Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT chuyên môn Toán - Chuyên đề 1: Căn bậc hai và bài toán liên quan - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019
Chuyên đề 1: CĂN BẬC HAI VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Câu 1.(Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc 2014-2015) 
 3x 16x 7 x 1 x 7 x 
 Cho biểu thức A  2 
 x 2 x 3 x 3 x 1 x 1 
 a) Rút gọn biểu thức A.
 b) Tìm x để A 6.
 Lời giải
 a) Rút gọn biểu thức A.
 x 0
 x 2 x 3 0
 Điều kiện: x 3 0 Từ đó: x 0; x 1; x 4
 x 1 0
 x
 2 0
 x 1
 Biến đổi:
 3x 16x 7 x 1 x 7
 x 2 x 3 x 3 x 1
 x 1 3 x 7 x 1 x 7
 x 1 x 3 x 3 x 1
 2 x 6 x 7 2 x 3 x 7 x 7 x 9
 2 
 x 3 x 1 x 3 x 1 x 1 x 1
 x x 2
 và 2 
 x 1 x 1
 x 9 x 2 x 9
 Từ đó: A : 
 x 1 x 1 x 2
 b) Tìm x để A 6.
 x 9
 Biến đổi: A 6 6 x 9 6 x 2 
 x 2
 7 x 21 x 9 (thỏa mãn điều kiện). 
 Vậy để A 6 thì x 9
Câu 2.(Đề thi HSG tỉnh Bắc Giang 2017-2018) 
 x 2 x 4 x 2 x 1 3 x 5 2 x 10 
 a) Cho biểu thức M : 
 x x 8 x 1 x 2 x 6 x 5 
 Rút gọn M và tìm x để M > 1
 b) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn ab bc ca 1. 
  Trang 1  TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019
 a b b c c a
Tính H= 
 1 c 1 a 1 b
 Lời giải
 x 2 x 4 x 2 x 1 3 x 5 2 x 10 
 a/ Cho biểu thức M : 
 x x 8 x 1 x 2 x 6 x 5 
 Rút gọn M và tìm x để M>1
 x 2 x 4 ( x 1)2 3 x 5 2 x 5 
 * M : 
 x 2 x 2 x 4 x 1 x 1 x 2 x 1 x 5 
 1 x 1 3 x 5 2 
 : 
 x 2 x 1 x 2 x 1 
 x 1 x 1 x 2 (3 x 5)( x 1) 2( x 2)
 :
 x 2 x 1 x 2 x 1 
 x 1 x 2 x x 2 3x 3 x 5 x 5 2 x 4
 :
 x 2 x 11 x 2 x 1 
 x 3 3x 9 x 3 x 2 x 1 x 1
 : 
 x 2 x 11 x 2 x 1 x 2 x 1 3(x 3) 3 x 1 
 x 1
 Vậy M= với x 0; x 1,3,4
 3 x 1 
 x 1 x 1 4 2 x 2 x
 *M<1 1 1 0 0 0
 3 x 1 3 x 1 3 x 1 x 1
 2 x 0
 x 1 0
 Ta có 1 x 2 1 x 4 . Vậy M > 1 khi 1< x < 4 và x 3 .
 2 x 0
 x 1 0
 b/Cho a, b, c >0 thỏa mãn ab bc ca 1. 
 a b b c c a
 Tính H= 
 1 c 1 a 1 b
 Vì ab bc ca 1 nên 1+c= ab bc ca c ... a c b c 
 Tương tự ta có 1 a a b a c ;1 b a b b c 
 a b b c c a
 Vậy H= 
 a c b c a b a c a b a c 
  Trang 2  TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019
 a c b c a b a c b c a b 
 = 
 a c b c a b a c b c a b 
 1 1 1 1 1 1
 = 0
 b c a c a c a b a b b c
Câu 3.(Đề thi HSG tỉnh Lạng Sơn 2017-2018) 
 x x x 4 x 4 x x x 4 x 4
 Cho biểu thức A với x 0, x 1, x 4 .
 2 3 x x x 2 3 x x x
 a) Rút gọn biểu thức A.
 (2 3) 7 4 3
 b) Tính giá trị của biểu thức A khi x .
 2 1
 Lời giải
 a) Rút gọn biểu thức A.
 Đặt t x , t 0,t 1,t 2 khi đó:
 t3 t 2 4t 4 t3 t 2 4t 4
 A 
 2 3t t3 2 3t t3
 (t 1)(t 2)(t 2) (t 1)(t 2)(t 2)
 A 
 (t 1)(t 1)(t 2) (t 1)(t 1)(2 t)
 t 2 t 2 2t 2 4 2
 A 2 
 t 1 t 1 t 2 1 t 2 1
 2
 A 2 
 x 1
 (2 3) 7 4 3
 b) Tính giá trị của biểu thức A khi x .
 2 1
 (2 3) 7 4 3 (2 3) (2 3)2 (2 3)(2 3) 1
 x x 2 1
 2 1 2 1 2 1 2 1
 2 2
 Do đó: A 2 2 2 2
 2 1 1 2
Câu 4.(Đề thi HSG tỉnh Phú Yên 2015-2016) 
 a a 1 a a 1 1 3 a 2 a
 Cho biểu thức: P ( a )( ).
 a a a a a a 1 a 1
 a) Rút gọn biểu thức P
 b) Chứng minh rằng với mọi giái trị của a (thỏa điều kiện thích hợp) ta đều có P>6.
 Lời giải
 a) Rút gọn biểu thức P
  Trang 3  TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019
 a3 13 a3 13 a2 1 3 a( a 1) (2 a)( a 1)
 p ( )( ).
 a( a 1) a( a 1) a ( a 1)( a 1) ( a 1)( a 1)
 ( a 1)(a a 1) ( a 1)(a a 1) a 1 3a 3 a 2 a 2 a a
 .
 a( a 1) a( a 1) a ( a 1)( a 1)
 (a a 1) (a a 1) a 1 2a 2 a 2
 .
 a a a ( a 1)( a 1)
 2 a ( a 1)( a 1) 2(a a 1)
 .
 a a ( a 1)( a 1)
 2(a a 1)
 2 
 a
 2 a 2a 2 a 2
 a
 2
 2 a 4
 a
 b) Chứng minh rằng với mọi giái trị của a (thỏa điều kiện thích hợp) ta đều có P>6.
 2 2
 Ta có 2 a 2 2 a. 4 vậy p 8 hay p 6(đpcm).
 a a
Câu 5.(Đề thi HSG tỉnh Thanh Oai 2013-2014) 
 x x 3 x 2 x 2
 Cho M (1 ) : ( )
 x 1 x 2 3 x x 5 x 6
 1. Rút gọn M
 2. Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức M nhận giá trị là số nguyên 
 Lời giải
 ĐKXĐ: x 0; x 4; x 9 (*) 
 1)Rút gọn M : Với x 0; x 4; x 9 
 x 1 x x 3 x 2 x 2 
 M : 
 x 1 x 2 x 3 ( x 2)( x 3) 
 1 ( x 3)( x 3) ( x 2)( x 2) ( x 2) 
 : 
 x 1 ( x 2)( x 3)
 1 x 9 (x 4) x 2
 :
 x 1 ( x 2)( x 3)
 x 2
 x 1
 x 2
 Vậy M (với x 0; x 4; x 9 ) (*) 
 x 1
 x 2 x 1 3 x 1 3 3
 2) M 1 
 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
  Trang 4  TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019
Biểu thức M có giá trị nguyên khi và chỉ khi: 3 x 1 x 1 U (3)
Ư(3) 1; 3  Vì x 0 x 0 x 1 1
Nên x 1 1;3  Xảy ra các trường hợp sau: 
. x 1 1 x 0 x 0 (TMĐK (*) )
. x 1 3 x 2 x 4 (không TMĐK (*) loại ) 
Vậy x = 0 thì M nhận giá trị nguyên. 
  Trang 5 