Chuyên đề học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 7: Hình học (Có đáp án)

 CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Câu 1.(Đề thi HSG 9 Tỉnh Kiên Giang 2012-2013) 
Cho hình thang ABCD có đáy lớn là CD. Qua A vẽ AK / /BC K CD và qua B kẻ 
BI / / AD I CD ; BI cắt AC tại F, AK cắt BD tại E.
a) Chứng minh KD = CI và EF // AB
b) Chứng minh AB2 CD.EF 
 Lời giải
 A B
 F
 E
 D I K C
a) Chứng minh KD CI và EF // AB
Chứng minh ABID, ABCK là hình bình hành
 DI CK (cùng bằng AB)
 DI IK CK IK DK CI 
 AE AB
Vì AEB đồng dạng KED (g.g) 
 EK KD
 AF AB
 AFB đồng dạng CFI (g.g) 
 FC CI
 AE AF
Mà KD = CI EF / /KC (Định lý Ta let đảo trong AKC )
 EK FC
b) Chứng minh AB 2 CD.EF 
Ta có : KED đồng dạng AEB (g.g) 
 DK DE DK AB DE EB
 AB EB AB EB (Vì ABCK là hình bình hành)
 DK KC DB DC DB
 (1)
 AB EB AB EB
Do EF//DI (theo cmt : EF//KC và I KC) 
 DB DI DB AB
 (2) (Vì DI = AB)
 EB EF EB EF
 DC AB
Từ (1) và (2) AB2 DC.EF 
 AB EF
  Trang 1  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Câu 2.(Đề thi HSG 9 Tỉnh Kiên Giang 2012-2013) 
Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn (O;R) . M là một điểm di động trên cung BC của 
đường tròn đó
a) Chứng minh : MB + MC = MA
b) Xác định vị trí của điểm M để tổng MA + MB +MC đạt giá trị lớn nhất
c) Gọi H, K, Q lần lượt là hình chiếu của M trên AB, BC, AC; đặt diện tích tam giác ABC là S và 
 2 3(S 2S ')
 diện tích S’. CMR :MH MK MQ khi M di động trên cung BC
 3R
 Lời giải
 A
 O
 D Q
 B
 C
 H K
 M
a) Chứng minh MC+MB=MA
Trên MA lấy D sao cho MD = MB MBD cân tại M
Góc BMD = góc BCA =600 (cùng chắn cung AB) MBD đều
Xét MBC và DBA có
MB = BD (vì MBD đều)
BC = AB (vì ABC đều)
Góc MBC = góc DBA (cùng cộng D· BC bằng 60 )
 MBC DBA (c g c) MC DA
Mà MB = MD (gt) MC MB MA 
b) Xác định vi trí của M để tổng MA + MB + MC đạt giá trị lớn nhất 
Ta có MA là dây cung của (O; R) MA 2R 
 MAMB MC 4R (không đổi)
Dấu “ =” xảy ra MA là đường kính M là điểm chính giữa cung BC
 2 3. S 2S ' 
c) CMR: MH MK MQ 
 3R
  Trang 2  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 MH.AB MK.BC MQ.AC
Ta có : S S S 
 2 2 2 MAB MBC MAC
 AB.(MH MK MQ) 2(S 2S')
Vì AB là cạnh tam giác đều nội tiếp (O;R)
 2 3(S 2S ')
 AB R 3 MH MK MQ 
 3R
Câu 3.(Đề thi HSG 9 Tỉnh Hà Tĩnh 2016-2017) 
Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh AC và các đường thẳng AD, BM, CE đồng quy tại K 
nằm trong tam giác ( D BC;E AB ) Biết AKE và BKE có diện tích lần lượt là 10cm2 và 
20cm2 . Tính diện tích tam giác ABC
 Lời giải
 SAKE AE 1
Ta có , suy ra SBCE 2SACE 
 SBKE BE 2
M là trung điểm AC nên SABM SCBM ;SAKM SCKM SBCK 30 SACE 25 
 2
Vậy SABC 75m 
Câu 4.(Đề thi HSG 9 Tỉnh Hà Tĩnh 2016-2017) 
Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết đường cao AH, tung tuyến BM và phân giác trong CD đồng 
 AB
quy. Tính 
 AC
 Lời giải
 AB 1 5
Đáp số 
 AC 2
Sử dụng định lý Ceva và hệ thức lượng trong tam giác 
Câu 5.(Đề thi HSG 9 Tỉnh Hà Tĩnh 2016-2017) 
Cho tứ giác ABCD nội tiếp được đường tròn và có các cạnh đối không song song . Gọi F là giao điểm 
của AB và CD, E là giao điểm của AD và BC; H, G theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AC 
và BD. Đường phân giác góc BED cắt GH tại điểm I
a) Chứng minh rằng IH.BD = IG.AC
 S
b) Cho độ dài CD = 2.AB . Tìm tỉ số diện tích IAB 
 SICD
 Lời giải
  Trang 3  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 E
 A
 B
 G H
 I
 O
 D C F
a) Ta có EBD và EAC đồng dạng nên các đường trung tuyến tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.
 EG BD DG DE
Suy ra 
 EH AC CH EC
Ta có E· DG E· CH (cùng nhìn cung AB) EDG đồng dạng với ECH 
Kéo theo D· EG C· EH , suy ra EI là phân giác G· EH 
 BD EG GI
Do đó IH.BD IG.AC (dpcm) 
 AC EH HI
b) Ta có FBD và FCA đồng dạng
 FGD và FHA đồng dạng G· FD H· FA 
FG GD BD IG
 FI là phân giác G· FH 
FH HA AC IH
Suy ra FI là phân giác góc AFD
Gọi M, N là chân đường vuông góc hạ từ I lên các đường thẳng AB, CD. Khi đó IM=IN
 1
 IM.AB
 S 1
Ta có IAB 2 
 S 1 2
 ICD IN.CD
 2
Câu 6.(Đề thi HSG 9 Tỉnh Kiên Giang 2011-2012) 
Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O;R) có hai đường chéo AC, BD vuông góc với nhau 
tại I (I khác O). Vẽ đường kính CE.
a) Chứng minh ABDE là hình thang cân
b) Chứng minh AB2 CD2 BC2 DA2 2R 2 
c) Từ A và B vẽ các đường thẳng vuông góc đến CD lần lượt cắt BD tại F, cắt AC tại K. Chứng min 
 A, B, K, F là bốn đỉnh của một tứ giác đặc biệt
 Lời giải
  Trang 4  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 A
 F I
 D B
 C
 K
a) Ta có góc EAC = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) AE  AC 
Mà BD  AC (gt) AE / /BD ABDE là hình thang
Mà ABDE nội tiếp đường tròn (O) nên ABDE là hình thang cân
b) Ta có góc EDC = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
 DEC vuông ở D
 2
 ED2 CD2 EC2 2R 4R2 
Mà AB = ED (vì ABDE là hình thang cân) AB 2 CD 2 4R 2 
Chứng minh tương tự BC 2 DA 2 4R 2 
 AB2 CD2 BC2 DA2 8R2
 AB2 CD2 BC2 DA2 2R 2
c) Ta có : góc BAC = góc BDC (cùng chắn cung BC)
Góc IAF = góc BDC (góc có cạnh tương ứng vuông góc)
Suy ra góc BAC = góc IAF ABF cân tại A
Mà AI là đường cao , nên AI là đường trung tuyến IB IF 
Chứng minh tương tự IA IK ABKF là hình bình hành
Mà AK  BF nên ABKF là hình thoi 
Câu 7. (Đề thi HSG 9 Tỉnh Kiên Giang 2011-2012) 
Cho hai điểm A, B cố định và điểm M di động sao cho MAB là tam giác có ba góc nhọn. Gọi H là 
trực tâm của tam giác MAB và K là chân đường cao vẽ từ M của tam giác MAB. Tính giá trị lớn nhất 
của tích KH.KM
 Lời giải
  Trang 5  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 A
 K H
 B M
Xét KAH và KMB ta có:
Góc AKH = góc MKB = 900
Góc KAH = góc KMB (cặp góc có cạnh tương ứng vuông góc)
 KH AK
 KAH và KMB đồng dạng KH.KM AK.KB 
 KB KM
Áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số dương
 AK KB AB2
Ta có: AK.KB AK.KB 
 2 4
 AB2
Do đó KH.KM (không đổi)
 4
Dấu “ = “ xảy ra AK KB 
 AB2
Vậy giá trị lớn nhất của KH.KM là 
 4
Câu 8.(Đề thi HSG 9 TP Đà Nẵng 2015-2016) 
Cho trước tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). Trên cung nhỏ BC lấy điểm M tùy ý. Đường 
tròn (M;MB) cắt đoạn thẳng AM tại D.
a) Chứng minh rằng tam giác BDM là tam giác đều
b) Chứng minh rằng MA=MB+MC
c) Chứng minh rằng khi M thay đổi trên cung nhỏ BC thì điểm D luôn luôn nằm trên một đường 
 tròn cố định có tâm thuộc đường tròn (O).
 Lời giải
  Trang 6  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 A
 I D
 O
 B C
 M
a) MB = MD (bán kính đường tròn (M))
B· MD B· CA 600 (cùng chắn cung AB)
Nên tam giác BMD đều
b) Hai tam giác ABD và CBM bằng nhau vì AB = CB ; BD = BM 
 A· BD 600 D· BC C· BM DA MC
Và 
 MA MD DA
Mà MD=MB vậy MA=MB+MC
c) Gọi I là giao điểm của (O) với phân giác CO (trong tam giác đều ABC)
 I là điểm chính giữa của cung nhỏ A»B và I là điểm cố định thuộc (O)
Nên MI là phân giác B· MD (góc nội tiếp chắn cung AB của đường tròn (O))
Nên MI là trung trực đoạn thẳng BD vì BDM là tam giác đều
Suy ra ID=IB
Do đó D luôn thuộc đường tròn I;IB cố định có tâm thuộc (O)
Câu 9.(Đề thi HSG 9 Tỉnh An Giang 2013-2014) 
Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 4 cm. Lấy một điểm M trên đường tròn sao cho B· AM 300. 
Tiếp tuyến với đường tròn tại điểm A và điểm M cắt nhau tại C. CM cắt AB tại D.
a) Chứng minh rằng BM song song với OC
b) Tính diện tích tam giác ACD
 Lời giải
  Trang 7  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 C
 M
 A D
 O B
a) Theo đề bài ta có B· AM 300 , tam giác AMB vuông tại M (do góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 
 M· BO 600 (*) 
Tam giác MOB cân có B 600 nên tam giác MOB đều A· OM 1200 
CA, CM là hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ điểm C nên CO là đường phân giác của góc A· CM , hay 
CO là phân giác của góc A· OM C· OA 600 (**) 
Từ (*) và (**) suy ra BM song song OC ( góc đồng vị)
b) Nhận xét: Ba tam giác OAC, OMC và OMB là ba tam giác vuông bằng nhau do có 
một cạnh góc vuong bằng nhau và một góc nhọn bằng nhau vậy SACD 3SACO 
Tam giác ACO vuông có cạnh góc vuông OA = 2 cm ; A· OC 600 AC OA.tan600 2 3 
 1 1
 S AO.AC .2.2 3 2 3 
 ACO 2 2
 2
Vậy diện tích tam giác ACD là SACD 6 3 (cm ) 
Câu 10.(Đề thi HSG 9 Tỉnh Hòa Bình 2010-2011) 
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O, có bán kính 
bằng 2. Biết B· AC 600 , đường cao AH. Tính diện tích tam giác ABC 
 Lời giải
  Trang 8  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 A
 O
 B K C
Gọi K là trung điểm của BC, dễ có K· OC 60 
Xét tam giác vuông OKC có OC = 2. Tính được KC OC.sin600 3 
Tính được BC 2 3 , suy ra diện tích tam giác ABC là S 3 3 
Câu 11.(Đề thi HSG 9 Tỉnh Hòa Bình 2010-2011) 
Cho nửa đường tròn tâm O bán kính R, đường kính AB. Hai điểm E, F thay đổi trên nửa đường tròn 
sao cho số đo cun AE khác 0 và nhỏ hơn số đo cun AF, biết EF=R. Giả sử AF cắt BE tại H, AE cắt 
BF tại I
1. Chứng minh rằng tứ giác IEHF nội tiếp được trong 1 đường tròn
2. Gọi EG và FQ là các đường cao của tam giác IEF, chứng minh rằng độ dài QG không đổi
3. Chứng minh rằng QG song song với AB 
 Lời giải
 I
 Q G
 F
 E
 H
 A B
 O
  Trang 9  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
1. Vì I·EH I·FH 900 nên IHEF nội tiếp đường tròn
2. Ta dễ dàng chứng minh được IQG đồng dạng với IFE (góc – góc)
 QG IG 1 1 1
Từ đó có ;QG EF R(dpcm) 
 EF IE 2 2 2
3. Chứng minh được IAB đồng dạng IEF (g.g) kết hợp với câu 2 ta có IQG : IAB suy ra 
IQ IG
 dẫn đến QG song song với AB
IA IB
Câu 12.(Đề thi HSG 9 Tỉnh Quảng Nam 2017-2018) 
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4 cm. E là điểm nằm trên cạnh BC (E khác B và C). Đường 
thẳng qua B, vuông góc với đường thẳng DE tại H và cắt đường thẳng CD tại F, Gọi K là giao điểm 
của AH và BD.
a) Chứng minh tứ giác KDCE nội tiếp trong đường tròn và ba điểm K, E, F thẳng hàng
b) Khi E là trung điểm cạnh BC, tính diện tích tứ giác BKEH
 Lời giải
 A B
 K
 E H
 D C F
a) Chứng minh KDCE nội tiếp
Ta có B· HD B· CD 900 BHCD là tứ giác nội tiếp
 C· HF B· DC 450 
ECFH nội tiếp 450 C· HF C· EF K· DC KDCE nội tiếp
Chứng minh K, E, F thẳng hàng
BC; DH là 2 đường cao BDF FE  BD 
Mà KDCE nội tiếp E· KD E· CD 900 EK  BD K,E,F thẳng hàng.
 2 2
 SBKE BE 2 1 1
b) BKE : BCD SBKE .16 2 
 SBCD BD 4 2 8 8
  Trang 10 