Tài liệu dạy học Hình học Lớp 9 - Chương 3: Góc với đường tròn - Bài 2: Liên hệ giữa cung và dây

Bài 2. LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Lý thuyết bổ trợ
Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.
Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy.
Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây thì đi qua điểm chính giữa của cung bị căng bởi dây ấy.
Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại.
Định lí 1: Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau
Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.
Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.
Định lí 2: Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau
Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.
Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: So sánh hai cung
Sử dụng định nghĩa góc ở tâm, kết hợp với sự liên hệ giữa cung và dây.
Ví dụ 1. Cho tam giác cân tại nội tiếp trong đường tròn . Cho biết . So sánh các cung nhỏ , và .
Lời giải
Vì cân tại và nên .
Ta thấy nên .
Vậy .
Ví dụ 2. Chứng minh hai cung bị chắn bởi hai dây song song thì bằng nhau.
Lời giải.
Đặt và là hai cung bị chắn bởi hai dây song song .
Vì cân tại và là đường cao của nên 	(1)
Vì cân tại và là đường cao của nên 	(2)
Ta thấy 	(3)
Từ (1), (2) và (3), suy ra sđ = sđ.
Vậy = (đpcm).
Ví dụ 3. 
a) Chứng minh đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy.
b) Chứng minh đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại
Lời giải
a) Ta có 
 (do cân tại ).
Mà (c-c-c) .
Do đó (g-c-g) (đpcm).
b) Chiều thuận: Vì cân tại và là trung tuyến (cmt) nên .
Chiều ngược: Vì và cân tại nên
.
Ví dụ 4. Cho tam giác . Trên tia đối của tia lấy một điểm sao cho . Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác . Từ lần lượt hạ các đường vuông góc , với và .
a) Chứng minh ;	b) So sánh hai cung nhỏ và .
Lời giải
a) Xét , có (bđt tam giác) 	(1)
Mà 	(2)
Từ (1), (2) suy ra 
Vậy 
b) Vì (cmt) nên (liên hệ giữa cung và dây căng cung).
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Trên dây cung của một đường tròn , lấy hai điểm và chia dây này thành ba đoạn bằng nhau . Các bán kính qua và cắt cung nhỏ lần lượt tại . Chứng minh
a) ;	b) .
Lời giải
a) Vì cân tại nên .
Xét và , ta có
 (giả thiết);
 (chứng minh trên);
 (giả thiết).
 (cạnh – góc – cạnh).
 (hai góc tương ứng) hay .
Vậy (đpcm).
b) Vì nên . Do đó cân tại .
 hay (do và kề bù).
Xét , ta có
.
Xét và , ta có
;
;
;
.
Bài 2. Cho tam giác cân tại nội tiếp trong đường tròn . Cho biết . So sánh các cung nhỏ , và .
Lời giải
Vì cân tại và nên .
Ta thấy nên .
Vậy .
Bài 3. Cho hai đường tron bằng nhau và cắt nhau tại hai điểm và . Kẻ các đường kính , . Gọi là giao điểm thứ hai của với đường tròn .
a) So sánh các cung nhỏ BC và BD.
b) Chứng minh là điểm chính giữa của cung ().
Lời giải
a) Xét và , ta có
;
: cạnh chung;
 (giả thiết).
 (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
 (hai cạnh tương ứng);
.
b) Vì có nên vuông tại .
Mà 
 là điểm chính giữa của cung .
Bài 4. Cho đường tròn đường kính . Vẽ hai dây và song song với nhau sao cho số đo cung nhỏ . Vẽ dây song song với . Dây cắt tại . Chứng minh
a) ;	b) ;	c) .
Lời giải
a) Ta có .
b) .
.
 là trung trực .
Vì và là trung trực 
 (đpcm).
Bài 5. Cho đường tròn đường kính . Trên cùng nửa đường tròn lấy hai điểm . Kẻ vuông góc với tại , cắt tại điểm thứ hai . Kẻ vuông góc với tại , cắt tại điểm thứ hai . Chứng minh
a) Hai cung nhỏ bằng nhau.	b) Hai cung nhỏ bằng nhau.
c) 
Lời giải.
a) 
b) là đường trung trực của 
.
.
D. BÀI TẬP VỀ NHÀ
bài 6. Cho tam giác cân tại nội tiếp trong đường tròn . Cho biết . So sánh các cung nhỏ , và .
Lời giải
Vì cân tại và nên .
Ta thấy nên .
Vậy .
Bài 7. Cho đường tròn đường kính , kẻ hai dây và cùng song song với . Chứng minh
a) Hai cặp cung nhỏ , và , bằng nhau;
b) Hai cung nhỏ và bằng nhau.
Lời giải
a) Vì cân tại và là đường cao của nên 	(1)
Vì cân tại và là đường cao của nên 	(2)
Ta thấy 	(3)
Từ (1), (2) và (3), suy ra sđ = sđ hay = .
Mặc khác 	(4)
Từ (1), (2) và (4), suy ra sđ = sđ hay = .
b) Ta có sđ = sđ + sđ.
.
Vậy .
Bài 8. Cho đường tròn , kẻ dây bất kì. là điểm chính giữa cung , cắt dây tại . Chứng minh
a) là trung điểm của dây ;	b) vuông góc .
Lời giải
a) Ta có hay .
Do đó (c-g-c).
Vậy là trung điểm của dây (đpcm).
b) Vì cân tại và là trung tuyến của (cmt) nên .
Vậy (đpcm).
--- HẾT ---