Giáo án Dạy thêm Đại số Lớp 9 - Chủ đề 16: Phương trình bậc hai một ẩn ax² + bx + c = 0 (a≠0)

 CÁC DẠNG BÀI TẬP TRỌNG TÂM
 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN ax2 + bx + c = 0 (a≠0)
DẠNG 1: TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC THEO TỔNG VÀ TÍCH HAI NGHIỆM.
I/ Phương pháp.
	- Áp dụng định lý viet, tính tổng và tích hai nghiệm.
	- Khai triển biểu thức theo tổng và tích hai nghiệm.
	=> Thay giá trị của tổng và tích vào biểu thức => Giá trị của biểu thức.
II/ Bài tập vận dụng.	
Bài 1: Cho phương trình x2 + x - = 0 có 2 nghiệm là x1 và x2 . Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức sau:
 	A = ; B = x12 + x22 ; C = ; D = x13 + x23
Bài 2: Gọi x1 ; x2 là các nghiệm của phương trình: x2 – 3x – 7 = 0. Tính:
Bài 3: Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình: 5x2 – 3x – 1 = 0. Không giải phương trình, tính giá trị của các biểu thức sau:
Bài 4: Cho phương trình x2 + 2x - 3 = 0 có 2 nghiệm là x1 và x2 . Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức sau:
 	A = ; 	B = x12 + x22 ; 	C = ; D = x13 + x23
DẠNG 2: LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI. TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ TÍCH.
I/ Phương pháp.
* Để lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 và x2 ta làm như sau:
+ Tính S = x1 + x2 và P = x1.x2
+ Phương trình bậc hai cần tìm là: x2 - S.x + P = 0
* Nếu hai số u; v có u + v = S ; u.v = P thì u và v có thể là hai nghiệm của phương trình bậc ha: x2 - S.x + P = 0
Tính ∆ = (-S)2 – 4P = S2 – 4P = ?
+ Nếu S2 – 4P < 0 thì không tồn tại x1 và x2. 
+ Nếu S2 – 4P ³ 0 thì tồn tại hai nghiệm x1 và x2 tính theo công thức nghiệm 
II/ Bài tập vận dụng.
Bài 1: Gọi x1 ; x2 là các nghiệm của phương trình: x2 – 3x – 7 = 0. Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là .
Bài 2: Lập phương trình bậc hai có 2 nghiệm là .
Bài 3: Cho phương trình x2 – 2(m -1)x – m = 0 (với m ≠ 0). Lập phương trình ẩn y thoả mãn 
.
Bài 4: Cho phương trình 2x2 – 4x – 10 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2. Không giải phương trình hãy thiết lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: y1 = 2x1 – x2 ; y2 = 2x2 – x1
Bài 5: Cho phương trình 2x2 + 4ax – a = 0 (a tham số, a ≠ 0) có hai nghiệm x1 ; x2. Hãy lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: 
Bài 6: Tìm hai số u và v biết: u + v = 42 và u.v = 441
Bài 7: Tìm hai số u và v biết: 
	a) u + v = - 42 và u.v = - 400 	
	b) u - v = 5 và u.v = 24 
	c) u + v = 3 và u.v = - 8 	
	d) u - v = -5 và u.v = -10 
DẠNG 3: CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CÓ NGHIỆM, VÔ NGHIỆM.
I/ Phương pháp.
	- Xác định các hệ số a ; b ; c của phương trình bậc hai (các hệ số này có thể phụ thuộc vào tham số m)
- Tính biệt thức ∆ = b2 – 4ac
	+ Để chứng ming PT vô nghiệm, ta chứng minh ∆ < 0
	+ Để chứng ming PT có nghiệm, ta chứng minh ∆ ≥ 0
	+ Để chứng ming PT có 2 nghiệm phân biệt, ta chứng minh ∆ > 0
II/ Bài tập vận dụng.
Bài 1: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm.
a) x2 – 2(m - 1)x – 3 – m = 0 ; 	b) x2 + (m + 1)x + m = 0 ;
c) x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0 ;	d) x2 + 2(m + 2)x – 4m – 12 = 0 ;
Bài 2: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm.
a) x2 – (2m + 3)x + m2 + 3m + 2 = 0 ;	b) x2 – 2x – (m – 1)(m – 3) = 0 ;
c) x2 – 2mx – m2 – 1 = 0 ; 	d) (m + 1)x2 – 2(2m – 1)x – 3 + m = 0 
Bài 2: Cho phương trình x2 - (m2 + 1)x + m = 2 . Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
Bài 3: Cho phương trình bậc hai: x2 - 2mx – m2 - 1 = 0. Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
DẠNG 4: ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC.
I/ Phương pháp.
	 Điều kiện phương trình 
vô nghiệm: ∆ < 0 	có nghiệm kép: ∆ = 0 
có hai nghiệm phân biệt ∆ > 0 	có nghiệm: ∆ ≥ 0
	‚ Phương trình có hai nghiệm trái dấu 
	ƒ Phương trình có hai nghiệm (nếu là hai nghiệm phân biệt thì dùng ∆ > 0).
cùng dấu 	cùng dấu dương 	cùng dấu âm 
„ Phương trình bậc hai có ít nhất 1 nghiệm dương hoặc 
… Phương trình bậc hai có ít nhất 1 nghiệm âm hoặc 
† Phương trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức f(x1, x2) 
B1: Xác định điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm (hai nghiệm phân biệt) rồi viết biểu thức Viet theo tham số m.
B2: Biến đổi hệ thức f(x1, x2) theo tổng và tích hai nghiệm x1 ; x2.
	‡ Phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 ; x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền cạnh huyền bằng k
	ˆ Phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 ; x2 là các nghiệm nguyên (số nguyên) (Chỉ xét khi x1.x2 = k là một số nguyên đã biết)
	+ Phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 ; x2 ó ó m .
	+ Hệ thức vi-ét
	+ Từ (2) ta có , để x1, x2 nguyên ó x2 phải ước của số nguyên k => Các cặp giá trị x1, x2 tương ứng.
	+ Thay cặp giá trị x1, x2 tìm được vào (1) tìm được giá trị m
	‰ Phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 ; x2 là độ dài đường cao và cạnh đáy của một tam giác có diện tích bằng k
II/ Bài tập vận dụng.
Bài 1: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 4m = 0
a) Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó.
b) Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 4. Tính nghiệm còn lại.
c) Với điều kiện nào của m thì phương trình có hai nghiệm cùng dấu (trái dấu)
d) Với điều kiện nào của m thì phương trình có hai nghiệm cùng dương (cùng âm).
e) Định m để phương trình có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
f) Định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 2x1 – x2 = - 2.
g) Định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 sao cho A = 2x12 + 2x22 – x1x2 nhận giá trị nhỏ nhất.
Bài 2: Định m để phương trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ ra:
a) (m + 1)x2 – 2(m + 1)x + m – 3 = 0 ;	(4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18
b) mx2 – (m – 4)x + 2m = 0 ;	2(x12 + x22) = 5x1x2
c) (m – 1)x2 – 2mx + m + 1 = 0 ;	4(x12 + x22) = 5x12x22
d) x2 – (2m + 1)x + m2 + 2 = 0 ;	3x1x2 – 5(x1 + x2) + 7 = 0.
Bài 3: Định m để phương trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ ra:
a) x2 + 2mx – 3m – 2 = 0 ;	2x1 – 3x2 = 1
b) x2 – 4mx + 4m2 – m = 0 ; 	x1 = 3x2
c) mx2 + 2mx + m – 4 = 0 ; 	2x1 + x2 + 1 = 0
d) x2 – (3m – 1)x + 2m2 – m = 0 ;	x1 = x22
e) x2 + (2m – 8)x + 8m3 = 0 ;	x1 = x22
f) x2 – 4x + m2 + 3m = 0 ; 	x12 + x2 = 6.
Bài 4: Cho phươnmg trình: (m + 2)x2 – (2m – 1)x – 3 + m = 0. Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
Bài 5: Cho phương trình bậc hai: x2 – mx + m – 1 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 sao cho biểu thức đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.
Bài 6: Định m để phương trình mx2 – (m + 3)x + 2m + 1 = 0 có hiệu hai nghiệm bằng 2.
Bài 7: Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình: x2 + mx + 25 = 0. Chứng minh rằng |x1 + x2| > 10.
Bài 8: Cho phương trình: x2 + mx - 5 = 0. Tìm giá trị của m để phương trình có tổng bình phương các nghiệm bằng 11.
Bài 9: Tìm m để phương trình: (m - 1)x2 + 2x + m = 0 có ít nhất một nghiệm không âm.
Bài 10: Cho phương trình: x2 – (m + 2)x – 3 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 là các số nguyên.
Bài 11: Cho phương trình: x2 - (m + 5)x + 3m + 6 = 0. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5
DẠNG 5: SO SÁNH NGHIỆM CỦA PT BẬC HAI VỚI MỘT SỐ 𝛂
I/ Phương pháp.
- Phương trình có hai nghiệm x1 < x2 < α 
- Phương trình có hai nghiệm α < x1 < x2 
- Phương trình có hai nghiệm x1 < α < x2 
Viết các điều kiện trên theo yêu cầu của mỗi bài toán, thay định lý Vi-et vào điều kiện.
II/ Bài tập vận dụng.
Bài 1: Tìm m để phương trình: 2x2 – 4x + 5(m-1) = 0 có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 3.
Bài 2: Tìm m để phương trình: x2 + mx + m - 1 = 0 có hai nghiệm lớn hơn m.
Bài 3: Tìm a để phương trình x2 + ax – 1 = 0 có ít nhất một nghiệm lớn hơn 2
Hướng dẫn
	TH1: Phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn x1 2 < x2 
	TH2: Phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn 2 < x1 ≤ x2 
Bài 4: Tìm k để phương trình x2 + (2k + 1)x + k2 = 0 có ít nhất một nghiệm lớn hơn hay bằng 1
DẠNG 6: TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI KHÔNG PHỤ THUỘC THAM SỐ.
I/ Phương pháp.
	- Viết hệ thức Vi - ét của phương trình.
	- Biến đổi qua lại giữa tổng và tích trong hệ thức Vi - ét sao cho tham số m bị triệt tiêu, từ đó thu được hệ thức độc lập giữa hai nghiệm.
II/ Bài tập vận dụng.
Bài 1: Cho phương trình: x2 – mx + 2m – 3 = 0. 
Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào tham số m.
Bài 2: Cho phương trình bậc hai: (m – 2)x2 – 2(m + 2)x + 2(m – 1) = 0. 
Khi phương trình có nghiệm, hãy tìm một hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.
Bài 3: Cho phương trình: 8x2 – 4(m – 2)x + m(m – 4) = 0. 
Định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2. Tìm hệ thức giữa hai nghiệm độc lập với m, suy ra vị trí của các nghiệm đối với hai số – 1 và 1.
Bài 2: Cho phương trình bậc hai: (m – 1)2x2 – (m – 1)(m + 2)x + m = 0. 
Khi phương trình có nghiệm, hãy tìm một hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.
Bài 3: Cho phương trình: x2 – 2mx – m2 – 1 = 0.
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm x1 , x2 với mọi m.
b) Tìm biểu thức liên hệ giữa x1 ; x2 không phụ thuộc vào m.
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn: .
Bài 4: Cho phương trình: (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m = 0.
- Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2:
- Tìm một hệ thức giữa x1 ; x2 độc lập với m.
- Tìm m sao cho |x1 – x2| ≥ 2.
Bài 5: Cho phương trình (m – 4)x2 – 2(m – 2)x + m – 1 = 0. Chứng minh rằng nếu phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thì: 4x1x2 – 3(x1 + x2) + 2 = 0.
DẠNG 7: TÌM THAM SỐ m ĐỂ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CÓ NGHIỆM CHUNG.
I/ Phương pháp.
	Xét hai phương trình bậc hai sau:
	a1x2 + b1x + c1 = 0 có biệt thức ∆1 = 
	a2x2 + b2x + c2 = 0 có biệt thức ∆2 = 
	B1: Giải điều kiện tìm m để hai phương trình cùng có nghiệm.
	B2: Gọi xo là nghiệm chung của hai phương trình, giải hệ: 
	Dùng phương pháp cộng đại số để triệt tiêu , rồi tìm điều kiện để tồn tại xo
Nghiệm chung xo (có thể theo m hoặc không phụ thuộc vòa m) .
Thay xo vào một trong hai phương trình, giải tim m thỏa mãn điều kiện.
II/ Bài tập vận dụng.
Bài 1: Tìm m để hai phương trình sau có nghiệm chung:
x2 − 2mx − 4m + 1 = 0	(1)
x2 + (3m + 1)x + 2m + 1 = 0	(2)
Hướng dẫn
Điều kiện để cả hai pt có nghiệm: 
Giả sử xo là nghiệm chung của 2 phương trình đã cho, ta có: 
Vì hai phương trình có nghiệm chung nên tồn tại xo ∈ R ó 
Thế vào một trong hai pt của hệ trên, ta được: 
Giải phương trình trên ta thấy chỉ có: m = 1 là thỏa mãn điều kiện.
Vậy khi m = 1 thì 2 pt đã cho có nghiệm chung. 
Bài 2: Tìm m để hai phương trình sau có nghiệm chung:
2x2 – (3m + 2)x + 12 = 0
4x2 – (9m – 2)x + 36 = 0
Bài 3: Với giá trị nào của m thì hai phương trình sau có nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó:
a) 2x2 + (3m + 1)x – 9 = 0; 	6x2 + (7m – 1)x – 19 = 0.
b) 2x2 + mx – 1 = 0; 	mx2 – x + 2 = 0.
c) x2 – mx + 2m + 1 = 0; 	mx2 – (2m + 1)x – 1 = 0.
Bài 4: Cho hai phương trình:
x2 + x + a = 0
x2 + ax + 1 = 0
Tìm các giá trị của a để cho hai phương trình trên có ít nhất một nghiệm chung.
Bài 5: Cho hai phương trình:
x2 + mx + 2 = 0 (1)
x2 + 2x + m = 0 (2)
Định m để hai phương trình có ít nhất một nghiệm chung.
DẠNG 8: TÌM THAM SỐ m ĐỂ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TƯƠNG ĐƯƠNG.
I/ Phương pháp.
	Hai phương trình tương đương ó Chúng có cùng tập nghiệm (cùng vô nghiệm).
	Xét hai phương trình bậc hai sau:
	a1x2 + b1x + c1 = 0 có biệt thức ∆1 = ; Tổng S1 ; Tích P1
	a2x2 + b2x + c2 = 0 có biệt thức ∆2 = ; Tổng S2 ; Tích P2
Xảy ra hai trường hợp để Hai phương trình tương đương: 
- TH1: Trường hợp cả hai phương trinhg cùng vô nghiệm, tức là: 
- TH2: Trường hợp cả hai phương trình đều có nghiệm, tương đương ó 
II/ Bài tập vận dụng.
Bài 1: Cho hai phương trình:
x2 + x + a = 0
x2 + ax + 1 = 0
Với những giá trị nào của a thì hai phương trình trên tương đương.
Bài 2: Cho hai phương trình:
x2 + mx + 2 = 0 	(1)
x2 + 2x + m = 0 	(2)
Định m để hai phương trình tương đương.
DẠNG 9: CHỨNG MINH MỘT TRONG HAI PT BẬC HAI CÓ NGHIỆM.
I/ Phương pháp.
	Xét hai phương trình bậc hai sau:
	a1x2 + b1x + c1 = 0 có biệt thức ∆1 = 	hoặc 	
a2x2 + b2x + c2 = 0 có biệt thức ∆2 = 	hoặc 
	Một trong hai phương trình bậc hao có nghiệm
	ó ∆1 + ∆2 ≥ 0 hoặc + ∆2 ≥ 0 hoặc ∆1 + ≥ 0 hoặc + ≥ 0
	Tùy từng bài mà ta dùng một trong bốn hệ thức trên cho đơn giản và phù hợp.
II/ Bài tập vận dụng.
Bài 1: Cho a, b, c > 0; a + 2b + 3c = 1. Chứng minh một trong 2 phương trình sau có nghiệm:
4x2 - 4(2a + 1)x + 4a2 + 192abc + 1 = 0	(1)
4x2 - 4(2b + 1)x + 4b2 + 96abc + 1 = 0 	(2)
Bài 2: Chứng minh rằng ít nhất một trong các phương trình bậc hai sau đây có nghiệm:
ax2 + 2bx + c = 0 	(1)
bx2 + 2cx + a = 0 	(2)
Bài 3: Cho các phương trình: 
	x2 + bx + c = 0	(1)
	x2 + cx + b = 0	(2)
	Trong đó . Chứng minh có ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm.