Tài liệu ôn tập học sinh giỏi môn Vật lý - Phần cơ học

PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CƠ HỌC CẤP THCS
PHẦN I: PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VẬT LÍ
I/ BÀI TẬP ĐỊNH TÍNH:
BƯỚC 1: Tìm hiểu đề bài
Tìm hiểu ý nghĩa vật lí của các từ ngữ trong đề bài và diễn đạt bằng ngôn ngữ vật lí.
Vẽ hình (nếu có).
Xác định dữ kiện đã cho và điều phải tìm.
BƯỚC 2: Phân tích hiện tượng vật lí.
Căn cứ vào những điều đã cho biết, xác định xem hiện tương nêu trong đề bài thuộc phần nào của kiến thức vật lí đã học, có liên quan đến khái niệm, định luật, quy tắc nào?
Đối với những hiện tượng vật lí phức tạp thì phải phân tích ra thành những hiện tượng vật lí đơn giản, chỉ bị chi phối bởi một nguyên nhân, một quy tắc hay định luật vật lí xác định.
Tìm hiểu hiện tượng vật lí diễn ra qua những giai đoạn nào; mỗi giai đoạn tuân theo định luật nào, quy tắc nào?
BƯỚC 3: Xây dựng lập luận cho việc giải bài tập.
Trình bày có hệ thống chặt chẽ lập luận logic để tìm ra mối liên hệ giữa nhựng điều cho biết và điều phải tìm.
BƯỚC 4: Biện luận kết quả thu được.
II/ BÀI TẬP ĐỊNH LƯỢNG:
BƯỚC 1: Tìm hiểu đề bài(Tóm tắt đề bài).
Tìm hiểu ý nghĩa vật lí của các từ ngữ trong đề bài.
Biễu diễn các đại lượng vật lí bằng kí hiệu, chữ cái quen dung quy ước trong SGK.
Vẽ hình (nếu có).
Xác định dữ kiện đã cho và điều phải tìm. 
BƯỚC 2: Phân tích hiện tượng vật lí.
Căn cứ vào những điều đã cho biết, xác định xem hiện tương nêu trong đề bài thuộc phần nào của kiến thức vật lí đã học, có liên quan đến khái niệm, định luật, quy tắc nào?
Đối với những hiện tượng vật lí phức tạp thì phải phân tích ra thành những hiện tượng vật lí đơn giản, chỉ bị chi phối bởi một nguyên nhân, một quy tắc hay định luật vật lí xác định.
Tìm hiểu hiện tượng vật lí diễn ra qua những giai đoạn nào; mỗi giai đoạn tuân theo định luật nào, quy tắc nào?
BƯỚC 3: Xây dựng lập luận cho việc giải bài tập.
Lập công thức có liên quan các đại lượng cho biết, đại lượng cần tìm.
Thực hiện các phép biến đổi toán học để tìm ra công thức toán học chứa các đại lượng đã biết và đại lượng cần tìm.
Đổi các đơn vị trong bài về cùng một hệ đơn vị và thực hiện các phép tính toán.
BƯỚC 4: Kết luận kết quả thu được hoặc đáp số.
PHẦN II- KIẾN THỨC BỔ TRỢ:
1. Chuyển động cơ – Chuyển động thẳng đều:
1.1 Chuyển động cơ:
- Định nghĩa: Chuyển động cơ của một vật là sự thay đổi vị trí của vật đó so với vật khác theo thời gian. 
- Quĩ đạo: Quĩ đạo của chuyển động cơ là tập hợp các vị trí của vật khi chuyển động tạo ra.
- Hệ qui chiếu: Để khảo sát chuyển động của một vật ta cần chọn hệ qui chiếu thích hợp. Hệ qui chiếu gồm:
O
O
x
x
y
+ Vật làm mốc, hệ trục tọa độ. (một chiều Ox hoặc hai chiều Oxy) gắn với vật làm mốc.
+ Mốc thời gian và đồng hồ.
1.2 Chuyển động thẳng đều:
- Định nghĩa: Chuyển động thẳng đều là chuyển động có quĩ đạo là đường thẳng và có vận tốc trung bình như nhau trên mọi quãng đường.
- Đặc điểm: Vận tốc của vật không thay đổi theo thời gian (v = const).
- Các phương trình chuyển động thẳng đều:
+ Vận tốc: v = Const
+ Quãng đường: s = 
+ Tọa độ: x = x0+v(t – t0)
0
x0
x
x
S
O
t
v
v
v>0
Đồ thị vận tốc - thời gian
S
Với x là tọa độ của vật tại thời điểm t; x0 là tọa độ của vật tại thời điểm t0 (Thời điểm ban đầu).
O
t
x
x0
v>0
v<0
Đồ thị tọa độ - thời gian
Đồ thị chuyển động thẳng đều: 
2. Chuyển động thẳng không đều:
2.1. Định nghĩa:
- Chuyển động thẳng không đều là chuyển động có quĩ đạo là đường thẳng và có vận tốc luôn thay đổi (tăng, giảm) theo thời gian. 
- Khi vận tốc của vật tăng dần theo thời gian, đó là chuyển động nhanh dần đều.
- Khi vận tốc của vật giảm dần theo thời gian, đó là chuyển động chậm dần đều.
2.2. Đặc điểm:
Trong chuyển động không đều, vận tốc của vật luôn thay đổi. Vận tốc của vật trên một quãng đường nhất định được giọi là vân tốc trung bình trên quãng đường đó:
Nói trung trên các quãng đường khác nhau thì vận tốc trung bình khác nhau.
3. Tính tương đối của chuyển động:
3.1. Tính tương đối của chuyển động:
Trạng thái chuyển động hay đứng yên của một vật có tính tương đối, nó phụ thuộc vào hệ qui chiếu mà ta chọn. 
3.2. Công thức cộng vận tốc:
- Công thức: 
Với: là vận tốc của vật (1) so với vật (2); là vận tốc vật (1) so với vật (3); là vận tốc vật (2) so với vật (3). 
- Các trường hợp riêng:
+ vuông góc với thì: 
+Khi: cùng hướng với thì: v13 = v12 + v23
+Khi: ngược hướng với thì: v13 = v12 - v23
4. Các loại lực cơ học:
4.1. Lực hấp dẫn:
- Lực hút giữa các vật với nhau.
- Trọng lực là trường hợp riêng của lực hấp dẫn, đó là lực hút của Trái Đất lên vật. Trọng lực có:
+ Điểm đặt: Tại trọng tâm của vật.
+ Phương: Thẳng đứng; Chiều: Hướng về Trái Đất.
+ Độ lớn: P = mg (thường lấy g = 10 (m/s2)). Được gọi là trọng lượng của vật.
4.2. Lực đàn hồi:
Xuất hiện khi vật đàn hồi bị biến dạng.
+ Điểm đặt: Tại vật gây ra biến dạng.
+ Phương: Cùng phương với lực gây biến bạng vật; Chiều: Ngược chiều lực gây biến dạng.
+ Độ lớn: Fđh = kx (K là độ cứng của lò xo, x là chiều dài khi lò xo biến dạng). 
4.3. Lực ma sát: 
Là lực xuất hiện cản trở chuyển động của vật (ma sát trượt, ma sát lăn, ma sát nghỉ)
+ Điểm đặt: Tại vật, chỗ tiếp xúc giữa vật và mặt tiếp xúc.
+ Phương: Cùng phương chuyển động của vật; Chiều: Ngược chiều với chuyển động của vật.
+ Độ lớn: Fms = μN (μ là hệ số ma sát, N là áp lực của vật lên mặt tiếp xúc). 
4.4. Biểu diễn lực:
Biểu diễn véctơ lực người ta dùng một mũi tên có:
- Gốc là điểm mà lực tác dụng lên vật (gọi là điểm đặt).
- Phương, chiều là phương chiều của lực.
- Độ dài mũi tên biểu diễn độ lớn của lực theo tỉ xích cho trước.
5. Công và năng lượng:
5.1. Công – công suất:
5.1.1. Công cơ học:
- Khi lực tác dụng cùng phương với phương chuyển động của vật: A = F.s
- Khi lực tác dụng có phương hợp với phương chuyển động của vật một góc α:
 A = F.s.cosα.
- Khi lực tác dụng có phương vuông góc với phương chuyển động của vật: A = 0
5.1.2. Công suất:
Công suất được xác định bằng công thực hiện trong một đơn vị thời gian:
 	v vận tốc của vật.
5.1.3. Hiệu suất:
5.2. Năng lượng:
- Động năng: 
- Thế năng:
Hấp dẫn: Wthd= mgh
	Đàn hồi: Wđh = 
- Cơ năng: W = Wđ + Wt
5.3. Máy cơ đơn giản:
RÒNG RỌC CỐ ĐỊNH
RÒNG RỌC ĐỘNG
ĐÒN BẢY
MẶT PHẲNG NGHIÊNG
CẤU TẠO
S2
S1
h1
S2
S1
l2
l1
h2
h
l
TÁC DỤNG
BIẾN ĐỔI LỰC
Chỉ có tác dụng biến đổi phương chiều của lực:
F = P
Biến đổi về độ lớn của lực:
Biến đổi về phương, chiều và độ lớn của lực.
CÔNG
CÓ ÍCH
Aich = P.S1
Aich = P.S1
Aich = P.h1
Aich = P.h
CÔNG TOÀN PHẦN
Atp = F.S2
Atp = F.S2
Atp = F.h2
Atp = Fl
TÍNH CHẤT CHUNG
Asinh ra = Anhận được
( Khi công hao phí không đáng kể)
HIỆU SUẤT
5.4. Định luật về công:
Không một máy cơ đơn giản nào cho ta lợi về công. Được lợi bao nhiêu lần về lực thì thiệt bấy nhiêu lần về đường đi và ngược lại.
PHẦN III – MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP:
1. Bài toán 1: CHUYỂN ĐỘNG THẲNG ĐỀU CỦA CÁC VẬT.
1.1. Phương pháp đại số:
Bước 1: Chọn hệ qui chiếu thích hợp (thường dựa vào các dữ kiện đặc biệt của đề bài) gồm:
- Gốc tọa độ: O
- Trục tọa độ: chiều (+)
- Gốc thời gian.
Bước 2: Xác lập mối liên hệ giữa các đại lượng đã cho với các đại lượng cần xác định bằng các công thức:
- Đường đi: 
- Vận tốc: 
- Tọa độ: x = x0 + v(t - t0)
- Khoảng cách giữa hai vật: Tùy dữ kiện của bài cụ thể.
Bước 3: Biến đổi và thực hiện tính toán dựa vào các dữ kiện đã cho.
Bước 4: Kiểm tra kết quả dựa vào đề bài và ý nghĩa vật lí của đại lượng cần tính và trả lời. (Biện luận bài toán)
Lưu ý: Đổi đơn vị sang đơn vị hợp pháp; Khi hai vật gặp nhau thì X1 = X2.
1.2. Phương pháp đồ thị:
1.2.1. Với loại bài toán: “Vẽ đồ thị dựa vào các dữ kiện đã cho”
- Xác định các điểm đặc biệt.
- Vẽ đồ thị, Chú ý giới hạn đồ thị (t>0).
1.2.2. Với loại bài toán “ Xác định các thông tin từ đồ thị”
- Xác định loại chuyển động:
+ Đồ thị v – t: Đồ thị song song với trục Ot (chuyển động thẳng đều); Đồ thị không song song với trục Ot (chuyển động không đều).
+ Đồ thị x – t: Đồ thị là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O (chuyển động thẳng đều); Đồ thị là đường cong ( chuyển động không đều).
- Tính vận tốc:
+ Đồ thị v – t: Vận tốc là giá trị tại giao điểm đồ thị với trục Ov.
+ Đồ thị x – t: Xác định hai điểm trên đồ thị (x1;t1) và (x2;t2) vận tốc của vật là:
- Tính quãng đường:
+ Đồ thị v – t: Là diện tích hình chữ nhật giới hạn bởi đồ thị và hai đường thẳng giới hạn bởi t = t1 và t = t2.
+ Đồ thị x – t: s = x2 – x1
- Viết công thức đường đi: Xác định v, t0 từ đồ thị, từ đó s = v(t – t0)
2. Bài toán 2: CHUYỂN ĐỘNG THẲNG KHÔNG ĐỀU CỦA CÁC VẬT.
2.1. Vận tốc trung bình của các vật:
2.1.1. Cho vận tốc trung bình v1, v2 trên các quãng đường s1, s2 tính vận tốc trung bình trên cả đoạn đường s. 
Cách giải: 
- Tính chiều dài quãng đường s: s = s1 + s2
- Tính thời gian của vật trên quãng đường s: t = t1 + t2. Với: .
- Tính vận tốc trung bình trên cả quãng đường s: .
2.1.2. Cho vận tốc trung bình v1, v2 trên các khoảng thời gian t1, t2 tính vận tốc trung bình trong khoảng thời gian t. 
- Tính chiều dài quãng đường vật đi được: s = s1 + s2 = v1t1 + v2t2.
- Tính thời gian của vật: t = t1 + t2. 
- Tính vận tốc trung bình trong khoảng thời gian t: .
2.2. Vận tốc tương đối của các vật:
- Đặt tên các vật liên quan đến chuyển động của vật bằng các số 1, 2, 3.
- Viết công thức vận tốc theo tên gọi của các vật: 
- Xác định hướng của véctơ vận tốc thành phần và .
+ vuông góc với thì: 
+Khi: cùng hướng với thì: v13 = v12 + v23
+Khi: ngược hướng với thì: v13 = v12 - v23
Chú ý: ; s = vt; các hệ thức trong tan giác khi cần thiết để giải.
3. Bài toán 3: CÔNG VÀ CÔNG SUẤT CỦA CÁC VẬT:
Các bước giải bài toán dạng này như sau:
- Xác định đầy đủ các lực tác dụng vào vật.
- Xác định góc hợp bởi hướng của các lực tác dụng và hướng của đường đi.
- Sử dụng công thức tính công cơ học và công suất để tính toán.
4. Bài toán 4: BÀI TOÁN THỰC NGHIỆM TRONG CƠ HỌC:
Các bước giải bài toán dạng này như sau:
- Xác định tác dụng cụ thể của các dụng cụ đo: Dùng để đo đại lượng nào?
- Xác định phương án sử dụng dụng cụ đo để đo các đại lượng tương ứng: Đo như thế nào?
- Xác lập mối quan hệ giữa các đại lượng đo được và đại lượng cần xác định qua các công thức cơ học đã biết từ đó suy ra các giá trị của các đại lượng cơ cần xác định.
PHẦN IV – MỘT SỐ BÀI TẬP MẪU
1. Các bài toán về chuyển động:
1.1. Bài tập có hướng dẫn giải:
Bài 1: Hai ôtô chuyển động đều ngược chiều nhau từ 2 địa điểm cách nhau 150km. Hỏi sau bao nhiêu lâu thì chúng gặp nhau biết rằng vận tốc xe thứ nhất là 60km/h và xe thứ 2 là 40km/h.
Hướng dẫn giải:
Giả sử sau thời gian t(h) thì hai xe gặp nhau
Quãng đường xe 1đi được là 
Quãng đường xe 2 đi được là 
Vì 2 xe chuyển động ngược chiều nhau từ 2 vị trí cách nhau 150km 
nên ta có: 60.t + 40.t = 150 => t = 1,5h
Vậy thời gian để 2 xe gặp nhau là 1h30’
Bài 2: Xe thứ nhất khởi hành từ A chuyển động đều đến B với vận tốc 36km/h. Nửa giờ sau xe thứ 2 chuyển động đều từ B đến A với vận tốc 5m/s. Biết quãng đường AB dài 72km. Hỏi sau bao lâu kể từ lúc xe 2 khởi hành thì:
a. Hai xe gặp nhau
b. Hai xe cách nhau 13,5km.
Hướng dẫn giải:
a. Giải sử sau t (h) kể từ lúc xe 2 khởi hành thì 2 xe gặp nhau:
Khi đó ta có quãng đường xe 1 đi đợc là: 	 S1 = v1(0,5 + t) = 36(0,5 +t)
Quãng đường xe 2 đi đợc là: 	 S2 = v2.t = 18.t
Vì quãng đường AB dài 72 km nên ta có:
36.(0,5 + t) + 18.t = 72 => t = 1(h)
Vậy sau 1h kể từ khi xe hai khởi hành thì 2 xe gặp nhau
Trường hợp 1: Hai xe chưa gặp nhau và cách nhau 13,5 km
Gọi thời gian kể từ khi xe 2 khởi hành đến khi hai xe cách nhau 13,5 km là t2
	Quãng đường xe 1 đi được là: S1’ = v1(0,5 + t2) = 36.(0,5 + t2)
	Quãng đường xe đi được là: S2’ = v2t2 = 18.t2
Theo bài ra ta có: 36.(0,5 + t2) + 18.t +13,5 = 72 => t2 = 0,75(h)
Vậy sau 45’ kể từ khi xe 2 khởi hành thì hai xe cách nhau 13,5 km
Trường hợp 2: Hai xe gặp nhau sau đó cách nhau 13,5km
Vì sau 1h thì 2 xe gặp nhau nên thời gian để 2 xe cách nhau 13,5km kể từ lúc gặp nhau là t3. Khi đó ta có:
18.t3 + 36.t3 = 13,5 => t3 = 0,25 h
Vậy sau 1h15’ thì 2 xe cách nhau 13,5km sau khi đã gặp nhau.
Bài 3: Một người đi xe đạp với vận tốc v1 = 8km/h và 1 người đi bộ với vận tốc v2 = 4km/h khởi hành cùng một lúc ở cùng một nơi và chuyển động ngược chiều nhau. Sau khi đi được 30’, người đi xe đạp dừng lại, nghỉ 30’ rồi quay trở lại đuổi theo người đi bộ với vận tốc như cũ. Hỏi kể từ lúc khởi hành sau bao lâu người đi xe đạp đuổi kịp người đi bộ?
Hướng dẫn giải:
Quãng đường người đi xe đạp đi trong thời gian t1 = 30’ là:
s1 = v1.t1 = 4 km
Quãng đường người đi bộ đi trong 1h (do người đi xe đạp có nghỉ 30’)
s2 = v2.t2 = 4 km
Khoảng cách hai người sau khi khởi hành 1h là:
S = S1 + S2 = 8 km
Kể từ lúc này xem như hai chuyển động cùng chiều đuổi nhau.
Thời gian kể từ lúc quay lại cho đến khi gặp nhau là: 
 Vậy sau 3h kể từ lúc khởi hành, người đi xe đạp kịp người đi bộ.
Bài 4: Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc v1 = 12km/h nếu người đó tăng vận tốc lên 3km/h thì đến sớm hơn 1h.
a. Tìm quãng đường AB và thời gian dự định đi từ A đến B.
b. Ban đầu người đó đi với vận tốc v1 = 12km/h được quãng đường s1 thì xe bị hỏng phải sửa chữa mất 15 phút. Do đó trong quãng đường còn lại người ấy đi với vận tốc v2 = 15km/h thì đến nơi vẫn sớm hơn dự định 30’. Tìm quãng đường s1.
Hướng dẫn giải:
a. Giả sử quãng đường AB là s thì thời gian dự định đi hết quãng đường AB là 
Vì người đó tăng vận tốc lên 3km/h và đến sớm hơn 1h nên.
Thời gian dự định đi từ A đến B là:	 
b. Gọi t1’ là thời gian đi quãng đường s1: 	
Thời gian sửa xe: 	
Thời gian đi quãng đường còn lại:	 
Theo bài ra ta có:	
Từ (1) và (2) suy ra 	
Hay 	
Bài 5: Một viên bi được thả lăn từ đỉnh dốc xuống chân dốc. Bi đi xuống nhanh dần và quãng đường mà bi đi được trong giây thứ i là (m) với i = 1; 2; ....;n
a. Tính quãng đường mà bi đi đợc trong giây thứ 2; sau 2 giây.
b. Chứng minh rằng quãng đường tổng cộng mà bi đi được sau n giây (i và n là các số tự nhiên) là L(n) = 2 n2(m).
Hướng dẫn giải:
a. Quãng đường mà bi đi được trong giây thứ nhất là: S1 = 4-2 = 2 m.
Quãng đường mà bi đi được trong giây thứ hai là: 	 S2 = 8-2 = 6 m.
Quãng đường mà bi đi được sau hai giây là: 	 S2’ = S1 + S2 = 6 + 2 = 8 m.
b. Vì quãng đờng đi được trong giây thứ i là S(i) = 4i – 2 nên ta có:
S(i) = 2
S(2) = 6 = 2 + 4
S(3) = 10 = 2 + 8 = 2 + 4.2
S(4) = 14 = 2 +12 = 2 + 4.3
..............
S(n) = 4n – 2 = 2 + 4(n-1)
Quãng đường tổng cộng bi đi được sau n giây là:
L(n) = S(1) +S(2) +.....+ S(n) = 2[n+2[1+2+3+.......+(n-1)]]
Mà 1+2+3+.....+(n-1) = nên L(n) = 2n2 (m)
Bài 6: Người thứ nhất khởi hành từ A đến B với vận tốc 8km/h. Cùng lúc đó người thứ 2 và thứ 3 cùng khởi hành từ B về A với vận tốc lần lượt là 4km/h và 15km/h khi người thứ 3 gặp người thứ nhất thì lập tức quay lại chuyển động về phía người thứ 2. Khi gặp người thứ 2 cũng lập tức quay lại chuyển động về phía người thứ nhất và quá trình cứ thế tiếp diễn cho đến lúc ba người ở cùng 1 nơi. Hỏi kể từ lúc khởi hành cho đến khi 3 người ở cùng 1 nơi thì người thứ ba đã đi được quãng đường bằng bao nhiêu? Biết chiều dài quãng đường AB là 48km.
Hướng dẫn giải:
Vì thời gian người thứ 3 đi cũng bằng thời gian ngời thứ nhất và người thứ 2 đi là t và ta có:
8t + 4t = 48 
 Vì người thứ 3 đi liên tục không nghỉ nên tổng quãng đường người thứ 3 đi là S3 = v3 .t = 15.4 = 60km.
Bài 7: Một học sinh đi từ nhà đến trường, sau khi đi đợc 1/4 quãng đường thì chợt nhớ mình quên một quyển sách nên vội trở về và đi ngay đến trường thì trễ mất 15’
a. Tính vận tốc chuyển động của em học sinh, biết quãng đường từ nhà tới trường là s = 6km. Bỏ qua thời gian lên xuống xe khi về nhà.
b. Để đến trường đúng thời gian dự định thì khi quay về và đi lần 2 em phải đi với vận tốc bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
a. Gọi t1 là thời gian dự định đi với vận tốc v, ta có: (1)
Do có sự cố để quên sách nên thời gian đi lúc này là t2 và quãng đường đi là (2)
Theo đề bài: 
Từ đó kết hợp với (1) và (2) ta suy ra v = 12km/h
b. Thời gian dự định 
Gọi v’ là vận tốc phải đi trong quãng đường trở về nhà và đi trở lại trường 
Để đến nơi kịp thời gian nên: 
Hay v’ = 20km/h
Bài 8: Ba người đi xe đạp từ A đến B với các vận tốc không đổi. Người thứ nhất và người thứ 2 xuất phát cùng một lúc với các vận tốc tương ứng là v1 = 10km/h và v2 = 12km/h. Người thứ ba xuất phát sau hai người nói trên 30’, khoảng thời gian giữa 2 lần gặp của người thứ ba với 2 người đi trước là . Tìm vận tốc của người thứ 3.
Hướng dẫn giải:
Khi người thứ 3 xuất phát thì người thứ nhất cách A 5km, người thứ 2 cách A là 6km. Gọi t1 và t2 là thời gian từ khi người thứ 3 xuất phát cho đến khi gặp người thứ nhất và người thứ 2.
Ta có: 
Theo đề bài nên
 =	 
Giá trị của v3 phải lớn hơn v1 và v2 nên ta có v3 = 15km/h.
Bài 9: Một ô tô vượt qua một đoạn đường dốc gồm 2 đoạn: Lên dốc và xuống dốc, biết thời gian lên dốc bằng nửa thời gian xuống dốc, vận tốc trung bình khi xuống dốc gấp hai lần vận tốc trung bình khi lên dốc. Tính vận tốc trung bình trên cả đoạn đường dốc của ô tô. Biết vận tốc trung bình khi lên dốc là 30km/h.
Hướng dẫn giải:
Gọi S1 và S2 là quãng đường khi lên dốc và xuống dốc
Ta có: ; mà , 
Quãng đường tổng cộng là:	 S = 5S1
Thời gian đi tổng cộng là: 	
Vận tốc trung bình trên cả dốc là:
Bài 10: Một người đi từ A đến B. quãng đường đầu người đó đi với vận tốc v1, thời gian còn lại đi với vận tốc v2. Quãng đường cuối cùng đi với vận tốc v3. tính vận tốc trung bình trên cả quãng đường.
Hướng dẫn giải:
Gọi S1 là quãng đường đi với vận tốc v1, mất thời gian t1
S2 là quãng đường đi với vận tốc v2, mất thời gian t2
S3 là quãng đường cuối cùng đi với vận tốc v3 trong thời gian t3
S là quãng đường AB.
Theo bài ra ta có: (1)
Và 
Do t2 = 2t3 nên (2)
(3)
Từ (2) và (3) suy ra 
Vận tốc trung bình trên cả quãng đường là:
Bài 11: Ba người đi xe đạp đều xuất phát từ A về B. Người thứ nhất khởi hành lúc 6 giờ đi với vận tốc v1= 8(km/ h), người thứ hai khởi hành lúc 6 giờ 15 phút đi với vận tốc v2=12(km/h), người thứ ba xuất phát sau người thứ 30 phút. Sau khi người thứ ba gặp người thứ nhất, người thứ ba đi thêm 30 phút nữa thì ở cách đều người thứ nhất và người thứ hai. Tìm vận tốc của người thứ ba.
Hướng dẫn giải:
Khi người thứ ba xuất phát thì người thứ nhất đó đi được l1= v1.t01= 8.0,75= 6 km; người thứ hai đi được l2= v2 t02= 12.0,5= 6 km.
- Gọi t1 là thời gian người thứ ba đi đến gặp người thứ nhất.
V3 t1 = l1 + v1 t1 = l1/ v3 – v1 = 6/ v3 – 8 ( 1)
Sau t2 = t1 + 0,5 (h) thỡ:
- Quãng đường người thứ nhất đi được là:
S1 = l1 + v1 t2 = 6 + 8 ( t1 + 0,5 )
-Quãng đường người thứ hai đi được là:
S2 = l2 + v1 t2 = 6 + 12 ( t1 + 0,5 )
- Quãng đường người thứ ba đi được là:
S3 = v3 t2 =v3 ( t1 + 0,5 )
Theo đề bài s2 – s3 = s3 – s1 hay S1 + S2 = 2 S3
 Suy ra : 
6 + 8 ( t1 + 0,5 ) + 6 + 12 ( t1 + 0,5 ) =2 v3 ( t1 + 0,5 ) ( 2)
Thay (1) vào (2) ta được: V32 - 18 V3 + 56 = 0; giải phương trình bậc hai với ẩn V3
V3 = 4 km/h ( loại vì V3 < V1 , V2 )
v3 ( t1 + 0,5 )
V3 = 14km/h ( thừa nhận)
Bài 12: Lúc 7h một người đi bộ khởi hành từ A đến B với vận tốc 4km/h. Lúc 9h một người đi xe đạp cũng khởi hành từ A về B với vận tốc 12km/h.
a. Hai người gặp nhau lúc mấy giờ? Lúc gặp cách A bao nhiêu?
b. Lúc mấy giờ hai người cách nhau 2km?
Hướng dẫn giải:
a/ Thời điểm và vị trí lúc hai người gặp nhau:
- Gọi t là khoảng thời gian từ khi người đi bộ đến khởi hành khi đến lúc hai người gặp nhau tại C.
- Quãng đường người đi bộ đi được: S1 = v1t = 4t 	(1)
- Quãng đường người đi xe đạp đi được: S2 = v2(t-2) = 12(t - 2) 	(2)
- Vì cùng xuất phát tại A đến lúc gặp nhau tại C nên: S1 = S2
- Từ (1) và (2) ta có:
4t = 12(t - 2) 4t = 12t - 24 t = 3(h)
- Thay t vào (1) hoặc (2) ta có:
(1) S1 = 4.3 =12 (Km)
(2) S2 = 12 (3 - 2) = 12 (Km)
Vậy: Sau khi người đi bộ đi được 3h thì hai người gặp nhau và cách A một khoảng 12Km và cách B 12Km.
b/ Thời điểm hai người cách nhau 2Km.
- Nếu S1 > S2 thì: 
S1 - S2 = 2 4t - 12(t - 2) = 2 4t - 12t +24 =2 t = 2,75 h = 2h45ph.
- Nếu S1 < S2 thì: 
S2 - S1 = 2 12(t - 2) - 4t = 2 12t +24 - 4t =2 t = 3,35h = 3h15ph.
Vậy: Lúc 7h + 2h45ph = 9h45ph hoặc 7h + 3h15ph = 10h15ph thì hai người đó cách nhau 2Km.
Bài 14: Lúc 9h hai ô tô cùng khởi hành từ hai điểm A và B cách nhau 96km đi ngược chiều nhau. Vận tốc xe đi từ A là 36km/h, vận tốc xe đi từ A là 28km/h.
a. Tính khoảng cách của hai xe lúc 10h.
b. Xác định thời điểm và vị trí hai xe gặp nhau.
Hướng dẫn giải:
a/ Khoảng cách của hai xe lúc 10h.
- Hai xe khởi hành lúc 9h và đến lúc 10h thì hai xe đã đi được trong khoảng thời gian t = 1h
- Quãng đường xe đi từ A: 
S1 = v1t = 36. 1 = 36 (Km)
- Quãng đường xe đi từ B:
S2 = v2t = 28. 1 = 28 (Km)
- Mặt khác: S = SAB - (S1 + S2) = 96 - (36 + 28) = 32(Km)
Vậy: Lúc 10h hai xe cách nhau 32Km.
b/ Thời điểm và vị trí lúc hai xe gặp nhau:
- Gọi t là khoảng thời gian từ khi người đi bộ đến khởi hành khi đến lúc hai người gặp nhau tại C.
- Quãng đường xe đi từ A đi được: S1 = v1t = 36t 	(1)
- Quãng đường xe đi từ B đi được: S2 = v2t = 28t 	(2)
- Vì cùng xuất phát một lúc và đi ngược chiều nhau nên: SAB = S1 + S2
- Từ (1) và (2) ta có:
36t + 28t = 96 t = 1,5 (h)
- Thay t vào (1) hoặc (2) ta có:
(1) S1 = 1,5.36 = 54 (Km)
(2) S2 = 1,5. 28 = 42 (Km)
Vậy: Sau khi đi được 1,5h tức là lúc 10h30ph thì hai xe gặp nhau và cách A một khoảng 54Km và cách B 42Km.
Bài 15: Cùng một lúc hai xe gắn máy cùng xuất phát từ hai điểm A và B cách nhau 60km, chúng chuyển động thẳng đều và đi cùng chiều nhau từ A đến B. Xe thứ nhất xuất phát từ A với vận tốc 30km/h, xe thứ hai khởi hành từ B với vận tốc 40km/h. 
a. Tính khoảng cách của hai xe sau khi chúng đi được 1h.
b. Sau khi xuất phát được 1h, xe thứ nhất bắt đầu tăng tốc và đạt vận tốc 60km/h. Hãy Xác định thời điểm và vị trí hai người gặp nhau.
Hướng dẫn giải:
a/ Khoảng cách của hai xe sau 1h.
- Quãng đường xe đi từ A: 
S1 = v1t = 30. 1 = 30 (Km)
- Quãng đường xe đi từ B:
S2 = v2t = 40. 1 = 40 (Km)
- Mặt khác: S = S1 + S2 = 30 + 40 = 70 (Km)
Vậy: Sau 1h hai xe cách nhau 70Km.
b/ Thời điểm và vị trí lúc hai người gặp nhau:
- Gọi t là khoảng thời gian từ khi người đi bộ đến khởi hành khi đến lúc hai người gặp nhau tại C.
- Quãng đường xe đi từ A đi được: S1 = v1t = 60t 	(1)
- Quãng đường xe đi từ B đi được: S2 = v2t = 40t 	(2)
- Vì sau khi đi được 1h xe thứ nhất tăng tốc nên có thể xem như cùng xuất một lúc và đến lúc gặp nhau tại C nên: S1 = 30 + 40 + S2
- Từ (1) và (2) ta có:
60t = 30 +40 +40t t = 3,5 (h)
- Thay t vào (1) hoặc (2) ta có:
(1) S1 = 3,5. 60 = 210 (Km)
(2) S2 = 3,5. 40 = 140 (Km)
Vậy: Sau khi đi được 3,5 h thì hai người gặp nhau và cách A một khoảng 210 + 30 = 240Km và cách B 140 + 40 = 180Km.
Bài 16: Một người dự định đi bộ một quãng đường với vận tốc không đổi là 5km/h, nhưng khi đi được 1/3 quãng đường thì được bạn đèo bằng xe đạp đi tiếp với vận tốc 12km/h do đó đến xớm hơn dự định là 28 phút. Hỏi nếu người đó đi bộ hết quãng đường thì mất bao lâu?
Hướng dẫn giải:
Gọi S1, S2 là quãng đường đầu và quãng đường cuối.
v1, v2 là vận tốc quãng đường đầu và vận tốc trên quãng đường cuối 
t1, t2 là thời gian đi hết quãng đường đầu và thời gian đi hết quãng đường cuối 
v3, t3 là vận tốc và thời gian dự định.
Theo bài ra ta có:
v3 = v1 = 5 Km/h; S1 = ; S2 = ; v2 = 12 Km
Do đi xe nên người đến xớm hơn dự định 28ph nên:
 	(1)
Mặt khác: 	(2)
	(3)
và: 
Thay (2) vào (3) ta có:
So sánh (1) và (4) ta được: 
Vậy: nếu người đó đi bộ thì phải mất 1h12ph.
Bài 17: Một canô chạy trên hai bến sông cách nhau 90km. Vận tốc của canô đối với nước là 25km/h và vận tốc của dòng nước là 2km/h.
a. Tính thời gian canô ngược dòng từ bến nọ đến bến kia.
b.Giả sử không nghỉ ở bến tới. Tính thời gian đi và về?
Hướng dẫn giải:
a/ Thời gian canô đi ngược dòng:
Vận tốc của canô khi đi ngược dòng:
vng = vcn - vn = 25 - 2 = 23 (Km)
Thời gian canô đi:
b/ Thời gian canô xuôi dòng:
Vận tốc của canô khi đi ngược dòng:
vx = vcn + vn = 25 + 2 = 27 (Km)
Thời gian cả đi lẫn về:
t = tng + tx = 7h14ph24giây
Bài 18: Hai bên lề đường có hai hàng dọc các vận động viên chuyển động theo cùng một hướng: Hàng các vận động viên chạy và hàng các vận động viên đua xe đạp. Các vận động viên chạy với vận tốc 6 m/s và khoảng cách giữa hai người liên tiếp trong hàng là 10 m; còn những con số tương ứng với các vận động viên đua xe đạp là 10 m/s và 20m. Hỏi trong khoảng thời gian bao lâu có hai vận động viên đua xe đạp vượt qua một vận động viên chạy? Hỏi sau một thời gian bao lâu, một vận động viên đua xe đang ở ngang hàng một vận động viên chạy đuổi kịp một vận động viên chạy tiềp theo
Hướng dẫn giải:
- Gọi vận tốc của vận động viên chạy và vận động viên đua xe đạp là: v1, v2 (v1> v2> 0). Khoảng cách giữa hai vận động viên chạy và hai vận động viên đua xe đạp là l1, l2 (l2>l1>0). Vì vận động viên chạy và vận động viên đua xe đạp chuyển động cùng chiều nên vận tốc của vận động viê đua xe khi chộn vận động viên chạy làm mốc là: 
v21= v2 - v1 = 10 - 6 = 4 (m/s).
- Thời gian hai vận động viên đua xe vượt qua một vận động viên chạy là: 
(s)
- Thời gian một vận động viên đua xe đạp đang ở ngang hàng một vận động viên chạy đuổi kịp một vận động viên chạy tiếp theo là: 
 (s)
Bài 19: Xe 1 và 2 cùng chuyển động trên một đường tròn với vận tốc không đổi. Xe 1 đi hết 1 vòng hết 10 phút, xe 2 đi một vòng hết 50 phút. Hỏi khi xe 2 đi một vòng thì gặp xe 1 mấy lần. Hãy tính trong từng trường hợp.
a. Hai xe khởi hành trên cùng một điểm trên đường tròn và đi cùng chiều.
b. Hai xe khởi hành trên cùng một điểm trên đường tròn và đi ngược chiều nhau.
Hướng dẫn giải:
- Gọi vận tốc của xe 2 là v ® vận tốc của xe 1 là 5v 
- Gọi t là thời gian tính từ lúc khởi hành đến lúc 2 xe gặp nhau.
® (C < t 50) C là chu vi của đường tròn
a/ Khi 2 xe đi cùng chiều.
- Quãng đường xe 1 đi được: S1 = 5v.t; Quãng đường xe 2 đi được: S2 = v.t
- Ta có: S1 = S2 + n.C
 Với C = 50v; n là lần gặp nhau thứ n	 
	® 5v.t = v.t + 50v.n ® 5t = t + 50n ® 4t = 50n ® t = 
Vì C < t 50 ® 0 < 50 ® 0 < 1 ® n = 1, 2, 3, 4.
 - Vậy 2 xe sẽ gặp nhau 4 lần
b/ Khi 2 xe đi ngược chiều.
	- Ta có: S1 + S2 = m.C (m là lần gặp nhau thứ m, mÎ N*)
 ® 5v.t + v.t = m.50v Û 5t + t = 50m ® 6t = 50m ® t = m 
	Vì 0 < t 50 ® 0 <m 50	
® 0 < 1 ® m = 1, 2, 3, 4, 5, 6	
- Vậy 2 xe đi ngược chiều sẽ gặp nhau 6 lần.
Bài 20: Một người đang ngồi trên một ô tô tải đang chuyển động đều với vật tốc 18km/h. Thì thấy một ô tô du lịch ở cách xa mình 300m và chuyển động ngược chiều, sau 20s hai xe gặp nhau.
 a. Tính vận tốc của xe ô tô du lịch so với đường?
 b. 40s sau khi gặp nhau, hai ô tô cách nhau bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
a) Gọi v1 và v2 là vận tốc của xe tải và xe du lịch.
Vận tốc của xe du lịch đối với xe tải là : v21	
Khi chuyển động ngược chiều
V21 = v2 + v1 (1) 	
Mà v21 = (2) 	
Từ (1) và ( 2) Þ v1+ v2 = Þ v2 = - v1 
Thay số ta có: v2 = 	 	
b) Gọi khoảng cách sau 40s kể từ khi 2 xe gặp nhau là l 
l = v21 . t = (v1+ v2) . t
Þ l = (5+ 10). 4 = 600 m.
l = 600m.
Bài 21: Hai vật chuyển động thẳng đều trên cùng một đường thẳng. Nếu chúng chuyển động lại gần nhau thì cứ sau 5 giây khoảng cách giữa chúng giảm 8 m. Nếu chúng chuyển động cùng chiều (độ lớn vận tốc như cũ) thì cứ sau 10 giây khoảng cách giữa chúng lại tăng thêm 6m. Tính vận tốc của mỗi vật.
Hướng dẫn giải:
Gọi S1, S2 là quãng đường đi được của các vật,
v1,v2 là vận tốc vủa hai vật.
	Ta có: S1 =v1t2 , S2= v2t2 
Khi chuyển động lại gần nhau độ giảm khoảng cách của hai vật bằng tổng quãng đường hai vật đã đi:	S1 + S2 = 8 m
S1 + S2 = (v1 + v2) t1 = 8
	v1 + v2 = = = 1,6 (1) 
	- Khi chúng chuyển động cùng chiều thì độ tăng khoảng cách giữa hai vật bằng hiệu quãng đường hai vật đã đi: S1 - S2 = 6 m 
	S1 - S2 = (v1 - v2) t2 = 6
	v1 - v2 = = = 0,6 (2) 	
Lấy (1) cộng (2) vế với vế ta được 2v1 = 2,2 v1 = 1,1 m/s
	Vận tốc vật thứ hai: v2 = 1,6 - 1,1 = 0,5 m/s 
Bài 22: Lúc 6 giờ sáng một người đi xe gắn máy từ thành phố A về phía thành phố B ở cách A 300km, với vận tốc V1= 50km/h. Lúc 7 giờ một xe ô tô đi từ B về phía A với vận tốc V2= 75km/h.
a. Hỏi hai xe gặp nhau lúc mấy giờ và cách A bao nhiêu km?
b. Trên đường có một người đi xe đạp, lúc nào cũng cách đều hai xe trên. Biết rằng người đi xe đạp khởi hành lúc 7 h. Hỏi.
-Vận tốc của người đi xe đạp?
-Người đó đi theo hướng nào?
-Điểm khởi hành của người đó cách B bao nhiêu km?
 Hướng dẫn giải:
a/ Gọi t là thời gian hai xe gặp nhau
Quãng đường mà xe gắn máy đã đi là :
S1= V1.(t - 6) = 50.(t-6) 	 
Quãng đường mà ô tô đã đi là :
S2= V2.(t - 7) = 75.(t-7)	 
Quãng đường tổng cộng mà hai xe đi đến gặp nhau.
AB = S1 + S2	 
 AB = 50. (t - 6) + 75. (t - 7) 
300 = 50t - 300 + 75t - 525
125t = 1125 
 t = 9 (h)
	S1=50. ( 9 - 6 ) = 150 km	 
	Vậy hai xe gặp nhau lúc 9 h và hai xe gặp nhau tại vị trí cách A: 150km và cách B: 150 km.
b/ Vị trí ban đầu của người đi bộ lúc 7 h.
Quãng đường mà xe gắn mắy đã đi đến thời điểm t = 7h.
AC = S1 = 50.( 7 - 6 ) = 50 km.
Khoảng cách giữa người đi xe gắn máy và người đi ôtô lúc 7 giờ.
CB =AB - AC = 300 - 50 =250km.
Do người đi xe đạp cách đều hai người trên nên:
DB = CD = .	 
Do xe ôtô có vận tốc V2=75km/h > V1 nên người đi xe đạp phải hướng về phía A.
Vì người đi xe đạp luôn cách đều hai người đầu nên họ phải gặp nhau tại điểm G cách B 150km lúc 9 giờ. Nghĩa là thời gian người đi xe đạp đi là:
 	rt = 9 - 7 = 2giờ
Quãng đường đi được là:
DG = GB - DB = 150 - 125 = 25 km
Vận tốc của người đi xe đạp là.
V3 = 	
Bài 23: Trên một đường đua thẳng, hai bên lề đường có hai hàng dọc các vận động viên chuyển động theo cùng một hướng: một hàng là các vận động viên chạy việt dã và hàng kia là các vận động viên đua xe đạp. Biết rằng các vận động viên việt dã chạy đều với vận tốc 20km/h và khoảng cách đều giữa hai người liền kề nhau trong hàng là 20m; những con số tương ứng đối với hàng các vận động viên đua xe đạp là 40km/h và 30m. Hỏi một người quan sát cần phải chuyển động trên đường với vận tốc bằng bao nhiêu để mỗi lần khi m