Chuyên đề học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 3: Phương trình (Có đáp án)

 CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Câu 1.(Đề thi HSG 9 Tỉnh Kiên Giang 2012-2013) 
Giải phương trình : 3 x 10 3 17 x 3 
 Lời giải
Ta có: 3 x 10 3 17 x 3
 3
 3 x 10 3 17 x 33
 x 10 17 x 33 (x 10)(17 x).3 27
 x 10
 (x 10)(17 x) 0 
 x 17
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x 10 và x 17.
Câu 2.(Đề thi HSG 9 Tỉnh Hà Tĩnh 2016-2017) 
Giải phương trình 3 x 2 3 x 4 3 2
 Lời giải
Ta có:
3 x 2 3 x 4 3 2
 3
 3 x 2 3 x 4 2
 x 2 x 4 33 x 2 x 4 .3 2 2
 x 2 x 4 0
 x 2
 x 4
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x 2 và x 4.
Câu 3. (Đề thi HSG 9 Tỉnh Kiên Giang 2011-2012) 
Giải phương trình: 2x2 2x 1 4x 1 
 Lời giải
 1
ĐK: 4x 1 0 x 
 4
2x2 2x 1 4x 1
 4x2 4x 2 2 4x 1
 2
 4x2 4x 1 1 0 
 2
 4x 0
 x 0 tm 
 4x 1 1 0
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 0.
  Trang 1  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Câu 4.(Đề thi HSG 9 TP Đà Nẵng 2015-2016) 
Giải phương trình x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 9 
 Lời giải
ĐK: x 1.
Ta có: 
 x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 9
 x 1 4 x 1 4 x 1 6 x 1 9 9
 2 2
 x 1 2 x 1 3 9
 x 1 2 x 1 3 9
 x 1 2 x 5 TM 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 5.
Câu 5. (Đề thi HSG 9 Tỉnh Hòa Bình 2010-2011) 
 12 3
Giải phương trình 1 
 x2 x 4 x2 x 2
 Lời giải
Học sinh lập luận được x2 x 4 và x2 x 2 khác 0 rồi quy đồng đưa về phương trình dạng 
9(x2 x) 12 x2 x 4 x2 x 2 
 1 17
Biến đổi được về dạng x2 x 4 x2 x 1 0 x 
 2
Câu 6.(Đề thi HSG 9 Tỉnh Hòa Bình 2010-2011) 
Giải phương trình : x 2 7 x 2 x 1 x2 8x 7 1
 Lời giải
Học sinh tìm được ĐK 1 x 7 và biến đổi phương trình về dạng tích 
 x 1 2 . x 1 7 x 0 
Học sinh giải phương trình tích tìm được x 5hoặc x 4 đều thỏa mãn.
Câu 7.(Đề thi HSG 9 Tỉnh Quảng Nam 2017-2018) 
Giải phương trình : 2 1 x 1 x2 3 x 
 Lời giải
ĐK: x 1. 
Ta có:
  Trang 2  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
2 1 x 1 x2 3 x
 2 x 1 2 x 1 x2 1 0
 4(x 1) (4 4x x2 ) 1 x2 1
 0 
 2 x 1 (2 x) 1 x2 1
 x2 x2
 0
 2 x 1 2 x 1 x2 1
 2 1 1 
 x 0
 2 x 1 2 x 1 x2 1 
Vì x 1 nên trong ngoặc dương . Do đó phương trình có nghiệm x 0.
Câu 8.(Đề thi HSG 9 Tỉnh Nghệ An 2016-2017) 
Giải phương trình x 2 3 1 x2 1 x 
 Lời giải
Quan sát phương trình ta chú ý đến biến đổi 1 x2 (1 x)(1 x) . Để ý đến điều kiện xác định ta 
phân tích được 1 x2 1 x. x 1 
Như vậy ta viết lại được phươn trình x 2 3 1 x. x 1 1 x 
Ta có biểu diễn x 3 2(x 1) (1 x) 
Đến đây ta đặt ẩn phụ a x 1;b 1 x thì ta viết lại phương trình lại thành 
2a2 b2 1 3ab a 
Hay b2 3ab 2a2 a 1 0 
Xem phương trình trên là phương trình ẩn b và a là tham số thì ta có
 9a2 4(2a2 a 1) a 2 2 
 3a (a 2) 3a (a 2)
Do đó phương trình có hai nghiệm là b a 1 và b 2a 1 
 2 2
 3
Với b = a – 1 ta được 1 x 1 x 1 ..... x 
 2
 24
Với b = 2a+1 ta được 1 x 2 1 x 1 .... x 
 25
 3 24 
Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm S ;  
 2 25  
Câu 9.(Đề thi HSG 9 TP Vinh 2016-2017) 
Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: 2x 5y 1 2 x x2 x y 105 
 Lời giải
Vì 105 là số lẻ nên 2x 5y 1 và 2 x x2 x y phải là các số lẻ
Từ 2x+5y+1 là số lẻ mà 2x+1 là số lẻ nên 5y là số chẵn suy ra y chẵn
  Trang 3  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
2 x x2 x y là số lẻ mà x2 x x(x 1) là tích của hai số nguyên liên tiếp nên là số chẵn, y 
cũng chẵn nên 2 x là số lẻ. Điều này xảy ra khi x=0
Thay x=0 vào phương trình đã cho ta được:
 5y 1 y 1 105
 5y2 6y 104 0
 5y2 20y 26y 104 0 
 5y(y 4) 26(y 4) 0
 (5y 26)(y 4) 0
 26
 y (loại) hoặc y 4 (thỏa mãn)
 5
Vậy phương trình có nghiệm nguyên (x;y)=(0;4)
Câu 10.(Đề thi HSG 9 Tỉnh Quảng Ninh 2018-2019) 
Giải phương trình : 2 3x 3x2 7x 1 
 Lời giải
 2
ĐK: x 
 3
Ta có:
 2 3x 3x2 7x 1
 3x2 7x 2 2 3x 1 0
 1 3x
 3x 1 x 2 0 
 2 3x 1
 1 
 1 3x 2 x 0
 2 3x 1 
 2 4 1
Do x 2 x 0 2 x 0
 3 3 2 3x 1
 1 1
Suy ra 1 3x 0 x (TM ) . Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x . 
 3 3
  Trang 4 