Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Chương II, Chủ đề 7: Ứng dụng nguyên lí Dirichlet trong chứng minh bất đẳng thức (Có đáp án)

 Chương II. MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI TOÁN ĐẶC SẮC 
 Chủ đề 7. ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ DIRICHLET TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
 Nhà toán học Đức P.G.Lejeune Dirichlet (1805-1859) đã nêu ra một định lí mà về sau người ta gọi 
là Nguyên lí Dirichlet, nguyên lý được phát biểu như sau:
 “Nếu nhốt vào n chiếc lồng một số chú thỏ mà số lượng lớn hơn n thì ta sẽ tìm được một chiếc 
lồng mà trong đó có nhiều hơn một con thỏ”
 Chúng ta biết bất đẳng thức là một dạng toán hay và khó, thường có trong các kì thi học sinh giỏi 
cấp Tỉnh, cấp Quốc gia và Quốc tế. Có rất nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng thức như phương 
pháp chứng minh bằng phép biến đổi tương đương, phương pháp quy nạp, phương pháp chứng minh bằng 
phản chứng, dùng các BĐT cổ điển: Cauchy, Bunhiacopxki,... 
 Trong bài viết này chúng tôi muốn giới thiệu một phương pháp chứng minh bất đẳng thức khá thú 
vị là ứng dụng nguyên lí Dirichlet. Với phương pháp này, giúp chúng ta chứng minh được một số bài toán 
bất đẳng thức một cách rất gọn gàng và độc đáo.
 Từ nguyên lí Dirichlet có một mệnh đề có ý nghĩa hết sức quan trọng: Trong 3 số thực bất kì a, 
b, c bao giờ cũng tìm được hai số cùng dấu.
 Đây là một mệnh đề rất quan trọng, bởi khi ta đã chọn được “điểm rơi” (tức là đẳng thức của bài 
toán) thì ta có thể áp dụng mệnh đề trên để chứng minh bất đẳng thức. Chẳng hạn đẳng thức xảy ra khi 
a b c k thì ta có thể giả sử 2 số a k ; b k cùng dấu, khi đó thì (a k)(b k) 0. Chúng 
ta sẽ tìm hiểu một số ví dụ sau để thấy được ý nghĩa việc ứng dụng nguyên lí Dirichlet trong việc giải bất 
đẳng thức như thế nào?
Bài toán 1. Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: 
 a2 2 b2 2 c2 2 9 ab bc ca 
 Phân tích và lời giải
 Dễ dàng dự đoán được đẳng thức xẩy ra tại a b c 1. Theo một đánh giá quen thuộc ta có 
 2
9 ab bc ca 3 a b c . Như vậy ta cần chứng minh 
 2
 a2 2 b2 2 c2 2 3 a b c 
 Quan sát bất đẳng thức trên ta nghĩ đến bất đẳng thức Bunhiacopxki. Như vậy ta cần đánh giá từ 
 2
 a b c làm xuất hiện a2 2, để ý ta thấy 
 2
 a b c a2 1 1 1 b2 c2 a2 2 1 b2 c2 
Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 
 3 a2 2 1 b2 c2 a2 2 b2 2 c2 2 
 3 1 b2 c2 b2 2 c2 2 
 Biến đổi tương đương ta thu được 3 1 b2 c2 b2 2 c2 2 3 3b2 3c2 b2c2 2b2 2c2 4
 b2c2 b2 c2 1 0 b2 1 c2 1 0
 Như vậy ta chỉ cần chỉ ra được b2 1 c2 1 0, tuy nhiên vì vai trò của a, b, c như nhau nên 
theo nguyên lí Dirichlet thì trong ba số a2 1; b2 1; c2 1 luôn tồn tại hai số cùng dấu và ta hoàn toàn 
có thể giả sử hai số đó là b2 1; c2 1. Như vậy bài toán được chứng minh xong.
Nhận xét: Ta có thể chứng minh bất đẳng thức trên theo cách khác sau:
 Theo nguyên lí Dirichlet trong ba số ab 1; bc 1; ca 1 tồn tại hai số không trái dấu, Không 
mất tính tổng quát ta giả sử hai số đó ta ab 1; bc 1khi đó ta được 
 ab 1 bc 1 0 ab2c 1 ab bc
 Suy ra a2b2c2 b2 2 2 ab2c 1 2 ab bc 
Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành
 a2b2c2 2 a2b2 b2c2 c2a2 4 a2 b2 c2 8 9 ab bc ca 
Ta có a2b2c2 b2 2 2 ab bc và 3 a2 b2 c2 3 ab bc ca 
Lại thấy a2b2 1 2ab nên 2 a2b2 b2c2 c2a2 6 4 ab bc ca 
Và a2 c2 2ac . Từ các bất đẳng thức trên ta được
 a2b2c2 2 a2b2 b2c2 c2a2 4 a2 b2 c2 8 9 ab bc ca 
Vậy bất đẳng thức trên được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1.
Bài toán 2. Cho a, b, c là các số thực không âm bất kì. Chứng minh rằng: 
 a2 b2 c2 2abc 1 2 ab bc ca 
 Lời giải
 Trước hết ta để ý đến đẳng thức xẩy ra tại a b c 1 điều này có nghĩa là khi đẳng thức xẩy ra 
thì a 1; b 1; c 1 cùng bằng 0, ngoài ta trong bất đẳng thức chứa các đại lượng ab,abc,... nên ta 
nghĩ đến tích c a 1 b 1 , tuy nhiên ta chưa thể khẳng định được tích đó có không âm hay không 
nên ta sử dụng nguyên lí Dirichlet.
 Theo nguyên lí Dirichlet trong ba số a 1; b 1; c 1 luôn tồn tại hai số cùng dấu, không mất 
tính tổng quát ta giả sử hai đó là a 1; b 1, khi đó ta có 
 a 1 b 1 0 c a 1 b 1 0 abc ac bc c 0
Khi đó ta có 
 2 2
 a2 b2 c2 2abc 1 a b 1 c 2 abc ac bc c 2 ab bc ca 
 2 2
Dễ thấy a b 1 c 2 abc ac bc c 0 nên ta có 
 2 2
 a b 2ab 1 c 2c 2abc 2ac 2bc 2 bc ca 2 ab bc ca Suy ra a2 b2 c2 2abc 1 2 ab bc ca 
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1.
Nhận xét: Ta có thể chứng minh được bất đẳng thức đúng với mọi số thực nếu thay đổi một chút: 
a2 b2 c2 a2b2c2 2 2 ab bc ca 
Theo nguyên lí Dirichlet thì c2 a2 1 b2 1 0 a2b2c2 c2 b2c2 c2a2
Nên ta chỉ cần chứng minh 
 2 2 2
 a2 b2 2 b2c2 c2a2 2 ab bc ca a b bc 1 ca 1 0
Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1
Bài toán 3. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng
 a2 b2 c2 2abc 3 a 1 b 1 c 1 
 Lời giải
 Sau khi nhân 2 vế cho 2 thì bất đẳng thức trên tương đương với 
 2 a2 b2 c2 2abc 4 2 ab bc ca 2 a b c 
 Theo bài toán 2 ta được a2 b2 c2 2abc 1 2 ab bc ca 
Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 
 2 2 2
 a2 b2 c2 3 2 a b c a 1 b 1 c 1 0
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bài toán được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1
Bài toán 4. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng
 2 2
 a2 2 (b2 2)(c2 2) 3 a b c abc 1 
 Lời giải
Bất đẳng thức trên tương đương với
 2 a2b2 b2c2 c2a2 4 a2 b2 c2 2abc 7 9 ab bc ca 
Theo bất đẳng thức Cauchy thì 
 2a2b2 2 2b2c2 2 2c2a2 2 4ab 4bc 4ca
 Và 3a2 3b2 3c2 3ab 3bc 3ca
Từ đó kết hợp với bài toán 2 ta suy ra điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1.
Bài toán 5. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a2 b2 c2 abc 4
Chứng minh rằng: ab bc ca abc 2
 Lời giải
 Dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại a b c 1
Cách 1: Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số a 1 ; b 1 ; c 1 cùng dấu. Không mất tính 
tổng quát, giả sử a 1 b 1 0 thì 
 c a 1 b 1 0 abc bc ca c Mặt khác ta có 4 a2 b2 c2 abc 2ab c2 abc
 Suy ra 4 c2 2ab abc 2 c ab
 Suy ra 0 ab bc ca abc 2 c bc ca bc ca c 2
Cách 2: Theo nguyên lý Dirichlet ta có c a 1 b 1 0 abc bc ca c
 ab bc ca abc ab bc ca ac bc c 
 ab bc ca abc ab c
Ta đi chứng minh ab c 2
 a2 b2
Từ a2 b2 c2 abc 4 ta được a2 4; b2 4; ab 4.
 2
Mặt khác cũng từ a2 b2 c2 abc 4 suy ra c2 abc a2 b2 4 0
Xem đẳng thức trên là là phương trình là bậc hai theo biến c.
 2
Khi đó ta được D ab 4 a2 b2 4 4 a2 4 b2 0
Do đó phương trình có hai nghiệm 
 ab 4 a2 4 b2 ab 4 a2 4 b2 
 c và c 
 2 2
 ab 4 a2 4 b2 
 Vì c 0 nên c 
 2
Do đó ta được 
 ab 4 a2 4 b2 ab 4 a2 4 b2 
 ab 2 ab 2
 2 2
 2 2
 4 ab 4 a2 4 b2 4 ab 4 a2 4 b2 a b 0
Vậy bất đẳng thức phải chứng minh.
Bài toán 6. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca abc 4. Chứng minh rằng: 
a b c ab bc ca
 Lời giải
Không mất tính tổng quát, giả sử hai số a 1 và b 1cùng không âm
Khi đó ta được c a 1 b 1 0 abc bc ca c
Suy ra a b c abc a b c ac bc c a b c abc a b c 1 
Mặt khác ta có 
 2 2
 a b c a b 
 4 ab bc ca abc c a b ab abc c a b 
 4 4
 4
Suy ra c 1 a b c 1 4
 a b 
Do đó ta được a b c abc 4 nên ta có 
 a b c abc ab bc ca abc
Hay a b c ab bc ca . Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Nhân xét: Ta cũng có thể chứng minh theo cách sau đây Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số a 1 , b 1 ,(c 1) cùng dấu, không mất tính tổng 
quát, giả sử a 1 b 1 0. 
 Khi đó c a 1 b 1 0 c ac bc abc . 
Do đó ta chỉ cần chứng minh a b ab abc
 4 ab
 Từ giả thiết ab bc ca abc 4 suy ra c 
 a b ab
Thay vào bất đẳng thức trên ta được bất đẳng thức tương đương là:
 4 ab 2
 a b ab 1 a b a b ab ab 4 a b a b 0
 a b ab 
Bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng. Phép chứng minh hoàn tất.
Bài toán 7. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng: 
 1 1 1
 3 2 a b c .
 a2 b2 c2
 Lời giải
 1 1 1
Bất đẳng thức được viết lại là P 3 2 a b c 0
 a2 b2 c2
Không mất tính tổng quát giả sử a 1 và b 1cùng không âm.
Khi đó suy ra a 1 b 1 0. Ta có 
 2
 1 1 1 1 1 2 1
 P 3 2 a b c 2 a b c 3
 2 2 2 2 
 a b c a b ab c
 2 2
 1 1 2 2 1 1 2 2
 2c a b 2 a b c 3 a b 2a 2b 3
 a b a b 
 2
 1 1 2
 2 a 1 b 1 ab 1 0
 a b 
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Bài toán 8. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 
 1 1 1 1 1 1 
 a 1 b 1 b 1 c 1 c 1 a 1 3
 b c c a a b 
 Lời giải
 1 1 1
 Đặt x a ; y b ; z c , khi đó bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành
 b c a
 x 1 y 1 y 1 z 1 z 1 x 1 3
Hay ta cần chứng minh xy yz zx 2 x y z 
Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số x 2 , y 2 ,(z 2) cùng dấu. 
Không mất tính tổng quát, giả sử x 2 y 2 0, suy ra 
 xy 4 2x 2y 2 x y z 2z xy 4 1
Lại có xyz abc x y z 2 x y z 2 2 xy z
 abc
Suy ra z xy 1 2 xy 1 z xy 1 2
Từ hai bất đẳng thức trên ta được 2 x y z 2z xy 4 xy yz zx
Vậy ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1.
Bài toán 9. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 3. Chứng minh rằng: 
 a2 a 1 b2 b 1 c2 c 1 1
 Lời giải
Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số a 1 , b 1 ,(c 1) cùng dấu, không mất tính tổng quát 
giả sử b 1 c 1 0. Khi đó ta được
 b2 b 1 c2 c 1 bc b 1 c 1 b2 c2 b c 1
 1 2
 b2 c2 b c 1 b c b c 1
 2 
Do đó ta được 
 a2 a 1 b2 b 1 c2 c 1 
 2
 2 1 1 2 2
 a a 1 b c b c 1 a a 1 a 4a 5 
 2 2
 Nên ta chỉ cần chứng minh 
 2
 a2 a 1 a2 4a 5 2 a 1 a2 3a 3 0
 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1
Bài toán 10. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng: 
 a2 b2 c2 a b c 2 ab bc ca 
 Lời giải
 Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số a 1 , b 1 ,(c 1) cùng dấu, không mất tính 
tổng quát giả sử a 1)(b 1 0 abc ac bc c.
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có a b c 33 abc 3
Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 
 a2 b2 c2 3 2 ab bc ca 
Thật vậy ta có a2 b2 c2 3 a2 b2 c2 2abc 1
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có a2 b2 2ab; c2 1 2c
Kết hợp với abc ac bc c ta được 
 a2 b2 c2 3 2ab 2c 2 bc ca c 2 ab bc ca 
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1
Bài toán 11. Cho a, b, c là các số thực không âm bất kì. Chứng minh rằng: 1 2 2 2
 abc 2 a 1 b 1 c 1 a b c
 2 
 Lời giải
 Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số a 1 , b 1 , c 1 cùng dấu. Không mất tính tổng 
quát, giả sử a 1 b 1 0 ab a b 1. 
Vì vậy để hoàn tất bài toán ta chỉ cần chứng minh 
 1 2 2 2
 c a b 1 2 a 1 b 1 c 1 a b c
 2 
 1 2 2 2 
 Hay a 1 b 1 c 1 a b 2 1 c 
 2 
 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
 2
 2 2 2 a b 2 2
 a 1 b 1 c 1 c 1
 2 
 2 a b 2 1 c 2 a b 2 1 c 
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1
Bài toán 12. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
 2 a2 b2 c2 abc 8 5 a b c 
 Lời giải
 Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số a 1 , b 1 , c 1 cùng dấu, không mất tính 
tổng quát giả sử a 1 b 1 0 abc ac bc c .
Suy ra 2 a2 b2 c2 abc 8 2 a2 b2 c2 ac bc c 8
Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 
 2 a2 b2 c2 ac bc c 8 5 a b c 
 Thật vậy, bất đẳng trên tương đương với 
 2 2 2 2 2
 b c 2 c a 2 3 a 1 3 b 1 2 c 1 0
Bất đẳng thức trên luôn đúng.
Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi à chỉ khi a b c 1.
Nhận xét: Hoàn toàn tương tự ta có thể tổng quát hóa bài toán trên:
a). Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
 m a2 b2 c2 abc 3m 2 2m 1 a b c .
 2
Trong đó m là số thực cho trước thỏa mãn m 
 2
b) Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
 2m 1 a2 b2 c2 2abc 1 2m ab bc ca .
Trong đó m là số thực cho trước thỏa mãn m 1
c) Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng ta luôn có bất đẳng thức: abc a2 b2 c2 2 a b c ab bc ca
d) Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
 2abc a4 b4 c4 13 6 a b c 
Bài toán 13. Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng:
 5 a3 b3 c3 3abc 9 9 ab bc ca 
 Lời giải
 Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số a 1 , b 1 , c 1 cùng dấu, không mất tính 
tổng quát giả sử a 1)(b 1 0 3abc 3ac 3bc 3c.
Suy ra 5 a3 b3 c3 3abc 9 5 a3 b3 c3 3ac 3bc 3c 9
Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 
 5 a3 b3 c3 3ac 3bc 3c 9 9 ab bc ca 
 5 a3 b3 c3 9 9ab 6bc 6ca 3c
 Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
 3c 33 c3.1.1 c3 1 1; 6ca 63 c3a3.1 2c3 2a3 2
 6bc 63 b3.c3.1 2b3 2c3 2; 9ab 93 a3.b3.1 3a3 3b3 3
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được
 5 a3 b3 c3 9 9ab 6bc 6ca 3c
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1
Bài toán 14. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a b c 1. Chứng minh rằng: 
 9abc 1 4 ab bc ca 
 Lời giải
 1 1 1 
 Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số a , b , c cùng dấu, không mất 
 3 3 3 
 1 1 
tính tổng quát giả sử a b 0 9abc 3ac 3bc c.
 3 3 
 Suy ra 1 9abc 1 3ac 3bc c
Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 1 3ac 3bc c 4 ab bc ca 
Thật vậy bất đẳng thức trên tương đương với 
 1 c c a b 4ab 1 c c 1 c 4ab
 2 2 2
 1 c 4ab a b 4ab a b 0
Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức thức xẩy ra khi và chỉ khi 
 1 1
a b c hoặc a b ; c 0 và các hoán vị 
 3 2
Nhận xét: Hoàn toàn tương tự ta có thể chứng minh bài toán: Cho a, b, c là các số thực không âm thoả 
mãn a b c k . Chứng minh rằng: 9abc k 3 4k ab bc ca Bài toán 15. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng: 
 1 1 1 2
 1
 2 2 2
 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 
 Lời giải
 Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số a 1 , b 1 , c 1 cùng dấu, không mất tính 
 c 1
tổng quát giả sử a 1 b 1 0 a b 1 ab .
 c
Do đó ta được 
 2
 2 c 1 
 a 1 b 1 c 1 1 a b ab c 1 2 1 ab 1 c 
 c
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có 
 1 1 1 1
 2 2
 1 a 1 b a b 
 1 ab 1 1 ab 1 
 b a 
 b a 1 c
 1 ab a b 1 ab a b 1 ab c 1
Do đó ta được 
 1 1 1 2
 2 2 2
 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 
 c 1 c c c 1 1 c
 1
 2 2 2
 c 1 c 1 c 1 c 1 
Như vậy bất đẳng thức ban đầu được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi a b c 1
Bài toán 16. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng: 
 1 1 1 1
 1
 2 2 2
 a 1 b 1 c 1 a b c 1
 Lời giải
 1 1 1
Trước hết ta chứng minh 
 2 2
 a 1 b 1 1 ab
Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với 
 2 2 2 2 2 2
 ab 1 a 1 b 1 a 1 b 1 ab a b ab 1 
Như vậy bất đẳng thức trên được chứng minh.
 1 c 1 1 c
Mà ta có nên ta có 
 2 2
 1 ab 1 c a 1 b 1 1 c
Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 
 c 1 1
 1
 2
 1 c c 1 a b c 1 Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số a 1 , b 1 , c 1 cùng dấu, không mất tính 
 c 1
tổng quát giả sử a 1 b 1 0 a b 1 ab .
 c
Khi đó ta được 
 c 1 1 c 1 1 c c 1 1 c
 1
 1 c 2 a b c 1 1 c 2 c 1 2
 c 1 c 1 c 1 c 1 
 c
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1.
Bài toán 17. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng: 
 a 3 b 3 c 3
 3
 2 2 2
 a 1 b 1 c 1 
 Lời giải
Trước tiên ta chứng minh 2 bổ đề sau:
 1 1 1 2
 Bổ đề 1. 1
 1 a 1 b 1 c 1 a b c
 1 1 1 1
 Bổ đề 2. 1
 2 2 2
 1 a 1 b 1 c a b c 1
+ Bổ đề 1: Bất đẳng thức trên tương đương với 
 3 ab bc ca 2 a b c 3 a b c
 a2 b2 c2 3
 2 ab bc ca a b c 1 a b c
Đánh giá cuối cùng luôn đúng vì theo bất đẳng thức Cauchy thì 
 a2 b2 c2 33 a2b2c2 3
Vậy bổ đề 1 được chứng minh. 
+ Bổ đề 2: Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số a 1 , b 1 ,(c 1) cùng dấu, không mất 
 c 1
tính tổng quát giả sử a 1)(b 1 0 ab 1 a b . 
 c
 1 1 1 2 2
 Ta có ab 1 a b 0 (đúng)
 2 2 
 1 a 1 b 1 ab
 1 1 1 c
 Do đó ta được 
 2 2
 1 a b 1 1 ab c 1
 Suy ra 
 1 1 1 1 c 1 1
 1
 2 2 2 a b c 1 c 1 2 c 1
 1 a 1 b 1 c c 1 c 1
 c
Vậy bổ đề 2 được chứng minh.
Trở lại bài toán thì bất đẳng thức cần chứng minhtương đương với
 1 1 1 2 2 2
 3
 2 2 2
 1 a 1 b 1 b a 1 b 1 b 1