Chuyên đề học sinh giỏi Toán Lớp 9 - Chuyên đề 5: Hàm số y = ax + b và y = ax² (Có đáp án)

 Chuyên đề 5: HÀM SỐ y = ax + b và y = ax^2
Câu 1: (Đề thi HSG 9 huyện Vĩnh Bảo 2013-2014)
 1 3
 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi (D) và (L) lần lượt là đồ thị của hai hàm số: y x 
 2 2
 và y x .
 a) Vẽ đồ thị (D) và (L).
 b) (D) và (L) cắt nhau tại M và N. Chứng minh OMN là tam giác vuơng.
 Lời giải
 1 3 3
 a) Đồ thị y x cĩ : x 0 y 
 2 2 2
 y 0 x 3
 x khi x 0
 Đồ thị y x 
 x khi x 0
 Đồ thị như hình vẽ:
 y
 N
 3
 (L)
 (D)
 3/2
 M
 1
 - 3 O 1 3 x
 b) Đồ thị (D) và (L) cắt nhau tại hai điểm cĩ tọa độ M(1; 1) và N( - 3; 3)
 Ta cĩ: OM = 12 12 2 OM2 = 2
 ON = 32 ( 3)2 3 2 ON2 = 18
 MN = (1 3)2 (1 3)2 20 MN2 = 20
 Vì: OM2 + ON2 = MN2 
 Vậy: tam giác OMN vuơng tại O Câu 2: (Đề thi HSG 9 tỉnh Thái Bình 2011-2012) 
 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y x2 và hai điểm A(-1;1), B(3;9) nằm trên 
 (P). Gọi M là điểm thay đổi trên (P) và cĩ hồnh độ là m 1 m 3 . Tìm m để tam giác 
 ABM cĩ diện tích lớn nhất.
 Lời giải
 1
 S AA' BB' .A'B'
 ABB'A' 2
 1
 1 9 .4 20
 2
 1
 S AA' MM' .A'M'
 AMM'A' 2
 1
 1 m2 m 1 
 2
 1
 S MM' BB' .B'M'
 MBB'M' 2
 1
 m2 9 3 m 
 2
 SABM SABB'A' SAMM'A' SMBB'M'
 8 2 m 1 2
 2
 Ta cĩ: SABM 8 2 m 1 8 và SABM 8 m 1 
 Suy ra SABM lớn nhất bằng 8 m = 1
 Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.
Câu 3: (Đề thi vào 10 chuyên tỉnh Lạng Sơn 2013-2014) 
 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = 2x – m + 1 và parabol (P): y = - x2. 
 a. Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm (1; 2);
 b. Giả sử đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A(x1; y1), B(x2; y2). Tìm m 
 2 2
 để (x1 – x2) + (y1 – y2) = 25.
 Lời giải
 a) Đường thẳng (d) đi qua điểm (1; 2) 2 = 2.1 – m + 1
 Vậy: m = 1
 b) Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt x2 + 2x – m + 1 = 0
 cĩ hai nghiệm phân biệt ' m 0
 Theo Định lí Viet: x1 + x2 = - 2, x1x2 = - m + 1
 Cĩ: y1 = 2x1 – m + 1, y2 = 2x2 – m + 1 => y1 – y2 = 2(x1 – x2) 
 2 2 2 2
 Nên: 25 = (x1 – x2) + (y1 – y2) = 5(x1 – x2) => (x1 – x2) = 5 2
 Hay: (x1 + x2) - 4x1x2 = 5 => 4 – 4(- m + 1) = 5 => m = 5/4 (t/m)
Câu 4: (Đề thi HSG 9 huyện Xuyên Mộc 2016 -2017)
 Trên mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) cĩ phương trình m 4 x m 3 y 1 
 (m là tham số). Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất.
 Lời giải
 Xét pt: m 4 x m 3 y 1
 Ta thấy: m 4 .0 m 3 .0 0 1 nên (d) khơng thể đi qua O(0;0)
 + m = 4 ta được y = 1 nên K/c từ (d) đến O bằng y 1
 + m = 3 ta được x = - 1 nên K/c từ (d) đến O bằng x 1 1 
 1 1 
 + m 3;m 4 thì (d) cắt Ox tại A ,0 và cắt Oy tại B 0, 
 m 4 m 3 
 Kẻ OH vuơng gĩc với (d) tại H; ta cĩ K/c từ O đến (d) là OH. 
 Dựa vào ΔOAB vuơng tại O chỉ ra được 
 2
 1 2 2 7 1 1
 2 (m 4) (m 3) 2 m 
 OH 2 2 2
 Suy ra được: OH 2
 7
 Suy được khoảng cách từ O đến (d) lớn nhất OH = 2 khi m = 
 2