Tài liệu dạy học Hình học Lớp 9 - Chương 3: Góc với đường tròn - Bài 3: Góc nội tiếp

Bài 3. GÓC NỘI TIẾP
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Định nghĩa
Góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai cung của đường tròn gọi là góc nội tiếp.
Cung nằm bên trong góc được gọi là bị cung chắn
2. Định lí
Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn.
HỆ QUẢ. Trong một đường tròn
Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.
Các góc nội tiêp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
Các góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng ) có số đo bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn một cung. 
Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Tính số đo góc, chứng minh các góc bằng nhau, đoạn thẳng bằng nhau
Dùng hệ quả phần kiến thức trọng tâm kiến thức và liên hệ giữa cung và dây cung để chứng minh các góc bằng nhau, các đoạn thẳng bằng nhau.
Ví dụ 1. Cho nửa đường tròn đường kính và dây căng cung có số đo bằng .
a) So sánh các góc của tam giác .
b) Gọi , lần lượt là điểm chính giữa của các cung và . Hai dây và cắt nhau tại . Chứng minh tia tia phân giác của góc .
Lời giải
a) (góc nội tiếp bằng một nửa số đo cung bị chắn), (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 
.
b) Do là các điểm chính giữa của các cung , lần lượt là phân giác của và . Mà là phân giác . 
Ví dụ 2. Cho và điểm cố định. Qua kẻ hai đường thẳng, đường thẳng thứ nhất cắt đường tròn tại và , đường thẳng thứ hai cắt đường tròn tại và . Chứng minh .
Lời giải
Trường hợp : nằm trong đường tròn. 
 (g.g) .
Trường hợp : nằm ngoài đường tròn. 
 (g.g) 
Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc, ba điểm thẳng hàng
Dùng hệ quả của phần Kiến thức trọng tâm và Liên hệ giữa cũng và dây cung để chứng minh hai đường thẳng bằng nhau, ba điểm thẳng hàng.
Ví dụ 3. Cho nửa đường tròn có đường kính và điểm nằm ngoài nửa đường tròn. Đường thẳng cắt nửa đường tròn ở , cắt nửa đường tròn ở . Gọi là giao điểm của và .
a) Chứng minh vuông góc với .
b) Gọi là trung điểm của . Chứng minh là tiếp tuyến của nửa đường tròn .
Lời giải
a) Dễ dàng chứng minh được là đường cao của tam giác . Mà .
 (tam giác cân tại )
 (tam giác cân tại )
Mà . Vậy là tiếp tuyến của .
Ví dụ 4. Cho tam giác nội tiếp đường tròn . Tia phân giác của góc cắt đường tròn tại . Tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh cắt đường tròn tại . Chứng minh
a) Tam giác cân.
b) Ba điểm thẳng hàng.
Lời giải
a) là phân giác nên .
 tam giác cân tại .
b) lần lượt là phân giác trong và phân giác ngoài góc . Do đó là đường kính, suy ra thẳng hàng.
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho đường tròn và hai dây song song , . Trên cung nhỏ , lấy điểm tùy ý. Chứng minh .
Lời giải
.
Bài 2. Cho đường tròn đường kính vuông góc dây cung tại . Chứng minh .
Lời giải
Tam giác vuông tại và tại .
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có 
 hay .
Bài 3. Cho tam giác nội tiếp đường tròn , hai đường cao và cắt nhau tại . Vẽ đường kính .
a) Tứ giác là hình gì?
b) Gọi là trung điểm của đoạn thẳng . Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
c) Chứng minh .
Lời giải
a) Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) , theo giả thiết ta cũng có . Suy ra . Chứng minh tương tự ta có . Do đó tứ giác là hình bình hành.
b) Do tứ giác là hình bình hành nên . Suy ra là trung điểm .
c) là đường trung bình của tam giác . Do đó .
Bài 4. Cho đường tròn đường kính , là điểm tùy ý trên nửa đường tròn khác và . Kẻ đường thẳng vuông góc với (). Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng chứa nửa đường tròn vẽ hai nửa đường tròn tâm đường kính và tâm đường kính . và cắt hai nửa đường tròn và lần lượt tại và . Chứng minh
a) .
b) Hai tam giác và tam giác đồng dạng.
c) là tiếp tuyến chung của hai đường tròn và .
Lời giải
a) Ta có 
 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). 
 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) .
 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) .
Do đó tứ giác có ba góc vuông, nên là hình chữ nhật .
b) Do tứ giác là hình chữ nhật nên 
. 
Mặt khác
 và .
Suy ra .
Do đó (g.g).
c) Do tứ giác là hình chữ nhật nên . Theo câu trên, ta có , . 	(1)
Ta có tam giác cân tại . Do đó 
. Kết hợp với ta được
.	(2)
Ta có tam giác cân tại . Do đó .	(3)
Ngoài ra .	(4)
Từ ta nhận được hay là tiếp tuyến của .
Chứng minh tương tự ta cũng nhận được là tiếp tuyến của .
D. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 5. Hai đường tròn có tâm , và điểm nằm trên đường tròn tâm (như hình vẽ bên).
a) Biết , tính .
b) Nếu thì có số đo bằng bao nhiêu?
Lời giải
a) Ta có .
b) Theo câu trên ta có . 
Bài 6. Cho đường tròn đường kính , lấy (khác và ). Vẽ tiếp tuyến của tại . Đường thẳng cắt tiếp tuyến đó tại . Chứng minh .
Lời giải
 là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn. 
Do đó .
Áp dụng Hệ thức lượng vào tam giác vuông tại ta có là đường cao tuong ứng với cạnh huyền .
.
Ví dụ 6. Cho đường tròn đường kính , là một điểm nằm bên ngoài đường tròn. và lần lượt cắt đường tròn tại và . Gọi là giao điểm của và . Chứng minh vuông góc với .
Lời giải
Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
 hay là đường cao của tam giác .
Chứng minh tương tự ta có là đường cao của tam giác .
Do đó là trực tâm của tam giác . Vậy .
Bài 7. Cho đường tròn và hai dây vuông góc với nhau. Gọi lần lượt là điểm chính giữa của các cung nhỏ và . Gọi là giao điểm của và . Chứng minh 
a) Ba điểm thẳng hàng.
b) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác .
Lời giải
a) Theo đề bài ra ta có , nên là đường kính (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Vậy ba điểm thẳng hàng.
Gọi và lần lượt là điểm chính giữa của các cung lần lượt là phân giác của và . Mà là tâm đường tròn nội tiếp tam giác .
--- HẾT ---