Giáo án Dạy thêm Hình học Lớp 9 - Chủ đề: Bài tập tổng hợp (Phần 6)

BÀI TẬP TỔNG HỢP HÌNH LỚP 9 – PS 6
 CHỦ ĐỀ: TÌM VỊ TRÍ ĐIỂM ĐỂ TAM GIÁC, TỨ GIÁC 
 CÓ DIỆN TÍCH (CHU VI) ĐẠT Max hoặc Min 
Bài 1. Cho nửa đường tròn (O ; R) và hai đường kính MN và PQ vuông góc với nhau. Lấy điểm A trên cung nhỏ PN, PA cắt MN tại B, AQ cắt MN tại E
1) Chứng minh tứ giác OABQ là tứ giác nội tiếp
2) Nối AM cắt PQ và PN lần lượt tại C và I. Chứng minh rằng: MC . MA không đổi khi A di chuyển trên cung nhỏ PN.
3) Chứng minh : 
4) Tìm vị trí của điểm A để diên tích tam giác ACE đạt giá trị lớn nhất.
Bài 2. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao BE và CF cắt nhau tại H.
1) Chứng minh tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp;
2) Chứng minh AF.AB = AE.AC.
3) BE và CF lần lượt cắt (O) tại điểm thứ hai là M và N. Chứng minh EF // MN.
4) Giả sử B,C cố định; A thay đổi. Tìm vị trí của A sao cho tam giác AEH có diện tích lớn nhất.
Bài 3. Cho (O;R) đường kính AB cố định. Dây CD di động vuông góc với AB tại điểm H nằm giữa hai điểm A và O. Lấy điểm F thuộc cung AC nhỏ; BF cắt CD tại E; AF cắt tia DC tại I.
1) Chứng minh rằng: Tứ giác AHEF là tứ giác nội tiếp
2) Chứng minh rằng: HA.HB = HE.HI
3) Đường tròn ngoại tiếp cắt AE tại điểm thức hai M. Chứng minh: M thuộc (O;R)
4) Tìm vị trí của H trên OA để có chu vi lớn nhất.
Bài 4. Cho đường tròn (O; R). Một đường thẳng d không qua O cắt đường tròn (O) tại 2 điểm A và B. Trên đường thẳng d lấy điểm C sao cho CA < CB. Từ C kẻ hai tiếp tuyến CM và CN với đường tròn (M, N là các tiếp điểm). Đường thẳng qua O vuông góc với AB tại H cắt CN tại K
1) Chứng minh O, C, H, N cùng thuộc một đường tron.
2) Chứng minh KN.KC = KO.KH
3) Đoạn thẳng CO cắt (O) tại I. Chứng minh I là tâm đường tròn nột tiếp ∆CMN.
4) Một đường thẳng đi qua O và song song với MN cắt các tia CM, CN lần lượt tại E và F. Xác định vị trí của C trên đường thẳng d sao cho diện tích tam giác CEF nhỏ nhất.
Bài 5: Cho đường tròn tâm O bán kính R , dây BC cố định . Gọi A là điểm chính giữa cung nhỏ BC . E thuộc cung lớn BC . Nối AE cắt BC tại D . Gọi I Là trung điểm của BC , hạ CH vuông góc với AE tại H . Đường thẳng BE cắt CH tại M 
a) Chứng minh rằng : A , I , H , C cùng thuộc đường tròn 
b) Chứng minh: AD.AE = AB2 
c) Cho BC = R. Tính AC 
d) Tìm vị trí điểm E để diện tích tam giác MAC lớn nhất
Bài 6: Cho đường tròn tâm O bán kính R. Dây cung BC thuộc đường tròn sao cho BC < 2R. Điểm A di động trên cung lớn BC. Gọi AD, BE, CF là 3 đường cao của tam giác ABC, H là trực tâm. 
a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn, tìm tâm I của đường tròn đó 
b) Chứng minh tiếp tuyến tại E của đường tròn I luôn đi qua 1 điểm cố định 
c) Tìm vị trí của A để tam giác AEF có diện tích lớn nhất
Bài 7: Cho (O;R) và dây BC cố định không đi qua O. Từ A thuộc tia đối của tia BC vẽ các tiếp tuyến AM,AN với (O) (M, N là tiếp điểm,M thuộc cung nhỏ BC). Gọi I là trung điểm của BC,MI cắt (O) tại điểm thứ hai là P. Gọi giao của MN với OI là K. Tìm vị trí của A để diện tích tam giác ONK lớn nhất
Bài 8: Cho nửa đường tròn (O;R), đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn (Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB). Gọi M là một điểm bất kì trên nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M với nửa đgờng tròn Ax, By lần lượt ở C, D. 
a) Chứng minh AC.BD = R^2 
b) Chứng minh đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB 
c) Chứng minh MN song song với AC 
d) Tìm vị trí của M trên nửa đgờng tròn (O) để tứ giác ABDC có chu vi nhỏ nhất
Bài 10: Cho nửa đường tròn đường kính BC = 2R. Từ điểm A trên nửa đường tròn vẽ AH BC. Nửa đường tròn đường kính BH, CH lần lượt có tâm O1; O2 cắt AB, AC thứ tự tại D và E.
a) Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật, từ đó tính DE biết R = 25 và BH = 10
b) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn.
c) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác DEO2O1 đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị đó.
Bài 11:Cho đường tròn (O), đường kính AB, d1, d2 là các các đường thẳng lần lượt qua A, B và cùng vuông góc với đường thẳng AB. M, N là các điểm lần lượt thuộc d1, d2 sao cho = 900.
1) Chứng minh đường thẳng MN là tiếp tuyến của đường tròn (O).
2) Chứng minh AM . AN = .
3) Xác định vị trí của M, N để diện tích tam giác MON đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 12: Cho đường tròn cố định tâm O, bán kính R. Tam giác ABC thay đổi và luôn ngoại tiếp đường tròn (O). Một đường thẳng đi qua tâm O cắt các đoạn AB, AC lần lượt tại M và N. Xác định giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác AMN.
Bài 13: Cho AB là đường kính của đường tròn (O;R). C là một điểm thay đổi trên đường tròn. Kẻ CH vuông góc với AB. Gọi I là trung điểm của AC,OI cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn tại M,MB cắt CH tại K. Xác định vị trí của C để chu vi tam giác ACB đạt GTLN? Tìm GTLN đó theo R
Bài 14: Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng d không có điểm chung với đường tròn. M là một điểm thuộc đường thẳng d . Qua M kẻ tiếp tuyến MA,MB với đường tròn. Hạ OH vuông góc với d tại H. Nối AB cắt OM tại I, OH tại K. Tia OM cắt đường tròn (O;R) tại E
a) Chứng minh E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB
b) Tìm vị trí của M trên đường thẳng d để diện tích tam giác OIK có diên tích lớn nhất 
Bài 15: Cho đường tròn (O;R) đường kính CD = 2R. M là 1 điểm thay đổi trên OC . Vẽ đường tròn (O') đường kính MD. Gọi I là trung điểm của MC,đường thẳng qua I vuông góc với CD cắt (O) tại E,F. đường thẳng ED cắt (O') tại P
a) Chứng minh 3 điểm P, M, F thẳng hàng
b) Chứng minh IP là tiếp tuyến của đường tròn (O;R)
c) Tìm vị trí của M trên OC để diện tích tam giác IPO lớn nhất