, HK kh«ng ®æi nªn DE2 + DF2 nhá nhÊt DH.DK Lín nhÊt mµ DH + 
DK = HK kh«ng ®æi => DH.DK lín nhÊt DH = DK tøc D lµ trung ®iÓm cña HK.
 VËy khi D lµ trung ®iÓm cña HK (Víi H, K lµ ch©n ®­êng vu«ng gãc kÎ tõ E vµ F 
®Õn AB) th× DE2 + DF2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
Câu 11. (Đề thi HSG 9 huyện Hoằng Hóa 2014 - 2015) 
 Cho ABC có ba góc nhọn với các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
 S
 a.CM: AEF đồng dạng ABC ; AEF cos2 A. 
 SABC
 2 2 2
 b.CM : SDEF 1 cos A cos B cos C .SABC
 c.Biết AH = k.HD. C/minh: tanB.tanC = k + 1. 
 HA HB HC
 d.Chứng minh rằng: 3 .
 BC AC AB
 Lời giải
 A
 AE
 a. Tam giác ABE vuông tại E nên cosA = 
 AB
 E
 AF
 Tam giác ACF vuông tại F nên cosA = .
 AC F
 AE AF
 Suy ra = AEF : ABC(c.g.c) 
 AB AC
 H
 2
 SAEF AE 2
 * Từ AEF : ABC suy ra cos A B C
 S AB 
 ABC D
  Trang 8  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 S S
 a. Tương tự câu a, BDF cos2 B, CDE cos2 C.
 SABC SABC
 S S S S S
 Từ đó suy ra DEF ABC AEF BDF CDE 1 cos2 A cos2 B cos2 C 
 SABC SABC
 2 2 2
 Suy ra SDEF 1 cos A cos B cos C .SABC
 AD AD AD2
 b. Ta có: tanB = ,tanC = . Suy ra tanB.tanC = 
 BD CD BD.CD
 Vì AH = k.HD AD AH HD k 1 .HD nên AD2 k 1 2 .HD2 (1)
 HD2 k 1 2
 Do đó tanB.tanC = (2)
 BD.CD
 DB HD
 Lại có DHB : DCA(g.g) nên DB.DC HD.AD (3)
 AD DC
 Từ (1), (2), (3) suy ra: 
 HD2 k 1 2 HD k 1 2 HD k 1 2
 tanB.tanC = k 1. 
 AD.HD AD HD k 1 
 HC CE HC.HB CE.HB S
 c. Từ AFC : HEC HBC 
 AC CF AC.AB CF.AB SABC
 HB.HA S HA.HC S
 Tương tự: HAB ; HAC . Do đó: 
 AC.BC SABC AB.BC SABC
 HC.HB HB.HA HA.HC S S S
 + + = HBC HCA HAB 1
 AC.AB AC.BC AB.BC SABC
• Ta chứng minh được: (x + y + z)2 3(xy + yz + zx) (*)
 2
 HA HB HC HA.HB HB.HC HC.HA 
Áp dụng (*) ta có: 3. 3.1 3 
 BC AC AB BC.BA CA.CB AB.AC 
 HA HB HC
Suy ra 3 .
 BC AC AB
Câu 12. (Đề thi HSG 9 huyện Hoằng Hóa 2015 - 2016) 
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh 
rằng: 
 1
 a) SABC = AB.BC.sinB và AE.BF.CD = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC.
 2
 AD
 b) tanB.tanC = . 
 HD
 c) H là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác DEF.
  Trang 9  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 HB.HC HC.HA HA.HB
 d) 1.
 AB.AC BC.BA CA.CB
 Lời giải
a.
 A
 E
 F
 H
 B D C
 1
* Ta có: SABC = .BC.AD.
 2
 1
 ABD vuông tại D có AD =AB.sinB, do đó SABC = BC.AB.sinA.
 2
 ABE vuông ở E có AE = AB.cosA 
 BFC vuông ở F có BF = BC.cosB 
 ACD vuông ở D có CD = AC.cosC 
Do đó AE.BF.CD = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC.
 AD AD
b. Xét ABD có tanB = ; ACD có tanC = 
 BD CD
 AD2
suy ra tanB.tanC = (1)
 BD.CD
 DH BD
Do H· BD C· AD (cùng phụ với A· CB ) nên BDH  ADC (g.g) 
 DC AD
BD.DC = DH.DA 
 AD2 AD
Kết hợp với (1) được tanB.tanC = .
 DH.AD DH
  Trang 10 