Chuyên đề học sinh giỏi Toán Lớp 9 - Chuyên đề 2: Bất đẳng thức – min, max (Có đáp án)

 Chuyên đề 2: BẤT ĐẲNG THỨC – MIN, MAX
Câu 1: (Đề thi HSG 9 tỉnh Hải Dương 2013-2014)
 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 2ab 6bc 2ac 7abc . Tìm giá trị nhỏ nhất 
 4ab 9ac 4bc
 của biểu thức C .
 a 2b a 4c b c
 Lời giải
 Từ gt : 2ab 6bc 2ac 7abc và a,b,c > 0 
 2 6 2
 Chia cả hai vế cho abc > 0 7
 c a b
 1 1 1 x, y, z 0
 Đặt x , y , z 
 a b c 2z 6x 2y 7
 4ab 9ac 4bc 4 9 4
 Khi đó C 
 a 2b a 4c b c 2x y 4x z y z
 4 9 4
 C 2x y 4x z y z (2x y 4x z y z)
 2x y 4x z y z
 2 2 2
 2 3 2 
 x 2y 4x z y z 17 17
 x 2y 4x z y z 
 1
 Khi x ,y z 1 thì C = 7
 2
 Vậy GTNN của C là 7 khi a =2; b =1; c = 1
Câu 2: (Đề thi HSG 9 tỉnh Phú Thọ - 2013-2014)
 Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x+y+z=3
 2x2 y2 z2 2y2 x2 z2 2z2 y2 x2
 Chứng minh rằng 4xyz
 4 yz 4 xz 4 yx
 Lời giải
 2x2 y2 z2 2y2 x2 z2 2z2 y2 x2
 Ta có M = 4xyz
 4 yz 4 xz 4 yx x 2 y 2 x 2 z 2 x 2 y 2 y 2 z 2 z 2 y 2 x 2 z 2
 M 4(*)
 xyz(4 yz) xyz(4 xz) xyz(4 yx) 
 2xy 2xz 2xy 2yz 2xz 2yz
 M N
 xyz(4 yz) xyz(4 xz) xyz(4 yx)
 y z x z x z 
 N 2 
 yz(4 yz) xz(4 xz) yx(4 yx) 
 1 1 1 1 1 1 
 N 2 2 
 z(4 yz) x(4 yz) y(4 yx) y(4 yz) zx(4 yz) x(4 yx) 
 6 6 123 3
 N 
 3 xyz(4 yz)(4 xz)(4 xy) 3 xyz(4 yz)(4 xz)(4 xy) 3 3xyz(4 yz)(4 xz)(4 xy)
 Mặt khác 
 4 4
 3xyz 4 xz 4 xy 4 yz 3xyz 12 xz xy yz 
 3xyz(4 xz)(4 yz)(4 xy) 
 4 4 
 1 1 1 9
 Ma 3
 x y z x y z
 xy yz xz
 3 3xyz xy xz yz 0
 xyz
 4
 3xyz 12 xz xy yz 
 3xyz(4 xz)(4 yz)(4 xy) 81
 4 
 3 3xyz(4 xy)(4 xz)(4 yz) 33 3
 123 3
 Nên M N 4 BĐT (*) được cm dấu “=” xảy ra khi x = y = z =1
 33 3
Câu 3: (Đề thi HSG 9 tỉnh Thanh Hóa - 2013-2014)
 Cho x, y là các số thực dương thoả mãn x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 B 1 1 .
 x3 y3 xy
 Lời giải
 1 2xy
 Ta có: B 1 1 1 1 .
 (x y)3 3xy(x y) xy 1 3xy xy xy(1 3xy)
 (x y)2
 Theo Côsi: xy 1 .
 4 4
 1 2xy
 Gọi B là một giá trị của B, khi đó, tồn tại x, y để: B 
 o o xy(1 3xy)
 2
 3Bo(xy) – (2 + Bo)xy + 1 = 0 (1) B 4 2 3
 2 o
 Để tồn tại x, y thì (1) phải có nghiệm xy = Bo – 8Bo + 4 0 
 Bo 4 2 3
 Để ý rằng với giả thiết bài toán thì B > 0. Do đó ta có: Bo 4 2 3 .
 2 Bo 3 3 3 3
 Với Bo 4 2 3 xy x(1 x) 
 6Bo 6 2 3 6 2 3 
 2 3 2 3
 1 1 1 1
 2 3 3 3 3
 x x 0 x1 , x2 .
 6 2 3 2 2
 Vậy, Bmin 4 2 3 , đạt được khi
 2 3 2 3 2 3 2 3
 1 1 1 1 1 1 1 1
 3 3 3 3
 x1 , y1 hoặc x2 , y2 .
 2 2 2 2
Câu 4: (Đề thi HSG 9 huyện - 2013-2014)
 Cho x, y là các số dương.
 x y
 a) Chứng minh: 2.
 y x
 x y xy
 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M .
 y x x2 y2
 Lời giải
 x y
 a) Vì x > 0, y > 0 nên 0 và 0
 y x
 Áp dụng bất đẳng thức a b 2 ab dấu "=" xảy ra a b
 x y x y
 ta có 2 . 2
 y x y x
 x y
 Vậy 2.
 y x
 x y
 Dấu "=" xảy ra x2 y2 x y (vì x > 0, y > 0)
 y x
 x y 1 3a a 1
 b) Đặt a , ta có M a 
 y x a 4 4 a
 x y 3a 3
 Vì a 2 nên ; 
 y x 4 2
 a 1 a 1 1
 Ta có 2 . 2. 1
 4 a 4 a 2 1 3a a 1 3 5 5
 Do đó M a 1 ; M a 2 x y
 a 4 4 a 2 2 2
 5
 Vậy giá trị nhỏ nhất của M bằng khi và chỉ khi x y .
 2
Câu 5: (Đề thi HSG 9 tỉnh Thái Bình 2011-2012)
 x;y R
 Cho x; y thỏa mãn . Chứng minh rằng: x y 2 2 .
 1 
 0 x;y 1 y 1 x 3
 2
 Lời giải
 Từ giả thiết suy ra: 
 1 1 2
 ) x y 0 x y 2 xy (1)
 2 2 2
 1 1 1
 ) x x x. ; y y y. x x y y x y 2 
 2 2 2
 Lại có:
 1 2 2 2 2 1 
 xy xy xy xy 3 
 4 3 3 4 
 x y 2 2
 xy xy x y 4 
 2 3 6
 Từ (1), (2), (3) và (4) ta có:
 2 2 2 2 1 2
 x x y y x y x y xy x y 
 2 2 3 4 6
 2 2
 1 x y xy 
 3
 x y x x y y x y 2 2
 Suy ra: VT (đpcm) 
 1 y 1 x 1 x y xy 3
 Câu 6: (Đề thi vào 10 chuyên Lạng Sơn 2013-2014)
 3x 4
 Với x là số thực. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = 
 x2 1
 Lời giải
 3x 4
 Ta có: A = A(x2 1) 3x 4 Ax2 3x A 4 0 , (*) có nghiệm x
 x2 1 Nếu A = 0 từ (*) có : x = -4/3 
 1 9
 Nếu A 0 có : 9 4A(A 4) 4(A 2)2 25 0 A 
 2 2
 1 b 9 1
 Vậy : min A khi x 3; max A khi x 
 2 2a 2 3
 Câu 7: (Đề thi HSG 9 tỉnh Nghệ An 2010-2011)
 4x+3
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A 
 x2 1
 Lời giải
 4x+3 x2 4x+4
 Ta có: A 1 
 x2 1 x2 1
 (x 2)2
 A 1 1
 x2 1
 Dấu "=" xảy ra x 2 0 x 2
 Vậy Amin 1 khi x = -2
Câu 8 (Đề thi vào 10 chuyên TPHCM 2010-2011)
 1 2 3
 Cho a , b là các số dương thỏa a 2 + 2b2 3c2 .Chứng minh + 
 a b c
 Lời giải
 1 2 9
 Ta có: 1 
 a b a 2b
 a 2b b 2a 9ab
 2a2 4ab 2b2 0
 ( đúng) 
 2 a b 0
 Ta có a+2b 3 a2 2b2 2 
 a 2b 2 3 a2 2b2 
 2a2 4ab 2b2 0
 (đúng) 
 2 a b 2 0
 1 2 9 9 3
 Từ (1) và (2) suy ra ( vì a2 2b2 3c2 )
 a b a 2b 3 a2 2b2 c Câu 9 (Đề HSG 9 huyện Xuyên Mộc 2016-2017)
 2016x2 2x 2016
 a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q 
 x2 1
 a b c
 b) Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng : 1 2 
 a b b c c a
 Lời giải
 a) Ta có: 
 2016x2 2x 2016 (2017x2 2017) (x2 2x 1)
 Q 
 x2 1 x2 1
 2017(x2 1) (x 1)2 (x 1)2
 2017 (*)
 x2 1 x2 1 x2 1
 (x 1)2
 Vì 0 nên từ (*) Q 2017
 x2 1
 (x 1)2
 Dấu “=” xảy ra 0 x 1 0 x 1
 x2 1
 Vậy max Q = 2017 x 1 
 b) Vì a, b, c là các số dương (gt) nên ta có:
 a a a c
 (1) 
 a b c a b a b c
 b b b a
 (2)
 a b c b c b c a
 c c c b
 (3)
 a b c c a c a b
 a b c
 Cộng từng vế (1), (2) và (3), ta có: 1 2 
 a b b c c a