Phân loại và phương pháp giải Hình học 9 - Chủ đề 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông, tỷ số lượng giác góc nhọn

 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9
CHỦ ĐỀ 1: 
 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG, TỶ SỐ LƯỢNG 
 GIÁC GÓC NHỌN
Câu 1. Cho M là một điểm bất kỳ thuộc miền trong của hình chữ nhật 
 ABCD . Chứng minh rằng MA2 + MC 2 = MB 2 + MD 2 .
 µ µ 0
Câu 2. Cho tứ giác ABCD có D + C = 90 . Chứng minh rằng 
 AB 2 + CD 2 = AC 2 + BD 2 .
Câu 3. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Lấy D thuộc 
 AD HE 1
cạnh AC , điểm E thuộc tia đối của tia HA sao cho = = . 
 AC HA 3
 · 0
Chứng minh rằng BED = 90 .
Câu 4. Cho hình vuông ABCD . Qua A vẽ một cát tuyến bất kỳ cắt các 
canh BC và CD (hoặc đường thẳng chứa các cạnh đó) tại các điểm E và 
 1 1 1
 F .Chứng minh rằng: + = Câu 5. Cho hình thoi ABCD 
 AE 2 AF 2 AD 2
 µ 0 · 0
với A = 120 . Tia Ax tạo với tia AB góc BAx bằng 15 và cắt cạnh BC 
tại M , cắt đường thẳng CD tại N . Chứng minh rằng: 
 1 1 4
 + = . Câu 6. Cho tam 
 AM 2 AN 2 3AB 2
 µ 0
giác cân ABC , A = 20 ,AB = AC,AC = b,BC = a . Chứng minh rằng: 
 a3 + b3 = 3ab2 .
Câu 7. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, BC = a,AC = b,AB = c . 
 a b c
Chứng minh rằng: = = . 
 sin A sin B sinC
Câu 8. Cho tam giác ABC có BC = a,AC = b,AB = c . Chứng minh 
 A a
rằng: sin £ . Câu 9. Cho góc vuông xOy và điểm A cố định 
 2 b + c
 291 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9
thuộc tia Oy , điểm B Î Ox sao cho OA = OB Điểm M chạy trên tia Bx . 
Đường vuông góc với OB tại B cắt AM ở I . Chứng minh tổng 
 1 1
 + không đổi.
 AI 2 AM 2
Câu 10. Cho hình thang vuông ABCD có 
 A = D = 90o,AB = 9cm,CD = 16cm,BC = 25cm . Điểm E thuộc cạnh 
 BC sao cho BE = AB
 · 0
 a) Chứng minh: AED = 90
 b) Tính AE,DE
 CHỦ ĐỀ 2: SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN, QUAN HỆ HAI ĐƯỜNG 
 TRÒN, GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
Câu 11. Cho đường tròn (O;R), R = 4cm . vẽ dây cung AB = 5cm , C là 
điểm trên dây cung AB sao cho AC = 2cm . Vẽ CD vuông góc với OA 
tại D . Tính độ dài đoạn thẳng AD .
Câu 12. Cho đường tròn (O;R), AC và BD là hai đường kính . Xác định 
vị trí của hai đường kính AC và BD để diện tích tứ giác ABCD lớn 
nhất.
Câu 13. Cho đường tròn (O; R) từ điểm M bên ngoài đường tròn ta kẻ hai 
đường thẳng lần lượt cắt đường tròn tại các điểm A, B và C, D biết 
 AB = CD . Chứng minh rằng MA = MC .
Câu 14. Cho đường tròn (O;R) đường kính AB,CD là dây cung của (O), 
 · 0
COD = 90 , CD cắt AB tại M (D nằm giữa C và M ) và OM = 2R . 
Tính độ dài các đoạn thẳng MD,MC theo R .
Câu 15. Cho điểm C nằm giữa hai điểm A và B . Gọi (O) là đường tròn 
bất kỳ đi qua A vàB . Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với OA , cắt 
292 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9
đường tròn (O) ở D và E . Chứng minh rằng các độ dài AD,AE không 
đổi.
Câu 16. Cho đường tròn (O;R), hai bán kính OA và OB vuông góc tại O . 
C và D là các điểm trên cung AB sao cho AC = BD và hai dây 
 AC,BD cắt nhau tại M . Chứng minh rằng OM ^ AB .
Câu 17. Cho điểm A ở ngoài đường tròn (O;R). Vẽ cát tuyến ABC và 
tiếp tuyến AM với đường tròn (O). M là tiếp điểm. Chứng minh rằng 
 AB + AC ³ 2AM .
Câu 18. Cho đoạn thẳng AB , đường thẳng d và d ' lần lượt vuông góc với 
 AB tại A và B . M là trung điểm của AB . Lấy C,D lần lượt trên d,d ' 
 · 0
sao cho CMD = 90 . Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của dường tròn 
đường kính AB .
Câu 19. Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O;R) vẽ hai tiếp tuyến PA và 
 PB tới đường tròn (O;R) với A và B là các tiếp điểm. Gọi H là chân 
đường vuông góc vẽ từ A đến đường kính BC của đường tròn. Chứng 
minh rằng PC cắt AH tại trung điểm I của AH .
Câu 20. Một đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB,AC lần 
lượt tại D,E . Cho điểm M thuộc đoạn thẳng AD ; CM cắt DE tại I . 
 IM DM
Chứng minh rằng = .
 IC CE
Câu 21. Cho đường tròn (O;r ) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại 
 D . Vẽ đường kính DE; AE cắt BC tại M . Chứng minh rằng 
 BD = CM .
Câu 22. Cho tam giác ABC . Một đường tròn tâm O nội tiếp tam giác 
 ABC và tiếp xúc với BC tại D . Đường tròn tâm I là đường tròn bàng 
 293 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9
tiếp trong góc A của tam giác ABC và tiếp xúc với BC tại F . Vẽ đường 
kính DE của đường tròn (O). Chứng minh rằng A,E,F thẳng hàng.
Câu 23. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với 
 BC,AB,AC lần lượt ở D,E,F . Đường thẳng qua E song song với BC 
cắt AD,DF lần lượt ở M ,N . Chứng minh rằng M là trung điểm của 
đoạn thẳng EN .
Câu 24. Cho tam giác nhọn ABC . Gọi O là trung điểm của BC . Dựng 
đường tròn tâm O đường kính BC . Vẽ đường cao AD của tam giác 
 ABC và các tiếp tuyến AM ,AN với đường tròn (O) (M ,N là các tiếp 
điểm). Gọi E là giao điểm của MN với AD . Hãy chứng minh rằng 
 AE.AD = AM 2 .
Câu 25. Cho tứ giác ABCD có đường tròn đường kính AD tiếp xúc với 
 BC và đường tròn đường kính BC tiếp xúc với AD . Chứng minh rằng 
 AB / /CD .
Câu 26. Cho tam giác đều ABC . Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa 
điểm A vẽ nửa đường tròn đường kính BC , D là điểm trên nủa đường 
 » 0
tròn sao cho sđCD = 60 . Gọi M là giao điểm của AD với BC . Chứng 
minh rằng BM = 2MC .
Câu 27. Cho đường tròn (O;R) và (O ';R ') tiếp xúc trong tại A (R > R '). 
Tiếp tuyến tại điểm M bất kỳ của (O ';R ') cắt (O;R) tại B và C . Chứng 
 · ·
minh rằng BAM = MAC .
Câu 27. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R), AH là đường cao 
 (H Î BC ). Chứng minh rằng: AB.AC = 2R.AH .
 µ
Câu 28. Cho tam giác ABC có A nhọn nội tiếp trong đường tròn (O;R). 
 ·
Chứng minh rằng: BC = 2R sin BAC .
294 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9
Câu 29. Cho hai đường tròn (O) và (O ') cắt nhau tại A và B . Qua A vẽ 
hai cát tuyến CAD và EAF (C và E nằm trên đường tròn (O), D và F 
 · ·
nằm trên đường tròn (O ')) sao cho CAB = BAF . Chứng minh rằng 
CD = EF .
Câu 30. Cho đường tròn (O) đường kính AB . C là điểm trên cung AB (
C khác A và B ). Vẽ CH ^ AB (H Î AB). Vẽ đường tròn (C;CH ) cắt 
đường tròn (O) tại D và E . DE cắt CH tại M . Chứng minh rằng 
 MH = MC .
Câu 31. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Vẽ AD là đường 
 · ·
cao của tam giác ABC . Chứng minh rằng BAD = OAC .
Câu 32. Cho hình bình hành ABCD . Đường tròn ngoại tiếp tam giác 
 BCD cắt đường thẳng AC tại E . Chứng minh rằng đường tròn ngoại 
tiếp tam giác ABE tiếp xúc với BD .
Câu 33. Cho đoạn thẳng AB . M là điểm di động trên đoạn thẳng AB (
 M khác A và B ). Vẽ đường thẳng xMy vuông góc với AB tại M . Trên 
tia Mx lần lượt lấy C và D sao cho MC = MA, MD = MB . Đường tròn 
đường kính AC cắt đường tròn đường kính BD tại N (N khác A ). 
Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 34. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) có đỉnh A cố 
định, đỉnh B,C di động.Dựng hình bình hành ABDC . Chứng minh rằng 
trực tâm H của tam giác BDC là điểm cố định.
Câu 35. Cho tam giác nhọn ABC . Vẽ đường tròn (O) đường kính BC . 
Vẽ AD là đường cao của tam giác ABC , các tiếp tuyến AM ,AN với 
đường tròn (O) (M ,N là các tiếp điểm). MN cắt AD tại E . Chứng minh 
rằng E là trực tâm của tam giác ABC .
 295 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9
Câu 36. Cho tam giác nhọn ABC , trực tâm H . Từ A vẽ các tiếp tuyến 
 AM ,AN với đường tròn (O) đường kính BC (M ,N là các tiếp điểm). 
Chứng minh rằng M ,H,N thẳng hàng.
Câu 37. Cho tam giác ABC cân đỉnh A , đường trung trực của AB cắt 
 BC tại D . Chứng minh rằng AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp 
tam giác ACD .
 µ 0
Câu 38. Cho tam giác ABC (A = 90 )và AB < AC . Vẽ đường tròn tâm 
 A bán kính AB cắt BC tại D , cắt AC tại E . Chứng minh rằng 
 DB.CB = EB 2 .
Câu 39. Cho tam giác vuông ABC nội tiếp đường tròn 
 µ 0
 (O;R)(AB < AC,A = 90 ). Đường tròn (I ) qua B,C tiếp xúc với AB 
tại B , cắt đường thẳng AC tại D . Chứng minh rằng OA ^ BD .
Câu 40. Cho đoạn thẳng AB = 2a có trung điểm là O . Trên cùng một nửa 
mặt phẳng bờ AB dựng nửa đường tròn (O) đường kính AB và nửa 
đường tròn (O ') đường kính AO . Trên (O ') lấy điểm M (khác A và O ), 
tia OM cắt (O) tại C , gọi D là giao điểm thứ hai của CA với (O ').
a) Chứng minh tam giác ADM cân.
b) Tiếp tuyến tại C của (O) cắt tia OD tại E , xác định vị trí tương đối của 
đường thẳng EA đối với (O) và (O ').
Câu 41. Cho đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R . Gọi M là điểm 
di động trên đường tròn (O). Điểm M khác A,B ; dựng đường tròn tâm 
 M tiếp xúc với AB tại H . Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến AC và BD với 
đường tròn tâm M vừa dựng.
296 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9
 ·
a) Chứng minh BM ,AM lần lượt là các tia phân giác của các góc ABD và 
 ·
 BAC .
b) Chứng minh ba điểm C,M ,D nằm trên tiếp tuyến của đường tròn tâm 
O tại điểm M .
c) Chứng minh AC + BD không đổi, từ đó tính tích AC.BD theo CD .
d) Giả sử ngoài A,B trên nửa đường tròn đường kính AB không chứa M 
có một điểm N cố định. gọi I là trung điểm của MN , kẻ IP vuông góc 
với MB . Khi M chuyển động thì P chuyển động trên đường cố định nào.
Câu 42. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB , điểm C thuộc nửa 
 ¼
đường tròn. Gọi I là điểm chính giữa AC , E là giao điểm của AI và 
 BC . Gọi K là giao điểm của AC và BI .
a) Chứng minh rằng EK ^ AB .
b) Gọi F là điểm đối xứng với K qua I . Chứng minh AF là tiếp tuyến 
của (O).
c) Chứng minh rằng AK .AC + BK .BI = AB 2 .
 · 2
d) Nếu sin BAC = . Gọi H là giao điểm của EK và AB . Chứng 
 3
minh KH (KH + 2HE ) = 2HE.KE .
Câu 43. Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2A , điểm C thuộc đường 
tròn (C ¹ A,C ¹ B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C , kẻ tia 
 Ax tiếp xúc với đường tròn (O). Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ 
 AC . Tia BC cắt Ax tại Q , tia AM cắt BC tại N .
a) Chứng minh các tam giác BAN và MCN cân.
 297 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9
b) Khi MB = MQ , tính BC theo R .
Câu 44. Cho đường tròn (O;R) đường kính AC . Trên đoạn thẳng OC 
lấy điểm B và vẽ đường tròn(O ') có đường kính BC . Gọi M là trung 
điểm của AB , qua M kẻ dây cung vuông góc với AB cắt đường tròn (O) 
tại D và E . Nối CD cắt đường tròn (O ') tại I .
a) Tứ giác DAEB là hình có đặc tính gì? Vì sao?
b) Chứng minh MD = MI và MI là tiếp tuyến của đường tròn (O ').
c) Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên BC . Chứng minh 
CH.MB = BH.MC .
Câu 45. Cho tam giác ABC đều, dựng nửa đường tròn tâm D đường kính 
 BC tiếp xúc với AB,AC lần lượt tại K ,L . Lấy điểm P thuộc cung nhỏ 
 KL , dựng tiếp tuyến với nửa đường tròn tại P cắt các cạnh AB,AC lần 
lượt tại M ,N .
 BC 2
a) Chứng minh DBMD : DCDN rồi suy ra BM .CN = . 
 4
 S MN
b) Chứng minh MDN = . 
 SABC 2BC
c) Gọi E,F lần lượt nằm trên các cạnh AB,AC sao cho chu vi DAEF 
 · 0
bằng một nửa chu vi DABC . Chứng minh rằng EDF = 60 .
Câu 46. Cho tam giác ABC có AC = 2AB nội tiếp đường tròn (O;R). 
Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A,C cắt nhau tại M . BM cắt 
đường tròn (O) tại D . Chứng minh rằng:
 MA AD
a) = b) AD.BC = AB.CD .
 MB AB
298 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9
c) AB.CD + AD.BC = AC.BD . d) DCBD cân.
Câu 47. Trên nửa đường tròn tâm (O;R), đường kính AB lấy hai điểm 
 M ,E theo thứ tự A,M ,E,B . Hai đường thẳng AM và BE cắt nhau tại 
C , AE và BM cắt nhau tại D .
a) Chứng minh rằng tứ giác MCED nội tiếp và CD vuông góc với AB .
b) Gọi H là giao điểm của CD và AB . Chứng minh rằng 
 BE.BC = BH.BA .
c) Chứng minh rằng các tiếp tuyến tại M và E của đường tròn (O) cắt 
nhau tại một điểm I thuộc CD .
 · 0 · 0
d) Cho BAM = 45 ,BAE = 30 . Tính diện tích tam giác ABC theo R .
Câu 48. Cho tam giác ABC đều, gọi O là trung điểm của cạnh BC . Các 
 ·
điểm D,E lần lượt di động trên các cạnh AB,AC sao cho DOE bằng 
 600 .
a) Chứng minh BD.CE không đổi,
 ·
b) Chứng minh rằng tia DO là tia phân giác của BDE .
c) Dựng đường tròn tâm O tiếp xúc với AB . Chứng minh rằng đường 
tròn này luôn tiếp xúc với DE và AC .
d) Gọi P,Q lần lượt là tiếp điểm của (O) với AB,AC . I và N lần lượt là 
giao điểm của PQ với OD và OE . Chứng minh rằng DE = 2IN . 
Câu 49. Cho đường tròn (O;R) và điểm A ở bên ngoài đường tròn. Vẽ hai 
tiếp tuyến AB,AC với đường tròn (O) (B,C là các tiếp điểm). Gọi M là 
trung điểm AB .
a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp và xác định tâm I của đường tròn 
này.
 299 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9
b) Chứng minh rằng AM .AO = AB.AI .
c) Gọi G là trọng tâm tam giác ACM . Chứng minh MG / / BC .
d) Chứng minh IG vuông góc với CM .
Câu 50) Cho đường tròn (O;R) nội tiếp DABC , tiếp xúc với cạnh 
 AB,AC lần lượt ở D vàE
a) Gọi O ' là tâm đường tròn nội tiếp DADE , tính OO ' theo R .
 µ µ
b) Các đường phân giác trong của B và C cắt đường thẳng DE lần lượt 
tại M và N . Chứng minh tứ giác BCMN nội tiếp được đường tròn.
 MN DM EN
c) Chứng minh = = .
 BC AC AB
300