Bồi dưỡng học sinh giỏi cấp THCS môn Toán - Chuyên đề 1: Bất đẳng thức (Phần 1)

 BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 |
 PHƯƠNG PHÁP
 1 DÙNG ĐỊNH NGHĨA
 CHỦ ĐỀ
A. KiÕn thøc cÇn nhí
 ● Để chứng minh A ≥ B ta xét hiệu A – B và chứng minh hiệu A – B là số không âm 
 bằng cách dồn về các tổng bình phương. 
 ● Lưu ý : A2 0 với mọi A ; dấu '' = '' xảy ra khi A = 0 .
B. VÍ DỤ MINH HỌA
Thí dụ 1. Chứng minh rằng với mọi số thực x ta đều có: 
 x 1 x 2 x 3 x 4 1
 Hướng dẫn giải
 Xét hiệu: A x 1 x 2 x 3 x 4 1 
 x 1 x 4 x 2 x 3 1
 x2 5x 4 x2 5x 6 1
 Đặt y x2 5x 5 ta được A y 1 y 1 1 y2 1 1 y2 0 
 Vậy x 1 x 2 x 3 x 4 1
Thí dụ 2. Cho a, b là các số thực. Chứng minh rằng: a2 b2 1 ab a b
 Hướng dẫn giải
 1
 Xét hiệu: A a 2 b2 1 ab a b a 2ab b2 a 2 2a 1 b2 2b 1 
 2 
 1 2 2 2
 a b a 1 b 1 0
 2 
 Vậy a2 b2 1 ab a b
 Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1.
Thí dụ 3. Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c ta đều có: a6 1 a 2 a 2 1 
 Hướng dẫn giải
 Xét hiệu: A a6 1 a 2 a 2 1 a6 a 4 a 2 1
BẤT ĐẲNG THỨC THCS a 4 a 2 1 a 2 1 a 2 1 a 4 1 
 2
 a 2 1 a 2 1 0
 2
Ta có A 0 do a 2 1 0 và a 2 1 0 
 Vậy a6 1 a 2 a 2 1 
 Dấu bằng xảy ra khi a = 1 hoặc a = -1
Thí dụ 4. Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c ta đều có: 
 19
 a 2 9b2 c2 2a 12b 4c
 2
 Hướng dẫn giải
Xét hiệu: 
 2 2 2 19 2 2 2 1
A a 9b c 2a 12b 4c a 2a 1 9b 12b 4 c 4c 4 
 2 2
 2 2 2 1
 a 1 3b 2 c 2 0
 2
 2 2 2
 Ta có A > 0 do a 1 0, 3b 2 0 và c 2 0
 19
Vậy a 2 9b2 c2 2a 12b 4c
 2
 2
Thí dụ 5. Chứng minh bất đẳng thức sau với x, y không âm x y x3 y3 x2 y2 
 Hướng dẫn giải
 2
 Xét hiệu hai vế: x y x3 y3 x2 y2 x4 xy3 x3 y y4 x4 2x2 y2 y4 
 2
 xy y2 x2 2xy xy x y 0
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 0, hoặc y 0, hoặc x y
C. BÀI TẬP ÁP DỤNG
1) Chứng minh rằng với mọi x ta có: x 1 x 2 x 3 x 4 1 0 
2) Chứng minh rằng mới mọi a, b, c ta đều có: a 2 4b2 3c2 2a 12b 6c 14 
3) Chứng minh với mọi x, y, z ta có:
a) x2 y2 z2 xy yz zx b) x2 y2 z2 2xy 2xz 2yz
 4) Chứng minh rằng với mọi x, y ta có: 4x2 4xy 4y2 6y 4 BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 |
 PHƯƠNG PHÁP BIẾN 
 ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
 2
 CHỦ ĐỀ
A. KiÕn thøc cÇn nhí
 Để chứng minh A B ta chứng minh A B ... C D với C D luôn đúng.
 Một số bất đẳng thức cần nhớ : Với a, b, c ta có :
 ) 4ab a b 2 2 a 2 b2 a b 2 0 
 ) a 2 b2 c2 ab bc ca.
 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 
 ) 3 ab bc ca a b c 3 a b c a b b c c a 0 
 2 2 2 
B. VÍ DỤ MINH HỌA
Thí dụ 1. Cho các số thực a, b, c. Chứng minh đẳng thức:
 2
 a2 b2 c2 a b c 
 1 
 3 3 
 Hướng dẫn giải
 3
 a 2 b2 c2 a b c 
Ta có: 1 
 3 3 
 3 a 2 b2 c2 a b c 2
 3 a 2 b2 c2 a 2 b2 c2 2 ab bc ca 
 a 2 2ab b2 b2 2bc c2 c2 2ca a 2 0
 a b 2 b c 2 c a 2 0 2 
Bất đẳng thức (2) đúng. Vậy bất đẳng thức (1) đúng
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
 2
Thí dụ 2. Chứng minh đẳng thức a2 b2 c2 d 2 ac bd 1 
 Hướng dẫn giải
 1 a2c2 a2d 2 b2c2 b2d 2 a2c2 2abcd b2d 2
 0 a2d 2 b2c2 2abcd 0 ad bc 2 3 
Bất đẳng thức 3 đúng. Vậy bất đẳng thức 1 đúng
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ad bc
BẤT ĐẲNG THỨC THCS Thí dụ 3. Chứng minh rằng: a2 b2 c2 d 2 e2 a(b c d e) a,b,c,d,e R
 Hướng dẫn giải
Ta có:
 a2 b2 c2 d 2 e2 a(b c d e)
 a2 a2 a2 a2
 ab b 2 ac c2 ad d 2 ae e2 0
 4 4 4 4
 2 2 2 2
 a a a a 
 b c d e 0
 2 2 2 2 
 Bất đẳng thức cuối cùng đúng các phép biến đổi là tương đương nên bài toán được 
chứng minh.
 a
 Dấu “=” xảy ra khi: b c d 
 2
Thí dụ 4. Chứng minh rằng với mọi số thực a, b ta có: 2 a 4 b4 ab3 a3b 2a 2b2 
 Hướng dẫn giải
 2
 Để ý với a = b thì có dấu bằng đẳng thức nên ta tách các số hạng để tạo ra nhân tử chung a b 
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
 a 4 2a 2 b2 b4 a 4 a3b b4 b4 ab3 0
 2
 a 2 b2 a3 b3 a b 0
 a b 2 a b 2 a 2 ab b2 0
 a b 2 2 a b 2 2a 2 2ab 2b2 0
 a b 2 3 a b 2 a 2 b2 0
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b .
 Chú ý: Qua hai ví dụ trên ta nhận thấy khi biến đổi tương đương bất đẳng thức bậc 
 2 2 2
hai thường xuất hiện các đại lượng a - b ; b - c ; c - a với điều kiện dấu đẳng thức 
xảy ra tại a = b = c . Do đó trước khi biến đổi bất đẳng thức ta nên dự đoán dấu đẳng thức 
xảy ra để từ đó có hướng đi hợp lí.
 12ab
Thí dụ 5. Cho 2 số thực x, y dương. Chứng minh rằng: a b 
 9 ab
 Hướng dẫn giải
 Ta có: BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 |
 12ab
 a b 
 9 ab
 a b 9 ab 12ab do 9 ab 0 
 9a 9b a 2 b ab2 12ab
 a 2 b 6ab 9b ab2 6ab 9a 0
 b a 3 2 a b 3 2 0 2 
 2 2
 Vì a,b 0 nên b a 3 0 và a b 3 0 do đó (2) đúng.
 Vậy bất đẳng thức được chứng minh, dấu “=” xảy ra khi a = b = 3.
 a 2 b 2 a 2 2ab
Thí dụ 6. Cho 2 số thực a, b dương. Chứng minh rằng: .
 2a3 b3 3 2a 2 b2
 Hướng dẫn giải
 a 2 b 1 a 2 2ab
 Để ý a = b thì có dấu bằng của đẳng thức, khi đó ; 1.Nên ta biến đổi 
 2a3 b3 3 2a 2 b2
như sau : 
 2 2
 a 2 b 2 a 2 2ab a 2 b 1 a 2 2ab a b 2a b a b 
 . . 1 
2a3 b3 3 2a 2 b2 2a3 b3 3 2a 2 b2 3 2a 2 b3 2a 2 b2
 2 1 2a b 2
 3 3 2 2 
 a b 2 2 0 a b 3 2a b 2a b 2a b 
 2a b 3 3 
 3 2a b 
 2 2 3 2 2 4
 a b 2a 2b 2a b 2ab 0 a b a b 0
Ta có bất đẳng thức được chứng minh.
Thí dụ 7. Cho các số thực a , b không đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng: 
 2ab b2 3
 + 
 a2 + 4b2 3a2 + 2b2 5
 Hướng dẫn giải
 2ab 2 b2 1
Dấu đẳng thức xảy ra với a = b , khi đó ; . Nên ta ta biến đổi 
 a2 4b2 5 3a2 2b2 5
 2 2ab 1 b2
bất đẳng thức thành - + - 0 . Tới đây ta quy đồng hai vế và phân 
 5 a2 + 4b2 5 3a2 + 2b2
tích thành các bình phương.
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
 2ab b2 3 2 2ab 1 b2
 + - + - 0
 a2 + 4b2 3a2 + 2b2 5 5 a2 + 4b2 5 3a2 + 2b2
BẤT ĐẲNG THỨC THCS 2a2 - 10ab + 8b2 3a2 - 3b2 2 a - b a - 4b 3 a - b a + b 
 + 0 + 0
 a2 + 4b2 3a2 + 2b2 a2 + 4b2 3a2 + 2b2
 2 2 2 2 
 a - b 2 a - 4b 3a + 2b + 3 a + b a + 4b 0
 2 2
 a - b 9a3 - 21a2 b + 16ab2 - 4b3 0 a - b 3a - 2b 0
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. 
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b hoặc 3a = 2b
Thí dụ 8. Cho a, b là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
 3a2 + 2ab + 3b2
 2 2 a2 + b2 
 a + b
 Hướng dẫn giải
Đẳng thức xẩy ra khi a b , do đó ta cố biến đổi bất đẳng thức làm xuất hiện đại lượng 
 2
 a - b . Bất đẳng thức cần chứng minh có chứa căn, nên để xuất hiện nhân tử chung có 
 2 2 2
dạng a - b ta cần chú ý đến phép biến đổi 2 a2 + b2 - a + b = a - b 
 2
 a - b 
 Khi đó ta có 2 a2 + b2 - a + b =
 2 a2 + b2 + a + b 
Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh như sau
 3a2 + 2ab + 3b2
 2 2 a2 + b2 
 a + b
 3a2 + 2ab + 3b2
 - 2 a + b 2 2 a2 + b2 - 2 a + b 
 a + b
 2 2
 a - b 2 a - b 
 a + b 2 a2 + b2 + a + b 
 2
 2 2 
 a - b 2 a + b + a + b - 2 a + b 0
 4
 2 a - b 
 2 2 
 a - b 2 a + b - a + b 0 0
 2 a2 + b2 + a + b
Bất đẳng cuối cùng đúng do a , b dương. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. 
Thí dụ 9. Cho biểu thức : P xy x 2 y 6 12x2 24x 3y2 18y 36. 
Chứng minh P luôn dương với mọi x;y thuộc R .
 (Đề toán vào lớp 10 Quảng Ninh năm 2010-2011) BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 |
 Hướng dẫn giải
Ta có: P xy x 2 y 6 12x2 24x 3y2 18y 36.
 xy x 2 y 6 12x x 2 3y y 6 36
 x x 2 y y 6 12 3 y y 6 12 
 y2 6y 12 x2 2x 3 
 2
Mà y2 6y 12 y 3 3 0
 2
 x2 2x 3 x 1 2 0
Vậy P > 0 với mọi x;y thuộc R
Thí dụ 9. Cho các số thực dương a, b. Chứng minh bất đẳng thức : 
 a b 16 1 1 
 2 2 5 .
 b a a b a b 
 Hướng dẫn giải
Ta có : 
 a b 16 1 1 
 2 2 5 
 b a a b a b 
 a 1 b 1 4 1 1 
 2 2 4 0
 b b a a a b a b 
 2
 a b b a 4ab a b 
 4. 0
 b2 a 2 a b ab
 a b 2 a b 4 a b 2
 0
 a 2 b2 a b ab
 a b 2 a b 2 4ab 0
 a b 4 0.
Bất đẳng cuối cùng nên ta có điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi a b 0.
C. BÀI TẬP ÁP DỤNG
1) Chứng minh rằng với mọi số thực a, b ta có: a2 b2 1 ab a b
2) Chứng minh rằng mới mọi a, b, c ta đều có: a2 4b2 4c2 4ab 4ac 8bc
3) Chứng minh bất đẳng thức x y xy 1 với x 1, y 1.
 2
4) Chứng minh rằng với mọi x, y ta có: x y x3 y3 x2 y2 
BẤT ĐẲNG THỨC THCS 4a2 b2 a2 b2
5) Cho a, b là hai số thực khác không. Chứng minh rằng: + + 3
 2 2 2
 a2 + b2 b a
6) Cho các số thực dương a, b, m, n m n . Chứng minh rằng:
 a b 2
 + 
 na + mb mb + na m + n
7) Cho a, b là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
 2ab a2 + b2 a + b
 + ab +
 a + b 2 2
8) Cho x, y là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
 1 1 1
 .
 2 2
 1 x 1 y 1 xy
9) Cho x, y là các số thực thỏa mãn x y, x 0, y 0 . Chứng minh rằng:
 1 1 1 4
 .
 2 2 2
 x y x y xy
10) Cho x, y là các số thực không âm tùy ý . Chứng minh rằng:
 a b a b 2 a b .
Khi nào có dấu đẳng thức ? BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 |
 PHƯƠNG PHÁP 
 3 PHẢN CHỨNG
 CHỦ ĐỀ
A. KiÕn thøc cÇn nhí
Để chứng minh A B .
* Các bước giải:
● Bước 1: Giả sử xảy ra mệnh đề trái với yêu cầu cần chứng minh ( tức là A < B).
● Bước 2: Sau đó vận dụng các kiến thức đã biết và giả thiết của đề bài để chứng tỏ điều 
giả sử (A < B) là sai.
● Bước 3: kết luận yêu cầu cần chứng minh là đúng.
B. VÍ DỤ MINH HỌA
 2
Thí dụ 1. Chứng minh rằng: a b 4ab
 Hướng dẫn giải
 2
 Giả sử a b 4ab , khi đó: 
 2
a2 2ab b2 4ab a2 2ab b2 0 a b 0 điều này là sai với mọi a, b.
 2
 Vậy giả sử trên là sai, điều phải chứng minh là đúng.Tức là: a b 4ab
Thí dụ 2. Cho a + b = 2. Chứng minh rằng: 3 a 3 b 2
 Hướng dẫn giải
Đặt 3 x a; 3 y b x a3; y b3 . Ta có: x3 y3 2 . Cần chứng minh x y 2
 3
 Giả sử x y 2 thì: x y 8 x3 y3 3xy x y 8 2 3xy x y 8
 xy x y 2 xy x y x3 y3 ; (vì x3 y3 2 )
 2
 Chia cả hai vế cho số dương x y ta được: xy x2 xy y2 0 x y (vô lý)
 Vậy x y 2 tức là 3 a 3 b 2
Thí dụ 3. Cho ba số a, b, c 0;1 . Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng 
 1 1 1
thức sau đây là sai: a 1 b ; b 1 c ; c 1 a .
 4 4 4
BẤT ĐẲNG THỨC THCS Hướng dẫn giải
 Giả sử cả ba bất đẳng thức trên đều đúng. Theo giả thiết ta có: 
 1
a,b,c, 1 a , 1 b , 1 c đều là các số dương, suy ra: a 1 b b 1 c c 1 a 1 
 64
 2
 2 1 1 2 1 1 1
 Mặt khác: a 1 a a a a a a 
 4 4 4 2 4
 1 1
 Tương tự ta có: b 1 b ; c 1 c 
 4 4
 1
 Suy ra: a 1 b b 1 c c 1 a ; 2 
 64
 Ta có (1) mâu thuẫn (2) nên giải sử là sai, điều cần chứng minh là đúng. Tức là với 
a, b, c 0;1 . Thì ít nhất một trong các bất đẳng thức sau đây là sai: 
 1 1 1
a 1 b ;b 1 c ;c 1 a (đpcm).
 4 4 4
Thí dụ 4. Chứng minh rằng nếu: a1.a2 2 b1 b2 thì ít nhất một trong hai phương trình 
 2 2
sau có nghiệm: x a1 x b1 0, 1 ; x a2 x b2 0 2 .
 Hướng dẫn giải
 Giải sử phương trình (1) và (2) đều vô nghiệm. 
 2 2
Khi đó ta có: 1 0; 2 0 1 2 0 a1 4b1 a2 4b2 0
 2 2 2 2
 a1 a2 4 b1 b2 0 a1 a2 4 b1 b2 2a1a2
 2
 a1 a2 0 .
Điều này là sai với mọi a1 ,a2 .
 Vậy giải sử là sai, điều cần chứng minh là đúng. Tức là nếu: a1.a2 2 b1 b2 thì ít 
 2 2
nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm: x a1 x b1 0, 1 ; x a2 x b2 0 2 .
Thí dụ 5. Với mọi số thực x, y, z. Chứng minh rằng có ít nhất một trong ba bất đẳng 
thức sau là sai: x y z ; y z x ; z x y
 Hướng dẫn giải
Giả sử cả ba bất đẳng thức trên đều đúng
 2 2
 x2 y z x2 y z 0 x y z x y z 0 (1).. 
Tương tự ta có: y z x y z x 0 (2)