Phân loại và phương pháp giải Hình học 9 - Chương 9: Quỹ tích

 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9
 QUỸ TÍCH
 PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH
I). Định nghĩa:
Một hình H được gọi là tập hợp điểm ( Quỹ tích) của những điểm M thỏa 
mãn tính chất A khi và chỉ khi nó chứa và chỉ chứa những điểm có tính 
chất A .
II). Phương pháp giải toán:
Để tìm một tập hợp điểm M thỏa mãn tính chất A ta thường làm theo các 
bước sau:
Bước 1: Tìm cách giải:
+ Xác định các yếu tố cố định, không đổi, các tính chất hình học có liên 
quan đến bài toán
+ Xác định các điều kiện của điểm M
+ Dự đoán tập hợp điểm.
Bước 2: Trình bày lời giải:
 A. Phần thuận:Chứng minh điểm M thuộc hình H
 B. Giới hạn: Căn cứ vào các vị trí đặc biệt của điểm M để chứng minh 
 điểm M chỉ thuộc một phần B của hình H ( Nếu có)
 C. Phần đảo: Lấy điểm M bất kỳ thuộc B . Ta chứng minh điểm M 
 thoả mãn các tính chất A
 D. Kết luận: Tập hợp các điểm M là hình B . (Nêu rõ hình dạng và 
 cách dựng hình B )
III). MỘT SỐ DẠNG QUỸ TÍCH CƠ BẢN TRONG CHƯƠNG TRÌNH 
THCS
 203 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9
I). TẬP HỢP ĐIỂM LÀ ĐƯỜNG TRUNG TRỰC
Tập hợp các điểm M cách đều hai điểm A, B 
cho trước là đường trung trực của đoạn thẳng AB
Ví dụ 1: Cho góc xOy cố định và điểm A cố định nằm trên tia Ox .
 B là điểm chuyển động trên tia Oy , Tìm tập hợp trung điểm M của AB
 a) Phần thuận: 
+ Xét tam giác vuông OAB ta có : y
 B
 OM MA MB nên z
tam giác OAM cân tại M . Mặt khác OA cố định M
suy ra M nằm trên đường trung trực của đoạn 
 O x
 M1 A
thẳng OA . 
 b) Giới hạn: 
+ Khi B trùng với O thì M  M1 là trung điểm OA
+ Khi B chạy xa vô tận trên tia OB thì M chạy xa vô tận trên tia M1z
 c) Phần đảo . 
Lấy M bất kỳ thuộc tia M1z , AM cắt Oy tại B . Suy ra 
 MO MA M· AO M· OA. Mặt khác O· BM B· OM (cùng phụ với góc 
 M· AO M· OA ) MO MB . Suy ra MO MA MB . Hay M là trung 
điểm của AB .
 d) Kết luận: Tập hợp các trung điểm M của AB là đường trung trực 
 của đoạn OA .
II) TẬP HỢP ĐIỂM LÀ TIA PHÂN GIÁC
204 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9
Tập hợp các điểm M nằm trong góc xOy khác góc bẹt và cách đều hai 
cạnh của góc xOy là tia phân giác của góc xOy .
 y
 z
 M
 O x
Ví dụ 1) Cho góc xOy trên tia Ox lấy điểm A cố định . B là điểm chuyển 
động trên tia Oy . Tìm tập hợp các điểm C sao cho tam giác ABC vuông 
cân tại C . 
Giải: 
 y
 a) Phần thuận: z
 B
Dựng CH,CK lần lượt vuông góc với Ox,Oy
 K C
 thì vCAH vCBK CH CK . 
 C1
Mặt khác góc xOy cố định x
 O A H
suy ra C tia phân giác Oz của góc xOy
 b) Giới hạn, Phần đảo: Dành cho học sinh.
 c) Kết luận:Tập hợp điểm C là tia phân giác Oz của góc xOy
III). TẬP HỢP ĐIỂM LÀ ĐƯỜNG THẲNG , ĐƯỜNG THẲNG SONG 
SONG.
Ta thường gặp các dạng tập hợp cơ bản như sau: 
 205 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9
 1. Tập hợp các điểm M nằm trên đường thẳng đi qua các điểm cố 
 định A, B là đường thẳng AB
 2. Tập hợp các điểm M nằm trên đường thẳng đi qua điểm cố định 
 A tạo với đường thẳng (d) một góc không đổi 
 3. Tập hợp các điểm M cách đường thẳng (d) cho trước một đoạn 
 không đổi h là các đường thẳng song song với (d) và cách đường 
 thẳng (d) một khoảng bằng h
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC .Tìm tập hợp các điểm M sao cho 
 S
 MAB a 0 cho trước.
 SMAC
Hướng dẫn:
 A
Phần thuận: 
Gọi D là giao điểm của AM và BC . M
 H
Vẽ BH,CK lần lượt vuông góc 
 D
 B C
với AM , H, K AM
 K
 S BH S DB
Ta có: MAB ABD a . 
 SMAC CK SACD DC
 BD a 1 a
Suy ra 1 DB BC D là điểm cố định .
 CD a a 1
Vậy điểm M nằm trên đường thẳng (d) cố định đi qua A, D .
Phần còn lại dành cho học sinh.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC và điểm K chuyển động trên cạnh AC, P là 
điểm chuyển động trên trung tuyến BD của tam giác ABC sao cho 
 SAPK SBPC . Gọi M là giao điểm của AP, BK Tìm tập hợp các điểm M . 
Hướng dẫn: 
206 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9
Bài toán liên quan đến diện tích nên ta 
 A
dựng các đường cao F
 E
 K
 MF  AC, BE  AC, AH  BD,CI  BD I
 M1
 M D
Ta dễ chứng minh được: H
 P
 SABK MK MF SABD AH AD B C
 , 1 M2
 SAMK BK BE SBDC CI DC
 SAPB AH
Mặt khác ta cũng có: 1. Từ giả thiết ta suy ra SAPK SAPB . 
 SBPC CI
 S MK 1
Nhưng APK 1 BM BK
 SAPB BM 2
Vậy tập hợp điểm M là đường trung bình song song với cạnh AC của 
tam giác ABC trừ hai trung điểm M1, M 2 của tam giác ABC
điểm I .
Ví dụ 3: Cho đường tròn (O) có hai đường kính AB,CD vuông góc với nhau . 
Một điểm M chuyển động trên đoạn thẳng AB ( M không trùng với O,A,B) . 
Đường thẳng CM cắt (O) tại giao điểm thứ 2 là N . Đường thẳng vuông góc với 
 AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của (O) ở điểm P . Chứng minh rằng điểm P 
luôn chạy trên một đoạn thẳng cố định: 
Hướng dẫn:
 C
Điểm M,N cùng nhìn đoạn OP dưới 
một góc vuông nên tứ giác MNPO nội 
 A M O
tiếp suy ra M· NO M· PO M· DO . Từ đó B
suy ra MODP là hình chữ nhật . Do đó
 N
 MP OD R .
 P D
 207 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9
Vậy điểm P nằm trên đường thẳng song song với AB cách AB một 
khoảng không đổi R
Giới hạn: P thuộc đoạn thẳng nằm giữa hai tiếp tuyến tại A,B của (O)
Ví dụ 4: Cho nữa đường tròn đường kính BC trên nữa đường tròn lấy 
điểm A ( Khác B,C ) . Kẻ AH vuông góc với BC(H BC) . Trên cung AC 
lấy điểm D bất kỳ (khác A,C) . Đường thẳng BD cắt AH tại điểm 
 I.Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AID luôn nằm 
trên một đường thẳng cố định khi D thay đổi trên cung AC .
Hướng dẫn:
 · 0 · · D
Ta có: BDC 90 , BAH ACB A
cùng phụ với góc Bµ . Mặt khác A· DB A· CB
 K
 I
(cùng chắn cung AB ). Suy ra 
 C
 B H O
 B· AI A· DI suy ra AB là tiếp tuyến của
đường tròn ngoại tiếp tam giác ADI . Mặt khác AC cố định AC  AB nên 
tâm K của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADI luôn thuộc đường thẳng 
 AC . 
IV. TẬP HỢP ĐIỂM LÀ ĐƯỜNG TRÒN, CUNG CHỨA GÓC.
 1. Nếu A, B cố định. Thì tập hợp các điểm M sao cho ·AMB 900 là 
 đường tròn đường kính AB ( Không lấy các điểm A, B )
 2. Nếu điểm O cố định thì tập hợp các điểm M cách O một khoảng 
 không đổi R là đường tròn tâm O bán kính R .
 3. Tập hợp các điểm M tạo thành với 2 đầu mút của đoạn thẳng AB 
 cho trước một góc M· AB không đổi 0 1800 là hai cung 
 tròn đối xứng nhau qua AB . Gọi tắt là ‘’cung chứa góc ‘’
208 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9
 M
 α
 A A B
 O
 α
 M
Ví dụ 1. Cho tam giác cân ABC AB AC và D là một điểm trên cạnh 
 BC . Kẻ DM / /AB ( M AC ). DN / /AC N AB . Gọi D' là điểm đối xứng 
của D qua MN . Tìm quỹ tích điểm D' khi điểm D di động trên cạnh BC .
Hướng dẫn giải:
 A
 M
 D'
 N
 B D C
Phần thuận: Từ giả thiết đề ra ta thấy NB ND ND' , do đó ba điểm 
 1 1
 B,D,D' nằm trên đường tròn tâm N . Từ đó B· D'D B· ND B· AC (1). 
 2 2
Tương tự ta có ba điểm D',D,C nằm trên đường tròn tâm M . Nên 
 1 1
 D· D'C D· MC B· AC (2). Từ (1) và (2) suy ra B· D'C B· AC (không đổi). 
 2 2
Vì BC cố định, D' nhìn BC dưới một góc B· AC không đổi, D' khác phía 
với D (tức là cùng phía với A so với MN ) nên D' nằm trên cung chứa góc 
 B· AC vẽ trên đoạn BC (một phần của đường tròn ngoại tiếp tam giác 
 ABC ).
 209 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9
Phần đảo: Bạn đọc tự giải.
Kết luận: Quỹ tích của điểm D' là cung chứa góc BAC trên đoạn BC . Đó 
chính là cung B¼AC của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
Ví dụ 2. Cho đường tròn O và dây cung BC cố định. Gọi A là điểm di động 
trên cung lớn BC của đường tròn O ( A khác B , A khác C ). Tia phân giác 
của A· CB cắt đường tròn O tại điểm D khác điểm C . Lấy điểm I thuộc đoạn 
 CD sao cho DI DB . Đường thẳng BI cắt đường tròn O tại điểm K khác 
điểm B .
a) Chứng minh rằng tam giác KAC cân.
b) Chứng minh đường thẳng AI luôn đi qua một điểm J cố định.
c) Trên tia đối của tia AB lấy điểm M sao cho AM AC . Tìm quỹ tích các điểm 
 M khi A di động trên cung lớn BC của đường tròn O .
Hướng dẫn giải:
 M
 x D A
 K
 O
 B C
 J
 1 1
a) Ta có D· BK sđD¼A sđA¼K ;sđD· IB sđB»D sđK»C . 
 2 2 
Vì sđB»D sđD¼A và DBI cân tại D nên sđK»C sđA¼K . Suy ra AK CK 
hay KAC cân tại K (đpcm).
210 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9
b) Từ kết quả câu a, ta thấy I là tâm đường tròn nội tiếp ABC nên đường 
thẳng AI luôn đi qua điểm J (điểm chính giữa của cung B»C không chứa 
 A ). Rõ ràng J là điểm cố định.
 1
c). Phần thuận: Do AMC cân tại A , nên B· MC B· AC . Giả sử số đo B· AC 
 2
là 2 (không đổi) thì khi A di động trên cung lớn BC thì M thuộc cung 
chứa góc dựng trên đoạn BC về phía điểm O .
Phần đảo: Tiếp tuyến Bx với đường tròn O cắt cung chứa góc vẽ trên 
đoạn BC tại điểm X . Lấy điểm M bất kỳ trên C»x (một phần của cung 
chứa góc và vẽ trên đoạn BC M#X;M#C . Nếu MB cắt đường tròn O 
tại A thì rõ ràng A thuộc cung lớn BC của đường tròn O . 
Vì B· AC 2 ; A· MC suy ra AMC cân tại A hay AC AM . 
Kết luận: Quỹ tích các điểm M là cung C»x , một phần của cung chứa góc 
 vẽ trên đoạn BC về phía O trừ hai điểm C và X . 
Ví dụ 3. Cho đường tròn (O;R) và dây BC cố định. A là điểm di động 
trên đoạn thẳng BC . D là tâm của đường tròn đi qua A,B và tiếp xúc với 
 (O;R) tại B ; E là tâm của đường tròn đi qua A,C và tiếp xúc với (O;R) 
tại C . Tìm tập hợp các giao điểm M khác A của hai đường tròn (D) và 
 (E ).
Hướng dẫn:
 a) Phần thuận: 
 (O) và (D) tiếp xúc tại B Þ O,B,D thẳng hàng; (O) và (E ) tiếp xúc 
 ¶ µ ¶ ¶
tại C Þ O,E,C thẳng hàng. B1 = A1 (DB = DA), B1 = C1 (OB = OC ), 
 ¶ ¶ ¶ ¶ µ ¶
 A2 = C1 (EA = EC ). Suy ra B1 = A2,A1 = C1 , 
 ¶ ¶ µ ¶
 B1 = A2 Þ BO / / AE,A1 = C1 Þ DA / /OE . 
 211 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9
Do đó ADOE là hình bình hành. 
Gọi K là tâm hình bình hành 
 ADOE Þ K là trung điểm 
của AO và DE . (D) cắt (E ) tại A ,M O M
 D I
 E
 Þ DE là trung trực của AM . K
 1 1 2 1
 B C
 A
Gọi I là giao điểm của DE và AM . 
 IK là đường trung bình của
 DAMO Þ IK / / MO Þ DOME 
là hình thang. Mà DM = OE 
(cùng bằng bán kính của (D)). 
Vậy D,M ,O,E là bốn đỉnh của hình thang cân. Do đó D,M ,O,E cùng 
thuộc một đường tròn. 
 æ ö
 ç· · 1 · · · 1 · ÷
 DMBC : DADE çMBC = ADE = ADM ,MCB = AED = AEM ÷, 
 èç 2 2 ø÷
 · · ·
suy ra BMC = DAE = DOE (không đổi). BC cố định. vậy M thuộc 
 ·
cung chứa góc BOC .
b) Giới hạn:
Khi A º B thì M º B , Khi A º C thì M º C . Vậy M chuyển động 
 ·
trên cung chứa BOC .
 ·
c) Phần đảo: Lấy điểm M bất kỳ trên cung chứa góc BOC . Dựng đường 
tròn (D) qua M và tiếp xúc (O) tại B , đường tròn (D) cắt BC tại A . 
212