Tài liệu dạy học Hình học Lớp 9 - Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông - Bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Bài 2. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Định nghĩa
Với là góc nhọn trong tam giác vuông ta có
;
;
;
.
Cách ghi nhớ
“Tìm sin lấy đối chia huyền,
Cô-sin hai cạnh kề huyền chia nhau,
Còn tang thì phải tính sao?
Đối trên kề dưới chia nhau ra liền,
Cô-tang cũng dễ ăn tiền,
Kề trên đối dưới chia liền bạn ơi!”
2. Một số hệ thức và tính chất cơ bản
Với hai góc nhọn và thì
.
Với góc nhọn , ta có
.
Nếu tăng thì và tăng; còn và giảm.
;
;
;
.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Tính tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông khi biết độ dài hai cạnh
Bước 1: Tính độ dài cạnh thứ ba theo định lý Py-ta-go (nếu cần).
Bước 2: Tính các tỉ số lượng giác của góc nhọn theo yêu cầu đề bài.
Ví dụ 1. Tam giác vuông tại , ; . Tính tỉ số lượng giác của góc rồi suy ra các tỉ số lượng giác của góc .
Lời giải
Ta có .
Do đó 
Ví dụ 2. Tính tỉ số lượng giác của góc trong hình bên.
Lời giải
Ta có .
Do đó ; ;
	; .
Ví dụ 3. vuông tại có . Tính các tỉ số lượng giác của góc .
Lời giải
Ta đặt thì , suy ra
.
Ta có 
	.
Ví dụ 4. Tam giác cân tại , có , đường cao . Tính các tỉ số lượng giác của góc . 
Lời giải
Ta có ; . Do đó
Ví dụ 5. Tính trong hình bên.
Lời giải
Ta có .
Do đó .
Ví dụ 6. Tính trong hình bên.
Lời giải
Ta có ;
.
Do đó .
Mặt khác nên .
Dạng 2: Dựng góc nhọn khi biết tỉ số lượng giác của góc nhọn đó bằng .
Dựng một tam giác vuông có cạnh là m và n rồi vận dụng định nghĩa để nhận ra góc .
Ví dụ 7. Dựng góc , biết .
Lời giải
Ta có .
Dựng góc vuông ;
Trên cạnh đặt ;
Dựng đường tròn cắt cạnh tại .
Khi đó .
Ví dụ 8. Dựng góc , biết .
Lời giải
Ta có .
Dựng góc vuông ;
Trên cạnh đặt ;
Dựng đường tròn cắt cạnh tại .
Khi đó .
Ví dụ 9. Dựng góc , biết .
Lời giải
Ta có .
Dựng góc vuông ;
Trên cạnh đặt ;
Trên cạnh đặt .
Khi đó .
Ví dụ 10. Dựng góc , biết .
Lời giải
Dựng góc vuông ;
Trên cạnh đặt ;
Trên cạnh đặt .
Khi đó .
Dạng 3: Chứng minh hệ thức lượng giác
Sử dụng định nghĩa và một số hệ thức lượng giác cơ bản để chứng minh.
Ví dụ 11. Cho góc nhọn . Chứng minh rằng
a) ;	b) .
Lời giải
a) Xét vuông tại , (hình bên).
Ta có ; .
Vì nên , suy ra .
b) Ta có ; .
Vì nên , suy ra .
Ví dụ 12. Chứng minh các hệ thức
a) ;	b) .
Lời giải
a) .
b) . 
Ví dụ 13. Chứng minh rằng
a) ;	b) .
Lời giải
a) Ta có 
	.
Đẳng thức cuối cùng đúng nên đẳng thức đã cho là đúng.
b) Xét vế trái ; vế phải .
Rõ ràng .
Ví dụ 14. Chứng minh rằng .
Lời giải
Ta biến đổi vế trái
Ta thấy vế trái bằng vế phải.
Ví dụ 15. Chứng minh rằng . 
Lời giải
Xét vế trái
Ta thấy vế trái đúng bằng vế phải.
Dạng 4: Biết một giá trị lượng giác của góc nhọn, tính các tỉ số lượng giác khác của góc đó
Vận dụng các hệ thức cơ bản đã học.
Ví dụ 16. Cho biết ; tính , , .
Lời giải
Ta có 
.
Ví dụ 17. Cho biết ; tính , , .
Lời giải
Ta có 
.
Ví dụ 18. Cho biết , tính , , .
Lời giải
Ta có ; .
Do đó ; .
Ví dụ 19. Cho biết , tính , , .
Lời giải
Ta có ; .
Do đó ; .
Dạng 5: Tính giá trị lượng giác với các góc đặc biệt (không dùng máy tính hoặc bảng số)
Căn cứ vào bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt .
Căn cứ vào tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau.
Căn cứ vào các hệ thức lượng giác cơ bản.
Ví dụ 20. Tính giá trị của biểu thức
a) ;
b) .
Lời giải
a) .
b) .
Ví dụ 21. Tính giá trị của biểu thức
a) ;
b) .
Lời giải
a) 
b) 
Ví dụ 22. Tính giá trị của biểu thức sau với :
.
Lời giải
Ví dụ 23. Rút gọn các biểu thức sau với 
a) ;
b) .
Lời giải
a) .
b) 
Ví dụ 24. Cho biểu thức .
a) Chứng minh rằng ;
b) Tính giá trị của , biết .
Lời giải
a) .
b) Chia cả tử và mẫu của cho ta được
.
Dạng 6: So sánh các tỉ số lượng giác mà không dùng máy tính hoặc bảng số
Ví dụ 25. Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần
a) ;	b) .
Lời giải
a) Ta có ; .
Vì nên .
b) Ta có ; .
Vì nên .
Ví dụ 26. Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần
a) ;	b) .
Lời giải
a) Ta có ; .
Vì nên .
b) Ta có ; .
Vì nên .
Ví dụ 27. Cho , hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự giảm dần:
.
Lời giải
Vì nên .
Mặt khác góc phụ với góc .
Ta có ,
do đó .
Ví dụ 28. So sánh hai số và , biết ; .
Lời giải
Ta có 	;	(1)
	.	(2)
Từ () và () suy ra .
Dạng 7: Tìm góc nhọn thỏa đẳng thức cho trước
Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản để biến đổi về dạng cơ bản
Dùng MTBT hoặc bảng giá trị lượng giác các góc đặc biệt để tìm.
Cách dùng MTBT tìm khi biết (tương tự đối với và )
Nếu thì bấm các phím sau
.
Ví dụ 29. Tìm góc nhọn , biết
a) ;	b) .
Lời giải
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho hình bên. Tính và .
Lời giải
Ta có suy ra .
Tương tự suy ra .
Do đó và .
Bài 2. Chứng minh đẳng thức .
Lời giải
Ta có 
Vậy đẳng thức được chứng minh.
Bài 3. Cho góc nhọn .
a) Biết , hãy tính và .
b) Biết , hãy tính và .
Lời giải
a) Do mà nên
vì là góc nhọn nên do đó .
Mặt khác .
b) Do mà nên suy ra .
Vì là góc nhọn nên do đó .
Bài 4. Không dùng máy tính hoặc bảng số, hãy 
a) Tính giá trị của biểu thức .
b) Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần ; ; ; ; .
Lời giải
a) Ta có .
Tương tự và .
Do đó 
b) Ta có , và .
Mà mà nên 
Vậy 
Bài 6. Cho tam giác nhọn , độ dài các cạnh , , lần lượt bằng , , . 
a) Chứng minh rằng .
b) Chứng minh rằng nếu thì .
Lời giải
a) Kẻ . Ta có ; .
Do đó và .
Suy ra . 
b) Chứng minh tương tự .
Vậy .
Theo chứng minh trên suy ra .
Vì thì .
--- HẾT ---