Chuyên đề học sinh giỏi Toán Lớp 9 - Chuyên đề 10: Chia đa thức (Có đáp án)

 Chuyên đề 10: CHIA ĐA THỨC
Câu 1: (Đề thi HSG 9 tỉnh Thanh Hóa 2013-2014)
 Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a; b) sao cho (a + b2) chia hết cho (a2b – 
 1).
 Lời giải
 2 2 2 2 *
 Giả sử (a + b )  (a b – 1), tức là: a + b = k(a b – 1), với k  
 a + k = b(ka2 – b) a + k = mb (1)
 2 2
 Ở đó m  mà: m = ka – b m + b = ka (2)
 Từ (1) và (2) suy ra: (m – 1)(b – 1) = mb – b – m + 1 
 (m – 1)(b – 1) = (a + 1)(k + 1 – ka) (3)
 Do m > 0 (điều này suy ra từ (1) do a, k, b > 0) nên m 1 (vì m ). 
 Do b > 0 nên b – 1 0 (do b ) (m – 1)(b – 1) 0.
 Vì thế từ (3) suy ra: (a + 1)(k + 1 – ka) 0.
 Lại do a > 0 nên suy ra: k + 1 – ka 0 k + 1 ka 1 k(a – 1) (4)
 a 1
 k(a 1) 0 
 Vì a – 1 0 (do a , a > 0) và k , k > 0 nên từ (4) có: a 2
 k(a 1) 1 
 k 1
 m 1 2
 b 1 1 b 2
 - Với a = 1. Thay vào (3) ta được: (m – 1)(b – 1) = 2 
 m 1 1 b 3
 b 1 2
 Vậy, trường hợp này ta có: a = 1, b = 2 hoặc a = 1, b = 3.
 b 1
 - Với a = 2 (vì k = 1). Thay vào (3) ta có: (m – 1)(b – 1) = 0 .
 m 1
 Khi b = 1, ta được: a = 2, b = 1.
 Khi m = 1: Từ (1) suy ra a + k = b b = 3. Lúc này được: a = 2, b = 3.
 Tóm lại, có 4 cặp số (a; b) thỏa mãn bài toán là: (1; 2), (1; 3), (2; 3), (2; 1).
Câu 2: (Đề thi HSG 9 huyện 2013-2014)
 Tìm các số tự nhiên x, y biết rằng: 2x 1 2x 2 2x 3 2x 4 5y 11879 .
 Lời giải
 Đặt A 2x 1 2x 2 2x 3 2x 4 , ta có 2x.A là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp 
 nên 2x.A chia hết cho 5. Nhưng 2x không chia hết cho 5, do đó A chia hết cho 5. Nếu y 1, ta có 2x 1 2x 2 2x 3 2x 4 5y chia hết cho 5 mà 11879 không 
chia hết cho 5 nên y 1 không thỏa mãn, suy ra y = 0.
Khi đó , ta có 2x 1 2x 2 2x 3 2x 4 5y 11879
 2x 1 2x 2 2x 3 2x 4 1 11879
 2x 1 2x 2 2x 3 2x 4 11880
 2x 1 2x 2 2x 3 2x 4 9.10.11.12 x 3.
Vậy x 3; y 0 là hai giá trị cần tìm.