Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Chương I, Chủ đề 5: Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy (Có đáp án)

 Chủ đề 5
 MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
A. Kiến thức cần nhớ 
1. Giới thiệu bất đẳng thức Cauchy(Côsi)
 Bất đẳng thức có tên gọi chính xác là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân. Ở 
nhiều nước trên thế giới, người ta gọi bất đẳng thức này theo kiểu viết tắt là bất đẳng thức AM – GM 
(AM là viết tắt của Arithmetic mean và GM là viết tắt của Geometric mean)
 Ở nước ta, bất đẳng thức AM – GM được gọi theo tên của nhà Toán học người Pháp Augustin – 
Louis Cauchy (1789 – 1857), tức là bất đẳng thức Cauchy. Thật ra đây là một cách gọi tên không chính 
xác vì Cauchy không phải là nguời đề xuất ra bất đẳng thức này mà chỉ là người đưa ra một phép chứng 
minh đặc sắc cho nó. Tuy nhiên, để cho phù hợp với chương trình sách giáo khoa, trong tài liệu này 
chúng ta cũng sẽ gọi nó là Bất đẳng thức Cauchy(Côsi).
 Đây là một bất đẳng thức cổ điển nổi tiếng và quen thuộc đối với phần lớn học sinh nước ta. Nó 
ứng dụng rất nhiều trong các bài Toán về bất đẳng thức và cực trị. Trong phạm vi chương trình Toán 
THCS, chúng ta quan tâm đến các trường hợp riêng của bất đẳng thức Cauchy.
2. Các dạng biểu diễn của bất đẳng thức Cauchy
a. Dạng tổng quát
+ Cho x1, x2, x3 ,..., xn là các số thực không âm ta có:
 x x ... x
 Dạng 1: 1 2 n n x .x ...x
 n 1 2 n
 n
 Dạng 2: x1 x2 ... x n n. x1.x2...x n 
 n
 x x ... x 
 Dạng 3: 1 2 n x .x ...x
 1 2 n
 n 
 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 x2 ... x n 
+ Cho x1, x2, x3 ,..., xn là các số thực dương ta có:
 1 1 1 n2
 Dạng 1: ... 
 x1 x2 x n x1 x2 ...x n
 1 1 1 
 Dạng 2: x x ...x ... n2
 1 2 n x x x 
 1 2 n 
 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 x2 ... x n 
b. Một số dạng đặc biệt
 n n 2 n 3
 Điều kiện x, y 0 x, y, z 0
 x y x y z
 Dạng 1 xy 3 xyz
 2 3
 2 3
 x y x y z 
 Dạng 2 xy xyz
 2 3 1 1 4 1 1 1 9
 Dạng 3 x y x y x y z x y z
 x, y 0 x, y, z 0 
 1 1 1 1 1 
 x y 4 x y z 9
 Dạng 4 x y x y z 
 x, y 0 x, y, z 0 
 Đẳng thức xẩy ra x y x y z
3. Một số bất đẳng thức được suy ra từ bất đẳng thức Cauchy
 2
 + x2 y2 2xy; 2 x2 y2 x y ; 2 x y x y
 2
 3 x y 
 + x2 y2 xy 
 4
 + x2 y2 z2 xy yz zx
 2
 + 3 x2 y2 z2 x y z 3 xy yz zx 
 + x2y2 y2z2 z2y2 xyz x y z 
 2
 + 3 x 4 y4 z4 xy yz zx 3xyz x y z 
B. Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy
1. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân 
 Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân thực chất đánh giá bất đẳng thức Cauchy theo 
chiều từ phía trái sang phía phải. Trong chuỗi đánh giá, cái ta hay quên đó là cần phải được bảo toàn dấu 
đẳng thức xẩy ra mà ta hay gọi là bảo toàn “Điểm rơi”. Một thực tế cho thấy việc xác định điểm rơi cho 
một bất đẳng thức quyết định đến hơn nửa thành công cho công việc tìm lời giải. Ý tưởng chính của chọn 
điểm rơi chính là việc xác định được dấu đẳng thức xảy ra khi nào để có thể sử dụng những đánh giá hợp 
lý. Trong quá trình chứng minh các bất đẳng thức ta thường gặp sai lầm là áp dụng ngay bất đẳng thức 
Cauchy mà quên mất dấu đẳng thức xảy ra tại đâu. Trước khi tìm hiểu về kĩ thuật đánh giá từ trung bình 
cộng sang trung bình nhân ta hãy xét một số ví dụ về chọn “Điểm rơi” dưới đây ta sẽ hiểu hơn vấn đề 
dạng được đề cập. 
 1
Bài toán 1. Cho số thực a 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của: A a 
 a
 1 1
Sai lầm thường gặp là: A a 2 a  2. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2.
 a a
 1
Nguyên nhân sai lầm: giá trị nhỏ nhất của A là 2 a a 1, điều này không xẩy ra vì theo 
 a
giả thiết thì a 2.
Phân tích: Quan sát bất đẳng thức trên ta nhận thấy giá trị của a càng tăng thì A càng tăng, do đó ta dự 
đoán A đạt giá trị nhỏ nhất khi a 2. Khi đó ta nói A đạt giá trị nhỏ nhất tại “Điểm rơi a 2”. Ta 
 1
không thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số a và vì không thỏa mãn dấu đẳng thức xẩy ra. Vì 
 a 1
vậy ta phải tách a hoặc để khi áp dụng bất đẳng thức Cauchy thì thỏa mãn dấu đẳng thức xẩy ra. Giả 
 a
 a 1 a 1
sử ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số , sao cho tại “Điểm rơi a 2” thì , ta có 
 k a k a
sơ đồ sau:
 a 1
 2 1
 a 2 k a k 4
 1 1 k 2
 a 2
 1 a 3a 1
Khi đó ta được A a và ta có lời giải như trên.
 a 4 4 a
Lời giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được
 1 a 1 3a a 1 3a 3.2 5
 A a 2  1 
 a 4 a 4 4 a 4 4 2
 5
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a 2. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là .
 2
 a 1 1 k 
Chú ý: Ngoài cách chọn cặp số , ta có thể chọn các các cặp số sau: ka, hoặc a, hoặc 
 k a a a 
 1 
 a, .
 ka 
 1
Bài toán 2. Cho số thực a 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A a 
 a2
 a 1
 2 2 1
Sơ đồ điểm rơi:a 2 k a k 8
 1 1 k 4
 a2 4
Sai lầm thường gặp là: 
 a 1 7a a 1 7a 1 7a 1 7.2 9
 A 2 . .
 8 a2 8 8 a2 8 2a 8 2.2 8 4
 9
Nguyên nhân sai lầm: Mặc dù giá trị nhỏ nhất của A bằng là đáp số đúng nhưng cách giải trên mắc 
 4
 1 1
sai lầm trong đánh giá mẫu số: a 2 là sai.
 2a 2.2
 a a 1 6a a a 1 6a 3 6.2 9
Lời giải đúng: A 3.3   
 8 8 a2 8 8 8 a2 8 4 8 4
 9
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a 2. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là .
 4
Bài toán 3. Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a b 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 1
 A ab 
 ab 1
Phân tích: Dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại a b . Theo bất đẳng thức Cauchy ta có 
 2
 2
 a b 1
ab . Khi đó ta có điểm rơi như sau:
 2 4
 ab 1
 1 1 1
 ab k ab 4 k 
 4 1 4k 16
 4
 ab
 Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 
 2
 a b 1 1
 ab ab 
 2 4 4
 1 1 1 17
Do đó ta được A 16ab 15ab 2 16ab. 15ab 8 15. 
 ab ab 4 4
 1 17
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b . Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 
 2 4
 18
Bài toán 4. Cho số thực a 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A a2 
 a
 18 9 9
Phân tích: Ta có A a2 a2 
 a a a
Dễ thấy a càng tăng thì A càng tăng. Ta dự đoán A đạt giá trị nhỏ nhất khi a 6. Ta có sơ đồ điểm rơi:
 a2 9
 36 3
 a 6 k a k 24
 9 9 k 2
 a 6
 Lời giải
 a2 9 9 23a2 a2 9 9 23a2 9 23.36
Ta có A 33   39
 24 a a 24 24 a a 24 2 24
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a 6. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 39
Bài toán 5. Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a 2b 3c 20. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 3 9 4
A a b c 
 a 2b c
Phân tích: Dự đoán giá trị nhỏ nhất của A đạt được khi a 2b 3c 20 và tại điểm rơi 
a 2, b 3, c 4.
 a 3
 2 3 4
Sơ đồ điểm rơi: a 2 k a k 
 3 3 k 2 3
 a 2
 b 9
 3 3
 b 3 m 2b m 2
 9 3 m 2
 2b 2 c 4
 4
 c 4 n c 1 n 4
 4 n
 1
 c
 Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 
 3a 3 b 9 c 4 a b 3c
 A 
 4 a 2 2b 4 c 4 2 4
 3a 3 b 9 c 4 a 2b 3c
 2  2  2  3 3 2 5 13
 4 a 2 2b 4 c 4
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a 2, b 3, c 4. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 13.
Bài toán 6. Cho a, b, c là số thực dương thỏa mãn ab 12; bc 8 . Chứng minh rằng: 
 1 1 1 8 121
 a b c 2 
 ab bc ca abc 12
Phân tích: Dự đoán giá trị nhỏ nhất của A đạt được khi ab 12; bc 8 ,tại điểm rơi 
a 3; b 4; c 2. Khi đó ta được ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho từng nhóm sau: 
 a b 2 a c 2 b c 2 a c b 8 
 ; ; , ; ; , ; ; , ; ; ; .
 18 24 ab 9 6 ca 16 8 bc 9 6 12 abc 
 Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
 a b 2 a b 2 1
 33   
 18 24 ab 18 24 ab 2
 a c 2 a c 2
 33   1
 9 6 ca 9 6 ca
 b c 2 b c 2 3
 33   
 16 8 bc 16 8 bc 4
 a c b 8 a c b 8 4
 44    
 9 6 12 abc 9 6 12 abc 3
 13a 13b 13a 13b 13 13 13
 2  2  12 
 18 24 18 24 18 24 3
 13b 13c 13b 13c 13 13 13
 2  2   8 
 48 24 48 24 48 24 4
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được
 1 1 1 8 121
 a b c 2 
 ab bc ca abc 12
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a 3; b 4; c 2.
Bài toán 7. Cho a, b là các số thực dương tùy ý. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
 a b ab
 A 
 ab a b
Phân tích: Do A là biểu thức đối xứng với a và b nên ta dự đoán giá trị nhỏ nhất của A đạt tại a b . 
Khi đó ta có sơ đồ điểm rơi: a b ab
 a b 2 1
 a b k ab k 4
 ab 1 k 2
 a b 2
 Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được
 a b ab 3 a b a b ab 3.2 ab 3 5
 A 2  1 
 4 ab a b 4 ab 4 ab a b 4 ab 2 2
 5
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b . Vậy giá trị nhỏ nhất của A là .
 2
Bài toán 8. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 a b c b c c a a b
 A 
 b c c a a b a b c
Phân tích: Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán giá trị nhỏ nhất của A đạt tại 
a b c. Khi đó ta có sơ đồ điểm rơi:
 a b c 1
 1 2
 a b c b c c a a b 2 k 4
 b c c a a b 2 2 k
 ka kb kc k
 Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được
 a b c b c c a a b 3 b c c a a b 
 A 
 b c c a a b 4a 4b 4c 4 a b c 
 a b c b c a c a b 3 b c c a a b 
 2  2  2  
 b c 4a c a 4b a b 4c 4 a a b b c c 
 1 1 1 3 9 15
 2  2 2 2 3 
 2 2 2 4 2 2
 15
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 
 2
Bài toán 9. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a b 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 1 1
A 
 a2 b2 2ab
Phân tích: Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán giá trị nhỏ nhất của A đạt tại 
 1
a b . Khi đó ta có sơ đồ điểm rơi:
 2
 1 k
 2
 1 2 2
 a b a b 2ab 2k 2 k 1
 2 1
 2
 2ab
 Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 1 1 4 4
 A 4
 2 2 2 2 2
 a b 2ab a b 2ab a b 
 2 2
 a b 2ab 1
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b 
 a b 1
 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 4. 
Bài toán 10. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a b 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 1 1
A 
 1 a2 b2 2ab
 1
Phân tích: Dự đoán giá trị nhỏ nhất của A đạt tại a b . Khi đó ta có sơ đồ điểm rơi:
 2
 1 1 1 2
 a b k 3
 2 1 a2 b2 2kab 3
 Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 
 1 1 1 1 1
 A 2 
 1 a2 b2 6ab 3ab 1 a2 b2 6ab 3ab
 2 1 4 1
 2 2 2
 1 a b 6ab 3ab a b 1 4ab 3ab
 2
 4 1 4 4 8
 2 2
 2 a b a b 2.1 1 3.1 3
 a b 1 4 3 
 2 2 
 1 a2 b2 6ab
 1 
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b a b 
 2
 a b 1
 8
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là . 
 3
Bình luận: Qua các bài toán trên ta thấy, khi giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức thì các đánh 
giá trung gian phải được bảo toàn dấu đẳng thức. Cho nên việc xác định đúng vị trí điểm rơi xẩy ra sẽ 
tránh cho ta sử dụng các đánh giá trung gian sai lầm. 
 Trong đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân, việc xác định điểm rơi đúng sẽ chỉ cho ta 
cách chọn các đánh giá hợp lí trong chuỗi các đánh giá mà ta cần phải sử dụng. Bây giờ ta đi tìm hiểu kĩ 
thuật đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân thông qua một số ví dụ sau.
Ví dụ 1.1: Cho các số thực a, b, c bất kì. Chứng minh rằng: 
 a2 b2 b2 c2 c2 a2 8a2b2c2
Phân tích: Trước hết ta dự đoán đẳng thức xẩy ra tại a b c. Trong bất đẳng thức trên thì vế trái có 
các đại lượng a2 b2; b2 c2; c2 a2 và vế phải chứa đại lượng 8a2b2c2 . Để ý ta nhận thấy 
8a2b2c2 2ab.2bc.2ca, do đó rất tự nhiên ta nghĩ đến các đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình 
nhân a2 b2 2ab; b2 c2 2bc; c2 a2 2ca . 
 Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy dạng x2 y2 2 x2y2 2 xy , ta có:
 a2 b2 2 ab 0
 2 2
 b c 2 bc 0
 c2 a2 2 ca 0
 Nhân vế theo vế của ba bất đẳng thức trên ta được:
 a2 b2 b2 c2 c2 a2 8 a2b2c2 8a2b2c2
Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Nhận xét: 
 - Chỉ được nhân các vế của bất đẳng thức cùng chiều (kết quả được bất đẳng thức cùng chiều) 
khi và chỉ khi các vế cùng không âm.
 - Để ý rằng ta sử dụng cách đánh giá x2 y2 2 x2y2 2 xy khi chưa xác định được x, y âm 
hay dương.
 - Nói chung ta ít gặp bài toán sử dụng ngay bất đẳng thức Cauchy như bài toán nói trên mà phải 
qua một vài phép biến đổi đến tình huống thích hợp rồi mới sử dụng bất đẳng thức Cauchy.
Ví dụ 1.2: Cho a, b là các số thực dương không âm tùy ý. Chứng minh rằng: 
 8 2
 a b 64ab a b 
Phân tích: Trước hết ta dự đoán đẳng thức xẩy ra tại a b . Trong bất đẳng thức trên, vế trái có đại 
 8 4 2
lượng a b a b 2 ab và vế phải có đại lượng 64ab a b . Để ý ta nhận thấy khi 
 2
a b thì a b 2 ab và a b 4ab , do đó rất tự nhiên ta nghĩ đến các đánh giá từ trung bình 
cộng sang trung bình nhân cho hai số a b và 2 ab . 
 Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng x2 y2 2 x2y2 2xy , ta được: 
 4
 8 4 2
 a b a b 2 ab 2 2 a b ab 64ab a b 
Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Ví dụ 1.3: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a b 1. Chứng minh rằng: 
 1 1
 4ab 7
 a2 b2 ab
Phân tích: Do biểu thức vế trái có tính đối xứng với a, b nên ta dự đoán dấu đẳng thức xảy ra tại 
 1 1
a b . Khi đó ta có a2 b2 2ab và 4ab . Để ý đại lượng a2 b2 nằm ở mẫu nên ta cần 
 2 4ab
 2
tìm cách thêm vào 2ab để tạo thành a b , do đó rất tự nhiên ta nghĩ đến đánh giá 
 1 1 4 4 1
 4. Như vậy lúc này bên vế trái còn lại 4ab , đến 
 2 2 2 2 2
a b 2ab a b 2ab a b 2ab
 1
đây ta sử dụng cách ghép hai đại lượng nghịch đảo 4ab 2. Như vậy lúc này ta thấy vế trái còn 
 4ab
 1 1
lại và ta cần chỉ ra được 1. Điều này không thể làm khó ta được vì dễ nhận ra được 
 4ab 4ab
 2
4ab a b 1. Đến đây ta trình bày lại lời giải như sau Lời giải
Ta viết lại biểu thức vế trái thành 
 1 1 1 1 1 1
 4ab 4ab 
 2 2 2 2 
 a b ab a b 2ab 4ab 4ab
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có các đánh giá sau:
 1 1 4 4
 4
 2 2 2 2 2
 a b 2ab a b 2ab a b 
 1 2 1
 4ab 2; 4ab a b 1 1
 4ab 4ab
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được
 1 1 1 1 4 1 1
 4ab 2 4ab. 7
 2 2 2 2
 a b 2ab 4ab 4ab (a b) 4ab a b 
 1 1
Hay 4ab 7
 a2 b2 ab
 1
Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b .
 2
Ta tiếp tục vận dụng đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân cho các ví dụ sau đây.
 a2 2
Ví dụ 1.4: Cho số thực a bất kì. Chứng minh rằng: 2
 a2 1
Phân tích: Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh là a2 2 2 a2 1. Để ý ta nhận thấy 
a2 2 a2 1 1; 2 a2 1 2 a2 1.1, do đó ta sử dụng đánh giá từ trung bình cộng sang trung 
bình nhân để chứng minh bất đẳng thức.
 a2 2 a2 1 1 1
 Ngoài ra, Để ý ta cũng có thể viết a2 1 , đến đây ghép 
 a2 1 a2 1 a2 1
cặp nghịch đảo để chứng minh bất đẳng thức.
 Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng x y 2 xy , ta có 
 a2 2 a2 1 1 2 a2 1.1 2 a2 1
 a2 2
Hay 2. Bất đẳng thức được chứng minh. 
 a2 1
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a2 1 1 a 0.
Ta cũng có thể trình bày lời giải như sau: Biến đổi vế trái và áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số ta có
 a2 2 a2 1 1 1
 a2 1 2
 a2 1 a2 1 a2 1
Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 
 1
 a2 1 a2 1 1 a 0
 a2 1
Ví dụ 1.5: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a b . Chứng minh rằng: 1
 a 3
 b a b 
Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy vế phải không chứa biến, nên khi áp dụng áp dụng bất 
đẳng thức Cauchy cho vế trái ta cần phải khử hết các biến, như vậy ta cần phải có các đại lượng 
a b; b, ngoài ra chiều bất đẳng thức gợi ý cho ta sử dụng đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình 
 1
nhân. Để ý là a b a b khi đó ta áp dụng đánh giá cho 3 số dương a b; b; .
 b a b 
 Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương ta được 
 1 1 1
 a b a b 3. 3 b. a b . 3
 b a b b a b b a b 
Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 
 1 a 2
 a b b 
 b 1
 b a b 
 a b c 3
Ví dụ 1.6: Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: 
 b c c a a b 2
Phân tích: Đây là bất đẳng thức Neibizt đã được chứng minh bằng phép biến đổi tương đương. Tuy nhiên 
ở đây ta thử dùng bất đẳng thức Cauchy để chứng minh xem sao. 
 a b c 1
+ Hướng 1: Để ý đẳng thức xẩy ra khi a b c nên khi đó có . Sử dụng 
 b c c a a b 2
 a b c a b c
bất đẳng thức Cauchy cho hai số ; khi đó ta được 1, áp dụng tương tự ta 
 b c 4a b c 4a
được bất đẳng thức:
 a b c b c c a a b 
 3 
 b c c a a b 4a 4b 4c 
Như vậy ta cần chứng minh được 
 b c c a a b 3 b c c a a b
 6.
 4a 4b 4c 2 a b c
Đánh giá cuối cùng là một đánh giá sai. Do đó ta không thể thực hiện chứng minh theo hướng thứ nhất 
được.
 a a b c
+ Hướng 2: Để ý là 1 , khi đó áp dụng tương tự được bất đẳng thức 
 b c b c
a b c a b c a b c 9 1 1 1 
 hay 2 a b c 9. Dễ dàng chỉ 
 b c c a a b 2 b c c a a b 
 1 1 1 1
ra được 3. 3 và chú ý ta lại thấy 
 b c c a a b a b b c c a 
2 a b c a b b c c a 3. 3 a b b c c a . Đến đây ta có lời giải như 
sau
 Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với