Bồi dưỡng học sinh giỏi cấp THCS môn Toán - Chuyên đề 1: Bất đẳng thức (Phần 4)

 BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 |
 TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN
 BẤT ĐẲNG THỨC HAY THCS
Cõu 1. Chứng minh bất đẳng thức
 a b 2c
 2 với a,b,c 0
 b c c a a b
 Hướng dẫn giải
 Gọi vế trỏi là A. Ta cú:
 2c 2c 2c 4c
 1 
 a b 2c a b 2c a b 2c a b
 2
 1 1 4
 Áp dụng bất đẳng thức với x, y 0 ta cú:
 x y x y
 a b 
 1 1 
 b c c a 
 1 1 4 a b c 
 a b c 2 
 b c c a 2c a b
 Từ 1 và 2 suy ra
 4 a b c 4c
 A 2 4 A 2
 2c a b
 Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi a b c
Cõu 2. a) Cho cỏc số dương a,b,c thỏa món a b a c 8 .
 Tỡm giỏ trị lớn nhất của A abc a b c .
 x 2y2
 b) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của A với x 0, y 0 .
 y x2 y2
 Hướng dẫn giải
 Ta cú 
 a b a c 8 a a c ab bc 8
 a a b c bc 8. 1 
 Áp dụng bất đẳng thức Cụ-si, ta cú
 a a b c bc 8
 A a a b c .bc 4
 2 2
 A 16
 A 16 a a b c bc 4
B￿T Đ￿NG TH￿C THCS BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 |
 b c 2 b c 2
 maxA 16 khi, chẳng hạn 
 a 2 8 a 2 2 2
 1 2x x 2x2
b) Ta cú x2 y2 2 và x, y dương nờn 
 y x2 y2 y x2 y2
 x 2y2 2x2 2y2
A 2 
 y x2 y2 x2 y2 x2 y2
Vậy giỏ trị nhỏ nhất của A là 2 khi a = b.
 1 1 
Cõu 3. Tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của A x y với 1 và x 2
 x y 
1 y 2 
 Hướng dẫn giải
 2
Do 1 x 2 nờn x 1 x 2 0 x2 3x 2 0 x 3 
 x
 2 ổ2 2 ử
Tương tự, y 3. Suy ra ( x + y) +ỗ + ữÊ 6 (1)
 y ốx y ứ
 2 2 2 2 
Ta lại cú x y 2 x y 2 2A (2)
 x y x y 
 9
Từ (1) và (2) suy ra 2 2A 6 2A 3 2A 9 A 
 2
 9 x 1; y 2
max A 
 2 x 2; y 1
Cõu 4. ( Đề thi thử vào 10 THCS Giảng Vừ– Hà Nội 2017-2018)
 ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT
 1
 Tỡm GTNN của biểu thức sau: P x x 2 (voi x 0)
 x
 Hướng dẫn giải
 1
Bỡnh phương hai vế ta được P2 2Px x 2 x 2 2Px 2 xp2 1 0 (1)
 x
Vỡ P 0 nờn phương trỡnh (1) cú nghiệm khi 
 0 P4 8P 0 P(P3 8) 0 P 2 ( vỡ P 0 )
 1
Dấu bằng xảy ra khi x (cỏc em thay P 2 vào (1) để tỡm x )
 2
 1
Vậy min P 2 x 
 2
Cõu 5. ( Đề thi thử vào 10 THCS Lương Thế Vinh Hà Nội 2019-2020)
265 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 |
Cho a,b là cỏc số dương thỏa món ab = 4 . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 (a + b- 2)(a2 + b2 )
P = 
 a + b
 Hướng dẫn giải
 a + b- 2 a2 + b2 ổ ử
 ( )( ) ỗ 2 ữ 2 2
Ta cú P = = ỗ1- ữ(a + b ) với ab = 4 .
 a + b ốỗ a + bứữ
Áp dụng Bất đẳng thức Cosi, ta cú: 
 2 - 1 2 1
 a + b ³ 2 ab = 4 (1) Û - ³ Û 1- ³
 a + b 2 a + b 2
 a2 + b2 ³ 2ab = 8 (2)
 1
Do đú: P ³ .8 = 4
 2
Dấu “ = ” xảy ra Û Dấu “=” ở cỏc bất đẳng thức Cosi (1) và (2) đồng thời xảy ra 
 ỡ
 ù a = b
Û ớ Û a = b = 2 
 ù a.b = 4
 ợù
Vậy Pmin = 4 Û a = b = 2 .
Cõu 6. (Trớch đề toỏn học kỡ 2 quận Hoàng Mai năm 2018-2019)
 Tỡm giỏ trị của m để biểu thức sau đạt giỏ trị nhỏ nhất. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất đú.
 F = (2x + y + 1)2 + (4x + my + 5)2
 Hướng dẫn giải
Ta cú: (2x + y + 1)2 ≥ 0; (4x + my + 5)2 ≥ 0, suy ra F ≥ 0
 2x y 1 0 4x 2y 2 0
Xột hệ ⇔ (m 2)y 3 0 
 4x my 5 0 4x my 5 0
 3
 y 
 2 m
+ Nếu m ≠ 2 thỡ m – 2 ≠ 0 suy ra F cú giỏ trị nhỏ nhất bằng 0
 m 5
 x 
 4 2m
+ Nếu m = 2 thỡ
F = (2x + y + 1)2 + (4x + 2y + 5)2 = (2x + y + 1)2 + [2(2x + y + 1) + 3]2
Đặt 2x + y + 1 = z thỡ
 2 2
 6 9 6 9 9
F = 5z2 + 12z + 9 = 5 z 5 z 
 5 25 5 5 5
 9 6 11
F nhỏ nhất bằng khi 2x + y + 1 = hay y = 2x , x ∈ R
 5 5 5
B￿T Đ￿NG TH￿C THCS BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 |
Vậy giỏ trị nhỏ nhất của F là 0 khi m ạ 0.
Cõu 6. (Trớch đề toỏn vào 10 Chuyờn Quảng Nam năm 2019-2020)
Cho 3 số dương x, y, z. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:
 xy yz zx
 P 
 2x z 2y z 2y x 2z x 2z y 2x y 
 Hướng dẫn giải
 Sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta được:
 2
 2x z 2y z x x z y z y xy zx yz 
 Do đú: 
 xy xy xy xy
 2x z 2y z 2x z 2y z 2 xy yz zx
 xy yz zx 
 yz yz zx zx
 Tương tự: ; 
 2y x 2z x xy zx yz 2z y 2x y xy zx yz
 xy zx yz
 Cộng 3 bất đẳng thức trờn theo vế ta được: P 1 
 xy zx yz
 Đẳng thức xảy ra khi x = y = z.
 Vậy giỏ trị lớn nhất của P là 1.
Cõu 7. Cho cỏc số thực a,b,c thỏa món 0 a,b,c 2,a b c 3 . 
 a2 b2 c2
 Tỡm GTLN và GTNN của P 
 ab bc ca
 ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT
 Hướng dẫn giải
 a2 b2 2ab
 Áp dụng BĐT AM-GM ta cú: b2 c2 2bc
 2 2
 c a 2ca
 1 1
 a2 b2 c2 a2 b2 a2 c2 b2 c2 2ab 2ac 2bc 
 2 2
 a2 b2 c2 ab ac bc
 a2 b2 c2
 P 1
 ab bc ca
 a b c
 Dấu “=” xảy ra a b c 1
 a b c 3
 Vậy MinP 1khi a b c 1
 Theo đề bài ta cú:
267 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 |
 0 a,b,c 2 a 2 b 2 c 2 0
 abc 2 ab ac bc 4 a b c 8 0
 abc 2 ab ac bc 12 8 0
 2 ab ac bc 4 abc 4
 ab bc ca 2
 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc
 P 2
 ab ac bc
 2
 a b c 9 5
 P 2 2 
 ab ac bc 2 2
 a 0
 b c 3
 b 0
 abc 0 
 Dấu " " xảy ra a c 3
 a b c 3 
 c 0
 a b 3
 0 a,b,c 2
 5
 Vậy MaxP khi abc 0,a b c 3,0 a,b,c 2
 2
Cõu 8. (Trớch đề chuyờn Bắc Ninh năm 2016-2017)
 3a4 3b4 c3 2
 Cho a, b, c > 0. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của M 3 
 a b c 
 Hướng dẫn giải
 Sử dụng AM-GM ta được: 
 3a4 1 a4 a4 a4 1 4 4 a12 4a3 ; 3b4 1 b4 b4 b4 1 4 4 b12 4b3 
 Do đú: 
 3a4 3b4 c3 2 4a3 4b3 c3
 M 3 3
 a b c a b c 
 3
 Ta dễ dàng chứng minh được BĐT với a, b dương thỡ: 4 a3 b3 a b * 
 2
 Thật vậy: * a3 b3 ab a b a b a b 0 (đỳng)
 Vậy (*) được chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi a = b.
 Áp dụng (*) ta được: 
 3 3 3
 4a3 4b3 c3 a b c a b c 1
 M 3 3 3
 a b c a b c 4 a b c 4
 Dấu “=” xảy ra khi a = b = 1, c = 2.
 1
 Vậy giỏ trị nhỏ nhất của M là 
 4
B￿T Đ￿NG TH￿C THCS BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 |
 3
Chỳ ý: Bổ đề 4 a3 b3 a b rất thường hay được sử dụng trong cỏc bài toỏn.
Cõu 8. (Trớch đề chuyờn Nam Định năm 2016-2017)
 Cho hai số a, b khụng õm thỏa món a b 3. Chứng minh rằng: 
 2 2a 1 4b 8
 1 2a 1 4b 15
 Hướng dẫn giải
 Ta cú: 
 2 2a 1 4b 1 1 4b 1 2 1 1 
 P 1 2 
 1 2a 1 4b 1 2a 1 4b 1 2a 1 4b 2 4a 1 4b 
 1 1 4
 Với a, b, c dương ta cú: (*)
 a b a b
 1 1 2 1 1 4
 Thậy vậy: a b 2 ab. 4 
 a b ab a b a b
 Vậy (*) được chứng minh, dấu “=” xảy ra khi a = b .
 Áp dụng (*) ta được:
 1 1 4 8 8 8
 P 2 2. (đpcm)
 2 4a 1 4b 2 4a 1 4b 3 4 a b 3 4.3 15
 a b 3 11 13
 Dấu “=” xảy ra khi a ; b 
 2 4a 1 4b 8 8
 x 3 x 2
Cõu 9. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A . 
 x 4 x 2 1
 Hướng dẫn giải
 x 3 x 2 x 2 3 x 2 2 x 2 1 x 2 2 ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT
Điều kiện: x 2. A 
 x 4 x 2 1 x 2 4 x 2 3 x 2 1 x 2 3 
 1 1 2 2
 1 . Vỡ x 2 0 x 2 3 3 1 min A khi x 2.
 x 2 3 x 2 3 3 3
Cõu 10. (Trớch đề chuyờn Thỏi Bỡnh năm 2015-2016)
 Cho x; y thỏa món x2 + y2 - 4x - 2 = 0 . Chứng minh rằng 
 10 - 4 6 Ê x2 + y2 Ê 10 + 4 6 .
 Hướng dẫn giải
Phương trỡnh tương đương với x2 + y2 = 4x + 2 (1).
Ta cú x2 - 4x - 2 = - y2 Ê 0 ị (x - 6 - 2)(x + 6 - 2)Ê 0
 Û 2 - 6 Ê x Ê 2 + 6
 Û 10 - 4 6 Ê 4x + 2 Ê 10 + 4 6 (2).
269 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 |
Từ (1) và (2), suy ra 10 - 4 6 Ê x2 + y2 Ê 10 + 4 6 .
Cõu 11. (Trớch đề chuyờn Lờ Hồng Phong – Nam Định 2017)
 Xột cỏc số thực a, b, c khụng õm, khỏc 1 thỏa món a + b + c = 1. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất 
 1 1
của biểu thức P (a b)(4 5c). 
 a bc b ac
 Hướng dẫn giải
 1 1 4
Áp dụng BĐT : (x, y 0) 
 x y x y
Tacú :
 1 1 4
 P (a b)(5c 4) (a b)(5c 4)
 a bc b ac (a b)(c 1)
 4 5c 4 c
 (1 c)(5c 4) 4 4 4 8
 (1 c)(1 c) c 1 c 1
 1
Vậy minP = 8. Đẳng thức xảy ra khi c 0,a b . 
 2
Cõu 12. (Trớch Chuyờn Đại học Vinh năm 2009 – 2010)
 Cho cỏc số thực x, y thỏa món: x 8y 0. Hóy tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 1
 P x .
 y(x 8y)
 Hướng dẫn giải
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM (Cauchy) cho ba số dương ta cú: 
 1
P (x 8y) 8y 6. 
 y(x 8y)
 x 8y 8y x 16y x 4
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 3 1 1 
 8y y y .
 y(x 8y) 64 4
 1
Vậy minP = 6. khi và chỉ khi x = 4 và y = . 
 4
Cõu 12. (Trớch đề vào lớp 10 Bắc Giang 2017 – 2018)
Cho hai số thực dương a , b thỏa món 2a 3b 4 . Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức
 2002 2017
 Q 2996a 5501b .
 a b
 Hướng dẫn giải
 1
 Từ giả thiết 2a 3b 4 ta dự đoỏn đẳng thức xảy ra khi a ,b 1, lỳc đú: 
 2
2002 2017
 8008a, 2017b do đú ta ỏp dụng bất đẳng thức AM-GM như sau: 
 a b 
B￿T Đ￿NG TH￿C THCS BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 |
 2002 2017
 Ta cú Q 2996a 5501b
 a b
 2002 2017
 8008a 2017b (5012a 7518b)
 a b
 1 1 
 2002 4a 2017 b 2506(2a 3b)
 a b 
 1 1
 2002.2 .4a 2017.2 .b 2506(2a 3b) (BDT CoSi)
 a b
 2002.4 2017.2 2506.4 2018.
 1
 Do đú Q đạt giỏ trị nhỏ nhất bằng 2018 khi a và b 1.
 2
Cõu 12. (Trớch đề vào lớp 10 Cao Bằng 2017 – 2018)
 x y m
Cho hệ phương trỡnh: 2 2 2 (m là tham số)
 x y m 6
 Hóy tỡm cỏc giỏ trị của m để hệ phương trỡnh cú nghiệm x; y sao cho biểu thức 
 P xy 2 x y đạt giỏ trị nhỏ nhất. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất đú.
 Hướng dẫn giải
 x y m
 2 2 2
 x y m 6
 y m x y m x y m x
 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
 x y m 6 x m x m 6 x m 2mx x m 6
 y m x y m x
 2 2 2 2
 2x 2mx 2m 6 0 x mx m 3 0 ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT
 Hệ phương trỡnh đó cho cú nghiệm phương trỡnh x2 mx m2 3 0 cú 
 nghiệm.
 m2 4 m2 3 0 m2 4m2 12 0
 12 3m2 0 m2 4
 2 m 2
 Với m thỏa món 2 m 2 thỡ phương trỡnh cú nghiệm x; y . Khi đú ta cú:.
 1 2
 P xy 2 x y x y x2 y2 2 x y 
 2 
 1 1
 P m2 m2 6 2m 2m2 6 2m
 2 2
 P m2 2m 3 m2 2m 1 4 m 1 2 4
271 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 |
 2
 Nhận xột: m 1 0 m  2;2 , dấu bằng xảy ra m 1 thỏa món điều 
 kiện.
 P 4.
 Dấu bằng xảy ra m 1.
 Vậy min P 4 khi m 1.
Cõu 13. Cho cỏc số thực dương a, b, c thỏa món 2 b2 bc c2 3 2 a2 
 1 1 1 
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: T a b c 2 .
 a b c 
 Hướng dẫn giải
Từ giả thiết 2 b2 bc c2 3 2 a2 
 9 a2 b2 c2 2bc a2 b2 a2 c2 a2 b2 c2 2 ab bc ca a b c 2 .
 a b c 3
 1 1 1 1 1 1 
Ta cú: T a b c 2 2 a 2 b 2 c a b c 
 a b c a b c 
 1 1 1
 2.2 a. 2.2 b. 2.2 c. 3 9.
 a b c
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.
Vậy giỏ trị nhỏ nhất của T là 9 khi a = b = c = 1.
Cõu 14. Cho cỏc số dương x,y,z thỏa món x y z . Chứng minh rằng: 
 1 1 1 27
 x 2 y2 z2 .
 2 2 2 
 x y z 2
 (ĐTTS lớp 10 tỉnh Nghệ An năm 2014-2015)
 Hướng dẫn giải
 z z 
Từ giả thiết x y z 1 t 1 t .
 x y x y 
 2
 2 2 x y 
Ta cú: x y x 2 y2 2xy 2 x 2 y2 x y x 2 y2 .
 2
 1 1 2 2 8 1 1 8
 2 2 2
x 2 y2 xy x y x y x 2 y2 x y 
 2 
Do đú:
B￿T Đ￿NG TH￿C THCS BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 |
 2
 1 1 1 x y 8 1 
 x 2 y2 z2 z2
 2 2 2 2 2 
 x y z 2 x y z 
 2 2
 1 z x y 1 2 1 1 2
 8 t 8 4 8t 1
 2 2 
 2 x y z 2 t 2t
 1 t 2 15t 2 1 t 2 15t 2 27
 5 5 2 . .
 2 2
 2t 2 2 2t 2 2 2
 z
Đẳng thức xảy ra khi x y .
 2
Cõu 15. Cho a, b, c là cỏc số thực dương thỏa món 3a 2b 3a 2c 16bc . 
 a b c 2
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: P 
 a b c 
 Hướng dẫn giải
 2
Từ giả thiết: 3a 2b 3a 2c 16bc 9a2 6a b c 12bc 3 b c 
 2
 a a
 3. 2 3 0
 b c b c
 a 1
Đặt x 3x2 2x 3 0 0 x .
 b c 3
Ta cú: 
 2
 a b c a b c 1 1 8 1 8 16
P 2 x 2 x 2 2 x. 2 .
 a b c b c a x 9x 9x 9x 1 3
 9.
 3 ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT
 a 1
Đẳng thức xảy ra khi b c 3 b c 3k,a 2k,k 0
 b c
 xy 6
Cõu 16. Cho x, y là cỏc số thực dương thỏa món . 
 y 3
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: P x y 2020
 Hướng dẫn giải
Ta cú: P x y 2020 x 1 y 2019 2 x 1 y 2019
 2 6 3 2019 2025.
 x 1 y
Vậy giỏ trị nhỏ nhất của P là 2025 khi xy 6 x 2, y 3.
 y 3
273 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC