Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Chương I, Chủ đề 3: Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp phản chứng (Có đáp án)

 Chủ đề 3
 CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG
1. Kiến thức cần nhớ 
a. Nội dung phương pháp
 Giả sử ta cần chứng minh bất đẳng thức A B . Tư tưởng của phương pháp là ta hãy giả sử bất 
đẳng thức đó sai, sau đó vận dụng các kiến thức đã biết và giả thiết của đề bài để suy ra điều vô lý. Điều 
vô lý có thể là trái với giả thiết, hoặc là những mệnh đề mâu thuẫn nhau, từ đó suy ra đẳng thức cần 
chứng minh là đúng. 
 Các bước suy luận phản chứng
Bước 1: Giả sử điều cần chứng minh là sai (phủ định lại mệnh đề cần chứng minh).
Bước 2: Từ điều giả sử ta suy ra một số tính chất hoặc quan hệ mới, mà những tính chất này mâu thuẫn 
với điều đã cho hoặc trái với tính chất ta đã biết.
Bước 3: Ta kết luận điều giả sử ban đầu là sai. Vậy bài toán được chứng minh.
 Chú ý: Trong các bước suy luận phản chứng nêu trên, bước 1 rất quan trọng vì cần tạo ra mệnh đề 
phủ định điều cần chứng minh thực sự chính xác.
b. Một số hình thức chứng minh bất đẳng thức
 + Dùng mệnh đề đảo.
 + Phủ định rồi suy ra điều trái với giả thiết.
 + Phủ định rồi suy ra trái với điều đúng.
 + Phủ định rồi suy ra hai mệnh đề trái ngược nhau.
 + Phủ định rồi suy ra kết luận.
c. Một số đẳng thức và bất đẳng thức cần nhớ.
 2 2 2
 a b b c c a 
 + a2 b2 c2 ab bc ca 0
 2
 2 2 2
 + a 1 b 1 c 1 0
 2 2 2
 + a b b c c a 0
2. Một số ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Cho a, b, c là các số thực bất kì. Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau đây 
là đúng: a2 b2 2bc b2 c2 2ca c2 a2 2ab 
Phân tích: Vì bài toán yêu cầu ta phải chứng minh có ít nhất một bất đẳng thức đúng, điều này có nghĩa 
là không thể có trường hợp cả ba bất đẳng thức trên cùng sai. Như vậy ta chỉ cần chứng minh cả ba bất 
đẳng thức trên cùng sai không thể xẩy ra là được. 
 Lời giải
Giả sử cả ba bất đẳng thức trên cùng sai, tức là ta có ba bất đẳng thức sau
 a2 b2 2bc b2 c2 2ca c2 a2 2ab
Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được a2 b2 2ab b2 c2 2bc c2 a2 2ca 0
 2 2 2
Hay a b b c c a 0 .
 2 2 2
Điều này mâu thuẫn với bất đẳng thức a b b c c a 0 .
Vậy điều giả sử trên không thể xẩy ra, tức là bài toán được chứng minh.
Ví dụ 2. Cho các số thực a, b, c (0, 2) . Chứng minh rằng có ít nhất một trong ba bất đẳng thức sau đây 
là sai: a 2 b 1 b 2 c 1 c 2 a 1 
Phân tích: Vì bài toán yêu cầu ta phải chứng minh có ít nhất một bất đẳng thức sai, điều này có nghĩa là 
không thể có trường hợp cả ba bất đẳng thức trên cùng đúng. Như vậy ta chỉ cần chứng minh cả ba bất 
đẳng thức trên cùng đúng không thể xẩy ra là được. Chú ý ở đây ta có giả thiết a, b, c (0, 2) nên có thể 
sử dụng đến các hiệu 2 a, 2 b, 2 c là các số dương. 
 Lời giải
 Giả sử cả ba bất đẳng thức đã cho đều đúng, nhân chúng với nhau theo vế với vế ta có 
 a 2 b .b 2 c .c 2 a 1 a 2 a .b 2 b .c 2 c 1
Mặt khác do a (0, 2) nên ta có 2 a 0. Do đó ta được 
 2
 0 a 2 a 2a a2 1 1 2a a2 1 a 1 1
 Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có 0 b 2 b 1; 0 c 2 c 1
Nhân theo vế các bất đẳng thức trên ta được
 a 2 a .b 2 c .c 2 c 1
Bất đẳng thức này mâu thuẫn với bất đẳng thức a 2 a .b 2 b .c 2 c 1.
Vậy điều giả sử trên không thể xẩy ra, tức là bài toán được chứng minh.
Ví dụ 3. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn thỏa mãn các điều kiện sau
 a b c 0; ab bc ac 0; abc 0
Chứng minh rằng cả ba số a, b, c đều là số dương.
Phân tích: Vì bài toán yêu cầu ta phải chứng minh cả ba số a, b, c đều là số dương, điều này có nghĩa là 
không thể có trường hợp một số nào đó không dương. Như vậy ta chỉ cần chứng minh một số bất kì 
không dương không thể xẩy ra là được. 
 Lời giải
 Giả sử rằng trong ba số a, b, c có một số không dương, không mất đi tính tổng quát ta chọn số đó là 
a, tức là ta có a 0.
Vì abc 0 nên a 0, do đó suy ra a 0. 
Lại có a b c 0 nên b c 0, từ đây suy ra a b c 0 Theo giả thiết thứ hai ab bc ca 0 hay a b c bc 0 dẫn đến bc 0 
Như vậy ta được a 0; bc 0 vì thế ta có abc 0. Bất đẳng thức này mâu thuẫn với giả thiết thứ ba 
của bài toán.
Vậy điều giả sử trên không thể xẩy ra, tức là bài toán được chứng minh.
Ví dụ 4. Chứng minh rằng không có 3 số dương a, b, c nào thoả mãn cả 3 bất đẳng thức:
 1 1 1
 a 2 b 2 c 2
 b c a
Phân tích: Vì bài toán yêu cầu ta phải chứng minh không tồn tại ba số dương a, b, c để cả ba bất đẳng 
thức trên đều đúng, điều này có nghĩa là không thể có trường hợp cả ba bất đẳng thức trên cùng đúng. 
Như vậy ta chỉ cần chứng minh trường hợp cả ba bất đẳng thức trên cùng đúng không thể xẩy ra là được. 
 1
Chú ý các bất đẳng thức trên làm ta liên tưởng đến bất đẳng thức Cauchy dạng x 2.
 x
 Lời giải
Giả sử tồn tại ba số dương a, b, c thoả mãn cả 3 bất đẳng thức:
 1 1 1
 a 2; b 2; c 2
 b c a
Cộng theo từng vế ba bất đẳng thức trên, ta được: 
 1 1 1 1 1 1 
 a b c 6 a b c 6 (1)
 b c a a b c 
Vì a, b, c là các số dương nên theo bất đẳng thức Cauchy ta được 
 1 1 1
 a 2; b 2; c 2
 a b c
Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được 
 1 1 1 
 a b c 6 2 
 a b c 
Ta thấy hai bất đẳng thức (1) và (2) mâu thuẫn với nhau.
Vậy điều giả sử trên không thể xẩy ra, tức là bài toán được chứng minh.
Ví dụ 5: Cho ba số thực a, b, c đôi một khác nhau. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một trong các số 9ab , 
 2
9bc , 9ac nhỏ hơn a b c . 
Phân tích: Vì bài toán yêu cầu ta phải chứng minh tồn tại ít nhất một trong ba số 9ab, 9bc, 9ca nhỏ hơn 
 2
 a b c , điều này có nghĩa là không thể có trường hợp cả ba số 9ab, 9bc, 9ca cùng lớn hơn 
 2 2
 a b c . Như vậy ta chỉ cần chứng minh ba số 9ab, 9bc, 9ca cùng lớn hơn a b c không xẩy 
 2
ra là được. Chú ý các đại lượng 9ab, 9bc, 9ca, a b c làm ta liên tưởng đến bất đẳng thức 
a2 b2 c2 ab bc ca. Lời giải
Giả sử điều cần chứng minh là sai, tức là ta có các bất đẳng thức sau
 2 2 2
 9ab a b c ; 9bc a b c ; 9ca a b c 
Cộng vế với vế ba bất đẳng thức ta được 
 2 2
 3 a b c 9 ab bc ca a b c 3 ab bc ca 
 2 2 2
 a2 b2 c2 ab bc ca a b b c c a 0 1 
Theo bài ra a, b, c đôi một khác nhau nên ta lại có 
 2 2 2
 a b b c c a 0 2 
Ta thấy hai bất đẳng thức (1) và (2) mâu thuẫn với nhau.
Vậy điều giả sử trên không thể xẩy ra, tức là bài toán được chứng minh.
Ví dụ 6: Cho a, b, c, d là bốn số thực dương bất kì. Chứng minh rằng ba bất đẳng thức sau không thể 
cùng xảy ra: 
 a b c d 1 
 a b c d ab cd 2 
 a b cd c d ab 3 
Phân tích: Vì bài toán yêu cầu ta phải chứng minh cả ba bất đẳng thức trên không cùng xẩy ra tức là có ít 
nhất một bất đẳng thức sai, điều này có nghĩa là không thể có trường hợp cả ba bất đẳng thức trên cùng 
đúng. Như vậy ta chỉ cần chứng minh cả ba bất đẳng thức trên cùng đúng không thể xẩy ra là được. 
 Lời giải
Giả sử tồn tại bốn số dương a, b, c, d thỏa mãn cả ba bất đẳng thức.
Từ bất đẳng thức (1) và bất đẳng thức (2) ta có
 2
 a b a b c d ab cd
 2 2
 cd a b ab a b 3ab 3ab
 cd 3ab 4 
Mặt khác ta lại có 
 a b cd c d ab
 2
 a b cd c d a b ab ab cd ab
 2
 ab ab cd a b cd 4ab.cd
 ab ab cd 4ab.cd
 ab 3cd 5 
Ta thấy hai bất đẳng thức (4) và (5) mâu thuẫn với nhau. 
Vậy điều giả sử trên không thể xẩy ra, tức là bài toán được chứng minh.
Ví dụ 7: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn điều kiện a2 b2 ab bc ca 0. 
 Chứng minh rằng: a2 b2 c2 Phân tích: Đại lượng a2 b2 ab bc ca làm ta liên tưởng đến hằng đẳng thức 
 2
 a b c a2 b2 c2 2 ab bc ca . Như vậy từ giả thiết của bài toán đã cho ta suy ra được 
giả thiết mới 2 a2 b2 ab bc ca 0. Vậy nếu a2 b2 c2 , thì ta được bất đẳng thức mới 
 2
a2 b2 c2 2 ab bc ca 0 a b c 0. Rõ ràng bất đẳng thức thu được là sai, do đó 
ta nghĩ đến sử dụng phương pháp phản chứng để chứng minh bài toán.
 2
 Ngoài ra, để ý bất đẳng thức 2 a2 b2 ab bc ca 0 và a b c 0 ta được bất 
 2
đẳng thức a b c 2 a2 b2 ab bc ca . Khai triển và thu gọn ta cũng được 
a2 b2 c2 .
 Lời giải
 Giả sử bất đẳng thức cần chứng minh là sai, tức là ta có bất đẳng thức a2 b2 c2 , khi đó ta được 
 a2 b2 a2 b2 2 ab bc ca a2 b2 c2 2 ab bc ca 
 2
 2 a2 b2 ab bc ca a b c 
Kết hợp với giả thiết ta có
 2 2
 0 2 a2 b2 ab bc ca a b c a b c 0
Bất đẳng thức cuối cùng là sai. Vậy điều giả sử trên không thể xẩy ra, tức là bài toán được chứng minh.
 Bất đẳng thức trên cũng có thể chứng minh theo cách sau đây: 
 Giả thiết của bài toán tương đương với 2 a2 b2 ab bc ca 0 
 2
Mà ta luôn có a b c 0, do đó ta được bất đẳng thức 
 2
 a b c 2 a2 b2 ab bc ca 
 a2 b2 c2 2 ab bc ca 2 a2 b2 2 ab bc ca . 
 c2 a2 b2
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Ví dụ 8. Cho hai số dương a, b thỏa mãn điều kiện a3 b3 a b . Chứng minh rằng:
 a2 b2 1
Phân tích: Quan sát giả thiết ta nhận thấy a b 0 và hai đại lượng a3 b3; a b không đồng bậc. 
Do đó ta có thể đồng bậc hai vế bằng cách nhân thêm a2 b2 . Vì yêu cầu chứng minh a2 b2 1 nên 
kết hợp với giả thiết ta quy bài toán về chứng minh bất đẳng thức a3 b3 a b a2 b2 . Đến đây 
ta có thể sử dụng phương pháp phản chứng hoặc biến đổi tương đương để chứng minh bài toán.
 Lời giải Từ giả thiết ta có a b 0. Giả sử bất đẳng thức cần chứng minh là sai, tức là ta có bất đẳng thức 
a2 b2 1. Khi đó kết hợp với giả thiết ta được
 a3 b3 a b a2 b2 a3 b3 a3 ab2 a2b b3
 ab2 a2b 2b3 0 b ab a2 2b2 0
Vì a b 0 nên ta có a b a 0 a b a 2b3 0. Do đó bất đẳng thức trên không thể xẩy 
ra. 
Vậy điều giả sử trên không thể xẩy ra, tức là bài toán được chứng minh.
 Bất đẳng thức trên cũng có thể chứng minh theo cách sau đây: 
Từ giả thiết ta có a b 0. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 
 a3 b3 a b a2 b2 a3 b3 a3 ab2 a2b b3
 a2b ab2 2b3 0 a2 ab 2b2 0
Mà ta có a b 0 nên a2 ab 0 nên ta được a2 ab 2b2 0.
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Ví dụ 9. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a 4, b 5, c 6 và a2 b2 c2 90
Chứng minh rằng: a b c 16
Phân tích: Từ điều kiện của biến a 4, b 5, c 6, để quy về một điều kiện ta có thể sử dụng cách 
đặt biến phụ a x 4; b y 5; z c 6, khi đó điều kiện của biến mới là x, y, z 0. 
 Giả thiết lúc này được viết lại là x2 y2 z2 12 x y z 4x 2z 13 và bất đẳng thức 
cần chứng minh trở thành x y z 1. Từ những kết quả thu được ở trên ta nếu ta giả sử 
x y z 1 thì ta thu được điều kiện 0 x, y, z 1. Khi đó ta có 
 x2 y2 z2 x y z suy ra x2 y2 z2 12 x y z 4x 2z 13. Đến đây 
xem như bài toán được giả quyết xong.
 Lời giải
Đặt a x 4; b y 5; z c 6, khi đó ta có x, y, z 0. 
Giả thiết lúc này được viết lại là 
 2 2 2
 x 4 y 5 z 6 90 x2 y2 z2 12 x y z 4x 2z 13
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành x y z 1
Giả sử tồn tại x, y, z 0, thỏa mãn điều kiện 
 x2 y2 z2 12 x y z 4x 2z 13
Nhưng bất đẳng thức x y z 1 không đúng. Tức là ta có x y z 1. 
Khi đó hiển nhiên có 0 x, y, z 1 nên x2 x; y2 y; z2 z.
Suy ra x2 y2 z2 x y z. Từ đó ta có 13 x2 y2 z2 12 x y z 4x 2z 13 x y z 4x 2z
 13 x y z 13
Hay 13 13, đây là một mâu thuẫn. Vậy điều giả sử trên không thể xẩy ra, tức là bài toán được chứng 
minh.
Ví dụ 10. Cho a, b, c là ba số thực bất kì thỏa mãn các điều kiện sau:
 abc 20153 và ab bc ca 2015 a b c 
Chứng minh rằng trong ba số a, b, c đó có đúng một số lớn hơn 2015.
Phân tích: Từ bài toán ta nhận thấy không thể có trường hợp cả ba số a, b, c cùng lớn hơn 2015. Bài toán 
yêu cầu chứng minh rằng trong ba số a, b, c đó có đúng một số lớn hơn 2015. Điều này có nghĩa là không 
thể có hai số lớn hơn 2015 cũng không thể có cả ba số cùng không lớn hơn 2015. Như vậy để chứng minh 
bài toán ta chỉ cần chứng minh hai trường hợp này không xẩy ra là được. Để ý là khi so sánh các số a, b, c 
với 2015 ta thường so sánh a 2015; b 2015; c 2015 với 0. 
 Lại thấy từ giả thiết ta được 2015 a b c ab bc ca 0 nên ta được 
P a 2015 b 2015 c 2015 2015 2015 a b c ab bc ca 0.
 Lời giải
Xét biểu thức 
 P a 2015 b 2015 c 2015 
 abc 2015 ab bc ca 20152 a b c 20153
 2015 2015 a b c ab bc ca 0
Giả sử khẳng định của bài toán là sai, khi đó sẽ có hai trường hợp 
+ Trường hợp thứ nhất cả ba số a, b,c đều không lớn hơn 2015, khi đó ta có 
 a 2015 0; b 2015 0; c 2015 0
Suy ra P 0, điều này mâu thuẫn với bất đẳng thức trên.
+ Trường hợp thứ hai là có ít nhất hai số lớn hơn 2015, chẳng hạn là a, b. Khi đó ta được 
 a 2015; b 2015 suy ra a 2015 0; b 2015 0.
 P
 Do đó ta có a 2015 b 2015 0 c 2015 0 
 a 2015 b 2015 
Suy ra c 2015, dẫn đến abc 20153 , điều này mâu thuẫn với giả thiết abc 20153 .
Vậy điều giả sử không thể xẩy ra. Do đó bài toán được chứng minh.
Ví dụ 11. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a2 2b2 2a2c2 b2c2 3a2b2c2 9
Chứng minh rằng: abc 1
Phân tích: Trước hết ta nhận thấy, nếu một trong ba số a, b, c bằng 0 thì bài toán được chứng minh. Như 
vậy ta cần phải chứng minh cho trường hợp cả ba số a, b, c khác 0. Để ý từ giả thiết ta thu được 2 2 2 2 2 2
 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c 2 a b c 2 2 2
 a 2b 2a c b c 3a b c a 2 2 b 2 3a b c
 a b 
 a2b2c2 a2b2c2 
Mà ta lại có 2 2 2 2 2 2 2 2 
 a 2 2 b 2 3a b c 2 abc 4 abc 3a b c
 a b 
 Đến đây ta có thể sử dụng phép phản chứng hoặc phân tích thành nhân tử để chứng minh bài toán. 
 Lời giải
Nếu một trong ba số a, b, c bằng 0 thì bài toán được chứng minh. 
Như vậy ta cần phải chứng minh cho trường hợp cả ba số a, b, c khác 0. Từ giả thiết ta thu được 
 2 2 2 2 2 2
 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c 2 a b c 2 2 2
 a 2b 2a c b c 3a b c a 2 2 b 2 3a b c
 a b 
Giả sử bất đẳng thức cần chứng minh là sai, tức là ta có bất đẳng thức abc 1
Đặt x abc 1 x2 1. Khi theo bất đẳng thức Cauchy ta có 
 2 2
 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x 2 x 2
 9 a 2b 2a c b c 3a b c a 2 2 b 2 3x
 a b 
 2 1 2 1 
 a 2 2 b 2 3 9
 a b 
Hay 9 9, điều này là vô lý. Vậy điều ta giả sử là không xẩy ra hay bài toán được chứng minh. 
 Ngoài ra ta cũng có thể trình bày như sau: Biến đổi tương tự như trên ta được 
 2 2 2 2 2 2
 2 a b c 2 a b c 2 2 2 2 2 2
 9 a 2 2 b 2 3a b c 2 abc 4 abc 3a b c
 a b 
Đặt x abc 0 khi đó ta được 
 9 6x 3x2 x2 2x 3 0 x 1 x 3 0 x 1.
Ví dụ 12. Cho a, b là các số thức dương thỏa mãn a b 2. Chứng minh rằng: 
 3 a 3 b 2
Phân tích: Để bài toán đơn giản hơn ta có thể thực hiện làm mất căn bậc ba bằng cách đặt 
x 3 a; y 3 b , khi đó giả thiết của bài toán trở thành x 3 y3 2 và ta cần chứng minh x y 2. 
 3
Để ý ta thấy x y 2 tương đương với x y 8, khai triển ta và sử dụng giả thiết ta được được 
xy x y x 3 y3 . Như vậy bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng nên ta có được bất đẳng thức cần 
chứng minh. Tuy nhiên nếu x y 2, với cách biến đổi như trên ta thu được xy x y x 3 y3 là 
một bất đẳng thức sai. Do đó ta có thể sử dụng phép biến đổi tương đương hoặc phép phản chứng để giải 
quyết bài toán.
 Lời giải Đặt x 3 a; y 3 b , khi đó giả thiết của bài toán trở thành x 3 y3 2 và ta cần chứng minh 
x y 2. 
 Giả sử bất đẳng thức cần chứng minh là sai, tức là ta có bất đẳng thức x y 2.
Biến đổi tương đương bất đẳng thức ta được 
 3
 x y 8 x 3 y3 3 x y 8 2 3xy x y 8
 xy x y 2 xy x y x 3 y3
Chia 2 vế cho số dương x y khi đó ta được bất đẳng thức 
 2
 xy x2 xy y2 0 x y 
Bất đẳng thức cuối cùng là một bất đẳng thức sai. Vậy điều ta giả sử là không xẩy ra hay bài toán được 
chứng minh. 
Ví dụ 13. Cho 25 số tự nhiên a1, a2,..., a25 khác 0 thoả mãn điều kiện: 
 1 1 1
    9
 a1 a2 a25
 Chứng minh rằng trong 25 số tự nhiên đó luôn tồn tại hai số bằng nhau.
Phân tích: Để chứng minh trong hai 25 số tự nhiên trên luôn tồn tại hai số bằng nhau ta có thể giả sử 25 
số đó khác nhau từng đôi một, để dễ biến đổi ta nên sắp thứ tự cho 25 số đó, chẳng hạn 
a1 a2 ... a25 . Với cách sắp thứ tự như vậy ta sẽ nhận được kết quả là 
a1 1, a2 2, ..., a25 25. Khi đó ta có 
 1 1 1 1 1 1
       
 a1 a2 a25 1 2 25
 1 1 1
Đến đây ta chỉ cần chỉ ra    9 là bài toán được giải quyết
 1 2 25
 Lời giải
 Giả sử trong 25 số tự nhiên a1, a2,..., a25 không có hai số nào bằng nhau. Không mất tính tổng 
quát ta có thể chọn a1 a2 ... a25 . Khi đó ta có 
 a1 1, a2 2, ..., a25 25
 1 1 1 1 1 1
Suy ra ta được       
 a1 a2 a25 1 2 25
Mặt khác ta chứng minh được 1 1 1 2 2 2
    1 ... 
 1 2 25 2 2 2 3 2 25
 1 1 1 
 1 2 ... 
 2 1 3 2 25 24 
 1 2 2 1 3 2 ...... 25 24 
 1 2 25 1 9
 1 1 1
 Điều này dẫn tới    9 
 a1 a2 a25
Bất đẳng thức thu được mâu thuẫn với giả thiết của bài toán. 
Vậy điều ta giả sử là không xẩy ra hay bài toán được chứng minh. 
Ví dụ 14. Cho 25 số tự nhiên a1, a2,..., a2015 khác 0 thoả mãn điều kiện: 
 1 1 1 1
 ... 89
 a1 a2 a3 a2015
 Chứng minh rằng trong 2015 số tự nhiên đó luôn tồn tại hai số bằng nhau.
 Lời giải
Giả sử trong 2015 số tự nhiên a1, a2,..., a2015 không có hai số nào bằng nhau. Không mất tính tổng quát 
ta có thể chọn a1 a2 ... a2015 . Khi đó ta có 
 a1 1, a2 2, a3 3, ... , a2015 2015
 1 1 1 1 1 1 1 1
Suy ra ta được ... ... 
 a1 a2 a3 a2015 1 2 3 2015
Mặt khác ta chứng minh được 
 1 1 1 2 2 2
    1 ... 
 1 2 2015 2 2 2 3 2 2015
 1 1 1 
 1 2 ... 
 2 1 3 2 2015 2014 
 1 2 2 1 3 2 ... 2015 2014 
 1 2 2015 1 89
 1 1 1
 Điều này dẫn tới    89 
 a1 a2 a2015
Bất đẳng thức thu được mâu thuẫn với giả thiết của bài toán. 
Vậy điều ta giả sử là không xẩy ra hay bài toán được chứng minh. 
Ví dụ 15. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a4 b4 a3 b3 . Chứng minh rằng: 
 a b 2